湛江二中2015届高三第二学期综合测试题(2)

湛江二中2015届高三第二学期综合测试题（2）

数学（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）

1．集合},023|{2=+-=x x x M },02|{2≤-=x x x N 则=N M ( ) A ．}2,1{ B ．)2,1( C ．]2,1[ D ．}2,1,0{ 2．若复数

i R y x i

yi

x ,,∈+（是虚数单位）为纯虚数，则( ) A ．0=x B ．0=y C ．0,0=/=y x D ．0,0==/y x 3．函数332cos lg x y x x y x y x y =+===、、、中，偶函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．62(x

x +

的展开式中的常数项为( )

A ．80

B ．120

C ．160

D ．240

5．一个四面体如右图，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）

和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积=V A ．

21 B ．31 C ．61 D ．12

1

6．已知2

2

π

π

θ-

<<

，且sin cos θθ+=

，则tan θ的值为 （ ） A ．3- B ．3或

1 C ．1- D ．3-或13

- 7．数列{}n a 的通项，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ）

A ．490

B ．495

8．记集合A 中的元素个数为card (A )，若给定区域，是在:D ,1log 612???

??≤≤+-≤-y y x y x x

,my x z +=

card ),(|),{()(y x D y x T ∈=是z 在D 上取得最大值或

最小值的点，,3},=∈Z y x 则m 的所有取值应为( )

A ．]0,1[-

B ．)0,1(-

C ．]0,1(-

D ．}0,1{-

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）

9．不等式x x >+-1|1|的解集为_________. 10．若()

2015

201501201531x a a x a x -=++

+(x ∈R ),

记2015

201513

i

i

i a S ==

∑,则2015S 的值为_______. 11．若曲线x k x y ln +=在定义域内的极值点为正整数，

则k 的最大值为_______.

12．执行如图所示程序框图，若输入s 的值为4，

则输出的y 的值为_______.

13．已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())f f x ＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为???-=t y t

x （t 为参数）和

??

?+-+=θ

θ

sin 1cos 1y x θ(为参数），设其两曲线的交点为1A 和2A 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则21A A 的垂直平分线的极坐标方程为____. 15．（几何证明选讲选做题）

如图所示，AB 是圆O 的直径，,AB CB ⊥ CD 是圆O 的切线，

切点为D ．,30

=∠BAD 则=AD CD :____.

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知函数.cos )6

sin()(x x x f -+

=π

(1)求)3

2(

π

f 的值； (2)在ABC ?中，若),2

,

0(π

∈A 53)32(=+

πA f ，)3(π-B f ,5

4

-=试求角C 的大小．

某校按男女学生人数3:2的比例共抽取100名作为样本以测量身高(单位：cm)，所得频率分布表如下：

(2)从身高在区间[170，180)上的学生中任选2名，记其中在[175，180)的男学生的人数为,ξ 试求随机变量ξ的分布列与数学期望).(ξE

18．（本小题满分14分）

如图所示，正三棱柱111C B A ABC -中，E D 、分别为棱、1AA 11C B 的中点．

(1)求证：平面;111C C BB BDC 平面⊥ (2)设平面BDE 与棱11C A 的交点为R ，试求1

1RA R

C 的值； (3)若截面1BDC ?中，,5

1cos 1=

∠DB C 试求直线BE 与平面1BDC 所成角的正弦值．

设数列}{n a 的前n 项和为,n S 且.0>n a 已知.*,)2(3,213N n a n S a a a n n ∈+== (1)求1a 的值及数列}{n a 的通项公式； (2)令,11n

S n S b n

n n -+=

+数列}{n b 的前n 项和为,n T 试求n T ； (3)证明：对一切正整数n ，有.4

311121<+++n S S S

20．（本小题满分14分）

已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴于点D ，且有丨FA|＝|FD|，当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正

三角形。

(1) 求C 的方程,

(2) 若直线l 1//l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E, ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标 ；

