折叠问题1

题目1：

如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点

N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK。

⑴若∠1=70°，求∠MKN 的度数；

⑵△MNK 的面积能否小于12

？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； ⑶如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。 【答案】解: ⑴ ∵四边形ABCD 是矩形，∴AM∥DN。∴∠KNM＝∠1。

∵∠KMN＝∠1，∴∠K NM ＝∠KMN。

∵∠1＝70°，∴∠KNM＝∠KMN＝70°。∴∠MKN＝

40°。

（2）不能。理由如下：过M 点作AE⊥DN，垂足为点E 。

则ME ＝AD ＝1。

由⑴知，∠KNM＝∠KMN，∴MK＝NK 。

又∵MK≥ME，ME ＝AD ＝1，∴MK≥1。

又∵S △MNK ＝

11NK ME 22

?≥ 。 即△MNK 面积的最小值为12，不可能小于12。 （3）分两种情况：

情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，

此时点K 与点D 也重合。设NK ＝MK ＝MD ＝x ，则AM ＝5－x 。

根据勾股定理，得12＋（5－x ）2＝x 2。

解之，得x ＝2.6。

则MD ＝NK ＝2.6，S △MNK ＝S △MND ＝

1 2.6 1.32?=。

A B

备用图

A B

A

M

情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为AC 。

设MK ＝AK ＝CK ＝x ，则DK ＝5－x 。

同理可得，MK ＝AK ＝CK ＝2.6，

S △MNK ＝S △ACK ＝1 2.6 1.32

?=。 因此，△MNK 的面积的最大值为1.3。

【考点】矩形的性质，折叠的性质，平行的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，点与直线上点的关系，勾股定理。

【分析】⑴由矩形和平行的性质，折叠的性质可得∠KNM＝∠KMN＝70°，根据三角形内角和定理，可求得∠MKN 的度数。

（2）考虑△MNK 面积的最小值，即可证明。

（3）分两种情况讨论△MNK 的面积的最大值的情况即可。

题目2：

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A

与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连接

AF 和CE ．

（1）求证：四边形AFCE 是菱形；

（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；

（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC?AP？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）证明：由折叠可知OA=OC ，EF⊥AO，

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF（AAS ）。

∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AECF 是平行四边形。

∵AC⊥EF，∴四边形AECF 是菱形。

（2）∵四边形AECF 是菱形，∴AF=AE=10cm，

设AB=a ，BF=b ，

∵△ABF 的面积为24cm 2，∴a 2+b 2=100，ab=48。∴（a+b ）2=196。

∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去）。

∴△ABF 的周长为14+10=24cm 。

（3）存在，过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，点P 就是符合条件的点。证明如下：

∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，

∴△AOE∽△AEP。∴

AE AO AP AE

=。 ∴AE 2=AO?AP，

∵四边形AECF 是菱形，∴AO=

12AC 。 ∴AE 2=12

AC?AP，∴2AE 2=AC?AP。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE 是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC ，即可证明。

（2）由勾股定理得AB 2+FB 2=100，△ABF 的面积为24cm 2

可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答。

（3）过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明。 题目3：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD 在x 轴上，点A 的坐标(－1，0)，点B 在y 轴的正半轴上，BC ＝OB.

(1)求过点A 、B 、C 的抛物线的解析式；

(2)动点E 从点B(不包括点B)出发，沿BC 运动到点C 停止，在运动过程中，过点E 作EF⊥AD 于点F ，将四边形ABEF 沿直线EF 折叠，得到四边形A 1B 1EF ，点A 、B 的对应点分别是点A 1、B 1，设四边形A 1B 1EF 与梯形ABCD 重合部分．．．．

的面积为S ，F 点的坐标是(x ,0)． ①当点A 1落在(1)中的抛物线上时，求S 的值；

②在点E 运动过程中，求S 与x 的函数关系式．

备用图

【答案】解：(1)在△ABO 中∠AOB＝90°，tanA ＝OB OA

＝2， ∵点A 坐标是(－1，0)，∴OB＝2。∴点B 的坐标是(0，2)。

又∵BC∥AD，BC ＝OB ，∴点C 的坐标是(2，2)。

由点B (0，2)在抛物线上，设抛物线表达式为22y ax bx =++。

∵点A(－1，0)和点C(2，2)在抛物线上，

∴204222a b a b -+=??++=? ，解得2343

a b ?=-????=??。 ∴过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为22

4233

y x x =-++。 (2)①当点A 1落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A 1与点A 关于对称轴对称。由

