2018课标版文数一轮(7)第七章-不等式(含答案)4-第四节 基本不等式及其应用

第四节基本不等式及其应用

A组基础题组

1.(2016海南调研)已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则ab的最大值为()

A.1

B.1

4C.1

2

D.2

2

2.当x>0时,函数f(x)=2x

x+1

有()

A.最小值1

B.最大值1

C.最小值2

D.最大值2

3.(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为()

A.9

B.9

2C.3 D.32

2

4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()

A.[0,2]

B.[-2,0]

C.[-2,+∞)

D.(-∞,-2]

5.(2016宁夏银川模拟)若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则2

a +1

b

的最小值是()

A.2-

B.-1

C.3+2

D.3-2

6.已知函数f(x)=4x+a

x

(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=.

7.已知a>0,b>0,a+2b=3,则2

a +1

b

的最小值为.

8.若实数a,b满足1

a +2

b

=ab,则ab的最小值为.

9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求

(1)xy的最小值;

(2)x+y的最小值.

10.某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销

费用m万元(m≥0)满足x=3-k

m+1

(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知

2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;

(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

B组提升题组

11.(2016东北育才学校模拟)设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0)(a>0,b>0,O为坐标原点),若A,B,C

三点共线,则2

a +1

b

的最小值是()

A.4

B.9

2

C.8

D.9

12.(2016安徽铜陵二模)已知a>-1,b>-2,(a+1)(b+2)=16,则a+b的最小值是()

A.4

B.5

C.6

D.7

13.若两个正实数x,y满足1

x +4

y

=1,且不等式x+y

4

A.(-1,4)

B.(-∞,-1)∪(4,+∞)

C.(-4,1)

D.(-∞,0)∪(3,+∞)

14.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xy

z 取得最大值时,2

x

+1

y

-2

z

的最大值为()

A.0

B.1

C.9

4

D.3

15.(2015山东,14,5分)定义运算“?”:x?y=x 2-y2

xy

(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x?y+(2y)?x的最小值

为.

16.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则 z=x2+4y2的取值范围为.

17.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;

(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

答案全解全析 A 组 基础题组

1.B ∵a,b∈(0,+∞), ∴1=a+b≥2 ab ,∴ab≤1

4,

当且仅当a=b=1

2时等号成立. 2.B ∵x>0,∴f(x)=

2

x+1≤

2 x ·

1

=1.

当且仅当x=1

x ,即x=1时取等号. 所以f(x)有最大值1.

3.B 因为-6≤a ≤3,所以3-a ≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知, (3-a)(a +6)≤(3-a)+(a+6)2

=9

2

,当且仅当

a=-3

2时等号成立.

4.D ∵1=2x

+2y

≥2 2x ·2y =2 2x+y (当且仅当2x

=2y

时等号成立),∴ 2x+y ≤12,∴2x+y

≤1

4,∴x+y≤-2.

5.C 易知圆心为(1,2),由题意知圆心(1,2)在直线2ax+by-2=0上,∴a+b=1,∴2a +1b

= 2

a

+

1b

(a+b)=3+2b a +a b ≥3+2 当且仅当2b a =a

b ,即a=2- ,b= 时等号成立. 6.答案 36

解析 ∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+a x ≥2 4x ·a x =4 a ,当且仅当4x=a

x ,即a=4x 2

时取等号,则由题意知a=4×32

=36. 7.答案

83

解析 由a+2b=3得13

a+23

b=1, 又a>0,b>0,

∴2a +1

b = 1

3a +2

3b 2

a +1

b =4

3+a

3b +4b

3a ≥4

3+2 a

3b ·4b 3a =8

3. 当且仅当a=2b=3

2时取等号.

8.答案 2 2

解析 由1a +2

b = ab ,知a>0,b>0,

所以 =1a +2b ≥2 2

ab ,即ab ≥2 当且仅当 1

a =2

b ,

1

a

+2b

= ab,

即a= 24

,b=2 24

时取“=”, 所以ab 的最小值为2 2. 9.解析 (1)由2x+8y-xy=0, 得8x +2

y =1. 又x>0,y>0, 所以1=8x +2

y ≥2 8

x ·2

y =xy

,

得xy ≥64,

当且仅当x=16,y=4时,等号成立. 所以xy 的最小值为64. (2)由2x+8y-xy=0,得8x +2

y =1,

则x+y= 8x +2y ·(x+y)=10+2x y +8y x ≥10+2 2x y ·8y

x =18. 当且仅当x=12且y=6时等号成立, 所以x+y 的最小值为18.

