广东省广州市海珠区2018届高三综合测试(一)文数试题

海珠区2018届高三综合测试（一）

数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. }1{},|{2≥=<=x B x x x A ，则=?B A （ ）

A ．R

B ．),0(+∞

C ．}1{

D ．),1[+∞ 2.已知i 为虚数单位，复数)2(i i z -=的模=||z （ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．3 3.如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10

4. ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知4

,6

,2π

π

=

=

=C B b ，则ABC ?的面积为（ ）

A ．34

B ．13+ C. 3 D ．

2

1

3+ 5.在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

A ．5和6.1

B ．85和6.1 C. 85和4.0 D ．5和4.0

6.函数)10(|

||

|log )(<<=

a x x x x f a 图象的大致形状是（ ）

A ．

B ．

C.

D ．

7. 设函数)3

2cos()(π

-

=x x f ，则下列结论错误的是（ ）

A ．)(x f 的一个周期为π-

B ．)(x f y =的图像关于直线32π=x 对称 C. )2

(π

+x f 的一个零点为3

π

-

=x D ．)(x f 在区间]2

,3[

π

π上单调递减

8.如图，点N M ,分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱1111,D A B A 的中点，用过点N M A ,,和点1,,C N D 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ） A ．①③④ B.②④③ C. ①②③ D ．②③④

9.已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的渐近线与圆1)3(22=-+y x 相切，则双曲线的离心率为（ ）

A ．2

B ．3 C.

2 D ．3

10.若函数122)(++=x x a

x f 为奇函数，???≤>=0

,0,ln )(x e x x a x g ax ，则不等式1)(>x g 的解集为（ ）

A ．)1,0()0,(e ?-∞

B ．),(+∞e C. ),0()0,(e ?-∞ D ．)1,(e

-∞

11.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为（ ） A ．

29163 B ．29161 C. 1581 D ．15

80

12.已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x

的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）

A ．)()()1(b f a f f <<

B ．)()1()(a f f b f << C. )1()()(f b f a f << D ．)()1()(b f f a f <<

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量)3,(),,1(x b x a ==

，若b a //，则=||a ．

14.已知抛物线)0(22

>=p px y 的焦点F 与双曲线13

22

=-y x 的右焦点重合，若A 为抛物线上一点，且3||=AF ，则直线AF 的斜率等于 ．

15.已知高为8的圆柱内接于一个直径为10的球内，则该圆柱的体积为 ．

16.已知函数x x x f cos 12sin 5)(-=，当0x x =时，)(x f 有最大值13，则0tan x = ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为*1,12,N n S a S n n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设13log +=n n a b ，求数列}{n n b a +的前n 项和n T .

18. 如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，⊥ED 面3

,π

=∠BAD ABCD .

（1）求证：平面//BCF 平面AED ；

（2）若a BD BF ==，求四棱锥BDEF A -的体积.

19. 小明家订了一份报纸，暑假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示.

（1）根据图中的数据信息，求出众数1x 和中位数2x （精确到整数分钟）；

（2）小明的父亲上班离家的时间y 在上午00:7至30:7之间，而送报人每天在1x 时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A ）的概率.

20. 已知椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在原点，离心率2

2

=e ，直线2:+=x y l 与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为21,A A ，点M 是椭圆上异于21,A A 的任意一点，直线21,MA MA 的斜率分别为21,MA MA k k .证明：21MA MA k k ?为定值. 21. 已知函数1ln )1(2

1)(2

+++-=

x a x a x x f . （1）若2=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 的极大值； （2）求实数a 的范围，使得1)(≥x f 恒成立.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为

??

???

+==3sin

23cos ππt y t x （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为)4cos(22πθρ-=. （1）直线l 的普通方程和曲线C 的参数方程；

（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l 垂直，求D 的直角坐标. 23. 选修4-5：不等式选讲 已知|12||32|)(--+=x x x f . （1）求不等式2)(

（2）若存在R x ∈，使得|23|)(->a x f 成立，求实数a 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:BADDA 6-10:BDCCB 11、12：CA

二、填空题

13. 4 14.

5

4

15. ]2,(-∞ 16.①②④ 三、解答题

17．解：由题意得)2(12,1211≥+=+=-+n S a S a n n n n

两式相减得)2(32)(2111≥=?=-=-+-+n a a a S S a a n n n n n n n ， 所以当2≥n 时，}{n a 是以3为公比的等比数列. 因为3,

312121

2

112==+=+=a a a S a 所以，

31

=+n

n a a ，对任意正整数成立，}{n a 是首项为1，公比为3的等比数列， 所以得13-=n n a .

