三视图体积习题精选

三视图习题精选1．填出下列几何体的三视图．

2．三种视图都相同的几何体有_______、_______．

3．有两种视图相同的几何体有_______、_______．

4．请你画了下图中两个几何体的三种视图．

5．请你根据下图给出的俯视图，画出棱柱的主视图和左视图．

6．画出下图中几何体的三种视图．

7．下列视图中，可能是棱柱的三视图的是（）

8．根据三视图，填写几何体的名称． （1）几何体是_______．

（2）几何体是_______．

（3）几何体是_______．

（4）几何体是_______． （5）几何体是_______．

9．一物体的三视图如下图所示，试画出它的草图．

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

10．如图所示，桌上放着一个杯子和一本书，则下列三个视图从左到右依次是_______视图，_______视图和_______视图．

12．将一个乒乓球，一个羽毛球和一个圆盘如下图所示放在一起，你能画出它的三种视图吗？

13．如图，根据主视图和俯视图找出物体．

14．请画出图中所示棱柱的三视图．

多面体和旋转体

一、考纲要求

1.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、球及其有关概念和性质.

2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式(球缺体积公 式不要求记住)，并能运用这些公式进行计算.

3.了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱住、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的 直观图.

4.对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直 截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的 全部顶点的其他截面的有关问题.

二、知识结构

1.几种常凸多面体间的关系

2.

有两个面互相平行，而其余每相

侧棱垂直于底面的棱柱

面是正多边形的直棱柱

有一个面是多边形，其余各面是

有一个公共顶点面是正多形，且顶点在底面的射影是底面

用一个平行于棱锥底面的平面去由正棱锥截得的棱台

4.面积和体积公式

下表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长 .

3

5.正四面体的性质 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全=3a 2；

(2)体积 V=12

2a 3

；

(3)对棱中点连线段的长 d=

2

2a ；

(4)相邻两面所成的二面角 α=arccos

3

1

(5)外接球半径 R=46a ；

(6)内切球半径 r=12

6a.

(7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).

直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：

如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则

①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；

②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V=6

1abc ；

④底面△ABC =

212

2

2

2

2

2

a c c

b b a ++；

⑤S 2△ABC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC =S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦

2

1OH

=

2

1a

+

2

1b

+

2

1c ;

⑧外切球半径 R=

2

1

2

2

2

c b a ++；

⑨内切球半径 r=

c

b a +++???ABC

BOC AOB S -S S

6.旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球的公式 (1)面积和体积公式

表中12底面半径，R 表示半径.

(2)圆锥、圆台某些数量关系

②圆锥 圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.

如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，底面半径为r ，则

sin α=cos 2

β

=l

h ，

α+

2

β

=90°?

cos α=sin 2

β

=

l

r .

②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，上、下底面半径分别为r ′、r ，则

h=lsin α

r-r ′=lcos α.

③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.

(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.

(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.

(3)球心和截面距离d,球半径R ，截面半径r 有关系：r=2

2

d -R .

(3)球冠、球带和球缺

①球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆(圆周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直径被截得的一段叫做相应球冠的高.

球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面. 球冠的面积公式 若球的半径为R ，球冠的高为h ，则S 球冠=2πRh

其中h 表示球冠的高，R 是球冠所在的球的半径. ②球带 球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.

球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径旋转一周所成的曲面. 球带的面积公式 若球的半径为R ，球带的高为h ，则S 球带=2πRh

③球缺 用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫做球缺的高.

球缺的体积公式 若球的半径为R ，球缺的高h ，底面半径为r ，则 V 球缺=

3

1πh 2(3R-h)= 6

1πh(3r 2+h 2)

三、知识点、能力点提示 (一)多面体

例1 如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1

将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= _____.

解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh. ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴S △AEF =

4

1S,V 1=

3

1h(S+

4

1S+4

1?

S )=

12

7ShV 2=Sh-V 1=

12

5Sh ，∴V 1∶V 2=7∶5.

