【精品】2018年奥数夏令营讲义 ——平面几何(教师版共187页)
【精品】2018年奥数夏令营讲义
——平面几何
目录
一、等差幂线定理 (3)
二、共边比例定理、分角张角 (10)
2.1 共边比例定理 (10)
2.2 分角定理 (14)
2.3 张角定理 (16)
三、Menelaus、Ceva、Pascal定理 (19)
3.1 梅涅劳斯（Menelaus）定理 (19)
3.2 赛瓦（Ceva)定理 (24)
3.3 Pascal定理 (29)
四、三角形五心 (35)
4.1 三角形的内心 (35)
4.2 三角形的外心 (38)
4.3 三角形的重心 (42)
4.4 三角形的垂心 (46)
4.5 三角形的旁心 (51)
五、等角共轭 (60)
5.1 等角共轭 (60)
5.2 等角共轭点 (61)
六、Simson 定理、托勒密、三弦定理 (76)
6.1 Simson 定理 (76)
6.2 Ptolemy 定理 (79)
6.3 三弦定理 (85)
七、Stewart 定理 (87)
八、欧拉定理、欧拉线、欧拉圆 (93)
九、圆幂定理、根轴、根心 (103)
十、内外角平分线定理、线段的“分割比”、阿波罗尼斯圆 (122)
十一、调和点列、线束 (128)
十二、顾冬华20题 (138)
注：第81题、第104题、第124题为同一题，分别由三位老师提供，诠释角度不同，故仍
然顺应内容重复编排在内，方便备课.
一、等差幂线定理
1. 如图，点P 为ABC △内部一点，PL PM PN 、、分别垂直于BC CA AB 、、，且A
M A N =，
BN BL =.
求证：CL CM =.
B
【证明】由定差幂线定理
PN AB ⊥?2222PA PB NA NB -=-；
PL BC ⊥?2222PB PC LB LC -=-；
PM CA ⊥2222PC PA MC MA ?-=-. 上述三式相加，结合AM AN =及
BN BL =，得CL CM =.
2. 在正方形对角线上一点(不与
重合)，. 求证：
【证明】
C
D F
则
3. 在
中，. 求证：和边上的中线和互相垂直.
【证明】连接
， 得
4. 如图，在ABC △中，CD AB ⊥，BE AC ⊥，D 、E 是垂足，CD 与BE 交于点H . 证
明：AH BC ⊥.
A
B
C D
H E
证明：在凹四边形ACBH 中，由CH AB ⊥得2222AC BH BC AH +=+. 在凹四边形ABCH 中，由BH AC ⊥得2222AB CH BC AH +=+.
于是，在凹四边形ABHC 中，得到2222AB CH AC BH +=+，则AH BC ⊥. 由此题可得ABC △垂线H 的一个性质：222222AB CH BC AH AC BH +=+=+.
A
B
C
E
5.在五边
形中
，为五边形内一点，
且
.
求证：.
A
B
C
【证明】连接延长交，
由，得：
两式相减：
即：由凹四边形得：.
6.如图，在四边形ABCD中，E和F是CD和BC上的点，AB=AD，
DF
求证：
B
A
C
D
E
P
Q
A
D
B
证明：在四边形ADEF 中，由
DF 及定差幂线定理得
，又因为AB =
AD ，
所以
，即
，由定差幂线定理知
7. 若点P 在ABC △三边BC 、CA 、AB 所在直线上的射影分别为X 、Y 、Z . 证明：自
YZ 、ZX 、XY 的中点分别向BC 、CA 、AB 所作的垂线共点.
B
证明：由三角形中线长公式，有2
2221()42
a m
b
c a =+-.
由DX BC '⊥，EY CA '⊥，FZ AB '⊥， 则
2222X B X C BD CD ''-=-
22211()24BZ BY YZ =+-22211()24CY CZ YZ ??
-+-????
22221
()2
BY BZ CY CZ =+--. 同理， 2222221
()2Y C Y A CZ CX AZ AX ''-=+--
2222221
()2
Z A Z B AX AY BX BY ''-=+--.
以上三式相加，得
222222X B X C Y C Y A Z A Z B ''''''-+-+-
222
2221
()2
XC XB YA YC ZB ZA =
-+-+-. 因为
，由定差幂线定理可得：
以上三式相加得
所以222222X B X C Y C Y A Z A Z B ''''''-+-+-=0（*） 设
与
交于M 点，则由定差幂线定理可得
代入（*）得
即
所以M 在过引AB 的垂线上，
所以
、
、
三线共点.
8.以锐角△ABC的一边AC为直径作圆，分别与AB、BC交于点K、L，CK、AL分别与△ABC
的外接圆交于点F、D(F≠C，D≠A)，E为劣弧AC上一点，BE与AC交于点N. 若AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF2.
求证：KNB BNL
∠∠.
=
证明如图，由于以AC为直径的圆分别与AB、BC交于点K，L，则C K A B
⊥.
⊥，AL BC 设CK与AL交于点H，则H为ABC
△的垂心，故点H与F关于AB对称，点H与D关于BC对称.
从而，AF AH
==.