（2）n a b n n n ===+3log log 313， 所以n b a n n n +=+-13，

2

132)1(3131)1321()33333()3()13()33()23()13(21221012210-++=

++--=+-++++++++++=++-++++++++=----n n n n n n n n T n n n n n n n

18.证明：（1）由ABCD 是菱形，

AD BC //∴

?BC 面?AD ADE ,面//BC ADE ∴面ADE

由BDEF 是矩形DE BF //∴

?BF 面?DE ADE ,面//BF ADE ∴面ADE

?BC 面?BF BCF ,面∴=?B BF BC BCF ,面//BCF 面ADE .

（2）连接O BD AC AC =?, 由ABCD 是菱形，BD AC ⊥∴

由⊥ED 面?AC ABCD ,面AC ED ABCD ⊥∴

?BD ED , 面⊥∴=?AO D BD ED BDEF ,面BDEF ，

则AO 为四棱锥BDEF A -的高 由ABCD 是棱形，3

π

=

∠BAD ，则ABD ?为等边三角形，

由a BD BF ==；则a AO a AD 2

3,=

= 2a S BDEF =，

3

26

32331a a a S BDEF V =??=-

.

19. 解：（1）00:71=x

由频率分布直方图可知10:750:62<

5.00233.0)410(0117.0200033.0202=?-+?+?∴x

解得4192=x 分即59:62=x . （2）设报纸送达时间为x

则小明父亲上班前能取到报纸等价于

??

?

??≤≤≤≤≤y x y x 5.775

.75.6，

如图：

所求概率为：43

2

181

1=-=P .

20.解：（1）设椭圆C 的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x .

离心率2222,2,2

2

c b c a e ==∴=

. 直线2:+=x y l 与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆O 相切，

4,2,22

2

22=∴=∴==

∴a c b . ∴椭圆C 的方程为12

42

2=+

y x . （2）证明：由椭圆C 的方程得)0,2(),0,2(21A A -，

设M 点的坐标为),(00y x ，则1242

020=+y

x .

)4(2

12

02

0x y -=

∴. 214

)

4(214222020202

000002

1-=--=-=-?+=?∴x x x y x y x y k k MA MA . 21MA MA k k ?∴为定值2

1

-.

21. 解：（1）x

a

a x x f +

+-=')1()(

2=x 是)(x f 的极值点

02

)1(2)2(=+

+-='∴a a f 解得2=a

当2=a 时，x

x x x x x x x x f )

2)(1(2323)(2--=+-=+-='

当x 变化时，

)(x f 的极大值为2

)1(-=f .

（2）要使得1)(≥x f 恒成立，即0>x 时，

0ln )1(2

12

≥++-x a x a x 恒成立， 设x a x a x x g ln )1(2

1)(2

++-=

， 则x

a x x x a a x x g )

)(1()1()(--=++-='

（i ）当0≤a 时，由0)(<'x g 得函数)(x g 单调减区间为)1,0(，由0)(>'x g 得函数)(x g 单调增区间为

),1(+∞，此时021)1()(min ≥-

-==a g x g ，得2

1

-≤a . （ii ）当10<'x g 得函数)(x g 单调增区间为

),1(),,0(+∞a ，此时02

1

)1(<-

-=a g ，∴不合题意. （iii ）当1=a 时，)(,0)1()(2

x g x

x x g ≥-=

'在)0(∞+上单调递增，此时021)1(<--=a g ，∴不合题意 （iv ）当1>a 时，由0)(<'x g 得函数)(x g 单调减区间为),1(a ，由0)(>'x g 得函数)(x g 单调增区间为

),(),1,0(+∞a ，此时02

1

)1(<-

-=a g ，∴不合题意. 综上所述：2

1

-

≤a 时，1)(≥x f 恒成立.

22. 解：（1）由?????+==3sin 23cos ππt y t x ，的???

????+==t y t x 23221，

消去t 得直线l 的普通方程为23+=x y . 由θθπ

θπ

θπ

θρsin 2cos 2)4

sin sin 4cos

(cos 22)4

cos(22+=+=-

=，

得θρθρρsin 2cos 22+=.将y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,222代入上式， 曲线C 的直角坐标方程为y x y x 2222+=+，即2)1()1(22=-+-y x . 得曲线C 的直角坐标方程为??

?+=+=α

αsin 21cos 21y x （α为参数，πα20<≤）

（2）设曲线C 上的点为)sin 21,cos 21(αα++D ， 由（1）知C 是以)1,1(G 为圆心，半径为2的圆.

因为C 在D 处的切线与直线l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相等，

60,3tan ==αα或者 240=α，

故D 得直角坐标为)261,221(++

D 或者)2

6

1,221(--D . 23.解：（1）不等式2)(

<-++≤≤-2

)12()32(2123x x x 或?????

<--+>2

)12()32(21x x x ， 解得23-

3

<≤-x ，所以不等式1)(

（2）存在R x ∈，使得|23|)(->a x f 成立， 故需求)(x f 的最大值.

4|)12()32(||12||32|=--+≤--+x x x x ，

所以4|23|<-a ， 解得实数a 的取值范围是)2,3

2

(-

.