例2 一个长方体全面积是20cm 2

，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 2(xy+yz+zx)=20 ① 依题意得：

4(x+y+Z)=24 ② 由②2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36 ③

由③-①得 x 2+y 2+z 2=16即l 2

=16 ∵l=4(cm).

例3 如图，正三棱锥S —ABC 的侧棱和底面 边长相等，如果E 、F 分别为AB 、SC 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( )

A.90°

B.60° C .450° D.30°

解：取AC 的中点G ，连结FG ，EG ∵FG ∥SA

∴∠GFE 为异面直线EF 与SA 所成的角.正三棱锥的棱长为1，则GF=GE=

2

1.∵顶点到A 、B 、C

等距，△ABC 等边

∴顶点在底面ABC 的射影O 是△ABC 的中心，从而SA 在底面上的射影⊥BC ?SA ⊥BC ，即“正三 棱锥中两相对棱垂直”.

∴∠FGE=90°.∴tg ∠EFG=

GF

EG =1,∠EFG=45°.应选C.

例4 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体 积为( ) A.63 B.23 C. 3 D.2

解：由已知可得正六棱锥的底面积S=6×4

3

设正六棱锥的高为h ，则h=2

21)5(-=2.∴V=

3

1×

4

36×2=3.应选C.

例5 如果三棱锥S —ABC 的底面是不等边三角形，侧 面与 底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D .内心

解：作OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OM ⊥CA

∵∠SEO=∠SFO=∠SMO,∴△SEO ≌△SFO ≌△SMO.∴OE=OF=OM.

∴O 为△ABC 的内心，应选D. 例6 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值是( )

A.

2

3 B.

10

10 C.

5

3 D.

5

2

解：如图，设P 为AA 1的中点，Q 为A 1M 的中点，则DP ∥CN ，PQ ∥AM ， ∴∠DPQ 是异面直线AM 和CN 的成角. 在△DPQ 中，DP=2

2

AP

DA

+ =22

)51(1+=2

5，

PQ=

2

1AM=

2

1×

2

5=

4

5，DQ=2

12

1Q A DA +=2

12

112

1Q A A D DD ++=

4

33.

由余弦定理得cos ∠DPQ ＝

PQ

DP ??+2DQ

-PQ

DP

2

2

2

=4

52

52)

4

33()45()2

5(

2

2

2

??

-+=-

5

2.

又异面直线所成的角的范围是（0，90°）.∴直线AM 和CN 所成角的余弦值是

5

2.应选D.

例7 已知三棱锥A —BCD 的体积是V ，棱BC 的长是a ，面ABC 和面 DBC 的面积分别是S 1和S 2.设面ABC 和面DBC 所成的二面角是α，那么sin α=_______.

解：如图，作AO ⊥面BCD 于O ，作OE ⊥BC 于E ，连结AE.

由V=

3

1AO ·S 2，

得AO=2

3S V 又S 1=AE ·BC ，得AE=

a

S 12由三垂线定理知，AE ⊥BC ，

∴∠AEO 是二面角A —BC —D 的平面角.即∠AEO=α，∴sin α=sin ∠AEO=AE

AO =

2

123S S V .

例8 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥 一定不是( )

A.三棱锥

B.四棱锥

C.五棱锥

D.六棱锥解：该棱锥一定不是正六棱锥. 否则设正棱锥S —ABCDEF 符合题设，则在△SAB 和△OAB 中(O 为顶点S 在底面的射影)， ∵SA=SB=AB=OA=OB,∴△SAB ≌△OAB 但△OAB 是△SAB 在底面的射影，不可能. ∴应选D.

例9 如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA= 90°，点D 1 、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成的角的余 弦值是( )

A.

10

30 B.

2

1 C.

10

30 D.

10

15.

解：设BC=CA=CC 1=1.取BC 中点E ，连结EF 、D 1F ，则EF ∥BD 1∠EFA 为BD 1和AF 所成的角.

易知FE=D 1B=2

1121D B B B + =2

2

)

2

2(

1+=

2

6.

由∠BCA=90°，得AE=2

2

CE

AC

+＝22

)21(1+=2

5.

