山东省山师大附中第九次模拟考试试题

高中数学学习材料

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山东省山师大附中2015届第九次模拟考试试题 高三数学（理科) 2015.6.1

第I 卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数12i

34i

z -=

+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是( ) A. 25i - B. 25i C. 2

5

- D. 25

2．设集合{}

2320A x x x =-+≤，{}

21x B y y ==+，则A B = ( ) A.[]1,2 B. (]1,2 C. ()1,+∞ D. [)2,+∞

3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )

A ．3.24.0?+=x y

B ．4.22?-=x y

C ．5.92?+-=x y

D ．4.43.0?+-=x y 4．已知命题:p 对任意R x ∈，总有112x x -++>；命题:q 2x >是1x >的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是 ( )

A. p q ∧

B. p q ?∧?

C. p q ?∧

D. p q ∧? 5．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )

A.()sin f x x =

B. ()3

f x x = C. ()12

x f x =

D. ()3x

f x =

6．已知圆C 的方程为x 2+y 2-2x =0，若以直线y =kx -2上任意一点为圆心，以l 为半径的圆与圆C 没有公共点，则k 的整数值是( )

A ．-l

B ．0

C ．1

D ．2 7．函数2sin 2

x

y x =

-的图象大致是(

)

8. 已知点P (x ，y )的坐标满足条件2144x y x y x y a -≤??+≤??+≥?，当2z x y =-+取得最大值为1时，那么x

2

＋y 2的最小值为( )

A ．

22 B ．1

2

C ．1

D ．2 9．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法种数为( )

A ．12

B ．15

C ．18

D ．21

10．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线右

支上存在点P 使得

1221

sin sin a c

PF F PF F =

∠∠，则该双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(0，21-) B ．(21-，1) C ．(1，21+) D ．(21+，+∞)

第II 卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．

12. 执行如图所示的程序框图，若输入x ＝0.1，则输出的m 的值是________．

13. 在△ABC 中，90A ∠=，边1AC =，2AB =，过点A 作AP BC ⊥交BC 于P ，且

AP AB AC λμ=+，则λμ=________．

14. 直线l 过抛物线2

:4C y x =的焦点且与x 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .

15. 定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2

()2f x x x =-，若

[4,2]x ∈--时，13

()()8f x t t

≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤. （本小题满分12分） 16.

已知函数

23

()sin cos 3cos 2

f x x x x ωωω=?+-

（0>ω），直线1x x =，2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为4

π． （Ⅰ）求()f x 的表达式；

（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移

8

π

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间

0,2π??

????

上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 17．（本小题满分12分）

袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望． 18. （本小题满分12分）

已知等边三角形的边长为3，点E D ,分别在边AC AB ,上，且满足

2

1

==EA CE DB AD ，将A D E ?沿DE 折叠到DE A 1?的位置，使BCDE DE A 平面平面⊥1，连接C A B A 11,． （Ⅰ）证明：BCDE D A 平面⊥1；

（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使得直线1PA 与平面BD A 1所成的角为

60？若存在，求出PB 的长；若不存在，说明理由．

19. （本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点 ?

????n S n n ,都在函数x a x x f n 2)(+=的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设n A 为数列?

????

?-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n n n 23

)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围．

20. （本小题满分13分）

设平面上一动点P 到定点（1,0）的距离与到定直线4x =的距离之比为12

． （Ⅰ）求动点的P 轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设定点A (-2,3),曲线上C 一点00(,)M x y ,其中00y ≥.若曲线C 上存在两点,E F ，使AE AF AM +=，求0x 的取值范围． 21. （本小题满分14分） 函数()ln f x x =，()2

122

g x x x =

-． （Ⅰ）设()()()1h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； （Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()()22b a

f a b f a a

-+-<

； （Ⅲ）设k Z ∈，当1x >时，不等式()()()134k x xf x g x '-<++恒成立，求k 的最大值．

第二次模拟试题答案（理科数学）

一、 选择： DDBDC AABCA

二、 填空 11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3 三、

解答题

16解：（Ⅰ）由题意知：243π

πω

=

，解得：3

2ω=

， ……………………2分

C

B C

B B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==

∴ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分

z y

x

F

E

P

D

C

B

A

a c

b A B C 2sin 2sin sin =+?∴=+∴…………………………………………………6分

（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形 …………8分

213

sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ??=+=?+ ……………9分

435cos 3-sin +

=θθ53

2sin (-)34πθ=+

， ……………………10分 (0)θπ∈，,2--3

3

3

πππ

θ∴∈(，)，

当且仅当-

3

2

π

π

θ=

，即56πθ=

时取最大值,OACB S 的最大值为53

24

+………………12分 17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，

从而AB ⊥BF ． ……(1分)