②△ABE 的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）

已知函数2

1()ln ,()2

f x x

g x ax bx ==

-，设()()()h x f x g x =-。 （1）若g （2）＝2，讨论函数h （x ）的单调性；

（2）若函数g （x ）是关于x 的一次函数，且函数h （x ）有两个不同的零点12,x x 。 ①求b 的取值范围；②求证：212x x e >

参考答案

一、选择题

二、填空题

9．)1,(-∞ 10．1 11．1- 12．1 13．]2,(-∞ 14．2)4

sin(=+π

θρ 15．3:1

三、解答题

16．解：(1)x x x x f cos 6

sin

cos 6

cos

sin )(-+=π

π

6

sin

cos 6

cos

sin π

π

x x =)6

sin(π

-

=x

……………………….3分

所以12sin )632sin()32(

==-=ππππf ………………….5分 (2)由,cos )2sin()632sin()32(A A A A f =+=-+=+ππππ得53cos =A …6分 又),2

,0(π∈A 所以54

sin =A ………………….7分

由,cos )2sin()63sin()3(B B B B f -=-=--=-ππππ 得5

4

cos B

又),,0(π∈B 所以5

3

sin =B ………………….9分

由B A B A B A B A C sin sin cos cos )cos()cos(cos +-=+-=--=π

05

3

545453=?+?-=…………………11分

因为),,0(π∈C 所以2

π

=

C ………………….12分

17．解：(1)由已知条件可得：样本中男学生人数为

?5

3

,60100=故女学生人数为40.....1分 由,60100)03.005.016.008.001.0(=?+++++m 得,27.0=m

同理,40100)01.006.016.006.002.0(=?+++++n 得?=09.0n ……….3分

故身高在)170,160

[上的男学生人数为：=?+100)16.027.0(,43 女学生人数为：25100)09.016.0(=?+………………….5分

(2)身高在区间)180,170

[上的学生人数为：++03.005.0(,15100)01.006.0=?+

在)180,175

[的男学生的人数为3．故随机变量ξ的所有可能的值为0、1、2 …7分 ,3522)0(2152

12===C C P ξ ,35

12

)1(21513112===C C C P ξ351)2(21523===C C P ξ……9分 ξ的分布列为：

…………………11分

故数学期望35

1435123512135220)(=?+?+?=ξE ………………….12分 18．证明：

方法一：(1)设BC 中点为G ，连结C B 1交1BC 于F ，连结,AG FG DF 、、 如图①所示，易知四边形AGFD 为平行四边形，故DF AG //，…1分 由正三棱柱,111C B A ABC -可得.BC AG ⊥

由,1ABC BB 底面⊥,ABC AG 底面?所以1BB AG ⊥，…….3分 又由,1B BC BB = 故,11C C BB AG 平面⊥

所以平面⊥DF C C BB 11，又由,1BDC DF 平面?………………….4分 所以平面C C BB BDC 111平面⊥………….5分 (2)延长11A B BD 、相交于S ，连接,1SC

连接SE 交11C A 于点R ，如图②所示，………………7分 由于SE SB 、1为两条相交直线，故E R D B 、、、四点共面， 又在三角形11C SB 中，11SB A 为的中点，E 为11C B 的中点， 故R 为11C SB ?的重心，故112RA R C =，即21

1=RA R

C ………………….9分 (3)设,m AB =,1n AA =

由=

∠DB C 1cos )

4

(2)()41

()41(22222222n m n m n m n m ++-+++,5

1

= 得n m = 故四边形C C BB 11为正方形，所以11BC C B ⊥………………….12分 又由(1)知平面,111C C BB BDC 平面⊥

又平面平面 1BDC ,111BC C C BB =,111C C BB F B 平面?所以11BDC F B 平面⊥.13分 取1FC 的中点H ，连接EH ，如图③所示，则EBH ∠即为直线BE 与平面1BDC 所成的角， 由,42m EH =

,4

23m BH =可得,25

m BE =

所以10102

542

sin ===∠m m BE EH EBH ………………….14分

方法二：(1)由已知得以AC 中点为原点，建立空间直角坐标系,xyz O - 如图④所示………1分

设,2,21b AA a AB ==则B b a D a A O ),,0,(),0,0,(),0,0,0(),0,3,0(a

),0,0,(a C -),2,2

3,2(b a a E -,3,0(1a B ),2b )2,0,(1b a C -…3分

取BC 的中点T ，连接),0,23,2

(,a a T AT -

由已知条件易知： 即为平面C C BB 11的法向量，)0,2

3

,23(a a -

=………………….4分 设平面1BDC 法向量为),1,

,(y x = 由),,3,(b a a DB --=),2,3,(1b a a BC --=

又?????=?=?,0,01n BC 得?

