第8讲立体几何中的向量方法求空间角 (1)
第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角
一、选择题
1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为()
A.π
6 B.
π
4 C.
π
3 D.
π
2
解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).
∴AC→=(1,1,0),B1D
→=(-1,1,-1),
∵AC→·B1D
→=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,
∴AC→⊥B1D
→,
∴AC与B1D所成的角为π2.
答案 D
2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()
A.
3
2 B.
3
3 C.
3
5 D.
2
5
解析设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1
所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如
图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,
0),D1(0,0,1),
所以BB1→=(0,0,1),AC→=(-1,1,0),AD1
→=(-1,0,1).
令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·AC→=-x+y=0,n·AD1
→=-x+z =0,令x=1,可得n=(1,1,1),
所以sin θ=|cos 〈n ,BB 1→
〉|=13×1=3
3
. 答案 B
3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12
B.23
C.33
D.22
解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A -xyz ,设棱长为1, 则A 1(0,0,1),
E ? ????1,0,12,D (0,1,0), ∴A 1D →=(0,1,-1), A 1E →=?
????1,0,-12, 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ),所以有???A 1D →·n 1=0,A 1E →·n 1=0,即???y -z =0,1-12z =0,解得????? y =2,z =2.
∴n 1=(1,2,2).
∵平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1), ∴ cos 〈n 1,n 2〉=23×1=23.
即所成的锐二面角的余弦值为2
3. 答案 B
4.(2017·西安调研)已知六面体ABC -A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱,D 是侧棱CC 1的中点,则直线CC 1与平面AB 1D 所成
的角为( ) A.45° B.60° C.90°
D.30°
解析 如图所示,取AC 的中点N ,以N 为坐标原点,建立空间直角坐标系. 则A ? ????0,-a 2,0,C ? ????0,a 2,0,B 1? ????3a 2,0,a ,D ? ?
???0,a 2,a 2,C 1? ?
?
??0,a 2,a , ∴AB 1
→=? ????3a 2,a 2,a ,AD →=? ????0,a ,a 2,CC 1→=(0,0,a ). 设平面AB 1D 的法向量为n =(x ,y ,z ), 由n ·AB 1→=0,n ·AD →=0,可取n =(3,1,-2).
∴cos 〈CC 1→
,n 〉=CC 1→·n
|CC
1
→||n |=-2a a ×22=-22,
∴直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为45°. 答案 A
5.设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32
B.22
C.223
D.233
解析 如图建立坐标系.则D 1(0,0,2),A 1(2,0,2),B (2,2,0),D 1A 1→=(2,0,0),DB →=(2,2,0), 设平面A 1BD 的一个法向量 n =(x ,y ,z ),则???n ·
DA 1→=0,
n ·
DB →
=0,
∴?????2x +2z =0,
2x +2y =0,
令z =1,得n =(-1,1,1).
∴D 1到平面A 1BD 的距离d =|D 1A 1→
·n ||n |=23=23
3.
答案 D 二、填空题
6.(2017·昆明月考)如图所示,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB =BC =AA 1,∠ABC =90°,点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是__________. 解析 以BC 为x 轴,BA 为y 轴,BB 1为z 轴,建立空间直角坐标系.设AB =BC =AA 1=2,
则C 1(2,0,2),E (0,1,0),F (0,0,1),
则EF →=(0,-1,1),BC 1→=(2,0,2),∴EF →·BC 1→=2, ∴cos 〈EF →,BC 1
→〉=22×22
=1
2,
∴EF 和BC 1所成的角为60°. 答案 60°
7.在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于__________.
解析 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.设AA 1=2AB =2,则D (0,0,0),C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→=(0,1,2).
设平面BDC 1的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥DB →,n ⊥DC 1
→,所以有?????x +y =0,y +2z =0,令y =-2,得平面BDC 1的一个法向量为n = (2,-2,1).
设CD 与平面BDC 1所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈n ,DC →〉|=?????
???n ·DC →|n ||DC →
|=23.
答案2 3
8.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________.
解析延长FE,CB相交于点G,连接AG,如图所示.
设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作BH⊥AG于点H,
连接EH,则∠EHB为所求二面角的平面角.
