7空间解析几何与向量代数(答案)

第七章 空间解析几何与向量代数

1、既有大小,又有方向；

2、大小；

3、模等于1；

4、模等于零；

5、起点；

6、共线向量,共面向量；

7、距离等于2的两点；

8、垂直于 ；

9、与 同向 .10、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；11、30±；12、3； 13、平行四边形的面积；

14、????

?==09102x z

y ； 15、

1623,1632

222=+=-z x z y ； 16、??

?==--+0032422y x z x

17、(0,0,0)； 18、平行于； 19、通过； 20、04573=-+-z y x

21、垂直；22、53

112

4-=

+=-z y x

二、选择题

A 2.

B ，3.

C ，4. C 5. A ，6. C ，7. A ，8.

D 9. A 10. D

三、综合题

1．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？

(1)2=x ；(2)1+=x y ；(3)422=+y x ；(4)12

2=-y x 。

(1)1422

2

=+-z y x ；(2)

()222

y x a z +=-。 解：(1)由xoy 坐标面上的双曲线1

42

2

=-y x ，绕y 轴旋转一周或是yoz 坐标

面上的双曲线1

422=+-z y ，绕y 轴旋转一周得到。

(2)是yoz 坐标面上关于z 轴对称的一对相交直线()2

2y a z =-，即a y z +=和

a y z +-=中之一条绕z 轴旋转一周；或是xoz 坐标上关于z 轴对称的一对相交直

线()2

2

x a z =-，即a x z +=和a x z +-=中之一条，绕z 轴旋转一周。

3．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？

(1)???-=+=3215x y x y ；(2).31942

2?

????==+

y y x

解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；

(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示

椭圆柱面1942

2=+y x 与其切平面3=y 的交线。

4．求过()1,1,1-A ，()2,,2,2--B 和()2,1,1-C 三点的平面方程。 解一：点法式：{}3,3,3--=，{}3,2,0-=，取

{}

2,3,133

20

333---=---=?=AC AB n ，

于是所求方程：023=--z y x 。

解法二：用一般式，设所求平面方程为

,0=+++D Cz By Ax

将已知三点的坐标分别代入方程得

,0202220???

??=++-=++--=+-+D C B A D C B A D C B A

解得

???

??=-=-=023D A C A B ，得平面方程：023=--z y x 。

解法三：设点()z y x P ,,为此平面上任一点，则AP ，AB ，AC 共面，由三向

量共面的充要条件得[]

0,,=AC AB AP ，而

{}1,1,1+--=z y x ，{}3,3,3--=，{}3,2,0-=，所以 0

3

2

333111=---+--z y x ，即023=--z y x 为所求平面的方程。

5．求平面0522=++-z y x 与xoy 面的夹角。

解：{}1,2,2-=n 为此平面的法向量，设此平面与xoy 的夹角为γ，则

{}{}31

3

1,0,01,2,2|

|||cos =?-=

?=

k n γ，故

31cos

Arc =γ。

6．分别按下列条件求平面方程 (1)平行于xoz 面且经过点()3,5,2-； (2)通过z 轴和点()2,1,3-；

(3)平行于x 轴且经过两点()2,0,4-和()7,1,5。

解：(1)因为所求平面平行于xoz 面，故{}0,1,0=j 为其法向量，由点法式可得：

()()()0305120=-?++?+-?z y x ， 即所求平面的方程：05=+y 。

(2)因所求平面通过z 轴，其方程可设为(*)0=+By Ax ，已知点()2,1,3--在此平面上，因而有03=+-B A ，即A B 3=，代入（*）式得：

03=+Ay Ax ，即所求平面的方程为：03=+y x 。

(3)从共面式入手，设()z y x P ,,为所求平面上的任一点，点()2,0,4-和()7,1,5分

别用A ，B 表示，则，，i 共面，从而[]

0019112

4,,=+-=z y x ，

于是可得所求平面方程为：029=--z y 。

7．用对称式方程及参数式方程表示直线l ：??

?=++=+-421

z y x z y x 。

解：因为直线l 的方向向量可设为

{}

3,1,21

1

2

111

21-=-=?=k j i

n n s ，在直

线上巧取一点()2,0,3-A （令0=y ，解直线l 的方程组即可得3=x ，2-=z ），则

直线的对称式方程为32

12

3+==--z y x ，参数方程为：t x 23-=，t y =，t z 32+-=。

8．求直线???=-+-=-+-012309335z y x z y x 与直线???=-++=+-+018830

2322z y x z y x 的夹角的余弦。 解：两直线的方向向量分别为：

{}1,4,3123335

1-=--=s ，

{}

10,5,101

8

3122

2-=-=s

于是()

|

|||,cos 212121=?=

s s s s 。

9．求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。

解：因为两平面的法向量{

}2,0,11=n 与{}3,1,02-=n 不平行，所以两平面相交于一直线，此直线的方向向量

{}

1,3,23

102

1

21-=-=?=k j i

n n s ，故所求直线方

程为14

322

-=

-=-z y x 。 10．求直线??

?=--=++00

3z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角。

解：已知直线的方向向量

{}

2,4,21

113

1

1

21-=--=?=k j i

n n s ，已知平面的

法向量{}1,1,1--=，而{}{}02421,1,12,4,2=+-=--?-=?，所以⊥，故直线与平面的夹解为0。

11．确定直线 3742

3z

y x =-+=-+和平面3224=--z y x 间的位置关系。 解：直线的方向向量{},3,7,2--= 平面的法向量{},2,2,4--=

{}{}

()()()().

02243722,2,43,7,2cos 2

22222=-+-+?+-+---?--=

?

从而⊥，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。

再将直线上的点)0,4,3(--A 的坐标代入平面方程左边，得

()()34024234≠-=?--?--?，即A 不在平面上，故直线平行于平面。

12．求过点()1,2,1而与直线???=-+-=+-+01012:1z y x z y x l ，??

?=+-=+-002:z y x z y x l 平行的平面方程。

解：因

{}3,2,11

11

121

1--=--=s 为直线1l 的方向向量，

{}

1,1,01

11

1122--=--=s 直线2l 的方向向量。

取

{}

1,1,11

1

321

21--=----=?=k j i

s s ，则通过点()1,2,1并以为法向量的

平面方程0=+-z y x 即为所求的平面方程。

方程为

21

1101-=-=-z y x 。