解三角形专题

一、正弦定理（一）知识与工具：

正弦定理：在△ABC 中，

R C

B b A a 2sin sin sin ===。

在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。

注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (3)面积公式：S=21

absinC=R

abc

4=2R 2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。

sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin

2B A +=cos 2C ，cos 2

B A +=sin 2C

（二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型

题型1 利用正弦定理公式原型解三角形

题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。

例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=?+= 题型3 三角形解的个数的讨论方法一：画图看

方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。

【典例精讲】

1. 已知ABC △中，2a =，3b =，60B =，那么角A 等于（） A ．135 B ．90 C ．45 D ．30

2. ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若26120c b B ===，，

，则a 等于（） A ．6 B ．2

C ．3

D ．2

3. ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5

,22

a b A B =

=，则c o s B =( )

（Ａ）53

（Ｂ）

（Ｃ）

（Ｄ）

4. 已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=o

，则b =

A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62-

5. 在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A b =20，A =45°，C =80°

B a =30，c =28，B =60°

C a =14，b =16，A =45°

D a =12，c =15，A =120°

6.在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，

AB的取值范围

求

7、ABC

，，，若26120△的内角A B C

，，的对边分别为a b c

，，，则

c b B

===

a=．

8、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若()C

-，

b c o s

c o s

A 则=

cos_________________。

9、已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（1

,3-），n＝（cos A,sin A）.若m⊥n，且a cos B+b cos A=c sin C，则角B＝____.

10、△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。

（1）求cos∠CBE的值；

（2）求AE。

11在ABC

?中，角,,

a=，

a b c，23

A B C所对应的边分别为,,

tan

tan 4,22

A B C

++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c

12 ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=．（Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．

13 ABC △中，5cos 13A =-，3

cos 5

B =．（Ⅰ）求sin

C 的值；

（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．

14 ABC 中，C-A=2

π， sinB=13

（I ）求sinA 的值；

(II)设AC=6，求?ABC 的面积。

15 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，6

A π

=，(13)2c b +=．

（1）求C ；

（2）若13CB CA ?=+，求,,a b c ．

二余弦定理（一）知识与工具： a 2

=b 2

+c 2

﹣2bccosA cosA=bc

2c b 2

22-+;b 2=a 2+c 2

﹣2accosB cosB=

b c a 22

22-+

c 2

=a 2

+b 2

﹣2abcosC

cosC=

c b a 22

22-+

注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°；(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 (3)面积公式：S=

absinC=R abc 4=2R 2sinAsinBsinC

(4)三角函数的恒等变形。

（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型

题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形

题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

题型3 判断三角形的形状

结论：根据余弦定理，当a 2+b 2＜c 2、b 2+c 2＜a 2、c 2+a 2＜b 2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a 2+b 2＞c 2、b 2+c 2＞a 2，c 2+a 2＞b 2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。

判断三角形形状的方法：

(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。

在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。

正余弦定理在实际中的应用求距离

两点间不

可通又不可

视

两点间可视但不可达

两点都不可达

求高度

底部可达

底部不可达

题型1 计算高度题型2 计算距离题型3 计算角度题型4 测量方案的设计

实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。（三）其他常见结论

1三角形内切圆的半径：2S r a b c

++，特别地，2

a b c r +-=

斜

直

2三角学中的射影定理：

在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 3两内角与其正弦值：

在△ABC 中，B A B A sin sin

【典例精讲】

1在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（） A ．23

π B ．

π C ．

π D ．3

2在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为 A. 6

π B.

3π C.6

π或56π

π或23π

3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 A. 18

43 C. 23 D. 8

4在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______

5在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =4

1（a 2+b 2

－c 2），则∠C 的度数是_______

6在△ABC 中，若∠C =60°，则c

a b

c b a ++

+=_______

7已知△ABC 中，2

2（sin

A －sin 2C ）=（a －b ）sin

B ，外接圆半径为

（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值

8在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则

cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .

9在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,3,30,a b c ===?则A ＝ .