∵BH=32
2,EB=1,∴tan∠EHB=EB
BH
=2
3.
答案
2 3
三、解答题
9.(2015·全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(1)证明:平面AEC⊥平面AFC,
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
(1)证明如图,连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF.
在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC= 3.
由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.
又AE⊥EC,
所以EG=3,且EG⊥AC.
在Rt △EBG中,可得BE=2,故DF=
2 2.
在Rt △FDG中,可得FG=
6 2.
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=2,DF=
2
2,可得EF=
32
2,
从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG =G ,可得EG ⊥平面AFC . 因为EG ?平面AEC , 所以平面AEC ⊥平面AFC .
(2)解 如图,以G 为坐标原点,分别以GB →,GC →的方向为x 轴,y 轴正方向,
|GB
→|为单位长度,建立空间直角坐标系G -xyz , 由(1)可得A (0,-3,0),E (1,0,2),F ? ????
-1,0,22,
C (0,3,0).
所以AE
→=(1,3,2),CF →=? ????-1,-3,22. 故cos 〈AE →,CF →〉=
AE →·CF →
|AE →||CF →|=-33.
所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为3
3. 10.(2016·全国Ⅰ卷)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,平面ABEF 为正方形,AF =2FD ,∠AFD =90°,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°. (1)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (2)求二面角E -BC -A 的余弦值.
(1)证明 由已知可得AF ⊥DF ,AF ⊥EF , 所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ?平面ABEF , 故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)解 过D 作DG ⊥EF ,垂足为G . 由(1)知DG ⊥平面ABEF .
以G 为坐标原点,GF →的方向为x 轴正方向,|GF →|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .
由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角,故∠DFE =60°,则|DF |=2,
|DG |= 3.
可得A (1,4,0),B (-3,4,0),E (-3,0,0),D (0,0,3). 由已知得AB ∥EF ,所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC =CD , 故AB ∥CD ,CD ∥EF .
由BE ∥AF ,可得BE ⊥平面EFDC ,
所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角,∠CEF =60°. 从而可得C (-2,0,3).
所以EC →=(1,0,3),EB →=(0,4,0),AC →=(-3,-4,3),AB →=(-4,0,0).
设n =(x ,y ,z )是平面BCE 的法向量, 则?????n ·EC →=0,n ·EB →=0,即???x +3z =0,4y =0,
所以可取n =(3,0,-3).
设m 是平面ABCD 的法向量,则?????m ·AC
→=0,m ·AB →=0,
同理可取m =(0,3,4). 则cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=-219
19. 故二面角E -BC -A 的余弦值为-219
19.
11.(2017·济南质检)如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,CA =CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55
B.53
C.255
D.35
解析 不妨令CB =1,则CA =CC 1=2,可得O (0,0,0),B (0,0,1),C 1(0,2,0),A (2,0,0),B 1(0,2,1),
∴BC 1→=(0,2,-1),AB 1→
=(-2,2,1),
∴cos 〈BC 1→,AB 1→
〉=BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|=4-15×9=15=55>0.
∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角,
∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55. 答案 A
12.在正四棱锥S -ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱SD 的中点,且 SO =OD ,则直线BC 与平面P AC 所成的角是( ) A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析 如图,以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz . 设OD =SO =OA =OB =OC =a .则A (a ,0,0),B (0,a ,0),C (-a ,0,0),P ? ?
?
??0,-a 2,a 2.
则CA →=(2a ,0,0),AP →=? ?
???-a ,-a 2,a 2,
CB
→=(a ,a ,0),
设平面P AC 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则???n ·CA →=0,n ·AP →=0,解得?????x =0,y =z ,可取n =(0,1,1),
则 cos 〈CB →
,n 〉=CB →·n
|CB →|·|n |=a 2a 2·2=12, 又∵〈CB
→,n 〉∈(0°,180°),∴〈CB →,n 〉=60°, ∴直线BC 与平面P AC 所成的角为90°-60°=30°. 答案 A
13.如图所示,二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别
在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为__________.
解析∵CD
→=CA→+AB→+BD→,
∴CA→·BD→=|CA→|·|BD→|·cos〈CA→,BD→〉=-24.
∴cos〈CA→,BD→〉=-1
2.