AF=1

2

11F

A A A + =22

)21(1+=2

5

由余弦定理有cos ∠EFA=

FA

EF ??+2AE

-FA

EF

2

2

2

=2

52

62)

2

5()25()2

6(

2

2

2

??

-+

=

10

30即BD 1和AF 1成角的余弦值是

10

30.应选A.

例10 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( ) A.必然都是非直角三角形 B.至多只能有一个是直角三角形

C.至多只能有二个直角三角形

D.可能都是直角三角形 解：如图，三棱锥P —ABC 中，∠ABC=90°，PA ⊥面ABC.

则PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，△PAC 和△PAB 都是直角三角形.又∠ACB=90°，即AC ⊥BC ，

∴PC ⊥CB ，即∠PCB=90°，∴△PCB 也是直角三角形.应选D.

例11 侧棱长为3cm ，底面边长为4cm 的正四棱锥的体积为_______cm 3. 解：由已知有底面对角线长为42cm.h=2

2

)22(3-=1(cm)V=

3

1·h ·S=

3

1×１×４２=

3

16 (cm)3

例12 已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱AA ′=5，AB=12，那么直 线B ′C ′和平面A ′BCD ′的距离是_________.

解：如 图

∵B ′C ′∥BC ，B ′C ′?面A ′C ，BC ?面AC ，∴B ′C ′∥面A ′C. ∴点B 到平面A ′BCD ′的距离即直线B ′C ′到平面A ′BCD ′的距离. 作B ′H ⊥A ′B 于H ，又CB ⊥面A ′ABB ′，B ′H ?面A ′ABB ′，B ′H 面A ′B ，所 以B ′H ⊥CB ，从而B ′H ⊥平面A ′BCD ′.∵B ′H ·A ′B=B ′A ′·B ′B ，

∴B ′H=B

A B B A B ''?''=

13

512?=

13

60即直线B ′C ′到平面A ′BCD ′的距离

是

13

60.

(二)旋转体

例13 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ， 中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=( )A.10 B.15 C.20 D.25解D.

例14 长方体一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的8个顶点都在 同一球面上，这个球的 表面积是( )A.202π B.252π C.50π D.200 π

解：设长方体的对角线长为l ，球半径为R ，由已知及对称性知l=2R, l=2

2

2

543++=52，得R=

2

52.∴S 球=4πR 2

=50π应选C.

例15 若母线长为4的圆锥的轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为_____(结果中保留). 解：设轴截面为△SAB ，则SA=SB=4,S △SAB =8=2

1SA ·SB ·sin ∠SBA ，得sin ∠ASB=1，

∴∠ASB=90°，AB=2SA=42, ∴S 侧=πrl=π(

2

AB )·SA=π·22·4=82π.

例16 如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体 积是16πcm 3，那么它的底半径等于( )A.432cm B.4cm C.2·32cm D.2cm

解：16π=πr 2·(2r)=2πr 3，得r=2(cm)应选D.

例17 圆柱轴截面的周长1为定值，那么圆柱体积的最 大值是( )

A.(

6

1)3

π B.(

3

1)3π C.(

41)3

π D.

4

1(

4

1)3π

解：设r 为底半径，l 为母线. 由4r+2l=1，得l=

24r -1V=πr 2l=8

1π(2r)(2r)(2l)≤

8

1π(

3

2l

2r 2r ++)3

=

8

1π·(

3

2l

4r +)3=

8

1π·(3

1)3=(

6

1)3 π.等号仅当2r=2l 即r=l=6

1时成立.应选A.

例18 设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥 顶点到 直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1,则该圆锥的体积为________.

解：如图

O 为底面圆心，OC ⊥AB 于C.由OA=OB 得C 为AB 中点，由SA=SB ，C 为AB 中点得SC ⊥AB 于C.

∴OC=1,SC=3,AC=CB=1, SO=2

2

OC

-SO

=2

21)3(-=2，

OB=2

2

B C OC + =2 .∴V=

3

1π·OB 2·SO=3

1 π(2)2=

3

22π.

例19 在一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边 长为10厘米的等边三角 形，现要在它的整个表面镀上一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为0.1元，则需要费 用_____元(π取3.2).