10.解析 (1)由题意知,当m=0时,x=1, ∴1=3-k ?k=2,∴x=3-2

m+1, 每件产品的销售价格为1.5×8+16x x

(元),

∴y=1.5x×

8+16x x

-8-16x-m

=- 16

m+1+(m +1) +29(m ≥0).

(2)∵m≥0时,16

m+1+(m+1)≥216=8,当且仅当16

m+1

=m+1,即m=3时,取等号,

∴y≤-8+29=21.

故该厂家2017年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.

B组提升题组11.D∵AB=OB-OA=(a-1,1),

AC=OC-OA=(-b-1,2),

若A,B,C三点共线,

则有AB∥AC,

∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0,∴2a+b=1,

又a>0,b>0,

∴2

a +1

b

=2

a

+1

b

·(2a+b)

=5+2b

a +2a

b

≥5+22b

a

·2a

b

=9,

当且仅当2b

a

=2a

b

,

2a+b=1,

即a=b=1

3

时等号成立.

12.B因为a>-1,b>-2,所以a+1>0,b+2>0,又(a+1)·(b+2)≤a+1+b+2

22

,即16≤a+b+3

2

2

,则a+b≥5,当

且仅当a+1=b+2,即a=3,b=2时等号成立,故选B.

13.B∵不等式x+y

4

∴x+y

4min 0,y>0,且1

x

+4

y

=1,∴x+y

4

=x+y

4

1

x

+4

y

=4x

y

+y

4x

+2≥24x

y

·y

4x

+2=4,当且仅当4x

y

=y

4x

,

即x=2,y=8时取等号,∴x+y

4min

=4,故m2-3m>4,解得m<-1或m>4.∴实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞),故选B.

14.B由x2-3xy+4y2-z=0,

得z=x2-3xy+4y2,

∴xy

z =xy

x-3xy+4y

=1

x+4y-3

.

又x、y为正实数,∴x

y +4y

x

≥4,

当且仅当x=2y时取等号,此时xy

z

有最大值,z=2y2.

∴2

x +1

y

-2

z

=2

2y

+1

y

-2

2y

=-1

y

2

+2

y

=-1

y

-1

2

+1,当1

y

=1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.

15.答案2

解析x?y+(2y)?x=x2-y2

xy +4y

2-x2

2yx

=2x

2-2y2+4y2-x2

2xy

=x

2+2y2

2xy

=x

2y

+y

x

,

∵x>0,y>0,∴x

2y +y

x

≥21

2

=2,

当且仅当x

2y =y

x

,即x=2y时等号成立,

故所求的最小值为2.

16.答案[4,12]

解析∵2xy=6-(x2+4y2),又2xy≤x2+4y2

2,∴6-(x2+4y2)≤x

2+4y2

2

,∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号).

又∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4≤x2+4y2≤12.即z=x2+4y2的取值范围为[4,12].

17.解析(1)设总造价为f(x)元,污水处理池的宽为x米,则长为162

x

米.

总造价f(x)=400×2x+2×162

x +248×2x+80×162=1296x+1296×100

x

+12960

=1296×x+100

x

+12960元,

∵x>0,∴f(x)≥1296×2x·100

x

+12960=38880,

当且仅当x=100

x

,即x=10时取等号.

∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.

(2)由限制条件知0

0<162

x

≤16,∴

81

8

≤x≤16.

设g(x)=x+100

x 81

8

≤x≤16,

则g'(x)=1-100

x ,因为g'(x)=1-100

x

在81

8

,16上恒大于零,故g(x)在81

8

,16上是增函数,

∴当x=81

8时此时162

x

=16,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,为1296×81

8

+800

81

+12960=38882.

∴当污水处理池的长为16米,宽为81

8

米时总造价最低,最低总造价为38882元.