=，CD CH
=，BD BH BF
由222222
++=++，有
AF BD CE AE CD BF
2222
+=+.
AH CE AE CH
即2222
AH CH AE CE
-=-. 由定差幂线定理知，HE AC
⊥.
又注意到H为垂心，有BH AC
⊥. 故知B、H、E三点共线.
因为N为边AC与BH的交点，则BN AC
∠∠.
⊥. 故KNB BNL
=
二、共边比例定理、分角张角
2.1 共边比例定理
9. 如图，ABC △中，DE BC ∥，BE 、CD 交于P . 求证：直线AP 平分BC 和DE .
E
P
D
C B
A
【证明】设直线AP 分别交BC 、DE 于M 、H . 由共边定理，得ACP BCP S AD BD S =△△，ABP CBP S AE CE S =△△，而DE BC ∥，则AD AE
BD CE
=， 所以
ACP ABP
BCP CBP
S S S S =△△△△，则ACP ABP S S =△△. 又由共边定理，得
BAP CAP S BM CM S =△△，所以1BM
CM
=，即BM CM =，所以M 是BC 的中点. 又易知BPD CPE S S =△△，则DAP EAP S S =△△. 由共边定理，得
1DAP
EAP
S DH HE S ==△△，则DH HE =，所以H 是DE 的中点. 故直线AP 平分BC 和DE .
M
H E P
D
C
B
A
10. 过圆外一点P 引圆的两条切线和一条割线
，在
上
取一点使
. 求证：
.
【证明】设
由共边比例定理，得：
（
的高）
又得
连接
，
. .
，
. 11. 在
内任取一点P ，连结P A 、PB 、PC 分别交对边于X 、Y 、Z 点. 求证：
A
B
C
证明：由共边比例定理知：
12. 已知O 是ABC △的内切圆，D 、E 、N 分别为AB 、AC 、BC 上的切点，连结NO
并延长交DE 于点K ，连结AK 并延长交BC 于点M . 求证：M 是BC 的中点.
A
B
C
证明:如图，联结OD ，OE ，由O 、D 、B 、N 及O 、N 、
C 、E 分别四点共圆有KO
D B ∠∠=，KO
E C ∠=∠.
由共边比例定理，有sin sin ODK OKE S DK OD OK DOK KE S OE OK KOE ??∠==??∠△△sin sin sin sin DOK B AC
KOE C AB ∠===
∠， 及
sin sin ADK AEK S DK DAK
KE S EAK
∠==
∠△△. 于是，
sin sin ABM ACM S BM AB BAM MC S AC CAM ?∠==?∠△△sin sin AB DAK AC EAK ?∠=?∠AB DK AC KE =?1AB AC
AC AB
=?=. 故M 是BC 的中点.
B
C
2.2 分角定理
13. 在等腰△ABC 中，∠A ＜90°，从边AB 上点D 引AB 的垂线，交边AC 于E ，交边BC 的
延长线于F .
求证：AD =CF 当且仅当△ADE 面积是△CEF 面积的两倍.
A
B
C
F
【证明】
连接BE ，则EA 外分BED ∠.
设βα=∠=∠AEB AED ,，作BC EM ⊥. 由分角定理得：
BE DE
AB AD :sin sin =βα ①
在BEF ?中，EC 内分BEF ∠，由分角定理得：
BE
EF
BC CF :sin sin =βα
②
由①=②且CF AD =，得EF AB
BC
DE ?=
. 设θ=∠ABC ，在等腰ABC ?中，有θcos 2=AB
BC
. ∴θcos 2?=EF DE ，∴EM DE 2=，∴CEF ADE S S ??=2.
以上过程均可逆.
14. 设△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，4BD DC =，已知圆过点C 与AC 交于F ，
与AB 相切于AB 的中点G . 求证：AD BF ⊥.
【证明】设α=∠BAD ，β=∠ABF ，γ=∠DAC . 在ABC ?中，AD 内分BAC ∠，则：
AB
AC
AC AB DC BD 4:sin sin ==γα. 又ααπ
γcos )2
sin(
sin =-=，∴AB
AC
4tan =
α. 又在ABF Rt ?中，AB AF
=
βtan . ∴2
4tan tan AB
AF
AC ??=?βα，又AG AB 2=， ∴AC AF AG AB ?==4422（切割线定理）
∴1tan tan =?βα，从而2
π
βα=
+，.BF AD ⊥∴
15. △ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB =AC . 以AB 为一边作△ABD ，且AD =BD .
若∠ADC =15°，求证：△ABD 是等边三角形.
D
B
A
证明：设
.
在中，在AB 边上用分角定理可得：
在
中，在AB 边上用分角定理可得：
所以
解得
，所以ABD 是等边三角形
2.3 张角定理
16. 已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，任作一直线顺次交AM AC AB ,,于
N Q P ,,. 求证：
AQ
AC AN AM AP AB ,,成等差数列.
【证明】令θβα=∠=∠=∠AMB MAC BAM ,,. 以A 为视点，分别对Q N P ,,及C M B ,,应用张角定理，有
AQ
AP AN α
ββαsin sin )sin(+=+，
①
AC AB AM α
ββαsin sin )sin(+=+.
