二面角求解方法

教师: 学生: 年级: 科目： 课次： 时间: 年 月 日 内容： 二面角求解方法总结

二面角的作与求

求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：

1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s

投影面

=s

被投影面

θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，

是求二面角的好方法。尤其对无棱问题

5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos

例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形，

PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法

解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE

AC=AB ，PB=PC ∴

AE ⊥ BC ，PE ⊥BC

∴PEA ∠为二面角

P-BC-A 的平面角

P

C

B

A

E

在PAE ?中AE=PE=3，PA=6

∴PEA ∠=900

∴二面角

P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）

取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC

∴平面

PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC

∴BE ⊥平面

PAC

由三垂线定理知BF ⊥PC

∴BFE ∠为二面角

A-PC-B 的平面角

设PA=1,E 为AC 的中点，BE=

23,EF=4

2

∴tan BFE ∠=

6=EF

BE

∴BFE ∠=argtan 6

解2：（三垂线定理法）

取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM

AB=AC,PB=PC ∴

AE ⊥BC,PE ⊥BC

∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC

∴

平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE

P

C A

E

F M

E

P

C

B

A

F

图1

由三垂线定理知AM ⊥PC

∴FMA ∠为二面角

A-PC-B 的平面角

设PA=1，AM=

22,AF=7

21

.=PE AE AP

∴sin FMA ∠=

7

42=AM AF ∴FMA ∠=argsin

7

42

解3：（投影法）

过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC

∴平面

PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC

∴BE ⊥平面

PAC

∴PEC ?是PBC ?在平面

PAC 上的射影

设PA=1,则PB=PC=2,AB=1

4

1

=

?PEC S ,47=

?PBC S

由射影面积公式得，77

cos

arg ,77=∴==??θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）

过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=

2

2

,PB=PC=2 ∴BE=

PC S PBC 2

1?=414,CE=42,DE=42

由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =

7

7cos arg ,77=∴θ P

C

B

A

E

E

P

C

B

A D

图3

图4

[点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

例3：二面角βα--EF 的大小为 120，A 是它内部的一点，AB ⊥α，AC ⊥β,B 、C 为垂足。

（1） 求证：平面ABC ⊥α,平面ABC ⊥β

（2） 当AB=4cm,AC=6cm 时求BC 的长及A 到EF 的距离。 分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角 解：（1）设过 ABC 的平面交平面α于BD,交平面β于CD

AB ⊥α,AB ?平面ABC

∴

平面ABC ⊥α,同理平面ABC ⊥β

（2） AB ⊥α

∴AB ⊥EF

同理AC ⊥EF

∴EF ⊥平面ABDC

∴BD ⊥EF,

CD ⊥EF

∴BDC ∠= 120

∴ 60=∠BAC

∴BC=72606426422=??-+ COS cm

有正弦定理得点A 到EF 的距离为：d=

321

460sin =

BC cm α F

E

《二面角的求法》

一、教材依据：二面角的求法 二、设计思想：

A

B

C β

D

1、教材分析：

现行的高中数学教材中，对于立体几何中几何体这一部分有两种处理方案，一种是用传统的方法进行研究，另一种是采用向量为工具来进行研究，两种方法各有优点。采用传统的研究方法对逻辑推理能力的提高似更有好处，而以向量为工具来进行研究可以使有的问题更简捷，是一种新的研究思路。在教学中我们学校选用的是传统的演绎方法。

对空间对角的研究是很必要的，是定量刻画线线、线面、面面位置关系的手段。教材在三节中分别介绍两条直线所成的角、直线和平面所成的角和平面与平面所成的角。三种角的研究方法有共同之处：都是最终转化为平面上的角，并且三种角的定义都与日常经验相符，角的大小是唯一的。

