单调性与最值的练习题
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
…订…………○………______考号：___________
线…………○…………………单调性与最值检测题
一、选择题 1．设函数()()32f x a x b =++是R 上的减函数，则有（ ）
A.32a <
B.32a >
C.32a <-
D.3
2
a >- 2．函数f （x ）在[－4，4]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是（ ）
A ．f （－4），0
B ．0，4
C ．f （－4），4
D ．f （4），4
3．函数y ＝－3x 2
＋6x －2的单调递减区间是（ ） A ．（－∞，1] B ．[1，＋∞）C ．（－∞，2] D ．[2，＋∞） 4．下列函数
()x f 中，满足“对任意()+∞∈,0,21x x ，当21x x <时，都有
()()12f x f x <”的是 （ ）
A.()()2
1-=x x f B.()x
x f 1
=
C.()1+=x x f
D.()1-=x x f 5．函数y ＝f （x ）在R 上为减函数，且f （3a ）＜f （－2a ＋10），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－2）B ．（0，＋∞）C ．（2，＋∞）D ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
6．已知函数y ＝x 2
－4x ＋7在闭区间[0，m]上有最大值7，最小值3，则m 的取值范围是（ ）
A ．[2，＋∞）
B ．[0，4]
C ．（－∞，4]
D ．[2，4] 7．已知函数y ＝?mx 和y ＝
n
x
在（0，＋∞）上都是增函数，则函数f （x ）＝mx ＋n 在R 上是（ ）
A ．减函数且f （0）＜0
B ．增函数且f （0）＜0
C ．减函数且f （0）＞0
D ．增函数且f （0）＞0
8．若函数f （x ）＝23,1,
21,
1x ax a x ax x ?-+-≥?+
A ．（12-
，0） B ．[1
2
-，0）C ．（－∞，2] D ．（－∞，0） 9．已知()5(7),
(3)(7)
x x f f x x x ?
????
-≥+<＝
（x ∈N ），那么f （3）等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．设f （x ）＝2x ?3，g （x ）＝f （x+2），则g （x ）等于（ ） A ．2x ＋1 B ．2x －1C ．2x －3 D ．2x ＋7
11．若f （1+2x ）＝2
2
1x x +（x≠0），那么()2f 等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．等腰三角形的周长是18，底边长y 是一腰长x 的函数，则（ ） A ．y ＝9－x （0＜x≤9） B ．y ＝9－x （0＜x ＜9）
C ．y ＝18－2x （4．5≤x≤9）
D ．y ＝18－2x （4．5＜x ＜9）
则f[g （3）－f （－1）]＝（ ） A ．3 B ．4C ．－3 D ．5
二、填空题
14．已知f （x ）是定义在R 上的增函数，且f （x+5）＜f （3－x ），则x 的取值范围为__________．
15．对于函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋c （a∈R，且a≠0），在使f （x ）≥M 成立的所有实
数M 中，我们把M 的最大值M ，叫做函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的下确界，则f （x ）=x 2
－4x ＋6的下确界为________．
16．某超市将进货单价为10元的商品按12元一件的价格出售时，每天可销售80件，现在准备采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，当该商品利润最大时，售价应定为________元.
17．已知f （x ）＝0,0,
1,0,1,0,x x x x
=??+>?
则f （f （f （－1）））的值是__________．
18．已知函数f （x ），g （x ）分别由下表给出．
第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页
则f[g （1）]的值为____________；当g[f （x ）]＝2时，x ＝__________． 19．已知函数y ＝f （x ）满足f （x ）＝12f x ??
???