②
又在ABM ?和AMC ?中，由正弦定理，有
MC AC MB AB β
θαθsin sin ,sin sin ==.
由已知MC MB =，上述两式相除得AB
AC β
αsin sin =，于是②式可变为：
AC AB AM α
ββαsin 2sin 2)sin(==+，
即
sin()sin 2AB AM αββ+=
，sin()
sin 2AC AM αβα+=
.
代入①得，
).(21AQ AC
AP AB AN AM +=
故AQ AC AN AM AP AB ,,成等差数列.
17. 如图，在线段AB 上取内分点M ，使AM BM ≤，分别以MA ，MB 为边，在AB 的同
侧作正方形AMCD 和M BEF ，P 和
Q 分别是这两个正方形的外接圆，两圆交于M ，
N . 求证：B ，C ，N 三点共线.
证明 连MD ，ME ，NE ，ND ，NM ，则90DNM ENM ==?∠∠，则D ，N ，E 三点共线，注意454590DME =?+?=?∠.
设DMN NEM α==∠∠
，
P ，Q 的半径分别为1r ，2r
，则MC =，2MB =，
12cos MN r α=?= 22sin r α?. 对视点M ，考察点B ，
C ，N 所在的三角形△MBN
. 由
22sin sin sin 902sin CMB CMN MN MB r α?+=+=∠∠
()
2111sin cos sin cos sin cos 2cos 2cos r r αααααα
α
α
+?-+?
=
=?
11cos sin 2r αα+
===sin NMB
MC
=
=
∠.
由张角定理可知B ，C ，N 三点共线.
三、Menelaus 、Ceva 、Pascal 定理
3.1 梅涅劳斯（Menelaus ）定理
设直线l 与ABC ?三边所在直线BC ，CA ，AB 分别交于点D ，E ，F ，则
1=??FB
AF
EA CE DC BD 反之，若三角形三边所在直线上三点使得上述等式成立，则该三点共线. 利用面积转换，可得出如下两个角元形式： 第一角元形式：
1sin sin sin sin sin sin =∠∠?∠∠?∠∠FCB
ACF
EBA CBE DAC BAD
第二角元形式：
1sin sin sin sin sin sin =∠∠?∠∠?∠∠FOB
AOF
EOA COE DOC BOD
（O 为不再三边所在直线上的任意一点）
18. AD 为锐角三角形ABC 的一条高，K 为AD 上任一点，BK 、CK 的延长线分别交AC 、
AB 于点E 、F .
求证：∠EDK ＝∠FDK .
证明：过点A 作MN ∥BC ，与DE 、DF 的延长线分别交于点M 、N .
D
B
C
A
E F
K M
N
由于AF FB ·BD DC ·CE
EA
=1.
而AF FB ＝AN BD ，CE EA ＝DC AM . ?AN
AM ＝1?AN ＝AM ，即DA 是等腰三角形DMN 的底边上的高， 从而∠EDA ＝∠FDA .
D
B
C A
E
F
K
19. 在△ABC 中，AM 、AT 分别为BC 边上的中线与角平分线. TK ∥AC ，交AM 于K . 证明：
AT ⊥CK .
证明：由CD 截△ABM ，有AD DB ·BC CM ·MK KA =1. 故AD DB ＝ 1 2·AK
KM
.
H
B
C
A
M T
K D
设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，则BT CT ＝c b ?BT ＝ac b ＋c ，CT ＝ab
b ＋
c .
MT ＝CM －CT ＝a 2－ab b ＋c ＝a (c －b )
2(b ＋c )
.
但TK ∥AC ?AK KM ＝CT TM ＝2b c －b ，?AD DB ＝b
c －b .
AD AB ＝AD AD ＋DB ＝b c ，即AD c ＝b
c ?AD ＝b ＝AC . 故证.
20. 如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 所在直线交于点E ，AD 与BC 所在直线交于点F ，
BD 与EF 所在直线交于点H ，AC 与EF 所在直线交于点G . 求证：HE FG HF EG ?=?.