在立体几何中，对角的研究可以分成两步来进行：一是先根据定义找到所要求的角，二是通过计算提出要求的角。

2、学情分析：

现有知识储备

学生通过一段时间的学习，对于立体几何的研究内容、研究方法有了一定的

了解。对于求角思路和方法基本掌握。

现有能力特征

具有一定空间想象能力，有把知识进行一步系统化，及等价转化、分类讨论

等数学思想方法的。

现有知识不足（1）对题目中所给的几何关系认识不清，识图能力不够；

（2）录求角的过程易忽略角的定义，从而导致所找的角不准确；

（3）运算能力不够。在找到角以后要通过平面几何的运算来求角，此时易出现运算错误。

3、选题目的：

湖南高考数学试题注重考查学生运用基础知识和数学基本方法的解题能力，近几年湖南高考大题涉及二面角的较多，这一专题目的是对二面角的一般求法和特殊方法作一个总结，使学生对它有一个全面的认识，同时对他们灵活运用这些方法解决相关问题提出一定的要求。

4、教学说明及教具使用：

这节课计划通过师生的双边活动在问题解决以及反思过程中，总结求二面角的一般方法及特殊方法，并将这些方法在一题多解时加以灵活运用。这一节课的教学设计，注重对学生思维能力的培养，静态视频信息比较多，又大量使用动态视频信息，故采用传统的板书加现代化多媒体教学辅助手段。

5、设计理念

学生为本，重视思维发生的过程，重视数学概念的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识培养学生的学习毅力。让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。

三、教学目标：

知识目标——通过一系列问题的解决，总结出二面角的几种求法，使学生对二面角的各种解法有一个全面的认识。

能力目标——通过一题多解，训练学生灵活运用所学知识及基本方法解决问题的能力，培养学生的发散思维及数学直觉，以便学生在今后解决有关问题时能够选择恰当的方法。培养学生逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力。

情感目标——通过平面和空间两个命题的类比及论证，培养学生数学思维的严谨性和对问题的探就能力。情感态度价值观：使学生在解决问题的过程中感受数学美，体会数学思想方法在学习中的应用。

四、教学重难点：

教学重点是各种角的求法； 教学难点是角的寻求方法的选择。

点评：二面角是立体几何中最重要的章节。二面角中的内容综合了线面垂直，三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等较多的知识点，是高考的热点和难点。在总结时，若能够引导学生进行对解二面角的问题进行探究和总结，对提高学生的数学思想方法是有帮助的，对提高学生灵活运用所学的也有很重要的作用。

五、教学过程： 一、复习引入：

1、什么是二面角及其平面角？范围是什么？

①从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l —β。

②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 ③范围： [0,]θπ∈

点评：学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲 2、二面角出现的状态形式有哪些？

竖立式 横卧式

点评：有序而巧妙的多媒体图象显示，激发了学生的兴趣。 2、二面角的类型及基本方法 （1）四种常规几何作求法

ω

θβ

l

α

n

n

定义法 垂面法；

三垂线法； 射影面积法cos θ=S 射影多边形/S 多边形

点评：根据内容，本节课选用的教学手段是多媒体及常规教学用具。对各种方法下角的形成过程通过多媒体展示，便于学生理解。在授课过程中，采用在课上作图的办法，便于对所出现的不同思路和想法进行研究，增加了课堂的灵活性。 （2）向量法：

①设m 和n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量

m 、n 的夹角为ω，如图：

结论①：设m 和n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 m 、n 的夹角为ω，则有

θωπ+=或 θω=

结论②：一般地，若设m n ,分别是平面βα,的法向量，则平面α与平面β所成的二面角θ的计算公

式是：m

n m n ??=arccos θ 时）当二面角为锐角、直角(

或m

n m n ??-=arccos πθ 当二面角为钝角时）(，其

中锐角、钝角根据图形确定。

点评：寻找和求作二面角的平面角是解二面角问题的关键，这也是个难点。在从图形中作出二面角的平面角时，要结合已知条件来对图形中的线线、线面和面面的位置关系先进行分析，确定有哪些是平行、垂直的或者是特殊的平面图形，然后运用这些的有关性质和二面角的平面角的定义进行找出二面角的平面角。所以解关于二面角问题需要有很好的对线线、线面和面面的位置关系的分析判断能力。而在求作二面角的平面角的方法主要有三种：定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、向量法。至于在求解有关平面角的问题时，这平面角通常是在三角形中，所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知识，这包括正弦和余弦定理的知识，也会用到其它的平面几何知识。

