平面几何习题
选考部分 第十二篇
几何证明选讲（选修4-1）
第1节 相似三角形的判定及有关性质
一、选择题 1. 如图所示,在△ABC 中,DE ∥BC,DF
∥AC,AE=2,AC=3,BC=4,则BF 的长为(
)
(A) (B)
(C) (D)
2.如图所示,?ABCD 中,AE ∶EB=2∶5,若△AEF 的面积等于4 cm 2,则△CDF 的面积等于(
)
(A)10 cm 2 (B)16 cm 2 (C)25 cm 2 (D)49 cm 2
3.一个直角三角形的一条直角边为3,斜边上的高为,则这个三角形的外接圆半径是( ) (A)5
(B)
(C)
(D)25
4.如图所示,在△ABC 中,MN ∥DE ∥BC,若AE ∶EC=7∶3,则DB ∶AB 的值为(
)
(A)3∶7 (B)7∶3 (C)3∶10 (D)7∶10 二、填空题
5.已知圆O 的直径AB=4,C 为圆上一点,过C 作CD ⊥AB 于D,若CD=,则
AC=
.
6.如图所示,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE ∥AC,EF ∥BC,AB=15,AF=4,则DE=
.
7.如图所示,矩形ABCD 中,E 是BC 上的点,AE ⊥DE,BE=4,EC=1,则AB 的长为
.
8.(2013年高考陕西卷)如图,AB 与CD 相交于点E,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=
.
9.(2013陕西师大附中高三第四次模拟)如图所示,已知AB 和AC 是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D.过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E,与AB 相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD 的长
为 .
10.如图所示,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交于点F,则AF 的长为
.
11. 如图所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB=4,CD=2,E,F 分别为AD,BC 上的点,且EF=3,EF ∥AB,则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为
.
12.(2013年高考湖北卷)如图,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D,点D 在半径OC 上的射影为E.若AB=3AD,则的值为
.
三、解答题
13.如图所示,平行四边形ABCD 中,E 是CD 延长线上的一点,BE 与AD 交于点F,DE=
CD.
(1)求证:△ABF ∽△CEB;
(2)若△DEF 的面积为2,求平行四边形ABCD 的面积.
14.(2012高考新课标全国卷)如
图,D,E 分别为△ABC 边AB,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F,G 两点.若CF ∥AB,证明
:
(1)CD=BC;
(2)△BCD ∽△GBD.
15.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,EF 经过梯形对角线的交点O,且EF ∥
AD.
(1)求证:OE=OF; (2)求:+的值;
(3)求证:+=.
第2节 直线与圆的位置关系
一、选择题
1.(2012年高考北京卷)如图所示,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E,则(
)
(A)CE ·CB=AD ·DB (B)CE ·CB=AD ·AB (C)AD ·AB=CD 2 (D)CE ·EB=CD 2
2.(2013北京市海淀区期末)如图所示,PC 与圆O 相切于点C,直线PO 交圆O 于A,B 两点,弦CD 垂直AB 于E,则下面结论中,错误的结论是(
)
(A)△BEC ∽△DEA (B)∠ACE=∠ACP (C)DE 2=OE ·EP (D)PC 2=PA ·AB 二、填空题
3.圆内接平行四边形一定是 .
4.如图所示,已知☉O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,过C 点的切线与AB 的延长线交于P,PC=5,则☉O 的半径为
.
5.如图所示,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,延长BC 到E,已知
∠BCD ∶∠ECD=3∶2,那么∠BOD 等于
.
6.(2013高新一中、交大附中、师大附中、西安中学(五校)高三第三次模拟)以Rt △
ABC 的直角边AB 为直径的圆O 交斜边AC 于点E,点D 在BC 上,且DE 与圆O 相切.若∠A=56°,则∠BDE=
.
7.(2012年高考湖北卷)如图,点D 在☉O 的弦AB 上移动,AB=4,连接OD,过点D 作OD 的垂线交☉O 于点C,则CD 的最大值为
.
8.(2012年高考陕西卷)如图所示,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF ⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF ·DB=
.
9.
(2012宝鸡市高三质检)已知PA 是☉O 的切线,切点为A,PA=2 cm,AC 是☉O 的直径,PC 交☉O 于点B,AB=
cm,则△ABC 的
面积为 cm 2
.
10.(2013东阿一中调研)如图所示,AB 是☉O 的直径,P 是AB 延长线上的一点,过P
作☉O 的切线,切点为C,PC=2,若∠
CAP=30°,则PB=
.
11.(2013年高考天津卷)如图所示,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E,AD 与BC 交于点F.若
AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF 的长为
.
