2012年1月平谷初三数学期末试题及答案

2

5．平谷区2011～2012学年度第一学期末考试试卷

初 三 数 学 2012年1月

一、选择题（本题共24分，每小题3分） 下列各小题均有4个选项，其中只有一个．．选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填在下 表中相应的题号下面。

1．－3

的绝对值是

A ．3

B ．－3

C ．3±

D ． 1

3

2．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A 的值是 A ． B ．

C ． D.

3．2011年10月29日《北京日报》报道：“从1998年至今，全市共有3 000 000人次参加了 无偿献血”，将3 000 000这个数用科学记数法表示为 A ．5

310?

B ．5

3010?

C ．7

0.310?

D ．6

310?

4．如图，⊙O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ， 则⊙O 的半径长为 A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 5．在平面直角坐标系xoy 中，以点（3,4-）为圆心，4为半径的圆 A ．与x 轴相交，与y 轴相切 B ．与x 轴相离，与y 轴相交 C ．与x 轴相切，与y 轴相离 D ．与x 轴相切，与y 轴相交

6. 袋中有同样大小的3个小球，其中2个红色，1个白色．从袋中任意地同时摸出两个球，

这两个球都是红球的概率是 A ．

12 B ．13 C ．2

3

D ．1 7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC =6，D ，

E 分别在AB ，AC 上， 将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在A ′处，若A ′为CE 的中点， 则折痕DE 的长为 A ． B ．2 C ．4 D ．5

12

51

2

8.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于O ， ∠ABD =30°，AC ⊥BC ，AB =8cm ，则△COD

的面积为

A 2

B ．243

cm

C 2

D ．2

23

cm

二、填空题（本题共15分，每小题3分）

9.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点， AC 是⊙O 的直径，∠P = 40°，则∠BAC = _ °． . 10.如果抛物线 与x 轴交于不同的两个点， 那么m 的取值范围是____ ． . 11.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果 ∠DAB =52°，那么∠ACD ＝ ____ °． .

12. 已知一次函数b x y -=与反比例函数 的图象，有一个 交点的纵坐标是2，则b 的值为____ ． 13．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA =4， 点P 是 半圆弧AC 的中点，联结BP ，线段BP 把图形 APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分， 则这两部分面积之差的绝对值是________.

三、解答题（本题共9分，其中第14小题5分，第15小题4分）

14．计算：0

1

12sin 603tan 452012()2

-?+?-- 解 ：

15.已知230x -=，求代数式2

2

(4)(1)x x x x +-+的值． 解：

233y mx x =

--x y 2

=

四、解答题（本题共15分，每小题5分）

16. 已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°， BC =6.求AB 的长. 解：

17. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝80o，∠BAC ＝40o，AB 的垂直平分线

分别与AC 、AB 交于点D 、E ，连接BD ．

求证：△ABC ∽△BDC ． 证明：

18.如图，已知点E 在△ABC 的边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC 相切 于点D ，且AD 平分∠BAC ． 求证：AC ⊥BC ． 证明：

五、解答题（本题共15分，每小题5分）

19.如图，在平面直角坐标系中，点A B C P ，，，的坐标分别 为(02)(32)(23)(11)，，，，，，，．

（1）请在图中画出A B C '''△，使得A B C '''△与ABC △关于 点P 成中心对称；

（2）直接写出（1）中A B C '''△的三个顶点坐标． 解：

20.右图中曲线是反比例函数7

n y x

+=

的图象的一支. (1)这个反比例函数的另一支位于哪个象限？常数n 的取值范围是什么？ （2）若一次函数24

33

y x =-

+的图象与反比例函数的图象交于点A ， 与x 轴交于点B ，△AOB 的面积为2，求反比例函数的解析式. 解：

21.如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =5，AD =3，对角线AC ⊥BD ，且∠DBC =30°. 求梯形ABCD 的高.

