【恒心】广东省惠州市2015届高三第二次调研考试数学(理科)试题及参考答案【全国首发版】

惠州市2015届高三第二次调研考试

数 学 试 题 （理科） 2014.10

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡一并交回。 参考公式：①如果事件A B 、互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B) ②如果事件A B 、相互独立，则P(A B)=P(A)P(B)??

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.

1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}

2|40B x x =-=，则A

B =( )

A ．{}2-

B ．{}2

C ．{}2,2-

D ．?

2. 复数(1)z i i =?+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3. 双曲线2

2

28x y -=的实轴长是( )

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．4 2 4. 设向量(1,0)a =，11,22b ??

=

???

，则下列结论中正确的是( ) A ．a b = B ．2

a b ?=

C ．//a b

D ．a b -与b 垂直 5. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则( ) A ．

e m =0m =x B ．e m =0m

6. 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7. 已知0a >,x ,y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥??

+≤??≥-?

，若2z x y =+的最小值为1，则a =( )

A.

14 B. 1

2

C ．1

D ．2 8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当恒谦网各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x = ([]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为( ) A ．10x y ??=?

??? B ．310x y +??=???? C ．410x y +??=???? D ．510x y +??

=????

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分．） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．已知224(0)()0(0)4(0)x x x f x x x x x ?->?

==??--

，则不等式()f x x >的解集为 ．

10．曲线:C ln x

y x

=

在点(1,0)处的切线方程为 ． 11．5

232x x ?

?- ??

?展开式中的常数项为 ．

12．锐角ABC ?中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则角A 等于 ． 13．在正项等比数列{}n a 中，51

2

a =

，673a a +=， 则满足1212n n a a a a a a ++

+>???的最大正整数n 的值为________．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得

分．

14．（极坐标与参数方程）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=，圆心为C ，点P 的极坐标为

4,3π??

???

，则||CP =________.

15．（几何证明选讲）如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于,A B

两点，C 是⊙O 上的一点，若70P ∠=?，则ACB ∠=________.（用角度表示）

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

设向量(

)

3sin ,sin a x x =

，()cos ,sin b x x =，0,2x π??

∈????

．

（1）若a b =，求x 的值；

（2）设函数()f x a b =?，求()f x 的最大值．

17．（本题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(]490,495，(]495,500，…，(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的

分布列；

（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．

18．（本题满分14分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB =，

1AD =，PD ⊥底面ABCD ．

（1）证明：PA BD ⊥；

（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．

19．（本题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，21212

33

n n S a n n n +=---，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对一切正整数n ，有12

11

174

n a a a +++

<．

20．（本题满分14分）

如图，已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交

椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）记△1GF D 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，

使得12S S =？说明理由．

21.（本题满分14分）

已知0a >，函数2

()ln f x x ax =-．（()f x 的图像连续不断） （1）求()f x 的单调区间； （2）当18a =

时，证明：存在()02,x ∈+∞，使03()()2

f x f =； （3）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，

证明：

ln 3ln 2ln 2

53

a -≤≤

．

惠州市2015届高三第二次调研考试

理科数学答案与评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1【解析】本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握．由240x -=，解得

2x =±，所以{}2,2B =-，又{}2A =-，所以{}2A B =-，故选A.

2【解析】本题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，∵(1)1i z i i =?+=-+∴复数z 在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，位于第二象限．

3【解析】本题考查双曲线方程及其简单几何性质。双曲线方程可变形为22

148

x y -=，

所以2

4,2,24a a a ===.

42

2

2211101,()()a b =+==

+= 11110222a b ?=?+?=；211

()022

a b b a b b -?=?-=-=，故a b b -与垂直．

5【解析】由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多， 故0m ＝5，233410566372829210

30

x ?+?+?+?+?+?+?+?=

≈5.97

于是得0m

ββ=?⊥，根据两个平面垂直的性质定理可得b α⊥，

又因为a α?，所以a b ⊥；反过来，当//a m 时，因为b m ⊥，一定有b a ⊥，但不能保证b α⊥，即不能推出αβ⊥.

7【解析】本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数2z x y =+的几何意义为直线l ：2y x z =-+在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点(1,2)B a -时，目标函数2z x y =+的最小值为1，则

1221,2

a a -==

。

8【解析】当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用取整函数[]y x = ([]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为310x y +??

=?

???

． 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） 第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分． 9．(5,0)

(5,)-+∞ 10．10x y --= 11．40 12．

6

π

13．12

14． 15．55°

9【解析】本题考查分段函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论及化归能力及运算能力．

由()f x x >，可得240x x x x ?->?>?或240

x x x x ?-->?