解：设圆锥的底半径为r,由已知有r=5cm,母线长为10cm. S 全=π·52

+π·5·10=75π.

=240(cm 2

)∴工料价为240×0.1=24元. 例20 圆锥母线长为l ，侧面展开圆心角为240°，该 圆锥的体积是( )

A.

81

22π B.

81

8π C.

81

54π D.

81

10π 解：设圆锥底半径为r ，由已知有240°=3

4π=

l

r π2，得r=

3

2 .

∴h=2

2r -l ＝22)32(-l =35.∴V=31πr 2h=31π(32)2·35=81

54π应选C.

(三)综合题赏析

例21 如图，平面α和β相交于直线MN ，点A 在平面α上，点B 在

平面β上， 点C 在直线MN 上，∠ACM=∠BCN =45°，A-MN-B 是60°的二面角，AC=1.

求：(1)点A 到平面β的距离； (2)二面角A —BC —M 的大小.

解：(1)作AH ⊥平面β于H ，HD ⊥MN 于D ，连结AD ，则AD ⊥MN 于D ，故∠ADH 是二面角A —MN —B 的平面角，所以∠ADH=60°.

在Rt △ACD 中，∠ACD=45°，∠ADC=90°，∴AD=

2

2AC=

2

2·1=

2

2.

在Rt △ADH 中，AH=AD ·sin ∠ADH=

2

2·sin60°即点A 到平面β的距离是

4

6，

(2)设二面角A —BC —M 为θ度，在等腰Rt △ADC 中，由斜边AC=1，得DC=AD=

2

2

在Rt △ADH 中，DH=2

2

AH

-AD

=

4

2在Rt △DHC 中，HC=2

2

DH

CD

+ =

4

10

作HE ⊥直线BC 于E ，则∠AEH 是二面角A —BC —M 的平面角. ∵∠HCB =180°-(∠HCD+∠BCN)=180°-∠HCD-45°， ∴sin ∠HCE=sin(45°+∠HCD)=

2

2(sin ∠HCD+cos ∠HCD)=

HC 2DC)(DH 2+=

4HC

3

∴HE=HC ·sin ∠HCE=

4

3∴tg ∠AEH=

HE

AH =

3

6.即θ=arctg 3

6为所求.

例22 如图，ABCD 是边长为4的 正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直平面ABCD ，GC=2.

求点B 到平面EFG 的距离.

解：连GB 、GE 、GF 、FE 、FB ，设点B 到面EFG 的距离为d. ∵V B —EFG =

3

1dS △GFE . V B —EFG =V G-BEF =

3

1×GCS △BEF =

3

2Ｓ△BEF

∴d=

EFG

BEF

S S GC ???=EFG

BEF S S ???2S △BEF =2

1Ｓ△ABF =

2

1(2

1AF ·AB)=2,

在△EFG 中，GF=GE=2

2

CF

GC +=26,EF=22,故它的周长之 半P=2

1(EF+FG+GE)=26+2

∴S △EFG =GE)-EF)(P -EF)(P -P(P P(P-EF)(P-EF)(P-GE)=211

∴d=

11

222?=11

112.即点B 到平面EFG 的距离是211

例23 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1,AA 1=6,M 是CC １的中点.

求证：AB 1⊥A 1M

证明：由题设知B 1C 1⊥A 1C 1，B 1C 1⊥C 1C ∴B 1C 1⊥侧面A 1ACC 1.

连C 1A ，则C 1A 是B 1A 在面A 1ACC 1上的射影.设AC 1与A 1M 交于点D. 在Rt △A 1B 1C 1中，B 1C 1=1,∠B 1A 1C 1=∠BAC=30°，得A 1 C 1=3 .∴

1

11C A AA ＝

3

6=2

在Rt △A 1C 1M 中，

1

11MC C A =

6

63=2∴

1

11C A AA ＝

1

11MC C A ，又∠AA 1C 1=∠A 1C 1M=90°，

∴△AA 1C 1∽△A 1C 1M,得∠3=∠4由 AA 1∥CC 1，得∠1=∠2，∴∠C 1DM=∠C 1A 1A ＝90°，∴AC 1⊥A 1M.