沿直线EF 折叠，所以点E 是BC 中点，点E 的坐标为(1，2)，点F 的坐标为(1，0)，重合部分面积

就是梯形ABEF 的面积。面积为：S ＝12(BE ＋AF)·EF＝12

(1＋2)·2＝3。 ②当0＜x ≤1时，重合部分面积就梯形ABEF 的面积，由题得AF ＝x ＋1，BE ＝x ，

S ＝S 梯形ABEF ＝12

(BE ＋AF)·BO＝2x ＋1。 当1＜x ≤2时，如图，设A 1B 1交CD 于点N ，作MN⊥DF 于点N ，CK⊥AD 于点K ，重合部

分面积就是五边形形A 1NCEF 的面积。

由△NMA 1∽△DMN 得，MA 1NM ＝NM MD

， ∵∠BAO＝∠MA 1N ，tan∠BAO＝2，

∴tan∠MA 1N ＝MN A 1M ＝2。∴MA 1＝12

MN ，MD ＝2MN 。 ∵tan∠BAO＝2，∠BAO＋∠CDK＝90°，∴tan∠CDK＝12

。 在△DCK 中，∠CKD＝90°，CK ＝OB ＝2，tan∠CDK＝CK DK ＝12

， ∴DK＝4，OD ＝6。

∵OF＝x ，A 1F ＝x ＋1，∴A 1D ＝OD －OF －A 1F ＝5－2x ，FD ＝6－x 。

∴MN＝23

(5－2x )。 ∴S＝S 梯形DCEF －S △A1ND ＝12（EC ＋FD ）·CK －12

A 1 D·MN ＝8－2x －13(5－2x )2＝－43x 2＋143x －13

.。 综上所述，S 与x 的函数关系式为S ＝()()221014141123

33x x x x x ≤???-≤??＋＜-＋＜。

【考点】锐角三角函数，梯形的性质，待定系数法求抛物线表达式，点的坐标与方程的关系，对称

的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由已知，应用锐角三角函数和梯形的性质可求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，由待定系数法可求抛物线表达式。

(2)分0＜x ≤1和1＜x ≤2分别讨论四边形A 1B 1EF 与梯形ABCD 重合部分的面积。讨论时把有关线段用含x 的表达式表示即能求出。

题目4：

如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，点D 在边OC 上，点E

在边OA 上，把矩形沿直线DE 翻折，使点O 落在边AB 上的点F 处，

且tan∠BFD=3

4．若线段OA 的长是一元二次方程x 2—7x 一8=0的一个根，又2AB=3OA ．请解答下列问题：

(1)求点B 、F 的坐标：

(2)求直线ED 的解析式：

(3)在直线ED 、FD 上是否存在点M 、N ，使以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）解x 2—7x 一8=0得x l =8，x 2=－1(舍去)．∴OA=8 。

又∵2AB=3OA，∴AB=12。

∵∠EFD=900，∴∠DFB＋∠EFA=∠EFA+∠AEF=900。∴∠AEF=∠DFB。 ∵tan∠BFD=tan∠AEF=AF 4AE 3

=， ∴设AF=4k ，AE=3k ，根据勾股定理得，EF=EO=5k 。

又∵AE＋EO=AO ，即3k+5k=8，∴k=1。

∴AE=3，AF=4，EF=EO=5。

∴点B 的坐标为(12，8)，点F 的坐标为(4，8)。

(2) 过D 作DH⊥AB，设FH=x ， ∴8x =tan∠BFD=43

，解得。x =6， ∴OD=AH=AF＋FH= 10，∴D（10，0）。

设直线ED 的解析式为y kx b =+，

∵直线ED 经过E (0，5)，D (10，0)两点，

∴5100b k b =??+=?，解得，125

k b ?=-???=?。

∴直线ED 的解析式为1

52

y x =-+。 （3）存在。12668348M ,,M ,5555????- ? ?????