又所求二面角与〈CA→,BD→〉互补,
∴所求的二面角为60°.
答案60°
14.(2016·四川卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,
∠ADC=∠P AB=90°,BC=CD=1
2AD.E为棱AD的中
点,异面直线P A与CD所成的角为90°.
(1)在平面P AB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线P A与平面PCE所成角的正弦值.
解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.
延长AB,DC,相交于点M(M∈平面P AB),点M即为
所求的一个点.理由如下:
由已知,知BC∥ED,且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB?平面PBE,CM?平面PBE,
所以CM∥平面PBE.
(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)法一由已知,CD⊥P A,CD⊥AD,P A∩AD=A,
所以CD⊥平面P AD.
从而CD ⊥PD .
所以∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角. 所以∠PDA =45°.
设BC =1,则在Rt △P AD 中,P A =AD =2.
过点A 作AH ⊥CE ,交CE 的延长线于点H ,连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ,从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH . 过A 作AQ ⊥PH 于Q , 则AQ ⊥平面PCE .
所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中,∠AEH =45°,AE =1, 所以AH =2
2.
在Rt △P AH 中,PH =P A 2+AH 2=32
2, 所以sin ∠APH =AH PH =1
3.
法二 由已知,CD ⊥P A ,CD ⊥AD ,P A ∩AD =A , 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .
从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角. 所以∠PDA =45°.
由P A ⊥AB ,可得P A ⊥平面ABCD . 设BC =1,则在Rt △P AD 中,P A =AD =2.
作Ay ⊥AD ,以A 为原点,以AD
→,AP →的方向分别为x 轴,z 轴的正方向,建立
如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),P (0,0,2),C (2,1,0),E (1,0,0),
所以PE
→=(1,0,-2),EC →=(1,1,0),AP →=(0,0,2), 设平面PCE 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),
由?????n ·PE →=0,n ·EC →=0,得???x -2z =0,x +y =0,
设x =2,解得n =(2,-2,1). 设直线P A 与平面PCE 所成角为α,
则sin α=|n ·AP →|
|n |·|AP →
|=22×22+(-2)2+12=1
3. 所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为1
3.
利用空间向量求空间角教案设计
利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l ,m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ,m
2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a r 为l 的方向向量,n r 为平面α的法向量,θ为 l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式:设1n r ,2n r 分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r (需要根据具体情况判断相等或互补) ,其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a
(二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=o ,SO ⊥面OABC ,且 1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)O , (2,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)S , 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ,(1,1,0)AB =-u u u r ,(1,1,0)OB =u u u r ,(0,0,1)OS =u u u r , (1)cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r , 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . (2)设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r , 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ,即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =,则1y =,2z =,所以(1,1,2)n =r , sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . (3)由(2)知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r , 又OC ⊥Q 平面AOS ,OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量, 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ,则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b | ? , 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向 向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量, φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n | ? . 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). (2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|= |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ,如图(2)(3). 两异面直线所成的角为锐角或直角,而不共线的向量的夹角为(0,π),所以公式中要加绝对值. 直线与平面所成角的范围为????0,π 2,而向量之间的夹角的范围为[0,π],所以公式中要加绝对值. 利用公式与二面角的平面角时,要注意〈n 1,n 2〉与二面角大小的关系,是相等还是互
补,需要结合图形进行判断. 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ=cos θ1cos θ2. 如图,若OA 为平面α的一条斜线,O 为斜足,OB 为OA 在平面α内的射影,OC 为平面α内的一条直线,其中θ为OA 与OC 所成的角,θ1为OA 与OB 所成的角,即线面角,θ2为OB 与OC 所成的角,那么cos θ=cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC =90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2. (1)求证:MN ∥平面BDE ; (2)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ,求线段AH 的长. [解] 由题意知,AB ,AC ,AP 两两垂直,故以A 为原点,分别以AB ―→,AC ―→,AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0). (1)证明:DE ―→=(0,2,0),DB ―→ =(2,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则????? n ·DE ―→=0,n ·DB ―→=0, 即????? 2y =0,2x -2z =0. 不妨取z =1,可得n =(1,0,1).
利用空间向量解立体几何 完整版
向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离
点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ u u u r , 计算平面α的法向量n , 计算PQ u u u r 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法