ωθβ

l

α

n

n

二、例题讲解：

以锥体为载体，对求角的问题进行研究

例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面AC ，SA=AB=BC=1，

AD=2

1 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。

解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足cos θ=

=1

112

12322

????=6

3 。

点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.（2）由学生讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答。

解法2：（三垂线定理法）

解：延长CD 、BA 交于点E ，连结SE ，SE 即平面CSD 与平面BSA 的交线. 又∵DA ⊥平面SAB ，∴过A 点作SE 的垂线交于F .如图. ∵AD ＝2

1BC 且AD ∥BC ∴△ADE ∽△BCE ∴EA ＝AB ＝SA

又∵SA ⊥AE ∴△SAE 为等腰直角三角形，F 为中点，

2

22221===

SA SE AF 又∵DA ⊥平面SAE ，AF ⊥SE ∴由三垂线定理得DF ⊥SE ∴∠DFA 为二面角的平面角, ∴tan DFA ＝

2

2

=

FA DA 即所求二面角的正切值. 评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。

点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。

解法3：（向量法）

A

C

D 图1

S

D

C

B

A

解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0，2

1，0)，S(0，

0，1)，易知平面SAB 的法向量为m =(0，2

1，0)；设平面SDC 的法向量为n =(x ，y ，z)，而DC =(-1，2

1，

0)，DS =(0，1

2

-， 1)，∵n ⊥面SDC ，∴n ⊥DC ，n ⊥DS ，n 1⊥DC .

∴???00n DC n DS ?=?=得10

2102

x y y z ?-+=????-+=??

令1x =得：2,y =1z =。即n =(1，2，1) ∵面SAB 与面SCD 所成角的二面角为锐角θ，

cos ,n m ∴<>=

m n

m n ?=1

162

?=36

∴θ=arccos 3

6.

故面SCD 与面SBA 所成的角大小为arccos 3

6.

点评：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。搭建平台，自主交流，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美，一题多解是训练学生思维的有效形式。

以柱体为载体，对求角的问题进行研究

例2、已知D 、E 分别是正三棱柱ABC 一A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1

上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1.求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.

（几何法）解：在平面M 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于F ，则F 是面DEF 与面A 1B 1C 1的公共点，C 1也是这两个面的公共点，连结C 1F ，C 1F 为这两个面的交线，所求的二面

角就是D-C 1F-A 1. ∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ， ∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点. ∵A 1B 1=B 1F=B 1C 1，∴FC 1⊥A 1C 1.

又面AA 1C 1C ⊥面A 1B 1C 1，FC 1在面A 1B 1C 1内， ∴FC 1⊥面AA 1C 1C.而DC 1在面AA

1C 1C 内，

S

D

C

B

A

A

B C

C 1 Q

D 1

A 1

B 1

P x

y

z D

∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D-FC 1-A 1的平面角.

由已知A 1D=B 1C=A 1C 1，∴∠DC 1A 1=4π.故所求二面角的大小为4π

.

法2：（向量法）

解：建立如图的空间直角坐标系A xyz -，设112B C =，则1(3B ，1，0），E(3,1,1),1C (0,2,0),D(0,0,2),易知平面A 1B 1C 1的法向量为n =(0,0,1), 设平面DEC 1的法向量为m =(x ，y ，z), 而DE =(3,1,-1),1

DC =(0,2,-2),由

100m DE m DC ??=??

?=??∴30220x y z y z ?+-=??-=?