。 【考点】一次函数综合题，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），解一元二次方程，锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的性质，待定系数法，点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）根据题意解方程x 2—7x 一8=0求出OA=8，再根据条件2 AB=30A 求出AB=12，这样就得到B 点坐标，然后证出∠AEF=∠DFB，从而得到tan∠AEF=

43，再根据折叠，利用勾股定理求出即可得到AF ，AE 的长，从而得到F 点坐标。

（2）首先根据tan∠BFD= 43

，求出D 点坐标，再利用待定系数法，把E ，D 两点坐标代入函数关系式，可得到直线ED 的解析式。

（3）利用平行四边形对边平行且相等的性质即可得出：

设直线FD 的解析式为y mx n =+，

∵直线FD 经过F (4，8)，D (10，0)两点，

∴48100m n m n +=??+=?，解得，43403m n ?=-????=??

。 ∴直线ED 的解析式为44033

y x =-+。 ∵直线ED 的解析式可化为x =10－2y ，∴设点M 的坐标为（10－2y ，y ）。

∴根据平行四边形对边平行的的性质，得点N 的坐标为（4034

y -，y ）。 又∵DC=2，∴根据平行四边形对边相等的性质，得MN= DC=2，即

10－2y －4034y -=2或4034

y -－（10－2y ）=2，解之得8855y y =-=或。 当8

5

y =-时，10－2y =665；当85y =时，10－2y =345。 ∴满足条件的点M 的坐标为668348,,5555????- ? ?????

和。

题目5：

在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建

立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），

过F 点的反比例函数(0)k y k x

=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AE?AO=BF?BO；

（2）若点E 的坐标为（2，4），求经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式；

（3）是否存在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出此时的OF 的长：若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）证明：∵E，F 点都在反比例函数图象上，

∴根据反比例函数的性质得出，xy k =，∴AE?AO=BF?BO。

（2）设经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式为2y ax bx c =++，

∵点E 的坐标为（2，4），∴AE?AO=BF?BO=8。 ∵BO=6，∴BF=43，∴F（6，43

）， 把O 、E 、F 三点的坐标分别代入二次函数解析式得：

042443663c a b c a b c ??=?++=???++=?，解得：13830a b c ?=-???=??=???

。 ∴经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式为21833y x x =-+。

（3）如果设折叠之后C 点在OB 上的对称点为C'，

连接C'E 、C'F ，过E 作EG 垂直于OB 于点G ，

则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有：

设BC'=a ，BF=b ，则C'F=CF=4b -．

∴点的坐标F （6，b ），E （1.5b ，4）。

EC'=EC=6 1.5b -，

∴在Rt△C'BF 中，222(4)a b b +=- ①。

∵Rt△EGC'∽Rt△C'BF，∴（6 1.5b -）：（4b -）=4：a =（6 1.5b a --）：b ②。 解得：81039a b ==

，，

E F D

C B A O y x M x

y

O A B C D

E ∴F

点的坐标为（6，109

）。 【考点】相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）的性质，勾股定理。

【分析】（1）根据反比例函数的性质得出xy k =，即可得出AE?AO=BF?BO。

（2）利用E 点坐标首先求出BF= 43

，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。 （3）设折叠之后C 点在OB 上的对称点为C'，连接C'E 、C'F ，过E 作EG 垂直于OB 于点G ，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理得出即可。

题目6：

如图（1），矩形ABCD 的一边BC 在直接坐标系中x 轴上，折叠边AD ，使点D 落在x 轴上点F 处，折痕为AE ，已知AB=8，AD=10，并设点B 坐标为（ , 0m ），其中0m ＞.

（1）求点E 、F 的坐标（用含的式子表示）；（5分）

（2）连接OA ，若△OAF 是等腰三角形，求m 的值；（4分）

（3）如图（2），设抛物线2(6)y a x m h =--+经过A 、E 两点，其顶点为M ，连接AM ，若∠OAM=90°，求a 、h 、m 的值.（5分）

图（1） 图（2）

【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°。

由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE

在Rt△ABF 中，

，∴FC=4.。

设EF=x ，则EC=8－x

在Rt△ECF 中，42＋（8－x ）2=x 2 解得x =5。∴CE=8－x =3。

∵B（m ，0），∴E（m ＋10，3），F （m ＋6，0）。

（2）分三种情形讨论：

若AO=AF ，∵AB⊥OF ∴OB=BF=6 ∴m =6

若OF=AF ，则m +6=10 解得m =4

若AO=OF ，在Rt△AOB 中，AO 2=OB 2＋AB 2=m 2＋64

∴（m ＋6）2=m 2＋64 解得m =

73。 综上所述，m =6或4或73

。 （3）由（1）知A （m ，8），E （m ＋10，3）

依题意()()22681063a m m h a m m h ?--+=??+--+=??得141

a h ?=???=-? 。 ∴M（m +6，－1）

设对称轴交AD 于G ，

∴G（m ＋6，8）。∴AG=6，GM=8－（－1）=9。 ∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，∴∠OAB=∠MAG。

