简明物理习题详解 2016版 (1)

习题1

1.1选择题

(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r

的端点处，其速度大小为 （ ）

(A)dt

dr (B)dt r d

(C)dt r d || (D) 22)()(dt

dy dt dx +

答案：(D)。

(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2=，瞬时加速度2

/2s m a -=，则

一秒钟后质点的速度 （ ）

(A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 答案：(D)。

(3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 （ ）

(A)

t R t R ππ2,2 (B) t

R

π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t

R

π 答案：(B)。

(4) 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a

表示加速度，S 表示路程，τa 表示切向加速度，下列表达式中， （ ） ① a t = d /d v ， ② v =t r d /d ， ③ v =t S d /d ， ④ τa t =d /d v

．

(A) 只有①、④是对的． (B) 只有②、④是对的．

(C) 只有②是对的．

(D) 只有③是对的． 答案：(D)。

(5)一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v

，瞬时速率为υ，某一时间内的平均速度为v

，平均速率为v ，它们之间的关系必定有： （ ） （A ）v v v,v == （B ）v v v,v =≠

（C ）v v v,v ≠≠ （D ）v v v,v ≠=

答案：(D)。

1.2填空题

(1) 一质点，以1

-?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 答案： 10m ； 5πm 。

(2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m·s -1，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 答案： 23m·s -1 .

(3) 一质点从静止出发沿半径R=1 m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律是α=12t 2-6t (SI)，则质点的角速度ω =__________________；切向加速度τa =_________________．

答案：4t 3

-3t 2

(rad/s)， 12t 2

-6t (m/s 2

)

(4) 一质点作直线运动，其坐标x 与时间t 的关系曲线如题1.2(4)图所示．则该质点在第___ 秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向．

题1.2(4)图

答案：3, 3 6;

(5) 一质点其速率表示式为 v s =+12

，则在任一位置处其切向加速度a τ

为 。 答案：)1(22

s

s +

1.3 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？

（1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。

给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ）

解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为

22484

dx

v t dt

d x a dt

=

=+==

t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。

1.4 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零？哪些不为零？

(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.5 一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度；(2)第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程． 解：(1) 5.0/-==??t x v m/s

(2) v = d x /d t = 9t - 6t 2 v (2) =-6 m/s

(3) 由v =9t - 6t 2 可得：当t<1.5s 时，v>0; 当t>1.5s 时，v<0. 所以 S = |x (1.5)-x (1)| + |x (2)-x (1.5)| = 2.25 m

1.6 两辆车A 和B ，在笔直的公路上同向行使，它们在同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行使的距离x(m)与行使的时间t(s)的函数关系式：A 为x A =4t+t 2，B 为x B =2t 2+2t 3 ，则它们刚离开出发点时，行使在前面的一辆车是哪辆车？并分别求出出发后两辆车行使距离相同的时刻和出发后B 车相对A 车速度为零的时刻？

解：（1）因为v A ＝dx A /dt ＝4＋2t ，v B ＝dx B /dt ＝4t ＋6t 2，即A 车的初速不为零，所以A 车在前。

（2）令x A ＝x B ， 即4t+t 2＝2t 2+2t 3

整理，得 2t 2+t-4＝0 解此方程，得t=1.19s

（3）B 车相对A 车速度为零的时刻，即v A =v B ， 4＋2t ＝ 4t ＋6t 2 整理，得3t 2+t-2＝0 解此方程，得t=0.67s

1.7 质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m 的圆轨道转动．转动的角速度与时间t 的函数关

系为2

kt =ω (k 为常量)．已知s t 2=时，质点P 的速度值为32 m/s ．试求1=t s 时，质点P 的速度与加速度的大小． 解：根据已知条件确定常量k

()

222/rad 4//s Rt t k ===v ω

24t =ω, 24Rt R ==ωv

t=1s 时， v = 4Rt 2 = 8 m/s

2s /168/m Rt dt d a ===v τ 22s /32/m R a n ==v

()8.352

/122=+=n

a a a τ m/s 2

1.8 一石头从空中由静止下落，由于空气阻力，石头并非作自由落体运动。现已知加速度a=A-Bv ，式中A 、B 为常量。试求石头的速度随时间的变化关系。 解：根据加速度 Bv A t

v

a -==

d d 可得

dt Bv

A v

=-d

由初始条件，两边定积分 dt Bv

A v

t v

??

=-00

d 可得 )1(A

Bt e B

v --=

1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62

x ，a 的单位为2

s m -?，x 的单位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101

s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ x

v v t x x v t v a d d d d d d d d ===

分离变量： 2d (26)d v v adx x x ==+ 两边积分得

c x x v ++=32

222

1 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c

∴ 13s m 252-?++=x x v

1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2

s m -?，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t

v

a 34d d +==

分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 12

2

34c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c

故 22

34t t v += 又因为 22

34d d t t t x v +== 分离变量， t t t x d )2

34(d 2

+=

积分得 232

2

12c t t x ++=

由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52

123

2

++=t t x 所以s 10=t 时

m

7055102

1

102s m 190102

3

10432101210=+?+?=?=?+

?=-x v

1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33

t ，式中θ以弧度计，t 以秒计，求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解： t t

t t 18d d ,9d d 2====

ωαθω (1)s 2=t 时， 2

s m 362181-?=??==ατR a

2222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n

(2)当加速度方向与半径成ο

45角时，有

145tan ==

?n

a a τ

即 αωR R =2

亦即 t t 18)9(22= 则解得 9

23

=t 于是角位移为

322323 2.67rad 9

t θ=+=+?=

1.12 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2

02

1bt t v -

的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧长,0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ．

解：（1） bt v t

s

v -==

0d d R

bt v R v

a b t

v

a n 20

2

)(d d -==-==

τ 则 2

4

02

22

)(R bt v b a a a n

-+=+=τ

加速度与半径的夹角为

2

0)(arctan

bt v Rb

a a n --=

=τ? (2)由题意应有

2

4

02

)(R

bt v b b a -+== 即 0)(,)(402

4

02

2

=-?-+=bt v R

bt v b b ∴当b

v t 0

=

时，b a =

1.13 一质点在半径为0.4 m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速转动，其角加速度为

α= 0.2 rad ·2

s -，求t ＝2s 时质点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

解：当s 2=t 时，4.022.0=?==t αω 1

s rad -?

则16.04.04.0=?==ωR v 1

s m -?

064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2s m -? 08.02.04.0=?==ατR a 2s m -?

22222

s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+=τa a a n

*

1.14 一船以速率1v ＝30km ·h -1

沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率2v ＝40km ·h -1

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?

解：(1)大船看小艇，则有1221v v v

-=，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)

题1.14图

由图可知 12

22121h km 50-?=+=

v v v

方向北偏西 ?===87.364

3

arctan arctan

21v v θ (2)小艇看大船，则有2112v v v

-=，依题意作出速度矢量图如题1.14图(b)，同上法，得

5012=v 1h km -?

方向南偏东o

87.36.