利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题

利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；

性质2变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相

切，变换后仍相切）；

性质3变换前后对应图形的面积比不

变；

现以一些高考试题为例加以说明。

例1（2008年全国卷Ⅱ第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点

⑴若6 ，求k的值；

⑵求四边形AEBF面积的最大值。

分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D分线段EF

的比相同，利用圆当中的相交弦定理

．．．．．求得D’点的坐标，再反求出D

点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。

解：依题设得椭圆的方程为1y 4

x 22

=+

作仿射变换，令x ’=2

x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系

中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1) ⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=7

12 D ’F ’=7

2

∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’=

2

∴A ’D ’=7

2

4 D ’B ’=

7

23或A ’D ’=

7

23

D ’B ’=7

24

∴''''B D 3

4D A =或''''D 4

3A =

由定比分点公式可得：D ’(7

374,)或D ’(7

473,)

∴D 点坐标为(7

378,)或(7

476,) ∴k=83或k=3

2

⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ??sin ''''B A F E 2

1=

θsin 2≤2（当θ

=2

π时取“=”号，

此时F ’ (

2

222,)）

由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π 根据性质3有π

=π'

S 2S ，故S=2S ’

∴S ≤2

2

当且仅当F 坐标为(2

2222

,)，即k=2

1时取“=”号

说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面

积取到最大值。此结论如果利用常规解法是较难获得的，但利用仿射变换却较易获得。

例2（2007年宁夏、海南高考理科第19题）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0,2)且斜率为k 的直线l

与椭圆1y 2

x 22

=+有两个不同

的交点P 和Q

⑴求k 的取值范围；

⑵设椭圆与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴的交点分别为是A 、B ，是否存常数k ，使得向量+与共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由。

分析：利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，即可利用圆心到直．．．．线的距离与半径的关系．．．．．．．．．．

来刻画直线与圆的位置关系，从而间接地刻画了直线与椭圆的位置关系，这样的处理方式使计算量大大降低。而在第⑵问当中，若+=，根据向量加法的几何意义则OM 与PQ 互相平分，利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，OM 变换为O ’M ’，PQ 变换为P ’Q ’，根据性质1，O ’M ’与P ’Q ’ 也互相平分，又由于O ’M ’过圆心，那么就可以利用圆中的垂径定理．．．．判断出O ’M ’与P ’Q ’垂直，这将有助于问题的简化。 解：⑴作仿射变换，令x ’=

2

x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在

此坐标系中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，直线l ：y=kx+2变换为直

线l ’：y ’=

2kx ’+2，即2kx ’-y ’+2=0

根据性质2可知：直线l ’与圆x ’2+y ’2=1的交点有两个 ∴

2

k

212+＜1 ∴k 2＞21 ∴2

2k >

或2

2k -

<

⑵经过⑴中的仿射变换，点A 、B 分别变换为点A ’(1,0)、B ’(0.1)，点P 、Q 分别变换为点P ’、Q ’，根据性质2可知P ’、Q ’必在圆上，且直线A ’B ’的斜率为k 1=-1，直线P ’Q ’的斜率即直线l ’的斜率为

2k

根据性质2，若有OQ OP +与AB 共线，则必有''''Q O P O +与''B A 共线 设''''Q O P O +=''M O ，根据垂径定理，必有''M O ⊥''Q P 当''O ∥''A 时，''Q P ⊥''A ，由此可得2k=1

k 1-

=1，

2

2k =

由⑴可知：2

2k >

或2

2k -

<，所以没有符合题意的常数k.

说明：此题的原解答较繁，特别是第⑵问的解答进行了一定量的向量坐标运算才得到2

2k =

的结论，但如本解答这样利用仿射变换，

再结合圆中的垂径定理，则几乎没用代数运算就得到结论，运算量大幅度降低。

例3（2006年浙江省高考理科第19

题）椭圆1b

y a x 22

22=+(a>b>0)与过

点A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=

2

3

⑴求椭圆的方程；

⑵设F 1、F 2分别为椭圆的焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM ＝∠AF 1T

分析：本题第⑵问从结论分析只需证△MAT ∽△TAF 1，这需借助于对应边成比例，由于线段AM 与AF 1的长度均较易求出，因此求出线段AT 的长度就尤其重要，在椭圆中线段AT 的长度较难求出，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，AB 变为圆的切线A ’B ’，切点T 变为T ’，借助圆的切线与过切点的半径垂直．．．．．．．．．．．．．

这一性质，求出线段A ’T ’与线段

A ’

B ’的比值将不是难事，根据性质1，此比值即线段AT 与线段AB 的比值，从而可以较为轻松地求出线段AT 的长度。

解：⑴作仿射变换，令x ’=a

x ，y ’=b

y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在

此坐标系中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，直线AB ：2

x +y=1变换为直

线A ’B ’：2

ax '+by ’=1

根据性质2，直线A ’B ’与圆相切 ∴22b 2

a

1+)(=1 ∴a 2+4b 2=4 ∵

e=

2

3

∴a 2=2 b 2=2

1

∴椭圆的方程为1y 22

x 22

=+

⑵可求得c=

2

6

如⑴进行仿射变换，点T 变换为点T ’，可得A ’的坐标为(2,0)，B ’

的坐标为(0,

2)，所以|O ’A ’|=|O ’B ’|，由于直线

A ’

B ’与圆O ’相切于点

T ’，所以O ’T ’⊥A ’B ’，因此T ’为线段A ’B ’的中点，根据性质1，T 也必为线段AB 的中点 ∵|AB|=

5

∴|AT|=

2

5

又∵|AM|=2

1(|OA|-|OF 2|)=1-4

6 |AF1|=|OA|+|OF 1|=2+

2

6

∴|AM||AF 1|=(1-4

6)(2+

2

6)=2[12-(

4

6)2]=

45=(

2

5)2

=|AT|2 ○＊

又∵∠MAT ＝∠TAF 1 ∴△MAT ∽△TAF 1 ∴∠ATM ＝∠AF 1T

说明：本题第⑵问标准答案给出的证法是先求出T 点坐标，再利用T 点坐标去计算∠ATM 与∠AF 1T 的正切值，其中还使用了两角差

的正切公式，运算量很大，但如本法，由仿射变换很容易就发现T是线段AB的中点，从而很容易地计算出了线段AT的长度，为利用相似证明两角相等奠定了基础，整个证法运算量少。另外，其中○＊及其之前的部分，也是对当年浙江省高考文科第19题的解答，也比标准答案中的解答简练。

参考文献：

⑴程超，徐汉文，摭谈仿射变换的应用——从一道高考题说起，数学通讯，2009，11（下半月）