一元二次方程与分式方程

——一元二次方程与分式方程

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3

4

5

1

2

3

1．一元二次方程

（1）判断方程是否是一元二次方程的方法：一元二次方程必须具备三个条件①必须是整式方程；②必须只含有1个未知数；③所含未知数的最高次数是2．（在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

当给出一个一元二次方程时，如何选取上述方法更快更好的解方程：

i）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解；

ii）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；

iii）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数或常数项非常大,可考虑用配方法求解；

iiii）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．

温馨提示：若只是判断方程解的情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．

应用一元二次方程的根的判别式时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根．（4）一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝

b

a

，x

1·

x2＝

c

a

．

2．分式方程

分式方程的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根（增根的判别方法：i ）这个数是化成的整式方程的根；ii ）使最简公分母为零），应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．

注意事项：解分式方程首先是将方程转化为整式方程求解，其次注意一定要验根． 3．用分式方程与一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么，但有时也可以间接设未知数．

（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程．

（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案．

解应用题的书写格式：设→根据题意列方程→解这个方程→答．

1．（2015·重庆）一元二次方程的根是

A. B. C. D.

2．（2015·天津）分式方程

23

3x x

=-的解为

A.x = 0

B.x = 3

C.x =5

D.x = 9

3．（2015·广东）若关于x 的方程有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.

B.

C.

D. 4． （2015·安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014

年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是

A.1.4（1＋x ）＝4.5

B.1.4（1＋2x ）＝4.5

C.1.4（1＋x ）2

＝4.5 D.1.4（1＋x ）＋1.4（1＋x ）2

＝4.5 5．（2015·北京）关于x 的一元二次方程2

1

04

ax bx ++

=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值a ＝____，b ＝____.

6．（2015·四川自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用长58 m 的篱笆围成一个面积为

200 m 2

的矩形场地.求矩形的长和宽. 7．（2015·陕西）解分式方程：

23

133

x x x --=+-. 8．（2015·北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车

25 000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013

年底

220x x -=1

20,2x x ==-121,2x x ==121,2x x ==-120,2x x ==2

9

04

x

x a +-+

=2a ≥2a ≤2a

＞2a ＜

平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个? 9．（2015·河南）已知关于x 的一元二次方程(3)(2)x x m

--=

.

（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根..

1．如果关于x 的一元二次方程2

2(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是

A.14k

>-

B.14k >-且0k ≠

C.14k <-

D.1

4

k ≥-且0k ≠ 2．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为

A.

72072054848x -=+ B.72072054848x +=+

C.720720548x -=

D.720720

54848x

-=+ 3．已知点(12,2)P a a --关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程

1

2x x a

+=-的解是 A.3 B.1 C.5 D.不确定 4．） 关于x 的一元二次方程2

2(1)5320m x

x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于

A.1

B.2

C.1或2

D.0

5．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程

是 ． 6．如果3-是分式方程

32a x a a x

+=++的增根，则a = ．

7．已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足

1

1

1α

β

+

=-，则m 的值

是 .

8．有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，

将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程11

222ax x x

-+=--有正整数解的概率为 ． 9．解方程：

2363193x

x x

++=---.

10． 解方程：

（1）2

220x

x --=；

（2）2

(2)3(2)=0x x ---．

11．某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：

信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；

信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元． 根据以上信息，原来报名参加的学生有多少人？ 12．已知关于x 的一元二次方程2

2(2)360x

m x m +-+-=.

（1）若x ＝1是此方程的一根，求m 的值及方程的另一根； （2）试说明无论m 取什么实数，此方程总有实数根．

1．关于x 的一元二次方程0)1(222

=+-+m x m x 的两个实数根分别为1x ，2x ，且0,02121>?>+x x x x ，则m 的取值

范围是 A.21≤

m

B.2

1

≤m 且0≠m C.1

a b c d

，定义

a b

ad bc c d

=-，上述记号就叫做2阶行列式，若

11

411

x x x x --=-+，则x = ．

3．解分式方程：（1）214111x x x +-=--；（2）113

2422x x

+=--.

4．已知关于x 的一元二次方程()2

22320x

m x m -+++=．

（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足2

2

1

212

31x x x x +=+，求实数m 的值．

5．2015年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年.某商家用1 200元购进了一批抗战主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用2 800元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元. （1）该商家购进的第一批纪念衫是多少件？

（2）若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，且两批纪念衫全部售完利润率不低于16％（不考虑其他因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？

1.【答案】B

【解析】根据题意得2

0k ≠且22=(2+1)40k k ?->，解得1

4

k >-

且0k ≠．故选B. 2.【答案】D

【解析】按照客户要求，每天应做（48+x ）件，则所用的时间为72048x +天，又每天做48件，完成的时间为720

48

，则可以列出方

程

720720

54848x

-=+．故选D ． 3.【答案】A

【解析】因为点(12,2)P a a --关于原点的对称点在第一象限内，所以点(12,2)P a a --在第三象限内，所以1220

a a -??