又∵∠ABO=∠MGA=90°，∴△AOB∽△AMG。 ∴OB AB MG AG =，即896

m = 。∴m =12 【考点】二次函数综合题，矩形的性质，折叠对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据四边形ABCD 是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE ，从而求出BF 的长， 即可得出E ，F 点的坐标。

（2）分三种情况讨论：若AO=AF ，OF=FA ，AO=OF ，利用勾股定理求出即可。

（3）由E （m ＋10，3），A （m ，8），代入二次函数解析式得出M 点的坐标，再利用△AOB∽△AMG，求出m 的值即可。

题目7：

直线6-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点E 从B 点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO 向O 点移动（与B 、O 点不重合），过E 作EF∥AB，交x 轴于F.将四边形ABEF 沿EF 折叠，得到四边形DCEF ，设点E 的运动时间为t 秒．

⑴①直线6-=x y 与坐标轴交点坐标是A （___，___），B （___，___）；

②画出t ＝2时，四边形ABEF 沿EF 折叠后的图形（不写画法）；

⑵若CD 交y 轴于H 点，求证：四边形DHEF 为平行四边形；并求t 为何值时，四边形DHEF 为菱形（计算结果不需化简）；

⑶设四边形DCEF 落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值．

【答案】解：⑴① 6，0；0，－6。

②如图，四边形DCEF 即为四边形ABEF 沿EF 折叠后的图形：

⑵∵四边形DCEF 与四边形ABEF 关于直线EF 对称，

又AB ∥EF ，∴CD ∥EF 。

∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠BAO ＝45°。

∵AB ∥EF ，∴∠AFE ＝135°。∴∠DFE ＝∠AFE ＝135°。

∴∠AFD ＝360°－2×135°＝90°，即DF ⊥x 轴。∴DF ∥EH 。

∴四边形DHEF 为平行四边形。

要使□DHEF 为菱形，只需EF ＝DF 。

∵AB ∥EF ，∠FAB ＝∠EBA ，∴FA ＝EB 。

∴DF ＝FA ＝EB ＝t 。

又∵OE ＝OF ＝6－t ，∴EF ＝()t -62。∴()t -62＝t 。∴2

126+=t 。 ∴当2

126+=t 时，DHEF 为菱形。 ⑶分两种情况讨论：

①当0＜t ≤3时，四边形DCEF 落在第一象限内的图形是△DFG ，

∴S＝

22

1t 。 ∵S＝22

1t ，在t ＞0时，S 随t 增大而增大， ∴t＝3时，S 最大＝29。 ②当3＜t ＜6时，

四边形DCEF 落在第一象限内的图形是四边形DHOF 。

∴S 四边形DHOF ＝S △DGF —S △HGO 。

∴S＝

()22622121--t t ＝1812232-+-t t ＝()642

32+--t 。 ∵a ＝23-＜0，∴S 有最大值。 ∴当t ＝4时，S 最大＝6.。

综上所述，当S ＝4时，S 最大值为6。

【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定，菱形的性质，动点问题，二次函数的最值。

【分析】（1）①在6-=x y 令0x =，得6y =-；令0y =0x =，得6x =。

∴直线6-=x y 与坐标轴交点坐标是A （6，0），B （0，－6）。

②作点A 、B 关于EF 的对称点D 、C ，连接DC ，AD ，CB ，四边形DCEF 即为四边形ABEF

沿EF 折叠后的图形。

（2）由轴对称和平行的性质，得到DF ∥EH 即可证得四边形DHEF 为平行四边形。要使其为

菱形，只要邻边相等，在此条件下求出t 的值即可。

（3）分0＜t ≤3和3＜t ＜6两种情况讨论，利用二次函数的最值即可求解。

题目8：

如图1，抛物线y ＝mx 2

－11mx ＋24m (m ＜0) 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点

C 的左侧），抛物线另有一点A 在第一象限内，且∠BAC＝90°．

（1）填空：OB ＝_ ▲ ，OC ＝_ ▲ ；

（2）连接OA ，将△OAC 沿x 轴翻折后得△ODC，当四边形OACD 是菱形时，求此时抛物线的解析式；