解得550x x ><<或－，所以原不等式的解集为(5,0)

(5,)-+∞．

10【解析】本题考查导数的几何意义。考查考生的求导运算及求直线方程的能力。 由ln ()x f x x =

，则'21ln ()x f x x

-=.所以'(1)1f =，即切线L 的斜率为1。又切线L 过点(1,0)，所以切线L 的方程为1y x =-. 一般方程为 10x y --=. 11【解析】本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力．

()

()52105155322r

r

r r r r r T C x

C x x --+??

=?-=-? ???

，令1050r -=，得2r =， 故常数项为()2

2

35240T C x =-?=.

12【解析】本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化

能力与三角变换能力．由正弦定理得，2sin a B b =可化为2sin sin sin A B B =，又

sin 0B ≠，所以1sin 2A =，又ABC ?为锐角三角形，得6

A π

=.

13【解析】本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．

设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >．由5671,3,2a a a =

+=可得21

()3,2

q q += 即260,q q +-=所以2q =，所以62n n a -=，数列{}n a 的前n 项和5522n n S --=-，所以

()(11)2

2

12

12

n n n

n n a a a a a -==，由1212n n a a a a a a +++>???可得

(11)5

5

2

2

22

n n n ---->，由(11)5

2

2

2

n n n -->，可求得n 的最大值为12，而当13n =时，

8513222-->不成立，所以n 的最大值为12.

14【解析】由4cos ρθ=可得圆的直角坐标方程为2

2

(2)4x y -+=，圆心(2,0)C ．点P 的

直角坐标为(2,P ，所以CP =

15【解析】如图所示，连接,OA OB ，则,OA PA OB PB ⊥⊥.

故110O AOB ∠=，∴1

552

ACB AOB ∠=

∠=. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）

解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质．

(3sin a == .......... （1分）

(cos 1b x =

=， ............（2分）

及a b =，得21

sin 4

x =. 又0,2x π??

∈????

，从而1sin 2x =， .............（4分） 所以6

x π

=

.............（6分）

（2） 211

()3sin cos sin 2cos 222

f x a b x x x x x =?=?+=

-+

1

sin(2)62

x π

=-

+ ， ..............（9分） 当0,

2x π??

∈????

时，52,666x πππ??-∈-???? 所以当2,62

3

x x π

π

π

-

=

=

即时，sin(2)6

x π

-

取得最大值1 .......（11分）

所以()f x 的最大值为3

2

. ...........（12分） 17．（本题满分12分）

解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为

[](0.010.05)54012+??=(件)． ..............（2分）

(2)Y 的可能取值为0,1,2. .............（3分）

22824063

(0)130

C P Y C ===

..............（4分） 1128122

4056

(1)130

C C P Y C === ..............（5分） 21224011

(2)130

C P Y C ===

...............（6分） Y 的分布列

为

..........（7分）

(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3........（8分） 令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，

则~(5,0.3)B ξ， .........（10分）

故所求概率为2

235(2)(0.3)(0.7)0.3087P C ξ==?=........（12分）

18．（本题满分14分）

解：（1）证明：因为60DAB ∠=?，2AB AD =，

由余弦定理得BD ==. .............（2分） 从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥. .............（3分）

PD ⊥面,ABCD BD ?面ABCD ，PD BD ∴⊥............（4分）

又,AD PD D ?=

所以BD ⊥平面PAD . .............（5分） 故PA BD ⊥. .............（6分）

（2）如图，以D 为坐标原点，射线DA ，DB ，DP 分别为x ,y,z 的正半轴建立空间直角坐标系

D －xyz ，

则(1,0,0),((0,0,1)A B C P -．

(AB =

-1)PB =-，(1,0,0)BC =- .........（8分）

设平面P AB 的法向量为(,,)n x y z =，

则00n AB n PB ??=???=??

即00

x z ?-+=?-=

因此可取(3,1,n =． .............（10分）

设平面PBC 的法向量为m ，则00

m PB m BC ??=???=??