F
【解析】考虑AEF ?被直线HBD 截，应用梅涅劳斯定理可知
H
B
C A
M T
K
2018年度教师继续教育总结
2018年度教师继续教育总结 中小学教师继续教育是教师教育的重要组成部分，是提高全体在职中小学教师整体素质和促进教师专业化的有效途径，也是全面实施素质教育的关键。透过不断地学习，使我们不但在理论上对教育、教学有了更深层次的体会，并在教学中与实际相结合，不断的实践，取得了必须成效。在现将一些学习体会做个小结。 一、透过对继续教育的学习，我首先是更新了观念：对教师来说，研究是学习、反思、成长、发展的同义词，与专业人员的研究具有质的区别。它是“以解决问题为目标的诊断性研究及实践者对自身实践情境和经验所做的多视角、多层次的分析和反省。透过学习，从“过去的我”与“此刻的我”的对话交流，是努力摆脱“已成的我”，为不断获得新生的过程。努力研究自己，其目的就是为了提高自己、发展自己、更新自己。 教师是学生成长的守护人。他将教师主角定位于学习者、研究者、实践者。教师首先是学习者，不仅仅要善于向实践学习，向理论学习，而且要向学生学习。教师是研究者，带领学生主动用心参与科研课题的研究。教师是实践者，实践的内涵是“变革”。 二、透过学习，使我重新认识了自己的职责，树立了科学的教育观。
我们见到的老师都是极有威严的，教师的观点是不容质疑的，这就使得教师真正成为了颇有权威的“传道、授业、解惑”之人。然而在传授知识的同时，教师的社会道德品质也在一并的传授给学生，或者由学生间接体会。 因此教师不仅仅是知识的传播者，他还要为培养下一代可塑型人材做出贡献。由此可见，教师的职业特征具有未来性，管仲说：“百年树人。”我国未来能否在世界上占有一席之地，就要靠我们这一代教师培养的祖国的下一代。因此，我们要认清我们肩负的历史使命，树立崇高的职业信念，为祖国的未来打下良好的基石。 为此，我们应为祖国培养出全面素质的创新人材。对于我们的学生我们要用平等的眼光去看待，不能用成绩把他们分为三六九等，也不能由于好恶而疏远或亲近谁，我们应给予他们同等的发挥创造的机会，让他们在我们创造的气氛中健康成长。 三、透过业务学习，使我的教学水平和科研水平有了很大的提高。 透过继续学习，首先使我认识到了自己的教学水平距离名优教师还有很大差别。我虽然教过不同的年级，对所教教材有了一个初步的了解，但体会尚浅。因此在我执教的第二次我着重加强了教材的分析，利用所学理论去备课、备学生，去认真讲课，去研究习题，逐步在课堂教学中取得了必须效果，使学生在课堂四十五分钟能充分接收新的
奥数专题简单浓度问题
奥数专题简单浓度问题Newly compiled on November 23, 2020
简单浓度专题 温馨提示：在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。 溶质：溶于液体的物质（可以是固体、液体，例如糖、酒精） 基本概念： 溶剂：溶解物质的液体（水） 溶液：溶质和溶剂的混合物（例如酒精、糖水等） 溶液的质量=溶质的质量＋溶剂的质量 基本数量关系： 浓度=溶液质量溶质质量 ×100% 溶质质量=溶液质量×浓度 经典例题 例1、有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖 举一反三 1、某种农药的浓度是25%，现要将600克的这种农药添水稀释成3%的药水，应添水多少千克 2、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里和乙瓶里酒精浓度分别是多少 例2、将酒精含量为55%的A 种白酒40克与酒精含量为35%的B 种白酒60克混合，得到一种新型的白酒60克C ，这种白酒的浓度是多少 举一反三： 1、小李配制一种%的消毒水，已配好了500克，由于不小心，将20克10%的这种药水误倒了进去，现在配制的药水浓度是多少 2、把12千克的糖溶解在18千克的水中配成甲溶液，9千克的糖溶解在千克的水中配制成乙溶液，再将甲、乙两种溶液混合得到新溶液，则新溶液的浓度是多少 例3、一种35％的新农药，如稀释到％时，治虫最有效。用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水，才能配成％的农药800千克 举一反三： 1、仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降低到80％。现在这批水果的质量是多少千克 2、一个容器内装有10升纯酒精，倒出升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少 例4、将20％的盐水与5％的盐水混合，配成15％的盐水600克，需要20％的盐水和5％的盐水各多少克 举一反三： 1、甲、乙两种酒各含酒精75％和55％，要配制含酒精65％的酒3000克，应当从这两种酒中各取多少克 2、甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为4％；乙桶有糖水40千克，含糖率为2％。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克 例5、桶中有40%的某种盐水，当加入5千克的水后，浓度降低到30%，再加入多少千克盐，可使盐水的浓度提高到50% 举一反三： 1、在浓度为20%的酒精溶液中加入30升水，浓度变为15%，再加入多少升纯酒精，浓度变为25% 2、一杯水中放入10克盐，再加入浓度为5%的盐水200克，配制成浓度为4%的盐水。问：原来杯中有水多少克 知识巩固 1、现有16%糖水50克（1）要把它稀释成10%的糖水，需要水多少克（2）要把它变成30%的糖水，需加糖多少克 2、要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克 3、仓库运来含水量为94％的一种水果1000千克，一星期后发现含水量降低为了80%现在这批水果多少千克 4、浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液浓度是多少 5、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水的浓度为20%，需加盐多少千克 6、甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为40%；乙桶有糖水40千克，含糖率为20%。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水互相交换多少千克 7、浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克混合后所得的酒精溶液的浓度是多少
小学奥数 几何计数 专题
1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 教学目标 知识要点 几何计数
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小 棍？（4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三 角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4级） 【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多
2017 2018教师个人继续教育工作计划