12.(2013年高考广东卷)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC=CD,过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB=6,ED=2,则BC=
.
三、解答题
13.(2013山西省康杰中学高三第二次模拟)如图所示,AD 平分∠BAC 且其延长线交△ABC 的外接圆于点
E.
(1)证明:△ABE ∽△ADC;
(2)若△ABC 的面积S=AD ·AE,求∠BAC 的大小.
14.(2013宁夏银川一中第一次月考)如图所示,已知PE 切圆O 于点E,割线PBA 交圆O 于A,B 两点,∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于点
C,D.
(1)求证:CE=DE; (2)求证:=.
15.AF 是圆O 的直径,B,C 是圆上两点,AB 与AC 的延长线分别交过点F 的切线于点D,E.求证
:
(1)B,C,E,D 四点共圆; (2)AB ·AD=AC ·AE.
16.(2014吉林省白山市第一中学高三8月摸底)如图所示,△ABC 内接于☉O,AB=AC,直线MN 切☉O 于点C,弦BD ∥MN,AC 与BD 相交于点
E.
(1)求证:△ABE ≌△ACD; (2)若AB=6,BC=4,求AE 长.
平面解析几何 经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。
最新平面几何练习题
平面几何选讲练习题 １．如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ， 过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P. （1）求证:AD ∥EC; （2）若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD 的长; 2．如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相 交于点G ，连接DC . 求证：BA ·DC =GC ·AD . 3． 已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AE= 31AC ，BD=3 1 AB ，点F 在BC 上，且CF= 3 1 BC 。求证： （1）EF ⊥BC ； （2）∠ADE=∠EBC 。 B E D O 1 O 2 A P C
F E D A B C ４．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F . （1）求FC BF 的值； （2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面 积为2S ，求21:S S 的值． ５．已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线交 AE 于点F ，交AB 于D 点. （1）求ADF ∠的度数； （2）若AB=AC ，求AC:BC . ６．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B,C 两点． 求证:∠MCP=∠MPB ． O A B D E F
7．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 于点M 、N ，直线BMN 交AD 的延长线于点C ，NC MN BM ==，2=AB ，求BC 的长和⊙O 的半径. 8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作 CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M . （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）求证：AM ·MB =DF ·DA . 9．如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点， 圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点. （Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求∠OAM ＋∠APM 的大小. 10．如图 ，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点A ，过A 点作直线AP 垂直直线OM ， 垂足为P. （Ⅰ）证明：OM ·OP=OA 2； （Ⅱ）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交 直线ON 于K.证明：∠OKM=90° B M C O P
高一数学立体几何练习题及部分标准答案汇编
立体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（） A 030 B 030 C 0 150 D 以上结论都不对 2.在空间，下列命题正确的个数为（） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（） A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）
8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块 14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________ 三、解答题 15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形ABCD A B C D -的棱AA 和棱CC 上的点，且
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
平面几何习题集
解答题 1、（2008广东）如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线 CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.求证：△ABD ∽△AEF ． 2、（2008湖北武汉）（本题6分）如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC 。 求证：△ABC ∽△FDE ． 3(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交 于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =； （2）.MN CN DN AN ?=? 4（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E. （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD （2）已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点.设DP ＝xcm （x ＞0）， 四边形BCDP 的面积为ycm 2 . ①求y 关于x 的函数关系式； ②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值. F E D C B A D P A E F C B
第5题图 A B C D E P O R 图 5、(2008安徽)如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点， BR 分别交AC CD ，于点P Q ，． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求::BP PQ QR ． 6(2008年广东梅州市)本题满分8分． 如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ． （1）求证： ?ADE ∽?BEF ； （2）设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值． 7.(2008年广东梅州市)本题满分8分． 如图8，四边形ABCD 是平行四边形．O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分别交AB 、DC 于点E 、F ，与CB 、AD 的延长线分别交于点G 、H ． （1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）； （2）除AB =CD ，AD =BC ，OA =OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．
高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结
线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，
平面解析几何初步(知识点 例题)
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平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.