（3）如图2，设垂直于x 轴的直线l ：x ＝n 与（2）中所求的抛物线交于点M ，与CD 交于点N ，若直 线l 沿x 轴方向左右平移，且交点M 始终位于抛物线上A 、C 两点之间时，试探究：当n 为何值时， 四边形AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大值．

【答案】解：（1）OB ＝3，OC ＝8。

（2）连接AD ，交OC 于点E ，

∵四边形OACD 是菱形，

∴AD⊥OC，OE ＝EC ＝12

×8＝4。∴BE＝4－3＝1。 又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△B AE 。

∴AE BE ＝CE AE

。∴AE 2＝BE·CE＝1×4＝4。∴AE＝2。∴点A 的坐标为 (4，2) 。 把点A 的坐标 (4，2)代入抛物线y ＝mx 2－11mx ＋24m ，得m ＝－12

。

∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋112

x －12。 （3）∵直线x ＝n 与抛物线交于点M ，

∴点M 的坐标为 (n ，－12n 2＋112

n －12) 。 由（2）知，点D 的坐标为（4，－2），

则由C 、D 两点的坐标求直线CD 的解析式为y ＝12

x －4。 ∴点N 的坐标为 (n ，12

n －4)。 ∴MN＝（－12n 2＋112n －12）－（12n －4）＝－12

n 2＋5n －8。 ∴S 四边形AMCN ＝S △AMN ＋S △CMN ＝12MN·CE＝12（－12

n 2＋5n －8）×4＝－(n －5)2＋9 。 ∴当n ＝5时，S 四边形AMCN ＝9。

【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】（1）根据二次函数与x 轴交点坐标求法，由mx 2

－11mx ＋24m ＝0(m ＜0)，解一元二次方程即可得出。

（2）利用菱形性质得出AD⊥OC，从而得出△ACE∽△BAE，即可得出A 点坐标，从而求出二次函数解析式。

（3）用待定系数法求出过C 、D 两点的坐标的直线CD 的解析式，从而由S 四边形AMCN =S △AMN +S △CMN 利用二次函数的最值求出即可。

题目9：

如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于F ，然后展开铺平，则以B 、E 、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个 三角形

（2）如图②、在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E 位于AD 的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F 的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E 的坐标？若不存在，为什么？

图① 图② 图③ 图④

【答案】解：（1）等腰。

（2）如图①，连接BE ，画BE 的中垂线交BC 与点F ，连接

EF ，△BEF 是矩形ABCD 的一个折痕三角形．

∵折痕垂直平分BE ，AB=AE=2，

∴点A 在BE 的中垂线上，即折痕经过点A 。

∴四边形ABFE 为正方形。∴BF=AB=2。∴F（2，0）。

（3）矩形ABCD 存在面积最大的折痕三角形BEF ，其面积为4，理由如下：

①当F 在边BC 上时，如图②所示，

S △BEF ≤12

S 矩形ABCD ，即当F 与C 重合时，面积最大为4。 ②当F 在边CD 上时，如图③所示，

过F 作FH∥BC 交AB 于点H ，交BE 于K ，

∵S △EKF =

12KF?AH≤12HF?AH=12S 矩形AHFD ， S △BKF =12KF?BH≤12HF?BH=12

S 矩形BCFH ，

∴S △BEF ≤

12S 矩形ABCD =4。 即当F 为CD 中点时，△BEF 面积最大为4。

下面求面积最大时，点E 的坐标。

①当F 与点C 重合时，如图④所示。

由折叠可知CE=CB=4，

在Rt△CDE 中，。

∴AE=4－。∴E（4－，2）。

②当F 在边DC 的中点时，点E 与点A 重合，如图⑤所示．

此时E （0，2）．

综上所述，折痕△BEF 的最大面积为4时，点E 的坐标为E （0，2）或E （4－，2）。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。

【分析】（1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答。

（2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE ，求出AB 、AE 的长，判断出四边形ABFE 为正方形，