可取(0,1,m =- ...............（12分）

则4cos ,m n -=

=

故钝二面角A －PB －C 的余弦值为－27

7

. ...............（14分）

注：第二问若使用几何法按找到并证明二面角的平面角得4分，求出二面角的平面角的余弦值得4分。其它方法酌情给分。

19．（本题满分14分）

解：本题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力． （1）（解法一）

依题意，1212

21,33

S a =-

--又111S a ==，所以24a = ………（2分） 当32112

2233

n n n S na n n n +≥=-

--时，， 3211

2

2(1)(1)(1)(1)3

3

n n S n a n n n -=------- ， 两式相减得

323211212

2()((1)(1)(1)(1))3333

n n n a na n n n n a n n n +=-----------

整理得 1(1)(1)n n n a na n n ++=-+，即111n n

a a n n

+-=+， ………（6分） 又

21121a a -=，故数列n a n ??

????

是首项为1，公差为1的等差数列， 所以

11(1),n

a n n n

=+?-=所以2n a n = ………（8分） （解法二）

21212

33

n n S a n n n +=--- ， 11=a ，得9432==a a ，， .......（2分） 猜想()6

)

12(1++=

n n n S n .............（3分）

下面用数学归纳法证明：

（1）当1n =时，猜想成立； （2）假设当n k =时，猜想也成立，即()1(21)

6

k k k k S ++= .............（4分）

当1+=k n 时，

2121233k k S a k k k +=

+++=()221(21)12

633

k k k k +++++

()1(21)(1)(2)

3

3

k k k k ++++=

+21(33)13

k k k ++==+（）（），........（5分）

11k k k S S a ++∴=+

()22

1(21)(1)(276)(1)(2)(23)1666

k k k k k k k k k k ++++++++=++==

（） 1n k ∴=+ 时，猜想也成立 ............（6分） 由（1），（2）知，对于n N *?∈，猜想成立。

∴2

12n n n n a S S n -≥=-=当，，当1n =，也满足此式，故2

n a n = .........（8分） （2）证明：当1

17

114

n a ==<

时，； ………（9分） 当1211157

21444

n a a =+

=+=<时，； ………（10分） 当211111

3(1)1n

n a n n n n n ≥=

<=-

--时，， ………（12分） 此时

222212

11

111111234

n a a a n

+++

=+++++

1111111111717

1()()(

)14233414244

n n n n <+

+-+-++-=++-=-<- 综上，对一切正整数n ，有

12

1117

4

n a a a +++

< ……………（14分） 20．(本题满分14分)

解：（1）因为1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列， 所以4222121==+=F F AF AF a ，所以2a =.

……（2分）

又因为1c =，所以23b =， ……（3分）

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=. ……（4分）

（2）假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．

设AB 方程为(1)y k x =+ …（5分）

将其代入22

143

x y +=，整理得 2222(43)84120k x k x k +++-= …（6分）

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 2

122843

k x x k -+=+．

故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+．所以 22243(,)4343

k k

G k k -++．……（8分）

因为 DG AB ⊥，所以 2223431443

D

k

k k k x k +?=---+， 解得 22

43

D k x k -=+， 即 2

2(,0)

43k D k -+

……（10分） 1Rt GDF ?和1Rt ODE ?相似，∴若12S S =，则GD OD = ……（11分）

所以

……（12分） 整理得 2890k +=． ……（13分） 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． ……（14分） 21.（本题满分14分）

解：（1）2

'

112()2,(0,).ax f x ax x x x

-=-=∈+∞ ......(1分)

令'

()0f x =

，解得x =

......(2分) 当x 变化时，'

(),()f x f x 的变化情况如下表：

......(3分)

所以，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.......(5分) （2）证明：当18a =

时，21

()ln 8

f x x x =-， 由(1)知()f x 在(0,2)内单调递增，在(2,)+∞内单调递减．

令3()()()2

g x f x f =-． .....(6分) 由于()f x 在(0,2)内单调递增，故3(2)()2

f f >，即(2)0

g >.......(7分)

取'

322

x e =>，则2'

419()032e g x -=<.

所以存在'0(2,)x x ∈，使0()0g x =，

即存在0(2,)x ∈+∞，使03

()()2

f x f =． ……..（9分） (说明：'x 的取法不唯一，只要满足'2x >，且'

()0g x <即可．)

（3）证明：由()()f f αβ=及(1)的结论知αβ<

<， 从而()f x 在[],αβ上的最小值为()f α， ......(10分) 又由1βα-≥，[],1,3αβ∈，知123αβ≤≤≤≤ .......(11分) 故(2)()(1)(2)()(3)f f f f f f αβ≥≥??

≥≥?即ln 24ln 24ln 39a a

a a -≥-??-≥-?

......(13分)

从而

ln 3ln 2ln 2

53

a -≤≤

………（14分）