解：

B A

D

C

22. 如图，Rt△OAB中，∠OA B＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB

沿x轴正方向平移1个单位长度后得△

11

AA B．

（1）求以A为顶点，且经过点

1

B的抛物线的解析式；

（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．

解：

23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．

（1）证明：

C

24. 如图，一次函数的图象与反比例函数y1= –3

x

(0)

x<的图象相交于A点，

与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当1

x<-时，一次函数值大于反比例函数的值，当1

x>-时，一次函数值小于反比例函数值.

（1）求一次函数的解析式；

（2）设函数y2= a

x

(0)

x>的图象与y1= –3

x(x<0)的图象关于y轴对称.在y2=

a

x

(0)

x>

的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP

的面积等于2，求P点的坐标.

解：

x

25.已知关于x 的二次函数2y ax bx c =++(a >0)的图象经过点C (0,1)，且与x 轴交于不同的 两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0）. （1）求c 的值；

（2）求a 的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y =1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的 对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△PAB 的面积为S 2，当01a <<时，

求12S S -的值. 解：

5.平谷区2011～12学年度第一学期末初三数学试卷参考答案和评分标准

一 、选择题（本题共24分，每小题3分）

二、填空题（本题共15分，每小题3分）

9. 20? ；10. 3

04m m >-≠且 ； 11. 38°； 12.1b =-； 13. 4.

三、解答题（本题共9分，其中第14小题5分，第15小题4分）

14．解 ：0

1

12sin 603tan 452012()2

-?+?--

=2112?-- (4)

分 …………………………………………………………………………..5分 15.解：

∵ ，

四、解答题（本题共

15分，每小题5分）

16.解：作AD ⊥BC 于点D . ………………………1分

∵ AB =AC ，∠BAC =120°，

∴ ∠B =30°，BD =1

32

BC =…………………..2分 在Rt ABD ?中， ∵ cos ,BD

B AB =

…………………………………………………………………3分 ∴ 3

cos cos30BD AB B =

==?

………………………………………………5分 17. 证明：

∵ DE 是AB 的垂直平分线，

∴ AD =BD . ……………………………………………..1分

∵ ∠BAC ＝40o， ∴ ∠ABD =40°…………………………………………2分 ∵ ∠ABC =40°， ∴ ∠DBC =40° ∴ ∠DBC =∠BAC . ……………………………………3分

∵ ∠C ＝∠C ， ……………………………………………………………………. 4分 ∴△ABC ∽△BDC ．…………………………………………………………………. 5分

230x -=22323322(4)(1)4(21)4223(23)x x x x x x x x x x x x x x x x

x x +-+=+-++=+---=-+=--

18. 证明：连接OD . ……………………………….……1分

∵ OA = OD ，

∴ ∠1 =∠3. …………………………………..2分 ∵ AD 平分∠BAC ，

∴ ∠1 =∠2.

∴ ∠2 =∠3. ∴ OD ∥AC . ………………………………………. 3分 ∵ BC 是⊙O 的切线，

∴ OD ⊥BC . …………………………………………………………………….…4分 ∴ AC ⊥BC ．………………………………………………………………………..5分

五、解答题（本题共15分，每小题5分）

19. （1）A B C '''△如图所示． …………………………..2分 （2）由（1）知，点A B C '''，，的坐标分别为

(20)(10)(01)--，，，，，．………………………………………5分

20. 解：(1) 这个反比例函数的另一支位于第四象限；………1分

常数n 的取值范围是7.n <- ……….………………….2分 (2) 设点A （m ，n ），令24

033

x -

+=，得， 2.x = ∴ B （2,0）………………………………………….3分

依题意，得

1

22OB n ?=，∴ 2.n = ∴ 24

233

m -+=，解得 1.m =-

∴ A （1,2-）………………………………………4分 ∴ 2

y x

=-

…………….………………………………………………………………5分 21. 解：作DE ∥AC ,交BC 的延长线于点E ,作DF ⊥BE ,垂足为F . ………………….…….1分

∵ AD ∥BC, ∴ 四边形ACED 为平行四边形.

∴ AD =CE =3，BE =BC +CE =8. …………..2分 ∵ AC ⊥B D ， ∴ DE ⊥BD .