2017-2018学年教师个人继续教育工作计划精品文档 2017-2018学年教师个人继续教育工作计划 教师为了在教育教学工作中较好地适应新课程改革的需要，除了要提高自身素质修养，提高自身能力，更要努力学习教育教学理论知识及相关知识，用知识来武装自己。下面是带来关于2017-2018学年教师个人继续教育工作计划的内容，希望能让大家有所收获! 2017-2018学年教师个人继续教育工作计划(一) 作为一名小学教师，在学习与日常工作中让我深刻地认识到，身为教师肩上背负的重要责任。人们常说:“学生是祖国的花朵，教师是辛勤的园丁”。祖国要振兴，教育是基础。振兴教育的希望在教师。而今时代的不断进步就要求教师要不断地学习文化知识，逐渐提高自身的专业素质，迎接时代的挑战。通过学习，树立“以人为本”、以学生为本“的教育观念。“为了一切学生，一切为了学生，为了学生的一切”。始终将学生的利益放在首位。学习新的教育理论，掌握科学的教育方法，提升自己的教学理念，在教育教学的每一个环节中都要尊重学生人格，遵循学生身心发展的规律。为此，特拟定个人继续教育学习计划如下: 1、积极参加小学教师远程培训，提高自身的专业素质。 2、结合教师教学经验和案例分析，掌握新课程下教材的使用与创新技能、课堂教学情景创设技能、课堂上提问技 1 / 5 精品文档 能、课堂调控技能并做出相应的创新与发展。． 3、结合教师的教学实践和自学，掌握新课程下备课与教案生成技能、教学内容呈现方式技能、课堂拓展技能。 4、在相互尊重，友爱宽松的环境中，提出问题并积极发表个人见解，体会同伴互助、共同发展的乐趣、提升自我发展的意识，在学习、交流的基础上形成校本培训的方案。 5、树立良好的敬业精神,热爱教育事业,热爱学校,热爱学生,遵纪守法,养成职业纪律和道德规) 根据《2017-2018学年教师继续教育工作计划》要求，为更好地适应现代社会对教育事业的发展需要，提高教育教学水平，现拟定本人教育学习计划。 1、定期参加上级部门和学校组织的集中培训。认真学习省级必修课程《新课程理念下的创新教学设计》、《新时期班主任工作指导》和市级必修课程《合作与交流能力的培养与训练》和校级课程《教师反思的方法》。 2、把握脱产学习《中小学教师教育技术能力培训教程》机会，把现代教育思想和教育技术引进课堂，不断提高计算机辅助教学水平和能力，努力探索现代教育的教学规律和教学方法，不断提高现代教育技术在教学中的含金量，以此来迎接二十一世纪教育现代化发展需要。 3、在培训过程中认真听讲、做好笔记，认真反思，理解学习的内容，提高自己的教育教学理论水平和实践能
小学奥数：溶液浓度问题(二).专项练习
1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系 2、浓度三角的应用 3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解 4、利用方程解复杂浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下： ::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z z-y x-z 乙溶液浓度y %甲溶液浓度x % 混合浓度z% 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 知识精讲 教学目标 溶液浓度问题（二）
模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题 三种溶液混合多次 【例 1】有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升．甲容器有浓度为40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升；丙容器中有浓度为20%的盐水400毫升．先把甲、丙 两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲 容器，200毫升倒入丙容器．这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？ 【例 2】在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%和2 3 ，已知三 缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的 总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达56%．那么，丙缸中纯酒精的 量是多少千克？ 【例 3】有A、B、C三种盐水，按A与B数量之比为2:1混合，得到浓度为13%的盐水； 按A与B数量之比为1:2混合，得到浓度为14%的盐水．如果A、B、C数量之 比为1:1:3，混合成的盐水浓度为10.2%，问盐水C的浓度是多少？ 【例 4】已知三种混合物由三种成分A、B、C组成，第一种仅含成分A和B，重量比为3:5；第二种只含成分B和C，重量比为1:2；第三种只含成分A和C，重量之 比为2:3.以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A、B和C，这三 种成分的重量比为3:5:2？ 例题精讲
小学六年级数学图形与几何练习题
六年级数学图形与几何练习题 一、填空 1、3小时20分=（）小时9公顷200平方米=（）公顷 2、棱长是1分米的正方体,把它切成棱长1厘米的小正方体,摆成一排长（）米。 3、一个棱长总和是48分米的长方体,长、宽、高的比是5:4:3,表面积是（）,体积是（）。 4、把一个正方体平均分成两个小长方体,其中一个长方体的表面积是原来正方体表面积的（）。 5、把一个长20厘米、宽15厘米的长方形按1:5缩小后,长是（）厘米,宽是（）厘米,面积缩小到原来的（）。 6、王丽坐在教室最后一排的最后一列上,她的位置可以表示为（6,8）,这个班中共有( )名学生。 7、把高10厘米的圆柱分成16等份,拼成近似长方体,表面积增加了80平方厘米,圆柱的体积是（）立方厘米。 8、两个圆的半径分别是3厘米和5厘米,它们周长的比是（）,面积的比是（）。 9、一个棱长4分米的正方体铁块,熔铸成底面积是32平方分米的圆锥,圆锥的高是（）分米。 10、一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体盒子,最多能放（）个棱长2厘米的小正方体。 二、判断 1、周长相等的两个圆面积也相等。( ) 2、把一个石块放进一只水桶里,桶里的水溢出31.4毫升,则石块的体积是31.4立方厘米。（） 3 4 5、打开冰箱门,冰箱门的运动是旋转。（） 6、把一个三角形按2:1的比放大后,所画的三角形的每条边、每个角都是原来三角形的 2倍。( ) 7、如果一个圆柱的底面直径和高相等,那么把圆柱的侧面沿高展开是一个正方形。（） 8、一条直线上的两点把这条直线分成两条射线和一条线段,所以射线比直线短。（）
9、圆有无数条对称轴,而半圆只有一条对称轴。（ ） 10、教室里小华的位置用数对表示是（2,3）,他的同桌可以用数对（2,4）表示。（ ） 三、选择 1、一架飞机从某机场向南偏东50°方向飞行了1000米,返回时飞机要向( ) A 、南偏东50°方向飞行1000米 B 、 西偏北50°方向飞行1000米 C 、南偏西50°方向飞行1000米 D 、 北偏西50°方向飞行1000米 2、把一段圆钢削成一个最大的圆锥,削去部分重4千克,这段圆钢原来重（ ）千克。 A 、24 B 、6 C 、 12 D 、 8 3、在一个等腰三角形中,已知两条边分别长8厘米和4厘米,这个等腰三角形的周长是（ ）厘米。 A 、12 B 、 16 C 、 20 D 、 16或20 4、一个等腰梯形周长是48厘米,面积96平方厘米,高是8厘米,腰长（ ）厘米。 A 、24 B 、12 C 、18 D 、 36 5、.从上向下看图,应是右图中所示的( ) 四、计算 3×（ 31＋81 ）×8 3.2×1.25 ×0.25 0.32×6.7＋3.2×0.33 24×（ 83×43） 41÷85＋43÷85
