初三第七讲二次函数(二) 2

第七讲 二次函数2y a x b x c

=

++的系数讨论 一．知识梳理：

知识点1、二次函数2y ax bx c =++的性质讨论: 函数 二次函数2y ax bx c =++ (a 、b 、c 为常数，0a ≠)

图 象 0a > 0a <

性 质

（1）0a >时，开口向上； （2）对称轴2b x a =-

，顶点坐标是2

4(,)24b ac b a a

--； （3）在对称轴的左侧，即2b x a <-

时，x y ↑↓，

在对称轴右侧，当2b x a >-时，x y ↑↑；

（4）抛物线有最低点，当2b x a =-

时，y 有最小值，y 最小值2

44ac b a

-=.

（1）0a <，开口向下；

（2）对称轴2b

x a

=-，顶点坐标是2

4(,)24b ac b a a

--； （3）在对称轴的左侧，即2b

x a <-，x y ↑↑，在对称轴的右侧，即2b

x a

>-，x y ↑↓；

（4）抛物线有最高点，当2b x a

=-时，y 有最大值，y 最大值2

44ac b a

-=.

知识点2、二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠图象与a 、b 、c 及2

4b ac -的符号之间的关系.

（1）．二次项系数a 决定抛物线的开口方向．

0a >?开口向上；0a

x a

=-

． 0b =?抛物线的对称轴是y 轴；

0ab a b >（、同号）?抛物线的对称轴在y 轴的左侧；

0(ab a b <、异号）?抛物线的对称轴在y 轴的右侧．可简记为“左同右异”．

（3）．c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标．

0c =?抛物线经过原点；

0c >?抛物线与y 轴交于正半轴； 0c

（4）．2

4b a c ?

=-确定抛物线与x 轴交点．

抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交，交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根 0?>?一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个交点；（设与x 轴两交点分别为A 、B ，则有||||

AB a =

） 0?=?一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线与x 轴有一个交点； 0?

二、精典题型剖析：

考点一、由抛物线的位置确定a b c 、、的符号（或关系）

例1（西安）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图1所示，则下列关于a 、b 、c 间的

关系判断正确的是（ ）

（A ）ab <0 （B ）bc <0 （C ）a+b+c >0 （D ）a －b+c <0

2 二次函数2

y ax bx c =++的图象如图2所示，则abc 、

2

4b ac -、2a b +、a b c ++、a b c -+这5个代数式中，值为正数的有哪些？

3（日照）己知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列结论： （1）0>+-c b a

（2）方程02

=++c bx ax 两根之和大于零 （3）y 随x 的增大而增大

（4）一次函数bc x y +=的图象一定不过第二象限， 其中正确的个数是（ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

x y O （图1）

1

O

x

y

图3

（图2）

练习1．抛物线2

y ax bx c =++

的图象如图，则下列关系式中成立的是 .

A. 0abc >

B. 0a b c ++<

C. 2

a a

b a

c >-

D. 20a b +>

练习2、二次函数c bx ax y ++=2

的图象的 顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点(,0)A m 和 点B ，且4m >，则AB 的长是（ ） A. 4m + B. m C. 28m - D. 82m -

练习3．函数y ax b =+与2y ax bx c =++的图象如图所示：则正确的是 . A. 0,0ab c >> B. 0,0ab c <>

.0,0

.0,0C ab c D ab c <<><

考点二、由系数符号判定抛物线的位置

例4（宁夏）已知000a b c <>>，，，那么抛物线2y ax bx c =++的顶点在（ ）

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

练习．若20,0,0,40a b c b ac >>>->，则抛物线2y ax bx c =++不经过第 象限. 考点三、一元二次方程的根与抛物线之间的关系 例5.（2011绵阳）．若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程（x －a ）（x －b ）= 1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为（ ）

A ．x 1＜x 2＜a ＜b

B ．x 1＜a ＜x 2＜b

C ．x 1＜a ＜b ＜x 2

D ．a ＜x 1＜b ＜x 2 练习1. （2011兰州）关于x 的方程2

()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程2

(2)0a x m b +++=的解是 。

练习2．已知抛物线622

-+=mx x y 与x 轴两交点间的线段长为4，则m 的值是 。 练习3. 若二次函数y=(m+2)x 2﹣x+

4

1

的值永远为正，则m_______ 练习4．（2012泰安）二次函数2

y ax bx =+的图象如图，若一元 二次方程2

0ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ） A ．3- B ．3 C ．6- D ．9 考点四、二次函数的增减性：

例6．如图，抛物线的顶点坐标是P （1，3）， 则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的 取值范围是（ ） A. x>3

B. x<3

C. x>1

D. x<1

1

O

x

y

－1

练习1．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）

A ．213y y y >>

B ．312y y y >>

C ．321y y y >>

D ．312y y y >> 练习2．已知二次函数2

132

y mx mx n =-

-+，(0m <)设自变量x 的值分别为x 1，x 2，x 3， 且－3

A.213y y y >>

B. y 1

C. y 2>y 3>y 1

D.312y y y >>

三、能力提升：

1．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是①y = ax 2；②y = bx 2；

③y = cx 2； ④y = dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ） A. a >b >c >d B. a >b >d >c C. b >a >c >d D. b >a >d >c

2．（2012?乐山）二次函数y =ax 2

+bx +1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t =a +b +1，则t 值的变化范围是（ ）

A ．0＜t ＜1

B ．0＜t ＜2

C ．1＜t ＜2

D ．﹣1＜t ＜1

3．（2012?德阳）设二次函数y =x 2

+bx +c ，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是（ ）

A c=3

B c ≥3

C 1≤c ≤3

D c ≤3

4．（2012潜江）已知二次函数y =ax 2

+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴 的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a =0； ②abc ＜0；③a ﹣2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有（ ）

A 3个

B 2个

C 1个

D 0个

5．（2012杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y =k （x 2

+x ﹣1）的图象交于点A （1，k ）和点B （﹣1，﹣k ）．

（1）当k =﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．

望子成龙学校家庭作业

校区： 教室： 科目： 数学 学生姓名：_________

1．已知二次函数22(21)1y x a x a =+++-的最小值为0，则a 的值为 . 2.（2007南充）如图是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分， 图象过点()0,3-A ，对称轴为1-=x 。给出四个结论：①ac b 42

＞；

②02=+b a ；③0=+-c b a ；④b a ＜5。其中正确结论是（ ） A 、②④ B 、①④ C 、②③ D 、①③ （2）（天津市）已知二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图

（3）所示，有下列5个结论：①0＞abc ；②c a b +＜；③024＞c b a ++；④b c 32＜； ⑤()b am m b a ++＞()

的实数1≠m ，其中正确的结论有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 第二部分：

3．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个交点，且交点为(2,0)A . （1）求b 、c 的值;

（2）若抛物线与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ，求△OAB 的周长. （答案可带根号）

第三部分：

3．已知抛物线22(24)10y x m x m =-++-与x 轴交于A 、B 两点，C 是抛物线的顶点. （1）求顶点C 的坐标（用含m 的代数式表示） （2）若AB 的长为22，求抛物线的解析式

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