＋3x ，
则f （x ）的解析式为____________． 三、解答题
20．已知二次函数f （x ）＝ax 2
＋4ax ＋1在区间[－4，3]上的最大值为5，求a 的值． 21．已知f （x ）＝
2x
x a
-（x≠a）． （1）若a ＝2，试证f （x ）在（－∞，2）上单调递减；
（2）若0a >且f （x ）在（1，＋∞）上单调递减，求a 的取值范围．
23．要建造一个容积为1 600立方米，深为4米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米200元，池底的造价为每平方米100元． （1）把总造价y 元表示为池底的一边长x 米的函数；
（2）由于场地原因，蓄水池的一边长不能超过20米，问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？
24．已知函数f （x ）＝2＋
3
x x
-（－3 25．里约热内卢奥运会正在如火如荼的进行，奥运会纪念品销售火爆，已知某种纪念品的单价是5元，买x （x∈{1,2,3,4,5}）件该纪念品需要y 元．试用函数的三种表示法表示函数y ＝f （x ）． 26．已知函数f （x ）＝ x mx n +（m ，n 为常数，且m ≠0）满足f （2）＝1，且f （x ） ＝x 有唯一解，求f （x ）的解析式． 参考答案 1．C 【解析】函数要为减函数需满足320a +<，即32 a <- . 考点：判断或证明函数的单调性. 2．C 【解析】由函数最值的几何意义知，当x ＝－4时，有最小值f （－4）；当x ＝2时，有最大4. 考点：利用图象求最值. 3．B 【解析】∵y＝－3x 2＋6x －2＝－3（x －1）2 +1， ∴函数的单调递减区间是[1，＋∞）． 考点：函数的单调区间. 4．C 【解析】因为对任意()+∞∈,0,21x x ，当21 x x <时，都有()()12f x f x <,所以()x f 在 ()+∞,0上为增函数，只有C 选项符合题意. 考点：函数单调性的定义. 5．C 【解析】因为函数y ＝f （x ）在R 上为减函数，且f （3a ）＜f （－2a ＋10），所以3a ＞－2a ＋10， 即a ＞2. 考点：利用单调性求参数范围. 6．D 【解析】f （x ）＝（x －2）2 ＋3，∵f（x ）min ＝3，f （x ）max ＝7，且f （2）＝3，f （0）＝f （4）＝3，∴2≤m≤4，故选D. 考点：利用最值求参数范围. 7．A 【解析】∵y＝?mx 和y ＝ n x 在（0，＋∞）都是增函数，∴m ＜0，n ＜0，f （x ）＝mx ＋n 为减函数且f （0）＝n ＜0，故选A. 考点：判断或证明函数单调性. 8．B 【解析】由x≥1时，f （x ）＝－x 2 ＋ax －3a 是减函数，得a≤2， 由x ＜1时，函数f （x ）＝2ax ＋1是减函数，得a ＜0， 分段点1处的值应满足－12 ＋a×1－3a≤1×2a ＋1， 解得a≥12- ，∴1 2 -≤a＜0. 考点：判断或证明函数的单调性. 10．C 【解析】由题意知f （3）＝f （3＋3）＝f （6）＝f （6＋3）＝f （9）＝9－5＝4． 考点：分段函数求值． 11．A 【解析】∵f （x ）＝2x ?3，∴f（x+2）＝2（x+2） ?3＝2x+1， 即g （x ）＝2x+1，故选A ． 考点：求函数解析式． 12．C 【解析】解法一：令1+2x ＝t ，则x ＝ 1 2 t -（t≠1）， ∴f （t ）＝ () 2 4 11t +-，∴()2f ＝4+1＝5． 解法二: 令1+2x ＝2，得x ＝ 1 2 ，∴()2f ＝4+1＝5． 考点：解析法函数求值． 13．D 【解析】根据等腰三角形的周长公式列出函数解析式． ∵2x＋y ＝18，∴y＝18－2x ，则18－2x ＞0，∴x＜9．由构成三角形的条件（两边之和大于第三边）可知2x ＞18－2x ，得x ＞4．5， ∴函数的定义域为{x|4．5＜x ＜9}．∴y＝18－2x （4．5＜x ＜9）． 考点：解析法表示函数． 14．D 【解析】由题表可知f （－1）＝－1，g （3）＝－4，所以g （3）－f （－1）＝－4－（－1）＝－3．所以f[g （3）－f （－1）]＝f （－3）＝5． 考点：列表法求值． 15．(),1-∞- 【解析】∵f （x ）是定义在R 上的增函数，且f （x+5）＜f （3－x ），∴x+5＜3－x ，∴x＜1-，即x 的取值范围是(),1-∞-. 考点：函数单调性的定义. 16．2 【解析】f （x ）=x 2－4x ＋6＝（x －2）2＋2≥2，则f （x ）=x 2 －4x ＋6的下确界为2. 考点：二次函数求最值. 17．15 【解析】设商品售价定为x 元时，利润为y 元，则y ＝（x －10）[80－（x －12）·10] ＝－10[（x －15）2－25]＝－10（x －15）2 ＋250（10＜x ＜20）， 当且仅当x ＝15时，y 有最大值250， 即售价定为15元时可获取最大利润250元. 考点：二次函数求最值. 18．2 【解析】f （－1）＝0，f （0）＝1，f （1）＝1＋1=2， ∴f （f （f （－1）））＝f （f （0））＝f （1）＝2． 考点：分段函数求值． 19．1；1 【解析】f[g （1）]＝f （3）＝1；g[f （x ）]＝2，∴f（x ）＝2，∴x＝1． 考点：表法求函数值． 20．()()2 0f x x x x =-- ≠ 【解析】∵f （x ）＝12f x ?? ??? ＋3x ，① ∴将x 换成 1x ，得()132f f x x x ?? =+ ??? ．② 由①②消去1f x ?? ??? ，得f （x ）＝2x x --，即()()20f x x x x =--≠． 考点：消元法求函数解析式． 【解析】f （x ）＝a （x 2 ＋4x ）＋1＝a （x ＋2）2 －4a ＋1. ①若a ＜0，则当x ＝－2时，f （x ）max ＝f （－2）=－4a ＋1=5，∴a ＝－1. 考点：二次函数求最值. 22．（1）见解析；（2）(]0,1 【解析】（1）证明：当a ＝2时，f （x ）＝22 x x - （x≠2）． 设x 1＜x 2＜2， 则f （x 1）－f （x 2）＝ 1122x x -－2 222 x x - ＝()()() 2112422x x x x ---. ∵（x 1－2）（x 2－2）＞0，x 2－x 1>0， ∴f（x 1）>f （x 2）． ∴f（x ）在（－∞，2）内单调递减． （2）设1＜x 1＜x 2，则 f （x 1）－f （x 2）＝ 12 1222x x x a x a - -- ＝()()() 21122a x x x a x a ---. ∵x 2－x 1>0，0,a > ∴要使f （x 1）－f （x 2）>0，只需()()120x a x a -->恒成立， ∴a ≤1. 