小学奥数之几何蝴蝶定理问题完整版
小学奥数之几何蝴蝶定 理问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
C F E A D B C B E F D A 几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、 例题 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？ 1 2 AD AB = ，例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且 13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且BE=1 3 AB,已知四边形 EDCA 的面积 是35，求三角形ABC 的面积. 例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积 和。（单位：厘米） 例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角 形。已知
(完整word版)“十三五”教师继续教育工程2018年工作计划
**小学“十三五”教师继续教育工程 2018年工作计划 一、指导思想 以邓小平理论“三个代表”重要思想和科学发展观为指导，认真贯彻落实上级文件精神，深入开展教师“大培训、大练兵、大比武”活动，不断提升广大干部教师队伍整体素质和教育教学能力，加大校本研修工作力度，努力构建教师终身学习体系，促进教师专业化发展，为把我校建设成为学习型学校而奋斗。 二、工作内容 （一）突出师德教育 1.开展师德师风教育，全面规范教师行为。学校将通过“月“周例会”等平台，深入开展政治思想、法制观念、敬业精神、行为规范和心理素质教育，重点解决教师价值观、法纪观、职业观、道德观和学生观等方面存在的一些问题，提升教师“以生为本”的教育理念。 2.大力推行素质教育，突出学生主体地位。学校将通过公开课、观摩课、研究课等形式，组织教师教学大比武活动，让素质教育课堂走进教室、靠近学生，彰显学生的主体地位。 3.严禁体罚歧视学生，保持用爱感化学生、情系学生、关爱学生是教师的美德。爱是一种力量，也是一坛溶冰的火。教师应坚持以“爱”为先。对学生的违纪行为也要大胆管理，做到：戒免有“度”，教育有“方”，让学生成才，让家长放心，让人民满意。 4.开展师德师风培训，铸造教师德育灵魂。学校将通过师德师风模范报告会和优秀教师，优秀班主任，先进工作者等评选活动，打造一支“师德高尚，理念先进，手段科学，能力至上”的教师队伍。
（二）落实集中培训 根据上级的统一部署，着力做好高效课堂培训，骨干教师培训，班主任任职资格培训以及省培、国培的组织工作。全面开展以继续教育读书为重点的教师读书活动，鼓励教师多途径提高学历。 （三）狠抓校本研训 今年我校将以“五项工作”为重点，全面深入开展校本研训活动。 1.鼓励教师论文写作于发表。教师要结合本专业本学科特点，积极撰写教育学论文，力争在市级以上刊物上发表。学校对教师发表的论文给予重奖。 2.推进学术交流与课题研究。学校按学科成立教学研究小组，组长负责组织本学科专业教师的教研活动，每次活动的内容，效果及参加的人员要及时填写，做好记载。课题研究，必须落实到人。教师应结合个人教学体会向学校提交一篇学术交流论文，学校将选取优质论文向上级部门推荐、发表。 3.开展“课内比教学”活动。“课内比教学”活动的内容主要包括公开课、观摩课、研究课和提高课，教务处要精心组织，认真落实，做好记载。每次活动结束时要将授课教师名单、授课教案、评课结果整理归档。 4.全员落实听课节数。每个教师都必须认真安排好听课时间，落实听课节数，并做好听课笔记，年终将教师听课笔记收集归档。 5.广泛开展自学活动。教师要结合上级要求和业务需要选择自学内容，将平时的政治学习、会议等活动和自学内容记入继教学习笔记本。 （四）完善档案管理在教师继续教育档案在实行一人一袋、专柜保管的基础上，分年度整理档案材料，力求统一规范。
完整版小学奥数浓度问题教师版
溶液浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 溶质溶质、2100%??100%=浓度=溶质+溶液溶液三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) AB甲溶液质量甲溶液与混合溶液的浓度差形象表达：?? A乙溶液质量B混合溶液与乙溶液的浓度差注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下： 混合浓度z%x-zz-y甲溶液乙溶液%x浓度浓度y%:x-zz-y乙溶液质量甲溶液质量: 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法．
1、“稀释”问题：把浓度高的溶液经过添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。特点是加“溶剂”，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。 例1、典型例题2 练习1、要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐0.15%的盐水，须加水多少克？ 练习2、治棉铃虫须配制0.05%的“1059”溶液，问在599千克水中，应加入30%的“1059”溶液多少千克？ 练习3、用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥，现在含氨16%的氨水30千克，配置时需加水多少千克？ 2、“浓缩”问题：把浓度低的溶液经过减少溶剂变为浓度高的溶液的过程称为浓缩。特点是减少溶剂，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。 例2、在含盐0.5%的盐水中蒸去了236千克水，就变成了含盐30%的盐水，问原来的盐水是多少千克？ 练习4、要从含盐12.5%的盐水40千克中蒸去多少水分才能制出含盐20%的盐水？
2017年六年级奥数数学几何综合训练一
2017年六年级外冲班数学几何综合训练一 一、兴趣篇 1．图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积． 2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于度． 3．平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米（如图）；以CD 为底时高是16厘米．求：平行四边形ABCD的面积． 4．如图，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是 平方米、平方米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
