2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷·文科)(附答案,完全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

祝各位考生考试顺利！

第I 卷

注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： ·如果事件A B ，互斥，那么 ·球的表面积公式2

4πS R =

()()()P A B P A P B +=+

球的体积公式34π3

V R =

·如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B =

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{}08U x x =∈

U S T = e（ ） A ．{}124，，

B ．{}123457，，，，，

C ．{}12，

D ．{}124568，，，，，

2．设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -??

+??+?

≥，

≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3

．函数14)y x =≤≤的反函数是（ ） A ．2

(1)(13)y x x =-≤≤ B ．2

(1)(04)y x x =-≤≤ C ．2

1(13)y x x =-≤≤

D ．2

1(04)y x x =-≤≤

4．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ） A ．12

B ．13

C ．14

D ．15

5．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）

A ．a b αβαβ⊥⊥，∥，

B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥

C ．a b αβαβ?⊥，，∥

D ．a b αβαβ?⊥，∥，

6．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3

π

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π??

=-

∈ ???

R ， B ．sin 26x y x π??

=+∈

???R ， C ．sin 23y x x π??

=+

∈ ??

?

R ， D ．sin 23y x x 2π??

=+

∈ ??

?

R ， 7．设椭圆22

221(00)x y m n m n

+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则

此椭圆的方程为（ ）

A ．

22

11216

x y += B ．

22

11612x y += C ．

22

14864x y += D ．

22

16448

x y += 8．已知函数20()20x x f x x x +?=?-+>?，≤，

，，

则不等式2()f x x ≥的解集为（ ）

A ．[]11-，

B ．[]22-，

C ．[]21-，

D ．[]12-，

9．设5sin

7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π

=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<

10．设1a >，若对于任意的[]2x a a ∈，，都有2

y a a ??∈??，满足方程log log 3a a x y +=，这时a

的取值的集合为（ ） A ．{}

12a a <≤

B ．{}

2a a ≥

C ．{}

23a a ≤≤

D ．{}23，

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．

11．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人．

12．5

2x x ??+ ??

?的二项展开式中3

x 的系数为 （用数字作答）．

13．若一个球的体积为，则它的表面积为 ．

14．已知平面向量(24)=，

a ，(12)=-，

b ，若()=-

c a a b b ，则=c ． 15．已知圆C 的圆心与点(21)P -，

关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．

16．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，

从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数2

()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2

π．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1

2

与p ，且乙投球2次均未命中的概率为

116

． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；

（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；

（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =

，

PD =60PAB = ∠．

（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小． 20．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，． （Ⅰ）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*

N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．

A B

C

D

P

设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）当10

3

a =-

时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围． 22．（本小题满分14分）

已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，20y -=． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81

2

，求k 的取值范围．

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数学（文史类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．

11．10

12．10

13．12π

14．15．22(1)18x y ++=

16．432

三、解答题

17．本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数

sin()y A x ω?=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：1cos 2()2sin 212

x

f x x ωω+=++

sin 2cos 22x x ωω=++

sin 2cos cos 2sin 244x x ωωππ?=

++??

224x ωπ?

?=

++ ??

?．

由题设，函数()f x 的最小正周期是

2π，可得

222

ωππ

=，所以2ω=．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()424f x x π?

?=

++ ??

?．

当4242x k ππ+

=+π，即()162k x k ππ=+∈Z 时，sin 44x π?

?+ ??

?取得最大值1，所以函数()f x 的

最大值是2x 的集合为162k x x k ππ?

?=

+∈????

Z ，． 18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识

解决实际问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ，由题意得

221

(1())(1)16

P B p -=-=

， 解得34p =

或54p =（舍去），所以乙投球的命中率为34

． 解法二：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ，由题意得

1()()16P B P B =

， 于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故3

1()4

p P B =-=．

所以乙投球的命中率为3

4

．

（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1

()2

P A =．

故甲投球2次至少命中1次的概率为3

1()4

P A A -= ．

解法二：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1

()2P A =．

故甲投球2次至少命中1次的概率为1

23

C ()()()()4

P A P A P A P A +=

． （Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1

()4

P B =．

甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不

中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为

11

223

C ()()C ()()16

P A P A P B P B =

， 1()()64P A A P B B =

， 9

()()64P A A P B B = ．

所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为

3191116646432

++=． 19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =

，PD =2

2

2

PA AD PD +=，于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PA AB A = ，所以AD ⊥平面PAB ． （Ⅱ）解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角． 在PAB △中，由余弦定理得

PB =

由（Ⅰ）知AD ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ，

所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形，

故tan 2

PB PCB BC =

= 所以异面直线PC 与AD

所成的角的大小为arctan

． A B

C

D

P H E

（Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．

因为AD ⊥平面PAB ，PH ?平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A = ，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角． 由题设可得，

sin 60PH PA == cos601AH PA == ， 2BH AB AH =-=

，BD =

AD HE BH BD =

=

． 于是在Rt PHE △

中，tan PH PEH HE =

=

所以二面角P BD A --

的大小为arctan

4

． 20．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得

11()n n n n a a q a a +--=-，

即

12n n b qb n -=，≥．

又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ），

211a a -=， 32a a q -=，

……

21(2)n n n a a q n ---=≥．

将以上各式相加，得2

11(2)n n a a q q

n --=+++…≥．所以当2n ≥时，

1

1111 1.

n n q q a q

n q -?-+

≠?=-??=?，，，

上式对1n =显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得 3611q q -=-， ①

整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是

q =

另一方面，

21133(1)11n n n n n q q q a a q q q +--+--==---，

151

66(1)11n n n n n q q q a a q q q

-+-+--==---．

由①可得

36n n n n a a a a n ++-=-∈*N ，．

所以对任意的n ∈*

N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．

21．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，

考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解：3

2

2

()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++． 当10

3

a =-

时， 2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．

令()0f x '=，解得10x =，21

2

x =

，32x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以()f x 在102?

? ???，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122?? ???

，内是减函数．

（Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程2

4340x ax ++=的根． 为使()f x 仅在0x =处有极值，必须2

4340x ax ++≥恒成立，即有2

9640a ?=-≤． 解此不等式，得8833

a -≤≤．这时，(0)f

b =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是8833

??-????

，．

（Ⅲ）解：由条件[]22a ∈-，可知2

9640a ?=-<，从而2

4340x ax ++>恒成立．

当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．

因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当

(1)1(1)1f f ??-?≤，≤， 即22b a b a

--??

-+?≤，

≤ 在[]22a ∈-，上恒成立．

所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，．

22．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22

221(00)x y a b a b -=>>，，由题设得

2292a b b a

?+=??=??， 解得2

245.a b ?=??=??，

所以双曲线C 的方程为

22

145

x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组

2

2

1.45

y kx m x y =+???-

=??，

① ② 将①式代入②式，得22

()145

x kx m +-=，整理得 222(54)84200k x kmx m ----=．

此方程有两个不等实根，于是2

540k -≠，且

222(8)4(54)(420)0km k m ?=-+-+>．整理得

22540m k +->． ③

由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足

12024254x x km x k +=

=-，002

554m

y kx m k

=+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为 225145454m km y x k k k ??

-

=-- ?--??

． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ??

?-??，，29054m k ?

? ?-??

，．由题设可得 22

19981

254542

km m k k =-- ． 整理得

22

2

(54)k m k

-=

，0k ≠． 将上式代入③式得22

2(54)540k k k

-+->，

整理得

22(45)(45)0k k k --->，0k ≠

．解得0k <<

或54k >．

所以k

的取值范围是550044???????

--+ ? ? ? ? ?

???

???? ∞，

，∞．