?即y z =，不妨设0x =，得1y z ==∴m =（0，1，1）cos ,n m ∴<>=

22

，

∵面A 1B 1C 1与面DEC 1所成角的二面角为锐角θ，

4

π

θ∴=

。

点评：无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。

课堂反馈练习：

如图, 直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD=2，DD 1=DA=AB=1，P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，求二面角B-PQ-D 的大小。

解：建立如图所示的坐标系D---xyz ，，则

())1,1,0(),2

1

,2,0(,0,1,1Q P B ,A(1,0,0)，

).1,0,1(),21

,1,1(),0,0,1(-=-==BQ BP DA

因DA ⊥面PQD ，所以DA 是面PDQ 的法向量。设),,(z y x n =为面BPQ 的法 向量，则BQ n BP n ⊥⊥,，

,0

2

1?????=+-=++-∴z x z y x 解得???==y z z x 2， 取n =(2,1,2)，

∴ cos 3

2

,=

??=

DA

n DA n DA n 。 从图中可知，二面角B-PQ-D 为锐角， 因此二面角B-PQ-D 的大小为3

2

arccos .

点评：二面角问题可以综合较多知识点，可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，然后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这类题，找平面角是关键的一步，要注意运用题中的条件分析图形，然后用有关的方法找出平面角，计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。

三、课堂小结：

二面角的类型和求法可用框图：

点评：自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固。

四、作业：

如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱32

3

1=

AA ，D 是CB 延长线上一点，且BC BD =。求二面角B AD B --1的大小。

解： 取BC 的中点O ，连AO 。由题意 平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥，∴⊥AO 平面11B BCC ，则 ）（32

3

,

0,0A ，以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，

）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,32

3,231

B ， ∴ ）（32

3

,0,29-=AD ， ）（0,323,31-=D B ，

）（0,323

,

01=BB ，）（0,32

3

,

01=BB 为由题意 ⊥1BB 平面ABD ， ∴

C B 1

B

O A 1

D

C 1

z

A

y

x

平面ABD 的法向量。设平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =，则 ?????⊥⊥D B n AD

n 122， ∴

????

?=?=?0

122D B n AD n ， ∴ ??

???=-=-0

3233032329

y x z x ，即 ????

?

==

x

z y x 3323。 ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ，由 2

1

232

3

323

|

|||,c o s 212121=

?=

??>=

=

点评：作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则。阅读作业中的问题思考是后续课堂的铺垫，而弹性作业不作统一要求，供学有余力的学生课后研究，它也是新课程标准里研究性学习的一部分。

三、设计说明：

1、教学设计是教师在新课程理论指导下，创造性地安排教学程序，选择和确定教学措施，高质量高效益地完成教学任务，实现教学目标的具体的教学实施方案。它是以先进的教育教学理念为依据，对教学过程中的各种因素进行分析，以期达成教学目标的系统化的设计与传统的备课相比，教学设计更注意理论和实践的结合，更强调教学情境的策划和教学手段的运用，更具有灵活性和创造性。

2、课改新理念下的教学组织形式时间和空间上应该是开放的，如利用多媒体或图书馆等教学资源在课上和课下研究函数问题。在教学组织上还可以采用小组分工合作方式，真正做到师生互动，生生交流。教师在教学设计时要根据不同的课型，充分考虑学生的特点灵活设计，必要时也可与学生共同设计。

3、本章教学内容的要求与现行高考的要求距离较远，而学生知识现状与课本要求较高之间的矛盾也较突出。学生原有的运算能力、分析想象问题的能力直接制约着本章的学习。这不仅与初中数学内容的衔接、学习方法有较大变化有关，而且与知识更新力度较大有关，使大部分学生不太适应本章的学习，在本章中很难达到预期要求。

点评：1、“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想。学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念的过程学习，充分体现了学生为本的现代教育观；练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施教。但在具体实施中，分寸的把握需视情况而定。

2、在难点的突破上采取了有效的分解策略。

（1）宏观上的三类探究符合学生认知规律；（2）微观上的4步探究有效分解、突破重难点；（3）情景贯穿始终，兴趣伴随学习；（4）充分利用现代多媒体技术，数形结合分解难点。

3、形式和内容得到统一，具有很强的可操作性。

各类探究中，形式和内容和谐统一，教师指导及时、到位，具有很强的可操作性。