∴ △BDE 为直角三角形 ，90.BDE ∠=? ∵ ∠DBC=30°，BE=8,

∴4,DE BD == …………………………………………………….……………………..4分 在直角三角形BDF 中，∠DBC=30°,

∴DF =. …………………………………………………………………………5分

B

A D

C

E

F

六、解答题（本题共10分，每小题5分）

22. 解：（1）由题意，得A (1，0)，1A (2，0)，1B (2，1)．…………………………………1分

设以A 为顶点的抛物线的解析式为2(1)y a x =- ∵ 此抛物线过点1B (2，1)，∴ 1＝a (2－1)2．

∴ a ＝1．

∴ 抛物线的解析式为y ＝(x －1)2． ………………….……………………………2分 （2）∵ 当x ＝0时，y ＝(0－1)2＝1．

∴ D 点坐标为 (0，1)． …………………………………………………………3分 由题意可知OB 在第一象限的角平分线上，故可设C (m ，m)， 代入y ＝(x －1)2，得m ＝(m －1)2，

解得m 1＝3－52＜1，m 2＝3

＋5

2

＞1（舍去）．…………………………………….. 4分

∴ 33(

22

C . ……………………………………………………………….. 5分 23. (1)证明：连接O

D . ……………………………………………………………………….1分

∵ AB =AC ，

∴ ∠C =∠OBD

∵ OD =OB ,

∴ ∠1=∠OBD . ……………………………………2分 ∴ ∠1=∠C .

∴ OD ∥AC . ∵ EF ⊥AC ，

∴ EF ⊥OD .

∴ EF 是⊙O 的切线. …………………………….3分 (2)解：连接AD.

∵ AB 为⊙O 的直径，

∴ ∠ADB =90°. ………………………………………………………………………4分 又 ∵ AB =AC ， ∴

1

32

CD BC =

=. ∴ 4AD =. ∴ ， ∴125ED = ………………………….……..…5分

七、解答题 (本题共12分，每小题6分)

24. 解：（1）∵x < –1时，一次函数值大于反比例函数值，当x >–1时，一次函数值小于

反比例函数值. ∴ A 点的横坐标是–1，∴ A （–1，3） ……1分

设一次函数解析式为y = kx +b ，因直线过A 、C 则320,k b k b -+=??

+=?解得：1

2.k b =-??=?

∴ 一次函数解析式为y = –x +2 ………….3分

11

22

AC ED AD CD ?=?

（2）∵ y 2 = a x (0)x > 的图象与y 1= – 3

x

(0)x <的图象关于y 轴对称，

∴ y 2 = 3

x (0)x > ……………………………………………………….………….4分

∵ B 点是直线y = –x +2与y 轴的交点，∴ B (0，2) …………………………………5分 设3

(,)p n n

，n >2 ，

∵ –2BOC BOQP S S ?=四形边，

∴

131(2+)222,22n n -??= 解得52

n =. ∴ P （52，6

5

） ………………………………………………………………………….. 6分

25.解：(1)将点C （0，1）代入2

y ax bx c =++得 1c =. …………………………………….1分

（2）由(1)知21y ax bx =++，将点A （1，0）代入得 10a b ++=， ∴ (1)b a =-+ ∴ 二次函数为()211

y ax a x =-++ ……………………………….…………………….2分

∵ 二次函数为()2

11y ax a x =-++的图象与x 轴交于不同的两点，

∴ △ > 0. 而()()

2

2

2

2

14214211a a a a a a a a ?=-+-=++-=-+=-????

∴ a 的取值范围是 0a >且1a ≠………….3分 (3) ∵ 01a <<

∴ 对称轴为

∴ …………………4分

把1y =代入2

(1)1y ax a x =-++

得， ，解得

∴ ………………………………………………………………….………..5分

∴ 1

2PCD PAB ACD CAB S S S S S S ????-=-=- ＝

1111=

11122a a a a

+-??-??=…………………………………..…………6分 平谷

11

122a a x a a

--+=-

=>11212a a

AB a a +-??=-

= ???1210,a

x x a

+==()210ax

a x -+=1a

CD a

+=11

22

CD OC AB OC

??-?

?