数学奥林匹克高中训练题_125_

数学奥林匹克高中训练题(125)

中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005-6416(2010)01-0041-06

第一试

一、填空题(每小题7分,共56分)1.设点O 在 ABC 的外部,且

-2-3=0.则S ABC S OBC = .

2.十张卡片显示数字9072543681(如图1).将相邻两张卡片的位置互换一次称为一次操作(如第一次操作后数字从原始的9

072543681变成9027543681).则将原始数字换成一个可被99整除的数至少需要次操作.

图1

3.已知两个非零复数x 、y 的立方

和为零.则

x -y

2000

y x -y

2000

的值为 .

图2

4.如图2,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,二面角A -B D 1-A 1的度数为 ,AB BC CC 1=1 1 2.则tan = .

5.数字钟分别用两个数字显示小时、分、秒

(如10 03 18).在同一天的05 00 00~23 00 00(按小时计算)之间,钟面上的六个数字都不相同的概率是 .

6.数列{a n }满足a 0=1

,及对于自然数n,a n +1=a 2

+a n .则2011n =0

a n +

的整数部分是 .

7.已知四次多项式f (x )的四个实根构成公差为2的等差数列.则f !(x )的所有根中最大根与最小根之差是 .

图3

8.如图3,已

知M 、N 分别是单

位正方形ABCD

的边BC 、C D 上的

点,

MAN =45?,BE

AN 于点E,DF A M 于

点F,BG AM 于点G,

D H

AN 于点H.则四边形EFG H 的面积为 .

二、解答题(共44分)

9.(14分)在平面直角坐标系xOy 中,

横、纵坐标均为整数的点称为整点.已知

O (0,0)、A (2,1),M 是椭圆x 2200+y

8=1内

的整点.若S

OAM =3,求符合条件的整点M 的个数.

10.(15分)已知

a 、

b 、

c 是 ABC 的三边长,且满足

1b +1c #32

1a +1b

其中,

、分别表示循环和、循环积.试判定 ABC 的形状.

11.(15分)设a 0,a 1,?,a n 均为实数,是关

于x 的实系数方程

i=0

a i x i

=0的复数根,且

||#a n #?#a 1#a

0#1.求证:n +1

=1.

加试

一、(50分)已知PA 、PB 是

O 的切线,

A 、

B 为切点,

C 是劣弧AB 上一点,AC >BC,

PC 的延长线分别交AB 、O 于点Q 、D,E 是AB 的中点,C I

平分

ACB 交AB 于点I .求

证:I 是 CDE 的内心.

二、(50分)四位数m 和n 互为反序的正整数,且m +n =18k +9(

N +),m 、n 分

别有16个、12个正因数(包括1和本身),n 的质因数也是m 的质因数,但n 的质因数比m 的质因数少1个.求m 的所有可能值.

三、(50分)求所有的函数f:R +%R +,使得对于所有的正数x 、y,恒有

xy (f (x )+f(y ))=(x +y )f (f(x )y ).&

四、(50分)是否存在4098个集合B i ={a i 1,a i 2,?,a in }(i =1,2,?,4098,a i

j A j ={3j -2,3j -1,3j },j =1,2,?,12)满足下列三个条件:

(1)B i ?B i +1= (i =1,2,?,4098,约定B 4099=B 1);

(2)当i (j 时,B i (B j ;

(3)当2)|i -j |)4096时,B i ?B j ( ?

参考答案

第一试

一、1.

图4

如图4,设D 、E 分别是边AB 、BC 的中点,联结C D.则

OA +OB =2OD,&+=2?&-?+3得0=-2-3=2OD -6OE.

则=3因此,,且||=3||.于是,||=2||.故

S BCD S OBC =2

1=2,S ABC S OBC =2S BCD S OBC

=4.2.2.

注意到99=9+11.于是,原始数字不管经过几次操作均能被9整除.

又(9+7+5+3+8)-(0+2+4+6+1)=19,(19-11),2=4,

因为4=(7-2)+(3-4),所以,7与2、3与

4交换后,所得数字能被11整除.

3.2

-1999

或-1.

设x =wy.则w 3

+1=0.解得w =-1或w 2

-w +1=0.

当w =-1时,

原式=w w -12000

w -12000

=2-2+2-2000=2-1999.当w 2

-w +1=0时,原式=w 2

w 2

-w 2000

+w w 2

-w

2000

w 2

-1

2000

w -1

2=w

4000

2000

=(w 3)1333

w +(w 3

)666w

=(-1)1333

w +(-1)666

w 2

=-w +w 2

=-1.

4.2 6.

图5

如图5,联结AC 、AD 1、BD

1、A 1B 、CD 1.

由A 1D 1?BC,知A 1、B 、C 、D

1四点共面.

过点C 作CE BD 1于点E,交A 1B 于点F,联结AE.

由对称性可知AE BD 1,AE =EC.

所以,

AEF 是二面角A -BD 1-A 1的

平面角,即 =

AEF.