即a 的取值范围为(]0,1． 考点：函数单调性的定义. 23．（1）y ＝1 600（x ＋ 400 x ）＋40 000，x∈（0，＋∞）；（2）20，104 000 【解析】（1）由已知得池底的面积为 1600 4＝400（平方米），底面的另一边长为400x 米，则池壁的面积为2×4×（x ＋ 400 x ）平方米． 所以y ＝1 600（x ＋ 400 x ）＋40 000，x∈（0，＋∞）． （2）由（1）知y ＝1 600（x ＋400 x ）＋40 000（0＜x≤20）， 设0＜x 1＜x 2≤20，则 y 1－y 2＝1 600（x 1＋ 1400x ）－1 600（x 2＋2 400 x ） ＝1 600[（x 1－x 2）＋ () 2112 400x x x x -] ＝1 600（x 1－x 2）（1－ 12 400 x x ）． ∵0＜x 1＜x 2≤20，∴x 1－x 2＜0，1－ 12 400 x x ＜0，得y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2. 从而这个函数在（0，20]上是减函数，故当x ＝20时，y min ＝10 4000. 所以当池底是边长为20米的正方形时，总造价最低，为104 000元． 考点：函数单调性求最值. 24．见解析 【解析】（1）当0≤x≤3时，f （x ）＝2＋ 3 x x -＝2， 当－3 3x x --＝2 23 x -． ∴f （x ）＝2, 03,2 2,30.3 x x x ≤≤?? ?--< （3）由（2）知，f （x ）在（－3，3]上的值域为[2，4）． 考点：图象法表示函数、函数的值域． 25．见解析 【解析】这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}， 用解析法可将函数y ＝f （x ）表示为y ＝5x ，x∈{1,2,3,4,5}． 用图象法可将函数y ＝f （x ）表示如图． 考点：函数的三种表示方法． 26．f（x）＝ 2 2 x x+ 【解析】由题意知 2 2m n + ＝1，（*） 由f（x）＝x得mx2＋（n－1）x＝0． 方程mx2＋（n－1）x＝0有唯一解，则n－1＝0，所以n＝1， 将n＝1代入（*）得m＝1 2 ，所以f（x）＝ 2 2 x x+ ． 考点：函数的解析式． 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。 宝山区：23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知定义域为R 的二次函数f x ()的最小值为0，且有f x f x ()() 11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=， ()()()()aa g af a n N n n n n +-+=∈10* （1）求函数f x ()的解析式； （2）求数列{}a n 的通项公式； （3）设()()b f a g a n n n =-+31 ，求数列{}b n 的最值及相应的n 解：（1）()∴==-a fx x 112，() （2）∴-=?? ???=?? ???+--a a n n n n 13434 111 ， 虹口区：22、（本题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足12-=n n a S ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求和n n n n n n C S C S C S C S ?++?+?+?+1231201 ； （3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足： )lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m m a b b b =+++++++ ． 问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和． 解：（1）12 -=n n a （2）n n 232-? 普陀区：22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5 分 ，第3小题满分6分. 【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足 )0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n n B B ?=+，其中*n N ∈． （1）求2OA 的坐标，并证明．． 点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式； （3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？ 若存在，求P 的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）略 （2）n a 1) 32)(2(5--+=n n ，* N n ∈ 第2课时 函数的最大值、最小值 知识点 函数的最大值与最小值 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最大值是0，有f(0)＝0. [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)× 2．函数f (x )＝1 x 在[1，＋∞)上( ) A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值 C ．有最大值也有最小值 D ．无最大值也无最小值 解析：函数f (x )＝1 x 是反比例函数，当x ∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f (x )为减函数，f (1)为f (x )在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A. 答案：A 3．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5 C ．1,5 D ．－5,3 解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5. 答案：B 4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是() A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)． 