最新初二平面几何知识点讲解及习题
课堂练习题 一、相信你的选择 1．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是 ( )． A ．AC ⊥BD B ．OA=O C C ．AC=B D D ．A0=OD 2．如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂 垂直平分线交AD 于E ，则△CDE 的周长是（ ）． A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=60°， BD 平分∠ABC ，如果这个梯形的周长为30，则BC 的 长是（ ）． A 、18 B 、12 C 、8 D 、6 4、如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形ABCD 各边 的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长和面积分别为（ ）． A 、8 2cm 和8cm 2 B 、162cm 和32cm 2 C 、8cm 和8 2 cm 2 D 、8cm 和8cm 2 二、试试你的身手 1、正方形ABCD 中，对角线BD 的长是20cm ，P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距离之和是 cm ． 2、如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转 30°后得正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，则DH 的长为 ． 三、挑战你的技能。 1．如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ． (1)求证：四边形AFCE 是平行四边形． 2．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE. G A F B C D A
《平面解析几何》复习试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析 因为x 23－y 2 9 ＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ， 即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A
解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ， 又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析 双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0 平面几何习题大全 下面的平面几何习题均是我两年来收集的，属竞赛围。共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。 几何计算-1 命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少？ 解：设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF <==> 10/y=x/15 <==> xy=150. 所以，矩形DECF的面积150. 几何证明-1 命题在圆接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。 证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。 易证ΔAPO≌ΔORD，所以DR=OP,AP=OR， 故OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。 因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。 证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD，所以易证 RtΔAPO≌RtΔORD，故得DR=OP,AP=OR， 即OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。 因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。 几何不等式-1 命题设P是正△ABC任意一点，△DEF是P点关于正△ABC的接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F]，记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P 点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M]，记面积为S2。求证:S2≥S1 。 证明设P点关于正△ABC的重心坐标为P(x,y,z)，a为正△ABC的边长，则正△ABC的面积为S=(a^2√3)/4。 由三角形重心坐标定义易求得: AD=za/(y+z),CD=ya/(y+z),CE=xa/(z+x),AE=za/(z+x),AF=ya/(x+y),BF=xa/(x+y). 故得: △AEF的面积X=AE*AF*sin60°/2=Syz/(z+x)(x+y); △BFD的面积Y=BF*BD*sin60°/2=Szx/(x+y)(y+z); △CDE的面积Z=CD*CE*sin60°/2=Sxy/(y+z)(z+x). 从而有S1=S-X-Y-Z=2xyzS/(y+z)(z+x)(x+y)。 因为P点是△KNM的费马点，从而易求得: 平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =- 平面几何练习一 一、填空: 1.在同一平面内不相交的两条直线叫( ). 2.12个正方形可以摆成( )种不同形式的长方形. 3.在等腰三角形中,如果顶角为124°,底角各是( ),这个三角形是 ( )角三角形. 4.