设AB =a.则BC =a,CC 1=2

a.于是,AD 1=5a,AC =2a,BD 1=6a.在R t ABD 1中,AE =

AB .AD 1BD 1

a.在 ACE 中,由余弦定理得cos

AEC =

AE 2

+CE 2

-AC

2AE .CE

=2AE 2

-AC 2

2AE

=-1

故cos =

cos AEF =c os (180?

-AEC )=-

cos

AEC =1

sin =

1-cos 2

tan =si n cos =26.5.61540

.为了满足题中的条件,设钟面显示应为h 1h 2 m 1m 2 s 1s 2(m 1<6,s 1<6,h 1(h 2).

当h 1<6,h 2<6时,m 1和s 1应在小于7中的另外四个数中选择.因而,m 1有四种选择方式,s 1有三种选择方式.

由于已选择了四个数字,m 2和s 2就只能从剩余的六个数字中选择,它们分别有六种、五种的选择方式.

在05 00 00~23 00 00之间,这种情形共有时间总数是7+4+3+6+5=2520.

当h 1、h 2中只有一个小于6时,类似可求在05 00 00~23 00 00之间,这种情形共有时间总数是8+5+4+6+5=4800.

因此,钟面上的六个数字都不相同的次数是2520+4800=7320,概率为

732018+3600=61

540.

6.3.注意到1a n +1

1a n (a n +1)=1a n -1

a n +1

1a n +1=1a n -1a n +1

.则

2011

n =01a n +1=1a 0-1a 2012=4-1

a 2012

因为a 2012>1,所以,所求整数部分为3.7.25.

设四次多项式f (x )的四个实根分别为a 、a +2、a +4、a +6.则

f (x )=k (x -a)(x -a -2)(x -a -4)(x -a -6)

(k (0).

令t =x -a -3.于是,

f (x )=k (t +3)(t +1)(t -1)(t -3)=k (t 4

-10t 2

+9)=g (t).

则g !(t)=k (4t 3

-20t)=4kt(t 2

-5).因而,g !(t)的三个根为-5、0、5.于是,f !(x )的三个根为a +3-5、a +3、a +3+5.

故(a +3+5)-(a +3-5)=25.8.1

.设MAB = ,MAN = =45?,NAD

= .则

S AEF =1

2AE .AF si n =1

AB sin .AD si n .si n =

si n .si n .sin .同理,S AGH =

cos .si n .cos .故S 四边形EFGH =S AGH -S AEF =1

si n (cos .cos -sin .sin )=12si n .cos ( + )=12si n 45?.cos 45?=

.二、9.联结OA.易知椭圆内整点在x 轴上有两个M 1(-6,0)、M 2(6,0)满足题意.

分别过点M 1、M 2作平行于直线OA 的两条直线l 1、l 2.

根据三角形等底同高面积相等可知,符合条件的整点M 均在直线l 1、l 2上.易知

k OA =

1-02-0=1

.故直线l 1、l 2的解析式分别为y =

12(x +6),y =1

(x -6).

已知M 是椭圆x 2200+y

8=1内的整点,有

x 2

200+y

8<1.分别解

x 2

200+y

8<1,y =1

(x +6)

与

x 2

200+y

8<1,y =1

(x -6),

得-10

由M 是整点,且在直线l 1、l 2上,知x 为偶数.

所以,在-10

中,x 分别有4个偶数.

故符合条件的整点的个数为8.10.设d =a +b ,e =b +c ,f =c +a.则以d 、e 、f 为边长可构成一个 DEF.于是,

si n D

=1-cos D

=1-e 2

+f 2

-d

2ef 2

(d -e +f )(d +e -f )

4ef =

(b +c)(c +a)

同理,si n E

(c +a)(a +b )

si n F 2

(a +b )(b +c)

在

DEF 中,

恒有

n D

2+sin E 2+si n F 2

)32,

当且仅当D =

E =

F =

时,式&等

号成立.

故

ab (b +c)(c +a ))3

上式两边同乘以

a +

b 得1

a +1

b )32

1a +

由式?及题设不等式得

1c 1a

1a +1

,此即为式&中等号成立.

所以,D =E =F =

d =

e =

f a +b =b +c =c +a a =b =c ABC 为等边

三角形.

11.因为是方程

i=0

a i x i

=0的根,所以,

n i=0

a i

=0 (-1)

i=0

a i

a n

n+1

i=1

(a i -a i-1)i

+a 0,

其中,a i -a i -1(i =1,2,?,n)为非负数.

又||#

||n #||i #1(i =1,2,?,n ) |a n

n +1

i =1

(a i -a i -1)||i

+a 0

)

n i =1

(a i -a i -1)||n

+a 0||n

)a n ||

||)1

||=1

a n =

a n -1=?=a 1=a 0=

1.由式&得

n +1

=1.

加试

图6

一、如图6

,过点B 作BF AC 于点

F,联结OB 、OC 、OD 、OP 、EF 、AD 、BD.则

AB.由切

割线定

理

及射影定理得

PC .PD =

=PE .

PO.

所以

,C 、D 、O 、E 四点共圆.故CEP =

ODC =OCD =OED.

从而,

CEQ =

DEQ,即EQ 平分

CED.