5．如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少？ 6．如图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG：GF：FC=4：3：2，那么AH：HI：IB和BD：DE：EC分别是多少？ 7．如图，已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三角形OBC的面积． 8．在如图的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO面积的几倍？ 9．如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米．
10．如图，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？ 二、拓展篇 11．如图，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．问：A、B中阴影部分的周长哪个长？长多少？ 12．如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度？ 13．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示．问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？
小学奥数系列训练题-几何计数通用版
2015年小学奥数计数专题——几何计数 1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴? 2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍? 3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔? 4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？ 5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和． 6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?
7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个? 8．图中共有多少个三角形? 9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 11．在图中，共有多少个不同的三角形? 12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?
13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个? 14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? 15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少? 16．数一数下列图形中各有多少条线段. 17．数出下图中总共有多少个角. 18．数一数下图中总共有多少个角？ 19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？
2017-2018年度继续教育学习总结
2017-2018年度继续教育学习总结 教师继续教育是教师教育的重要组成部分，是提高教师整体素质和促进教师专业化的有效途径，也是全面实施素质教育的关键。经过今年继续教育培训的学习,使我在教育思想、教育理论及业务能力等方面受益颇多。我深切地认识到了时代在更新，随着社会在不断的进步，教育教学工作更重。要适应素质教育的需要，必须不断的全面提高自身素质。 本学年的继续教育，培训内容多，涉及的知识面广，具体收获如下: 1、通过师德培训，使我认识到，成为一名合格的教师容易，要想成为一名优秀的教师，必须注重细节，充满师爱，从细微处入手，充分了解、关爱每一个学生。学习一些优秀教师的先进事迹后，更加坚定了我从事教育行业的信心和决心。 2、时代在不断的进步、发展，对教师也有了更高的要求，为了提高个人教学水平，我认真学习新课标，领悟新课标精神，努力做好教学工作，保质保量完成教学工作。本学年度，我认真的备课、编写教案，设计适应学生的教学方法，开展行之有效的教学。在教学中我把学生放在首位，发挥学生的主体作用。 3、通过培训，树立了课改意识，把法制教育渗透到学科教学中去。我充分认识到当前我国进行新课程改革的迫切性和重要性。新课程改革，教师的观念改变是关键，首先要改变原有的教育方式和教学模式，即改变以前“教师讲授学生接受”“教师指导学生参与“的全新的教学模式，倡导自主、合作、探究的学习方式，充分调动学生学习的积极性，提高学生学习的参与度。 4、学习了各种先进的教育教学经验。使我深切感觉到，做为一名教师，不仅要有崇高的奉献精神、高标准的师德，也需有先进完备的教学策略与方法。今后我继续以新课程改革为契机，以新课程标准的基本理念为指导，转变教学观念个人工作总结，从规范入手，有目的，有计划、有步骤地进行课程改革实验，加强课堂教学改革研究，提高自身教学业务水平。
小学奥数7-7-3 几何中的重叠问题.专项练习
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一 切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-3.几何中的重叠问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．
小学奥数几何专题
小学几何面积问题一 姓名 引理：如图1 ABCD 中。P 是AD 上一点，连接PB,PC 则S △PBC =S △ABP +S △pcD = 2 1 S ABCD 1．已知：四边形ABCD 为平行四边形，图中的阴影部份面积占平行四边形ABCD 的面积的几分之几 2. 的面积为18，E 是PC 的中点，求图中的阴影部份面积 3. 在中,CD 的延长线上的一点E ，DC=2DE,连接BE 交AC 于P 点，（如图）知S △PDE =1, S △ABP =4， 求：平行四边形ABCD 的面积 4..四边形ABCD 中，BF=EF=ED,（如图） (1) 若S 四边形ABCD =15 则S 阴 = （2）若S △AEF + S △BFC =15 则S 四边形ABCD = （第一题图） （3）若S △AEF= 3 S △BFC =2 则S 四边形ABCD = 5. 四边形ABCD 的对角线BD 被E,F ，G 三点四等份，（如图）若四边形AECG=15 则S 四边形ABCD = M P E B P 图1 A B A D C B （适应长方形、正方形） B
ＧＢ Ｆ Ｃ Ａ Ｅ ＤA B 6.四边形ABCD 的对角线BD 被E,F ，G 三点四等份，（如图）若阴影部份面积为15 则S 四边形ABCD = 7.若ABCD 为正方形，F 是DC 的中点，已知：S △BFC = 1 （1）则S 四边形ADFB = （2） S △DFE = （3） S △AEB = 8.直角梯形ABCD 中.AE=ED,BC=18,AD=8,CD=6,且BF=2FC,S △GED =S △GFC .求S 阴= 小学几何面积问题二 姓名 1.如图S △AEF= 2, AB=3AE CF=3EF 则S △ABC= 2. 如图S △BDE=30 ，AB=2AE ， DC=4AC 则S △ABC= 3.正方形ABCD 中，E,F,G 为BC 边上四等份点， M,N,P 为对角线AC 上的四等份点（如图） 若S 正方形ABCD=32 则S △NGP= 4.已知：S △ABC=30 D 是BC 的中点 AE=2ED 则S △BDE= B A C B D E 第1题 第2题