求得F点坐标。

（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4。

①当F在边CD上时，S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；

②当F在边CD上时，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可求解。

再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，从而求出E点坐标。

题目10：

已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．

（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；

（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；

（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

【答案】解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC。

（2）（1）中的结论PO∥BC成立。理由为：

由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。

又∵∠A与∠PCB都为PB所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。

∴PO∥BC。

（3）证明：∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。

由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO为等边三角形。

∴∠AOP=60°。

又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。

又∵OC=OB，∴△BC 为等边三角形。∴∠COB=60°。

∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。

又∵OP=OC，∴△POC 也为等边三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC 。

又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。

在Rt△PCD 中，PD=

12

PC ， 又∵PC=OP=12AB ，∴PD=14AB ，即AB=4PD 。 【考点】折叠的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。

题目11：

如图，抛物线y=ax 2

+bx+2交x 轴于A （﹣1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D 坐标；

（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；

（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q′．是否存在点P ，使Q′恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线y=ax 2

+bx+2经过A （﹣1，0），B （4，0）两点， ∴a b+2=016a+4b+2=0-???，解得：1a=23

b=2

?-??????。 ∴抛物线解析式为213y x x 222

=-++。

当y=2时，21

3x x 2222

-++=，解得：x 1=3，x 2=0（舍去）。 ∴点D 坐标为（3，2）。

（2）A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能：

①当AE 为一边时，AE∥PD，∴P 1（0，2）。

②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P

点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等，∴P 点的纵坐标为﹣2。 代入抛物线的解析式：213x x 22

2

-++=-，

解得：12x x =

。 ∴P

，﹣2），

，﹣2）。 综上所述：P 1（0，2）；P 2，﹣2）；P 3，﹣2）。 （3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方。

设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（213a a a 222

-++ ，）

， ①当P 点在y 轴右侧时（如图1），CQ=a ， PQ=2213132a a 2=a a 222

2??--++- ???。 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，

∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，

∴

Q C Q P =

CO FQ ''

'，即21 3 a a a 22= 2FQ '

-，解得F Q′=a﹣3 ∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣（a

﹣3）=3，

CQ=CQ ' 。 此时，点P 。 ②当P 点在y 轴左侧时（如图2）此时a ＜0，，213a a 222-++＜0，

CQ=

﹣a ， PQ=2213132a a 2=a a 222

2??--++- ???。 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，

∠CQ′O+∠OCQ′=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°。

∴△COQ′∽△Q′FP。 ∴Q C Q P =CO FQ '''，即21 3 a a a 22= 2FQ '

--，解得F Q′=3﹣a 。

∴OQ′=3，CQ=CQ '。

此时a=

，点P

的坐标为（）。 综上所述，满足条件的点P

，

（）。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D 的坐标。

（2）分两种情况进行讨论，①当AE 为一边时，AE∥PD，②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P 坐标。

（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（213a a a 222

-++ ，）

，分情况讨论，①当P 点在y 轴右侧时，②当P 点在y 轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可。

题目12：

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。

又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。

（2）△PHD 的周长不变为定值8。证明如下：

如图2，过B 作BQ⊥PH，垂足为Q 。

由（1）知∠APB=∠BPH，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，

∴△ABP≌△QBP（AAS ）。∴AP=QP，AB=BQ 。

又∵AB=BC，∴BC=BQ。

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH≌△BQH（HL ）。∴CH=QH。

∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。

（3）如图3，过F 作FM⊥AB，垂足为M ，则FM=BC=AB 。

又∵EF 为折痕，∴EF⊥BP。

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。

又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME ，∴△EFM≌△BPA （ASA ）。

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE 中，（4﹣BE ）2+x 2=BE 2，即2

x BE 2+8

=。 ∴2

x CF BE EM 2+x 8=-=-。 又∵四边形PEFG 与四边形BEFC 全等， ∴()()22211x 11S BE CF BC=4+x 4=x 2x+8=x 2+622422??=?+??-?-- ? ???

。 ∵1042

<<，∴当x=2时，S 有最小值6。 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。

【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得出答案。

（2）先由AAS 证明△ABP≌△QBP，从而由HL 得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH 。因此，△PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。

（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE 中，（4﹣BE ）2+x 2=BE 2，利用二次函数的最值求出即可。