由三垂线定理，得AB

1⊥A 1M.

例24 如图，圆锥的轴截面为 等腰Rt △SAB ，Q 为底面圆周上一点.

(1)若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证OH ⊥平面SBQ ； (2)如果∠AOQ=60°，QB=23，求此圆锥的体积；

(3)如果二面角A —SB —Q 的大小为arctg 3

6，求∠ AOQ 的大小.

解：(1)连OC.∵SQ=SB ，OQ=OB,QC=CB ，∴QB ⊥SC ，QB ⊥OC ，得OB ⊥面SOC. ∵OH ?面SOC ，得QB ⊥OH ，又OH ⊥SC ，∴OH ⊥面SQB.

(2)连AQ.∵Q 为底面圆周上的一点，AB 为直径，∴AQ ⊥QB 在Rt △AQB 中，∠QBA=30°，QB=23

∴AB=?

30cos 32=4∵△SAB 是等腰直角三角形.∴SO=2

1AB=2，∴V 圆锥=3

1π·OA 2

·SO=

3

8π

(3)过Q 作QM ⊥AB 于M.由于面SAB ⊥面ABQ ，得QM ⊥面SAB.作MP ⊥SB 于P ，连PQ ，则由三垂线定理知QP ⊥SB.∴∠MPQ 是二面角A —SB —Q 的平面角.∠MPQ=arctg 3

6为已知，设圆锥底半径为

r,∠AOQ=α，

在Rt △MPB 中，∠PBM=45°，MB=r(1+cos α)，∴MP=

2

2r(1+cos α)∵tg ∠MPQ=

3

6，

∴

)

cos 1(2

2sin αα+r R =

3

6,即

α

αcos 1sin +=

3

3.即tg

2

α

=

3

3，故

∠AOQ=60°

例25 如图，A 1B 1C 1— ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点. (1)证明AB 1∥平面DBC 1；

(2)假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱、以DBC 1与CBC 1为面的二面角α 的度数.

证明：(1)由于A 1B 1C 1—ABC 是正三棱柱，故四边形B 1BCC 1是矩形连B 1C 交BC 1于E ，则B 1E=EC,连DE.在△AB 1C 中，AD=DC ，得DE ∥AB 1．又AB 1?面DBC 1，DE ?面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1.

(2)作DF ⊥BC 于F ，则DF ⊥面B 1BCC 1；连EF ，则EF 是ED 在面B 1BCC 1上的射影. ∵AB 1⊥B 1C 1，又由(1)知，AB 1∥DE ，∴DE ⊥BC 1，从而BC 1⊥EF

∴∠DEF 是二面角α的平面角.设AC=1,则DC=

2

1.∵△ABC 是正三角形.

∴在Rt △DCF 中，DF=DC ·sinC=4

3，CF=DC ·cosC=4

1.

取BC 中点G ，因BE=EC ，故EG ⊥BC.在Rt △BEF 中，EF 2=BF ·GF ，又BF=BC-FC=

4

3,GF=4

1.

∴EF 2=

4

3·

2

1，得EF=

4

3∴tg ∠DEF=

EF DF

=4

3

43

=1.∠DEF=45° 即二面角α为45°

.

例26 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠ABC=2

π

,AB=a,AD=3a,∠

ADC=arcsin

5

5,PA ⊥面ABCD,PA=a 求:(1)二面角P —CD —A 的大小(用反三

角函数表示)：(2)点A 到平面PBC 的距离.

解：(1)作AE ⊥直线CD 于E 连PE.由PA ⊥面ABCD 据三垂线定理知PE ⊥CD.

∴∠PEA 是二面角P —CD —A 的平面角.在Rt △AED 中,AD=3a,∠ADE=arcsin

5

5.

∴AE=AD ·sin ∠ADE=

5

53a 在Rt △PAE,中tg ∠PEA=

AE

PA =

3

5.∴∠PEA=arctg

3

5

即二面角P —CD —A 的大小为arctg

3

5.