????=?--=?--0)1,,()2,3,(0)1,,(),3,(y x b a a y x b a a ，即???

?

???

==,23,2a b y a b x 故)1,23,2(

a

b

a b =，………………….5分

因为a b a a b a b a a 223)1,23,2()0,23,23(?-=?-

=?,0102323=?+?+a

b a 故⊥，即平面C C BB BDC 111平面⊥………………….7分 (2)),2,0,(b m R 此时,()2,0,()0,3,0(m b m a -=-=),2,3b a -

),,0,()2,0,(),0,(b m a b m b a --=-=

)0,2

3,2()2,0,()2,23,2(a

m a b m b a a RE --=--=………………….8分

由已知可得：向量共面，则存在实数,,y x 有y x =

即),0,2

3,2(),0,()2,3,(a

m a y b m a x b a m --

+--=-- 即??

??

???===2

32

y a m x ，故,34|)(3|||1a a a R C =

--= ,32|3|||1a a a RA =-= 即=R C 1,21RA 即

21

1=RA R

C ………………….10分 (3)由,51cos 1=

∠DB C =?|

|||11DB DC DB DC 224),3,(),0,2(b a b a a b a +--?-,51= 解得b a =，)2,2

3,2()0,3,0()2,23,2(b a

a a

b a a --=--

=……………12分 由(1)知，平面1BDC 法向量为),1,23,2(

a

b

a b = 设直线BE 与平面1BDC 所成角的大小为,θ 则=

><=|,cos |sin θ|

|||BE n ?

22

2222)2()2

3()2(1)23()2(|

)2,23,2()1,23,2(

|b a a a b a b b a a a b a b +-+?++--?=

,1010=

故直线BE 与平面1BDC 所成角的正弦值为

1010

………………….14分

19．解：(1)由已知可得：,5)(34)(33321

2

21213???

??=++=+=a

a a a a a a a a a 由于,0>n a 解得21=a ……………2分 由于n n a n S )2(3+=， ① 故当2≥n 时，11)1(3--+=n n a n S ② 由①－②，得,)1()2(31-+-+=n n n a n a n a 即,)1()1(1-+=-n n a n a n 即

1

1

1-+=

-n n a a n n ，......................4分 故????--?-?-+=????=---243531211 (11)

2211 n n n n n n a a a a a a a a n n n n n )1(213+=?n n

当1=n 时，21=a 也符合上式，故*N n ∈时，)1(+=n n a n ……………6分

(2)由(1)及,)2(3n n a n S += 得3

)

2)(1(++=

n n n S n ………………….7分

故=n b n

n n n n n n 3)

2)(1(13)3)(2)(1(++-++++ =n n )(2[(31

+)2(3

2)]2)(1()3+=++-+n n n …….9分 易知数列}{n b 是以2为首项，以

3

2

为公差的等差数列， 故其前n 项和为?+=?-+=3

5322)1(22n

n n n n T n ………………….10分 (3)由(2)知：

])

2)(1(1

)1(1[23)2)(1(31++-+=++=n n n n n n n S n ……11分 故

n

n S S S S 111121=

+++ )431321()321211

[(23?-?+?-?= 4

3

])2)(1(1211[23])2)(1(1)1(1<++-?=++-++

+n n n n n n ……14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）由题意知(

,0)2

P F ，设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t

+，

因为||||FA FD =，由抛物线的定义得：3||22

p p

t +=-，

解得3t p =+或3t =-（舍去）. …………2分 由是正三角形ADF ?,可得

234

p t

+=，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. …………4分 （2）①由（1）知(1,0)F .