-?＜0

＜，

所以

122a ＜＜，又a 为整数，所以a =1，所以分式方程12x x a +=-是121

x x +=-，解得x =3，经检验可知x =3是分式方程的解，故选A. 4.【答案】B

【解析】∵关于x 的一元二次方程2

2(1)5320m x

x m m -++-+=的常数项为0，

∴210320m m m -≠??-+=?

，解得m =2．故选B ．

5.【答案】2(110%)(1)1x -+

=

【解析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，设这两天此股票股价的平均增长率为x ，每天相对于前一天上涨到1+x ，由此列方程得

2(110%)(1)1x -+=．

6.【答案】3

【解析】将分式方程

3

2a x a a x

+=++去分母得223a x a ++=，由题意知分式方程

3

2a x a a x

+=++ 有增根3-，把x

=3-代入223a x a ++=，可得623a a -+=，解得3a =.

7.【答案】3

【解析】由判别式大于零，得2

2(23)

40m m +->，解得3

4

m >-

． ∵

1

1

1α

β

+

=-，即

1αβ

αβ

+=-，∴αβαβ+=-． 又(23)m α

β+=-+，2m αβ=，∴223m m --=-，解得123,1m m ==-．

∵2

3

14

m =-<-

，∴舍去．故3m =．

8.【答案】

14

【解析】解分式方程

11222ax x x -+=

--得22x a =-，∵x 为正整数，∴22a -=1或2

2a -=2（是增根，舍去），解得a =0，把a 的值代入方程

11222ax x x -+=--，解方程得到方程的根为1，∴能使分式方程11

222ax x x -+=--有正整数解的有1个，∴使关于x 的分式方程11222ax x x -+=--有正整数解的概率为1

4

． 9.【解析】方程两边同乘以2

9x -，得2236699x x x ---=-+ ，即618x =，则3x =.

经检验3x

=不是原方程的解，则

2363193x

x x

++=---无实数解．

10.【解析】（1）2

220x x --=，即2213x x -+=，即2(1)3x -=，则1x -=，

∴1

211x x ==（2）2

(2)

3(2)=0x x ---，即(2)(23)=0x x ---，则20x -=或50x -=，解得122,5x x ==.

11.【解析】设原来报名参加的学生有x 人，依题意，得

320480

42x x

-=，解得x =20． 经检验，x =20是原方程的解且符合题意． 答：原来报名参加的学生有20人． 12.【解析】（1）把x ＝1代入方程2

2(2)360x

m x m +-+-=，

得1＋4－2m ＋3－6m ＝0，∴m ＝1. 此时原方程为2

230x

x +-=，解得121,3x x ==-.故方程的另一根为－3.

（2）∵?＝4（2－m ）2

－4（3－6m ）＝4（m ＋1）2

≥0， ∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．

1.【答案】B 【解析】[]222(1)4840,m m m ?

=--=-+≥ 1

.2

m ∴≤

122(1)0,x x m +=--> 2120,x x m ?=>1,0,m m ∴<≠1

2

m ∴≤

且0.m ≠故选B ． 2.【答案】1-或2

【解析】利用新定义得

11(1)(1)(1)(1)411

x x x x x x x x --=-+---=-+，

即22

1214x x x -+-+= ，解得121,2x x =-=. 3.【解析】（1）方程两边同时乘以(1)(1)x x +-得2

2(1)41x x +-=-，

即22

2141x x x ++-=-，解得1x =，检验：当1x =时，2

10x

-=，∴1x =不是原方程的解，∴原方程无解.

（2）方程两边同时乘以2(2)x -得1(2)6x +-=-，解得5x

=-，检验：当5x =-时，240x -≠，

∴5x =-是原方程的解．

4.【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程()2

22320x m x m -+++=有实数根，∴?≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，解

得1

12

m

≥-

. （2）由题意得1223x x m +=+，2122x x m =+＞0，

∵2

21212

31x x x x +=+，∴

()

2

121212231x x x x x x +-=+，即()2

1212331x x x x +-=，

∴

()

()2

2233231m m +-+=，即212280m m +-=，∴114m =-，22m =，

∵1

12

m

≥-

，∴2m =． 5.【解析】（1）设该商家购进第一批纪念衫x 件，则购进第二批纪念衫2x 件. 由题意，可得

28001200

52x x

-=，解得x =40. 经检验x =40是原方程的解，故商家购进第一批纪念衫40件. （2）设每件纪念衫的标价至少是a 元.

由（1）得第一批的进价为1 200÷40=30（元/件）， 第二批的进价为35（元/件）.

由题意，可得40(30)(8020)(35)20(0.835)16%4000a a a ?-+-?-+?-≥?， 解得116a ≥4 640，所以a ≥40. 即每件纪念衫的标价至少是40元.