又P A ⊥底面ABCD , ∴平面P AD ⊥平面ABCD ， ……(2分) ∵AB ⊥AD ，故AB ⊥平面P AD ,∴AB ⊥PD ， ……(3分) 在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF //PD ，……（4分) ∴ AB ⊥EF ． ……(5分)

由此得⊥AB 平面BEF ．……(6分)

（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系，

则)

21,0(),0,2,1(h

BE BD =-=

……(8分)

设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ，平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =，

则 ?????=?=?0

022BE n BD n

??

???=+=+-020

2hz

y y x 可取??? ??

-=h n 2,1,22 ……(10分) 设二面角E BD C 的大小为θ，则

|

||||

||,cos |cos 212121n n n n n n ??=

><=θ=

2

24522

<

+

h h ， 化简得542

>h ，所以5

5

2>h …(12分)

18解:(I )设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”

为事件A ，则3

1

)(3

91

714==C C C A P 所以32)(1)(=-=A P A P ………………（4分）

(II ) X 的取值为2,3,4,5

211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214

)3(3

914222412=+==C C C C C X P 73)3(3

91

6222612=+==C C C C C X P ，3

1

)5(3928===C C X P

…………………（8分） 所以X 的分布列为：

X 2

3 4 5

P

21

1

214 73 3

1

的数学期望21

85

31573421432112=?+?+?+?=EX ………..12分 19解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得

)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得

1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a ---------------------------------2分

所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分 又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分

而21=a ，不符合上式，所以???≥-==2

,121,

2n n a n n -------------------------------------6分

因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分

可设d

b d b +=-=3,331，

由于7,3,2321===a a a ，于是

d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，

所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）

所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分 （Ⅱ）因为

??? ??--=-=--<-=k k k k k k b k

11141)22(211)12(1)12(11222

所以，当2≥n 时

2222

2221)12(1

3111111-++=+++n b b b n

??

??????? ??--++??? ??-+??? ??-+

3121211411 ??????-+=n 1141145411=

+< -------

----------------------------------------------------12分

20.解（1）

22222

c a b a =∴= （1分） 又22b b =，得1b =22

221:1,:12

x C y x C y ∴=-+= （3分） （2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22

101

y kx

x kx y x =??--=?=-? （4分） 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ?=+?+=++++=0

M A M B ∴⊥ （6分） （3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-

1

121122

110,(,1)11

1x k y k x x A k k y y k y x ==-??=??∴-???=-=-=-????解得或，同理可得222(,1)B k k - 22

11212111122

S MA MB k k k k =

=++ （8分） 12121

1122222

1112141120421,(,)11212211

212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ?

==-??

+=?-??∴???=-++-+=???=??+?

解得或 同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++1222

21222

1216111122(12)(12)

k k S MD ME k k k k ∴==++++ （11分） 2122

2112121

52(

)(12)(12)9

16

1616

k S k k k S λ++++===≥

所以λ的最小值为

16

9

,此时k =1或-1. （13分） 21解：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分

当0=a 时，x x x f 1ln )(+

= ，221

11)(x

x x x x f -=-='. 令0)(='x f ，解得1=x ,

当10<x 时，0)(>'x f .

所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞； 所以1=x 时， )(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值 ……………3分

(Ⅱ) 222211(1)1(1)(1)

()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x ----+-'=--==> ………4分

令0)(='x f ,得1=x 或a

x 1

-= 当01<<-a 时，a

11-

<，令0)(<'x f ，得10<，

令0)(>'x f ，得a

x 1

1-<<；

当1-=a 时，0)1()(2

2

≤--='x x x f . 当1-

x 1

0-<<或1>x ， 令0)(>'x f ，得11

<<-x a

；

综上所述:

当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a

， 单调递增区间是)1,1(a

-；

当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；

当1-

-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a -

……………………10分

（Ⅲ）0≥a 时)0()

1)(1()(2

>-+=

'x x

x ax x f )0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解.

(注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.)

由(Ⅱ)知01-<+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1

(+∞-a 上有

1个解.

-1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;

1-

,0(a -内有1个解;

故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3. …………………14分