设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，因为||||FA FD =， 则0|1|1D x x -=+，由0D x >,得02D x x =+，故0(2,0)D x +，

故直线AB 的斜率为0

2

AB y k =-

， …………5分 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02

y

y x b =-+，

代入抛物线方程得200

880b

y y y y +

-=……① 由题意方程①的判别式2

00

64320b y y ?=

+=，得02

b y =-. 代入①解得20

04

,4y x y y =-

=. 设(,)E E E x y ，则04E y y =-

，20

4

E x y =. …………6分 当2

04y ≠时，0

00022

000204

4444

E AB

E y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为0

002

04()4

y y y x x y -=

--， …………7分 由2004y x =，整理可得0

2

04(1)4

y y x y =

--，直线AE 恒过点(1,0)F .……8分 当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，

所以直线AE 过定点(1,0)F . …………9分

②由①知，直线AE 过焦点(1,0)F ，.4),4,4(

),,(02

00

2

00x y y y E y x A =-

由抛物线的定义得0000

11

||||||(1)(

1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++ …

10分 设直线AE 的方程为+1x my =.因为点00(,)A x y 在直线AE 上，故00

1

x m y -=， 设11(,)B x y ，直线AB 的方程为0

00()2

y y y x x -=--， 由于00y ≠，可得0

2

2x y x y =-

++. ………11分

代入抛物线方程得200

8

840y y x y +

--=， 所以0108y y y +=-

，可求得1008y y y =--，100

44x x x =++， ………12分 所以点B 到直线AE 的距离为

0048

|4()1|x m y d ++++-=

=

=. 则ABE ?

的面积00112)162S x x =

?++≥， ………13分 当且仅当001

x x =

,

即01x =时等号成立.所以ABE ?的面积的最小值为16. …14分 21.解：（1）.1,2)2(=-∴=b a g

∴ x a ax x ln x h )1(2

1

)(2-+-=，其定义域为（0，+∞）.

21(1)1(1)(1)()(1)=ax a x ax x h x ax a x x x

-+-+-+-'=-+-=， ………… 1分

若0≥a ,则函数)(x h 在区间（0,1）上单调递增；在区间（1,+∞）上单调递减. ……2分 若0

,1x x a

=-

=. .1 .

当1-

01a

<-

<，所以函数)(x h 在区间（ 0,1a -）和（1,+∞）上单调递

增；在区间（1

a

-

,1）上单调递减. ……3分 .2 当1-=a 时，0)(/>x h ,所以函数)(x h 在区间（0，+∞）单调递增. ……4分 .3 当01<<-a 时，则11a

-

>，所以函数)(x h 在区间（0,1）和（1

a -,+∞）上单调递增；

在区间（1,1

a

-

）上单调递减. （综上所述略）……5分 （2）∵函数)(x g 是关于x 的一次函数 ，∴ bx x x h +=ln )(，其定义域为（0，+∞）. 由()0h x =,得ln -x b x =，记ln ()x x x ?=-，则2ln 1

()x x x ?-'=.

……6分 ∴ln ()x

x x

?=-

在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， ∴当e x =时,ln ()x x x

?=-取得最小值e 1

-. ……7分

又(1)0?=，所以(0,1)x ∈时,()0x ?>，而(1,)x ∈+∞时,()0x ?<. ……8分 ∴b 的取值范围是（e

1

-，0）. ……9分

由题意得0ln 0ln 2211=+=+bx x ,bx x ，

∴0)(ln ln 0)(ln 12122121=-+-=++x x b x x ,x x b x x .∴

12122121

ln ln ln x x x x

x x x x +=--.

不妨设21x x <.要证221e x x > , 只需要证12

122121

ln (ln ln )2x x x x x x x x +=

->-，

即证2121212()ln ln x x x x x x -->

+ , 即.)

(2ln 1

21212x x x x x x +-> ……10分

设)1(12

>=

t x x t ，

2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-

=+-++， …………11分 2

22

14(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++

， ……12分 ∴函数()F t 在（1，+∞）上单调递增，而(1)0F =，

所以()0F t >,即2(1)ln 1

t t t ->

+，∴2

21e x x >. ……14分