答案：C 类型一图象法求函数的最值 例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)， 所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3. 当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2. 函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)， 单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． 观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)． 方法归纳 图象法求最值的一般步骤 函数的单调性与最值练习题 学校:__＿____＿__＿姓名：___________班级:______＿__＿_考号:___＿＿＿＿_＿_＿ 一、选择题(每小题4分） 1.函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( ) A.1- B.0 C.１ Ｄ．2 2.已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ） A.(1,)+∞ B.(2,)+∞ C.(,0)-∞ D ．(,1)-∞ 3.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ,总有 ()()0f a f b a b ->-成立, 则必有（ ） A.()f x 在R 上是增函数 B.()f x 在R 上是减函数 Ｃ．函数()f x 是先增加后减少 D.函数()f x 是先减少后增加 4．若在区间（-∞,1]上递减,则a 的取值范围为( ) A. [1,2) ? B. [1，2] ? Ｃ. ［1,＋∞)???D. [2,+∞） 5.函数y=x ２﹣2x ﹣1在闭区间［０，３]上的最大值与最小值的和是( ) Ａ.﹣1 Ｂ．0 C.1 Ｄ.2 6．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈,有 2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜1()3 f 的x 取值范围是( ） A.(12,23） B.［13，23） Ｃ. (13,23) D.［12,23 ) 7.已知（x)=???≥<+-)1(log )1(4)13(x x x a x a a 是（－∞,+∞）上的减函数，那么ａ的取值范围是( ) Ａ.(０，1) B ．（0，31 ） C.[71，31） D.[71,１） 8.函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ) Ａ.（-∞，－3） B ．(-∞，－1) C.(１，+∞) D ．(-3,-１) 9．已知函数()f x 是定义在[0,) +∞的增函数，则满足(21)f x -<1()3f 的x 取值范围是( ) (A ）(∞-,23） （B ）[13，23） (Ｃ）(12，∞+） (Ｄ)［12,23 ) 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2x y = B.1y x = C.2y x = D ．tan y x = 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） － 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1， x 2 当x 1 2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| (2)y (3)y ＝ ＝ x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1] 上是在x∈[－1，1] 上是． 而＝在≥上是增函数． y u0 u ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范 围． 解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数． 当≠时，对称轴＝ ， 若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1． 【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜ ＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴ ＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． ∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一 示范教案（1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时） 导入新课 思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址,新厂址的长为x m ，则宽为x 10000m ，所建围墙ym ，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y 最短? 学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+ x 10000),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题. 思路 2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x ∈［-1,2］； ③f(x)=x 2+2x+1;④f(x)=x 2+2x+1,x ∈［-2,2］. 学生回答后，教师引出课题：函数的最值. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x 2-2x 、y=-2x+1,x ∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征. 图1-3-1-11 ②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？ ③你是怎样理解函数图象最高点的? ④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C 的坐标为(x 0,y 0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C ？ 