把两个边长都是2厘米的正方形拼成一个长方形,这个长方形的周长是 ( ),面积是( ). 5.一个平行四边形,底是24厘米,高2分米,面积是( ). 6.一个等边三角形,周长是12.6厘米,它的边长是( )厘米. 7.周长是28厘米的长方形,长是10厘米,面积是( ). 8.一个梯形的面积是10平方分米,高是4分米,上底是 2.2分米,下底是 ( )分米. 9.一个圆,周长是 6.28分米,它的面积是( ). 二、判断: 1.小明画了一条25厘米长的直线. 2.等边三角形和等腰三角形都是锐角三角形. 3.两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形. 4.平行四边形和长方形的周长相等,它们的面积也相等. 5.半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等. 6.半圆的周长是和它等半径的圆周长的一半. 7.平行四边形不是对称图形,没有对称轴. 8.一个四边形,四个角相等,四条边也相等,这个四边形是正方形. 9.钝角三角形只有一组底和高. 10.一个三角形中,不可能有两个钝角. 三、选择: 1.从一点引出两条( )就组成一个角.A直线 B线段 C射线 2.一个四边形只有一组对边平行,这个四边形是( ). A平行四边形B任意四边形C梯形 3.把长方形拉成一个四条边长度保持不变的平行四边形后,它的面积 ( ).A比原来大B比原来小C与原来相等 4.下列图形中,( )的对称轴有无数条. A正方形B等边三角形C圆 5.用两根同样长的铁丝,分别围成一个正方形和一个圆.正方形的面积和圆的面积 相比较,( ).A正方形的面积大B同样大C圆的面积大 四、操作题: 1.过一条直线外一点,画出这条直线的垂线和平行线. 2.分别画出下列三角形的三条高. 3、计算下面图形的周长和面积:(单位:厘米) 五、应用题: 1.一个运动场(如图),两头是半圆形,中间是长方形,这个运动场的周长是多少 米?面积是多少平方米? 2.一个长方形养鸡场,一条长边利用原有墙,其余三面是竹篱笆,已知篱笆共长 24米,宽是长的 2 1 ,鸡场的面积是多少平方米? 3.抗日战争时期王庄民兵自制一种土雷,爆炸时,有效杀伤距离是15米,它的有 效杀伤面积是多少平方米? 4.张村有一块边长是56米的正方形苹果园,苹果树的株距是4米,行距7米,这 块地共有苹果树多少棵?如果每棵平均可以收苹果165千克,这个果园一年 共收苹果多少千克? 5.一块长1米20厘米,宽90厘米的铝皮,剪成直径是30厘米的铝锅底,最多可 以剪几块? 全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N 5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0 1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系． 平面几何练习题 一. 选择题： 1. 如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 相等且互补 2. 如图，l l 12//，AB l ABC ⊥∠=1130， ，则∠=α（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 A l 1 B l 2 α C 3. 如图，l l 1211052140//，，∠=∠= ，则∠=α（ ） A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 l 1 1 α 2 l 2 4. 如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 4个 α 5. 如图，已知AB CD //，∠α等于（ ） A. 75 B. 80 C. 85 D. 95 A B 120° α 25°C D 6. 如图，AB CD MP AB MN ////，，平分∠∠=∠=A M D A D ，，4030 ，则 ∠N M P 等于（ ） A. 10 B. 15 C. 5 D. 75. B M C A N P D 7. 如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是 （ ） A. 42138 、 B. 都是10 C. 42138 、或4210 、 D. 以上都不对 二. 证明题： 1. 已知：如图，∠=∠∠=∠123，，B AC DE //，且B 、C 、D 在一条直线上。 求证：AE BD // A E 3 12 4 B C D 2. 已知：如图，∠=∠CDA CBA ，DE 平分∠C D A ，BF 平分∠C B A ，且∠=∠ADE AED 。 求证：DE FB // D F C A E B 3. 已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012 ，。 求证：∠=∠E F 平面几何习题大全 下面得平面几何习题均就是我两年来收集得,属竞赛范围。共分为五种类型,１，几何计算；２,几何证明;３,共点线与共线点;4,几何不等式；5，经典几何。 几何计算－1 命题设点Ｄ就是Rt△ＡBC斜边AＢ上得一点,DE⊥BC于点E,DF⊥AＣ于点Ｆ.若AF=１5,BＥ=1０,则四边形ＤECF得面积就是多少？ 解：设DＦ=CE=x,DE=ＣF=ｙ、∵Ｒt△BEＤ∽Rt△ＤFA，∴BE/DＥ=DF/AF <=＝> 10/y＝x/15 〈==> xy=150、? 所以，矩形ＤECF得面积１5０、 几何证明—1 命题在圆内接四边形ＡBCＤ中，O为圆心,己知∠ＡOB+∠COD=１80、求证:由O向四边形ＡBCD所作得垂线段之与等于四边形ABCD得周长得一半。?证明（一）连OA，OB，OC,OD,过圆心O点分别作AＢ，ＢC，ＣD，DA得垂线，垂足依次为Ｐ,Q，Ｒ,S。易证ΔAPO≌ΔORD，所以DR＝OP，AＰ=OR, 故OＰ+OＲ=DＲ+AP＝(CD+AB)/2。 同理可得：OＱ＋OS=（DA+BＣ)/２. 因此有ＯＰ+OＱ+ＯR+OS=（ＡB+BC＋CD+ＤＡ)／２。 证明（二）连OＡ,OＢ,ＯＣ，ＯD，因为∠AOB+∠CＯD＝１80°,ＯA=OD,所以易证 RtΔＡPO≌RtΔＯＲD，故得ＤR=OP,AP=OＲ， 即OP＋ＯR=DR+AP=（CD＋AＢ)/２。 