小学奥数浓度问题含答案
第一讲浓度问题 专题简析： 在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即， 浓度＝溶质质量 溶液质量×100％＝ 溶质质量 溶质质量+溶剂质量 ×100％ 解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。 浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。 例题1。 有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？【思路导航】根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中 的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在 糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。 原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克） 现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克） 加入糖的质量：620－600＝20（克） 答：需要加入20克糖。 练习1 1、现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？ 2、有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？ 3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次 把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？ 例题2。 一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水，才能配成1.75％的农药800千克？ 【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。 800千克1.75％的农药含纯农药的质量为 800×1.75％＝14（千克） 含14千克纯农药的35％的农药质量为 14÷35％＝40（千克） 由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为 800－40＝760（千克） 答：用40千克的浓度为35％的农药中添加760千克水，才能配成浓度为1.75％的农药800千克。 练习2
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米 O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平 方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 任意四边形、梯形与相似模型
B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC S =； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3ABD BCD S S ??=， ∴1 3AH CG =， ∴1 3AOD DOC S S ??=， ∴1 3AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．
小学奥数几何专题训练附答案
学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。 六年级几何专题复习 如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接 而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)
小学奥数之溶液浓度问题(一).教师版
1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系 2、浓度三角的应用 3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解 4、利用方程解复杂浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数， 比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同 的．浓度三角的表示方法如下： ::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z z-y x-z 乙溶液浓度y %甲溶液浓度x % 混合浓度z% 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 知识精讲 教学目标 溶液浓度问题（一）
利用十字交叉即浓度三角进行解题 （一）简单的溶液浓度问题 【例 1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【考点】溶液浓度问题【难度】2星【题型】解答 【解析】两种配置溶液共含食盐40×15%+60×10%=12克，而溶液质量为40+60-50=50克，所以这种溶液的浓度为12÷50=24%. 【答案】24% 【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？ 【考点】溶液浓度问题【难度】2星【题型】解答 【解析】100100 207.5 1525 ?? ÷-= ? ?? 。所以原来含有糖7.5千克 【答案】7.5 【巩固】现有浓度为10％的盐水8千克，要得到浓度为20％的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？ 【考点】溶液浓度问题【难度】2星【题型】解答 【解析】10％的盐水8千克可以配出20％的盐水810%20%4 ?÷=千克，需要去掉844 -=水。所以需蒸发掉4千克水，溶液的浓度变为20％。 【答案】蒸发掉4千克水 【例 2】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【考点】溶液浓度问题【难度】2星【题型】解答 【解析】将两种溶液的浓度分别放在左右两侧，重量放在旁边，配制后溶液的浓度放在正下方，用直线相连；（见图1） 直线两侧标着两个浓度的差，并化成简单的整数比。所需溶液的重量比就是浓度差的反比；对“比” 的理解应上升到“份”，3份对应的为300克，自然知道2份为200克了。需加入浓度为70％的盐水200克。 【答案】200 【巩固】现有浓度为10％的盐水20千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？ 【考点】溶液浓度问题【难度】2星【题型】解答 【解析】10%与30%的盐水重量之比为（30%-22%）：（22%-10%）=2：3，因此需要30%的盐水20÷2×3=30克。 例题精讲