图1-3-1-12 ⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C 的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？ ⑥函数最大值的定义中f(x)≤M 即f(x)≤f(x 0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？ ⑦函数最大值的几何意义是什么？ 数列的最值问题及单调数列问题 求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2 ，通过配方或借助图象求二 次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法①0,01<>d a 时，满足?? ?≤≥+0 1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01> 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 运用数列的单调性求最大（小）项 高飞 数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列{}n a 而言，若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值，下面举例说明。 一. 整式（一次，二次）函数为背景的数列 例1. 已知等差数列{}n a （d<0）其前n 项和为n S ，若179S S =，问{}n S 中哪一项最大？ 解：因为179S S = 0a a a 171110=+++∴ 又因为1413151216111710a a a a a a a a +=+=+=+ 0a a 1413=+∴，因为d<0 所以数列{}n a 单调递减，于是0a ,0a 1413<> 14S ∴最大 点评：等差数列中，当d<0时，???≤≥+0a 0 a 1k k 时，k S 最大。 公差???≥≤>+0a 0 a 0d 1 k k 时时，k S 最小。 二. 无理根式函数为背景的数列 例2. 设函数)1x 0(log log )x (f 2 x x 2<<-=数列{}n a 满足),2,1n (,n 2)2(f n a == （1）求n a 。 （2）求{}n a 的最小项 解：（1）由已知n 2log 1log n a n a 22 22 =- 01na 2a ,n 2a 1a n 2 n n n =--=- ∴ 解得1n n a 2n +±= 1x 0<< ，即12n a < 可知0a n < 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 . 3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m 高一数学函数的单调性 与最值教案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 高一数学——函 数 第三讲 函数的单调性与最大（小）值 【教学目标】： （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性； （4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。 【重点难点】： 1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义， 2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。 【教学过程】：用具： 一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： （3）函数图象是否具有某种对称性 2、画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______ ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （2）f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______ ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x 2 ，当x 1 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的 (2)在哪些区间上升哪些区间下降 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化 （2）f (x )=x 2． ①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化 ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化 解：（1）①从左至右图象是上升的； ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． （2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小； ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗 解：不一定，例如下图： 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---； 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数. 证明：设12,x x 是R 上的任意两个实数，且12x x < （取值） 则1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+ （作差）函数的基本性质——单调性与最大(小)值
第九节：压轴题分类之单调性及分段数列
高中数学：单调性 函数的最大值、最小值 (5)
函数的单调性与最值练习题(适合高三)
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
高中一年级函数单调性完整版
函数的单调性与最值(含解析
函数的单调性·典型例题精析
示范教案(单调性与最大(小)值第课时)
数列最值问题及单调性 副本
函数的单调性 知识点与题型归纳
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
运用数列的单调性求最大(小)项
高考总复习：函数的单调性与最值
高一数学函数的单调性与最值教案
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