10若2,2AB AC BC ==，则ABC S ?的最大值 .

11设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p2+q2,AB=3p2+2pq-q2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项

12在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，AB的取值范围

求

13某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=600，∠ABP=1200，∠ACP=1350，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）

14在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3

1cos =A 。（Ⅰ）求A C

B 2cos 2

sin 2

++的值；（Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值。

三、解三角形的综合应用

【典例精讲】

1. 如图，在四边形A B C D 中，已知A D C D ⊥,10AD =, 14AB =, 60BDA ∠=?,

135BCD ∠=?,求BC 的长.

2. 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=．（Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，；

（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．

(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底??= ?2 1ABC S ；（2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径（两边夹一角）； 6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角

高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册

专题05 三角函数与解三角形大题部分【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。【温馨小提示】此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文）已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）.当时,求函数)(x f 的最小值和最大值【答案】（1）π, （2）【解析】（1） ,π=T , 单调递增区间为；（2） ∴当时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知中,角所对的边分别是 ,

且,其中是的面积,. （1）求的值；（2）若,求的值. 【答案】（1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数．（1）求f（x）的解析式并写出单增区间；（2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围．【答案】（1）,单调递增区间为；（2）．

专题21 解三角形(知识梳理)(新高考地区专用)(原卷版)

专题21 解三角形（知识梳理）一、知识点 1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===。 (其中R 为ABC ?的外接圆的半径) 正弦定理的变形公式：①A R a sin 2?=，B R b sin 2?=，C R c sin 2?=； ②R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin =； ③C B A c b a sin :sin :sin ::=； ④C c B b A a C B A c b a sin sin sin sin sin sin ===++++； 2、三角形面积定理：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21?=?=?= ?； r c b a S ABC )(2 121++=?=?高底； (其中r 为ABC ?的内切圆的半径) 3、余弦定理：A bc c b a cos 22 22?-+=?bc a c b A 2cos 2 22-+=； B ac c a b cos 22 22?-+=?ac b c a B 2cos 2 22-+=； C ab b a c cos 22 22?-+=?ab c b a C 2cos 2 22-+=； 4、射影定理：B c C b a cos cos ?+?=，A c C a b cos cos ?+?=，A b B a c cos cos ?+?= 5、设a 、b 、c 是ABC ?的角A 、B 、C 的对边，则：①若222c b a =+，则 90=C ； ②若222c b a >+，则 90C 。 6、三角形解的个数的讨论 A ∠为锐角 A ∠为钝角或直角 b a A b < b a ≤

中考专题复习解三角形

1．（10分）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？ 2. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝20m ，某人在点A 处，测得塔底C 的仰角为45o ，塔顶D 的仰角为60o ，求山高BC （精确到1m ，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈） 3．(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)

4．(８分)某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使0 30=∠ADC （如图所示）．（1）求调整后楼梯AD 的长；（2）求BD 的长．（结果保留根号） 5．(８分)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ，∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位） 6．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：，）．

高考解三角形专题(一)及答案

解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在中，内角为钝角，，，，则（） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列，则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角的对边分别为 ,且 ,则的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为． 9.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab

三角函数与解三角形专题训练

三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用【通俗原理】 1?三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式： 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式：其中由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式： si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式：① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(

其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R，证明：sin(-) cos

4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ，求cos( )的值. 2 ?若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 ， sin() 2，求芽的值.

3 5 6

1 2?若sin2 2，求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型：①知三个条件（知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等 ② 知两个条件，求某个特定元素或范围； ③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形： b c a a c cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系：在 △ ABC 中, ②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）. 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程：① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底??=?2 1ABC S ；（2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径（两边夹一角）； 6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角

高二解三角形综合练习题

解三角形一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝( ) A．1 B.3 C．2 D．3 2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线l1：sin A·x＋ay＋c＝0与l2：bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是( ) A．平行B．重合 C．垂直D．相交但不垂直 3．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( ) A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形 4．在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分，则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D．0 5．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3＋6 2 D. 3＋39 4 6．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为( ) A．1

C.7