(2)作AH ⊥PB 于H 由PA ⊥面ABCD,得PB ⊥BC.又AB ⊥BC,得BC ⊥面PAB 得BC ⊥AH

∴AH ⊥面PBC ，AH 的长为点A 到面PBC 的距离在等腰Rt △PAB 中,AH=

2

2a.

∴点A 到平面PBC 的距离是

2

2a

例27 如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC=2、BC=3，P 为 斜边AB 上一点，现沿C P 将此直三角形析成直二面角A —PC —B ，AB=7，求二面角P —AC —B 的大小.

解：由已知A —CP —B 是直二面角，作BD ⊥CP 于D ，则BD ⊥平面

ACP 作DE ⊥AC 于E ，则BE ⊥AC ， ∠BED 是二面角P —AC —B 的平面角.作AF ⊥DC 于F ，连BF ，则∠

AFB=2

π.设∠ACP=α，则∠BCP=2

π-α，在Rt △AFB 中AB 2=AF 2+FB 2=AF 2+DB 2+DF 2=7∵AF=2sin α,CF=2cos

αBD=3sin(90°-α)-3cos αCD=3sin(90°-α)-3cos αDF=CD-CF=3sin α-2cos α∴(2sin

α)2+(3cos α)2+(3sin α-2cos α )2=7解得α=4

π

.在Rt △BED 中DE=CD ·sin α=3sin 2α=2

3.tg ∠

BED=

DE

BD =2.∴∠BED=arctg 2即二面角P —AC —B 的大小是arctg 2

例28 设三棱锥S —ABC 的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 AC 长为10，三棱锥的侧棱SA=SB=SC=13，求：

(1)顶点S 到底面的距离；

(2)侧棱SB 与底面所有角的大小(用反三角函数表示)；

(3)二面角A —SB —C 的大小(用反三角函数表示)；

解：如图

(1)作SO ⊥底面ABC ，由已知SA=SB=SC 知，O 为底面△ABC 的外心， 又△ABC 为直角三角形，故O 为斜边AC 的中点.

∴SO=2

2

AO

-SA

=225-13=12.即顶点S 到底面的距离是12.

(2)∠SOB 是SB 与底面ABC 所成的角.∠COB=arcsin SB

SO =arcsin

13

12

(3)作AD ⊥SB 于D ，连结CD.∵SB ⊥AD,SB ⊥AC.∴SB ⊥平面ADC ∴CD ⊥SB,∠ADC 是二面角A —SB —C 的平面角.

易得 AB=BC=52AD=DC=

13

3135

∴∠ADC=arccos(-313

25)

即二面角A —SB —C 的大小是arccos(-313

25).

例29 如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=5. AD=4,AA 1=3,AB ⊥AD,∠A 1AB=∠A 1AD=

3

π

.

(1)求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积V. 解：(1)连A 1O ，则A 1O ⊥底面，作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AD 于N ，连AM ，AN ，A O ，由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD

又∠A 1AM=∠A 1AN.

∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M=A 1N,得OM=ON.∴点O 在∠BAD 的平分线上(2)V=302

用等体积法解点到面的距离和体积立几题

立体几何是每年高考中的一个重要考查对象,在每年的高考中都占有很大的比例。解立体几何题需要我们的看图、读图、绘图能力；也需要我们的转化能力及空间想象能力.因此许多同学学习起感觉到很困难很麻烦，导致在高考中失分较多，影响考试的成绩。纵观近年的高考,我们不难发现，在立体几何的考试中，经常考查到求点到面的距离和体积的问题，而这些问题的解决有时借助常规的方法并不能轻松地获得结果.这时如果能想到等体积法，则可以给你一种“柳暗花明又一村”的感觉.下面我们将从几道高考题中感受到这种方法带给我们的好处。

（一） 用等体积法求点到平面的距离 【2005赣文（理）20】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动．

