浅谈幂级数收敛半径和收敛域的求法

浅谈幂级数收敛半径和收敛域的求法

摘要 对形如∑∞=o n n n

x a （其中s ∈N,t ∈Z ）的幂级数，当其为“特型”时，直

接利用公式R=1

lim +∞→n n n a a （n a 为系数）求其收敛半径和收敛区间；当其为“一般型”时，可通过换元转换为特型求解；若为有缺项时，半径公式已不再适用，要用比值法求收敛域收敛半径。本文先用引理引出其结论，然后讨论不同类型的求解方法，最后将其结论进行推广应用。

关键词 函数项级数； 幂级数 ；收敛半径 ；收敛域 ；比值判别法

1 问题的实际背景

本文对形如∑∞=o n n n

x a （其中s ∈N,t ∈Z ）的幂级数进行了研究，这类幂级数在

函数方面非常重要，尤其是求他们的收敛半径和收敛区间，因此如何求解各类幂级数的收敛半径及收敛域，是值得研究的问题。

2 问题的提出

2.1 问题的分析

要求幂级数的收敛半径和收敛域首先要了解幂级数的相关概念，包括幂级数的形式、收敛点、发散点、收敛域等的概念，以及端点处()R x ±=的敛散性。

2.2 问题的重述

幂级数的形式多样，不同类型的幂级数求解方法各异，那么有几种关于幂级数收敛半径和收敛域的求法呢？这些方法又利用了什么原理呢？让我们一起来研究一下。

3 问题的求解

3.1引理：如果幂级数

L a a x a x a x a a x a n n n n n

n n n =+++++=+∞→∞=∑1

22100lim ............的系数满足条件 则（1）当0

（2) 当L=0时，R=∞+

（3）当L=∞+时，R=0

3.2 相关定理 不同类型的幂级数收敛半径和收敛域的求法

⑴“特型”的求法

步骤：①求R=1

lim +∞→n n n a a ②求收敛区间（－R,R ）

收敛域（考察端点X=±R 的敛散性）

例：求111)1(-∞=-∑-n n n x 的收敛半径和收敛域

解：n u =11)1(---n n x

R=1lim +∞→n n n a a =()()n

n 111---=1 ∴收敛区间为(-1,1)

当x=-1时，∑∞

=11n ，发散

当x=1时，()

∑∞=--111n n ，发散

∴收敛域为（-1,1）

⑵“一般型”的求法

要点：通过换元将“一般型”转化为“特型”，利用“特型”方法求解

例:的收敛半径和收敛域求幂级数n

n x ∑∞=+1

n )12( 解：n x n

n )12(u +=

令12t +=x 得新级数∑∞

=1n n t n

11lim lim 1

n =+==∞→+∞→n n a a R n n n ，()1,1t -∈ 当t=1-时，()

n n

111

n ∑∞=-收敛 当t=1时，∑∞=1n 1n

发散

∴收敛域：[-1,1)

由得1t 1-<≤ 1121-<+≤x 01-<≤∴x

∴原级数收敛域：[-1,0)

收敛半径：21

（3）“有缺项”的求法

要点：半径公式不再适用，用比值法求收敛域和收敛半径

()的收敛半径和收敛域例：求幂级数n n n n x 211

31-∞=∑-

解：()n n n n x n u 2131--= ()()n n n n n n n n

n n x n x n u u 31311lim lim 122211-++∞→+∞→-?+-= =231

lim x n n n =+∞→ 当时132

n n u 收敛

当时132

>x ， ∑∞=1

n n u 发散

∴31,312<

?-∈31,31x ∴31=

R ，收敛域为??

????3131-，

4 结论 由于求收敛域和收敛半径题目类型多样，为更好更快的解决问题，需要按“特型”、“一般型”和 “有缺项”三种类型求解。在上述过程中我们以“特型” “一般型” “有缺项”三种类型的三个例题来具体说明求收敛域和收敛区间的求解方法。

数学问题中许多题目都是有规律可循的，我们应在掌握基础知识的基础上注意寻找规律，并利用规律，分清题目范围、类型，按不同的类型分类求解。同时，在数学中有许多知识是互通的，我们应发散思维，全面考虑，灵活运用所学知识。

由此可知，在我们的学习、生活中也要注意寻找规律利用规律，灵活运用自己所学所知，这将对我们的学习、生活用很大帮助，值得推广！

参考文献:

（1）《经济应用数学基础（一）微积分 赵树嫄 中国人民大学出版社

（2）《经济应用数学基础（一）微积分辅导及习题精解 张天德 张锋 延边大学出版社

（3）华东师范大学数学系 《.数学分析（上册）》 高等教育出版社