因为EF=1

AB=AE=EB,所以

CFE

=FAB

=PBC.

又BCF

=ADB

=ABP,则

BCF Rt PBE

故

CEF CPB ECF

=PCB.

从而,

ACE

=BC D.

因

为ACI

=BCI,所以,

ECI

QCI,即CI

是EC D的平分线.

因此,I是 CDE的内心.

二、设m=abcd,ad(0.则n=dcba.

由m+n=9(2k+1),则9|(m+n).

故9|[(1000a+100b+10c+d)+

(1000d+100c+10b+a)],

9|2(a+b+c+d),9|(a+b+c+d).

于是,9|m,9|n.

由m+n为奇数,知m与n一奇一偶.

若n为偶数,即2|n,则2|m,m为偶数.

矛盾.

因此,m为偶数,n为奇数.

记m分解质因数后,3的个数为 1,2的

个数为 2.则 1#2, 2#1.

由因数个数定理得

[( 1+1)( 2+1)]|16.

于是,( 1+1)|8, 1+1#3.

所以, 1+1=4或8, 1=3或7.

故m至多有三个质因数.

于是,n至多含有两个质因数,3是n的

一个质因数.

若n只有一个质因数,则这个质因数为

3.从而,n=311>10000,与n是四位数相

矛盾.

因此,n含有两个质因数.

设n的另一个质因数为p.

因为9|n,所以,

n=32p3或33p2或35p(p>3).

故m=2 23 1p 3( 1、 2、 3N+).

又( 2+1)( 1+1)( 3+1)=16,则

1=3, 2= 3=1,即m=54p.

由m#1000,知p#19.

此时,32p3的值大于9999.

当p=19时,33p2=9747.

而m=54p=1026不互为反序数,于是,

p#23.此时,33p2>9999.

因此,n=35p.于是,

9m=2n,

9(1000a+100b+10c+d)

=2(1000d+100c+10b+a),

818a+80b=181d+10c.&

818a)181+9+10+9=1719<3+818.

故a<3.

因为n为奇数,所以,a为奇数.故a=1.

由式&得

818+80b-10c

181

#818-10+9

181

因为m为偶数,所以,d为偶数.

于是,d=6或8.

当d=6时,由式&得

880b-110c=2948.

因为5|(80b-10c),所以,d=8.

得8b-c=63,8b=63+c#63,b#7

于是,b=8或9.

当b=8时,c=1;

当b=9时,c=9.

于是,m=1818或1998.

因为27|m,所以,m(1818.

又m=1998=2+33+37,n=8991=

35+37符合题意.

因此,m=1998.

三、将x=y=t代入式&得

2t2f(t)=2tf(f(t)t),

即 t f(t)=f(t f(t))(

t R+).?

若存在x1(x2,使得f(x1)=f(x2),则将

x =x 1,y =x 2代入式&得

x 1x 2(f (x 1)+f(x 2))=(x 1+x 2)f (f(x 1)x 2).由f (x 1)=f (x 2)及式?得

2x 1x 2f (x 2)=(x 1+x 2)f (f (x 2)x 2),即 2x 1x 2f (x 2)=(x 1+x 2)x 2f (x 2).

又x 2>0,f (x 2)>0,则2x 1=x 1+x 2,即x 1=x 2,这与x 1(x 2相矛盾.故对任意的x 1(x 2有

f (x 1)(f (x 2).

将t =1代入式?得f(1)=f (f (1)).由式/得f (1)=1.将x =1代入式&得y (1+f (y ))=(1+y )f (y ).所以,f (y )=y.

经检验,f (x )=x 满足题目要求.四、用(s ,t)表示有s 个集合A 1,A 2,?,A s 和t 个集合B 1,B 2,?,B t 符合题设条件的一个集合圈,用(B i ,p )表示B i 的所有元素与A i +1中的第p 个元素组成的一个集合.

若B 1,B 2,?,B t 满足题设条件,则(i)当t 为奇数时,

(B 1,1),(B 2,2),(B 3,1),(B 4,2),?,

(B t ,1),(B 1,2),(B 2,1),(B 3,2),?,(B t ,2)

就是一个(s +1,2t)集合圈(这里第二个分量

交替取1,2);

(ii )当t 为偶数时,

(B 1,3),(B 2,1),(B 3,2),(B 4,1),(B 5,2),?,(B k -2,1),(B k -1,2),

(B k ,3),(B k -1,1),(B k -2,2),?,(B 5,1),(B 4,2),(B 3,1),(B 2,2)是一个(s +1,2k -2)集合圈,其中,k 表示不大于t 的偶数,并且除了B 1、B k 对应的第二个分量取值为3外,其余所对应的第二个分量都交替地取1,2.

显然,有(1,3)集合圈.

根据上面构造新集合圈的方法,可依次得到集合圈:

(2,6),(3,10),(4,18),(5,34),(6,66),(7,130),(8,258),(9,514),(10,1026),(11,2050),(12,4098).故存在12个集合A 1,A 2,?,A 12和4098个集合B 1,B 2,?,B 4098构成的集合圈.(谢文晓湖北省黄冈中学,438000)

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