同理可得：OQ+ＯＳ=（DＡ＋BC)/２。 因此有OP+OQ＋OR+OＳ＝(ＡＢ+BC+CＤ+DA）/2. 几何不等式－1 命题设P就是正△AＢC内任意一点，△DEF就是P点关于正△ABC得内接三角形[AP，BＰ,CＰ延长分别交BＣ，ＣA,ＡB于D,Ｅ，F］,记面积为Ｓ１;△ＫNM就是Ｐ点关于正△ABC得垂足三角形［过Ｐ点分别作BC,ＣA，AＢ垂线交于K，Ｎ,M］,记面积为S2.求证：S2≥Ｓ１ . ?证明设Ｐ点关于正△AＢC得重心坐标为Ｐ（x，y，z),a为正△ＡBＣ得边长,则正△ABC得面积为S=(ａ^２√3）／4. ?由三角形重心坐标定义易求得：?AＤ=za/（y+z），ＣD=ｙa/(ｙ+z)，CＥ=xa/(ｚ+ｘ)，AE＝za／（z＋x)，AＦ=ya／（x+ｙ），BF=xａ/(ｘ+y)、 故得: △ＡＥＦ得面积X＝AE＊AF*ｓｉn60°/2=Syｚ/（z+ｘ)(ｘ+y）; △BFD得面积Y=ＢF＊BD＊ｓin6０°／２＝Ｓzx/（x+ｙ）(y＋z)；?△CDE得面积 Z=CD*CE＊sｉn60°／2＝Ｓxy／（y+ｚ)(ｚ+x)、 从而有S1=Ｓ—Ｘ—Y-Ｚ＝2xｙzS／（ｙ+z)（z+x)（x+y)。 因为P点就是△KＮM得费马点,从而易求得： PＫ=（xa√3)/［２(x+y＋z)]， PN＝(ya√３)/[2(x+y+z）]，?PM＝(za√3）/[2（x+ｙ+z）］、 故得: Ｓ2=(PＮ*ＰM+ＰM＊ＰK＋ＰK＊PＮ)＊siｎ1２0/2=3S(ｙz+ｚx+xｙ)/[4(x+y+z)^２］。 3/4)*(yz+zx+xy）/(x＋y＋ｚ）＾2≥2xｙz/（y+z)(ｚ+x)所以待证不等式Ｓ2≥S1等价于: ?( （x＋y)；?＜＝===〉３（y+z）（z＋x)(ｘ+y）(ｙz＋ｚｘ+xy）≥8xyｚ（x+ｙ+ｚ)^2; 点、直线、平面之间的关系 ㈠平面的基本性质 公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。 公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。 即：a∥b，b∥c a∥c 1.2 异面直线 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵作异面直线成角的方法：平移法。 注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理： 1.3 性质定理： 2 线面角： 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜 交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： ⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面的两条线段，那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即： 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理： 图2-3 线面角 图2-5 判定1推论 图2-6 判定2 平面解析几何 一、直线得倾斜角与斜率 1、直线得倾斜角与斜率 （1）倾斜角得范围 （2）经过两点得直线得斜率公式就是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不就是每条直线都有斜率 2、两条直线平行与垂直得判定 （1)两条直线平行 对于两条不重合得直线,其斜率分别为，则有。特别地，当直线得斜率都不存在时,得关系为平行。 (2)两条直线垂直 如果两条直线斜率存在，设为,则 注:两条直线垂直得充要条件就是斜率之积为—1,这句话不正确;由两直线得斜率之积为—1，可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为—1。如果中有一条直线得斜率不存在，另一条直线得斜率为０时，互相垂直。 二、直线得方程 1、直线方程得几种形式 三、直线得交点坐标与距离公式 三、直线得交点坐标与距离公式 １、两条直线得交点 设两条直线得方程就是，两条直线得交点坐标就就是方程组得解,若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就就是交点得坐标；若方程组无解,则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之,亦成立。 ２、几种距离 (1)两点间得距离平面上得两点间得距离公式 （2）点到直线得距离 点到直线得距离； (３)两条平行线间得距离 两条平行线间得距离 注：(１)求点到直线得距离时,直线方程要化为一般式; （2）求两条平行线间得距离时，必须将两直线方程化为系数相同得一般形式后，才能套用公式计算 （二)直线得斜率及应用 利用斜率证明三点共线得方法： 已知若，则有Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线。 注:斜率变化分成两段，就是分界线，遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。 直线得参数方程 〖例1〗已知直线得斜率k=-ｃｏｓ(∈R)、求直线得倾斜角得取值范围。 思路解析：cos得范围斜率k得范围ｔａn得范围倾斜角得取值范围. 〖例2〗设就是互不相等得三个实数，如果在同一直线上，求证： 思路解析:若三点共线，则由任两点所确定得直线斜率相等或都不存在。 〖例3〗已知点M（2,2）,Ｎ（5,－2）,点P在x轴上，分别求满足下列条件得Ｐ点坐标。 （１）∠MOＰ=∠ＯPN（O就是坐标原点); （2)∠MPＮ就是直角。 思路解析：∠MOP=∠OＰＮＯM／/ＰN,∠MPＮ就是直角MPＮP,故而可利用两直线平行与垂直得条件求得。 注：（1）充分掌握两直线平行得条件及垂直得条件就是解决本题得关键,对于斜率都存在且不重合得两条直线与，。若有一条直线得斜率不存在，那么另一条直线得斜率就是多少一定要特别注意 〖例４〗求过点P(２,－1)，在x轴与y轴上得截距分别为a、ｂ，且满足a=3b得直线方程.平面几何习题集大全
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