(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；

(2) 当E 为AB 的中点时,求点E 到面ACD 1的距离；

(3) AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为4

π

．

（２）解：设点Ｅ到平面ＡＣD 1的距离为h ，在ΔＡＣD 1中，ＡD 1＝2，

ＡＣ＝ＣD 1＝5，故S C

AD 1

?＝

2

1522

1-

??＝

2

3， 而s ACE ?＝

BC AE ??2

1＝

2

1．

∵,3

13

1111h DD S

S

V

C

AD AEC

AEC

D ?=

?=??- ∴,2

3121h ?=

? ∴h=3

1．

【04年文（21）理（20）】如图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于

2

的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120。 （Ⅰ）求点P 到平面ABCD 的距离；（Ⅱ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。 （Ⅰ）解：取AD 的中点E ，连结PE ，BE 。

∵ΔPAD 为等边三角形 ∴PE ⊥AD 又∵PB ⊥AD

∴AD ⊥平面PBE ∴AD ⊥BE ∴ ∠PEB 为平面PAD

与平面ABCD 所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。 设点P 到平面ABCD 的距离为h, ∵V P —ABE = V A —PB E ∴h=

AEB

AE PEB S s ???=

BE

AE AE BE PE ??

???120sin =PE ?sin120°=

2

3

所以点P 到平面ABCD 的距离为

2

3。（Ⅱ）略。

评：本题巧妙地借助二面角PEB 所在平面与棱AD 的垂直关系构造了三棱锥P —AEB ，从

而避免了直接作P 到平面ABCD 的距离而求。

（二）用等体积法求锥体体积

【01年春北京、安徽19】如图，已知VC 是ΔABC 所在平面的一条斜线,点N 是V 在平面ABC 上的射影，且在ΔABC 的高CD 上。AB=a,VC 与AB 之间的距离为h ，点M ∈VC 。

（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角M —AB —C 的平面角； （Ⅱ）当∠MDC=∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ； （Ⅲ）若∠MDC=∠CVN=θ（0＜θ＜

2

π

），求四面体MABC （Ⅰ）、（Ⅱ）略。

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）知AB ⊥平面MDC,MD 为VC 与AB 距离，即MD=h ，∵∠MDC=θ， 由（Ⅱ）知MC ⊥MD ∴MC=h ?∴S ΔMCD =

2

1MD ?MC=2

1h ? h ?tan θ

∴V MABC = V A —MCD +V B —MCD =3

1S △MC D ●AB =

3

1?a ?

2

1 h ? h ?tan θ=

6

1ah 2tan θ

所以四面体MABC 的体积是

6

1ah 2tan θ

评：本题巧妙地借助了棱AB 与二面角∠MDC 所在平面垂直关系构造了三棱锥 A —CD 及三棱B —CDM ，从而避免了直接求ΔABC 【99年文（22）理（21）】如图，已知正四棱柱ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1，点E 在棱DD 1

上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成角为45°，AB=a 。

（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；

（Ⅲ）求三棱锥B 1—EAC 的体积。

解：（Ⅰ）、（Ⅱ）略。

（Ⅲ）连结BD 交AC 于O ，连结B 1O 。由（Ⅰ）可知 AO ⊥平面B 1BDD 1且ΔAOE ≌ΔCOE ,LAO=CO=2

2a ,

AO 为三棱锥A —EOB 1的高,又∵S ΔEOB 1

= S 矩形BDD 1B 1

－

S ΔEOD －S ΔBOB 1－ S ΔED 1B 1 =4

3

a 2

∴V B 1—EAC =2V A —EOB 1 =2?

3

1?

4

3a 2?

2

2a=

4

2a 3

所以三棱锥B 1—EAC 的体积是

4

2a 3。

评：本题巧妙地借助了AC 与平面B 1BDD 1所在平面垂直的关系构造了三棱锥A —EOB 1及三棱锥C —EOB 1，从而避免了直接求平面AEC 上的高。

通过以上4道高考题的解答,我们不难看出等体积法在处理点到面的距离和体积时非常有效,因此我们在平时的学习中应该掌握.利用等体积法我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题——这是数学中的一种重要思想方法.在利用等体积法时我们应该在原图形中寻找到一个较容易计算出面积及其高的面来。