极坐标参数方程讲义 2016

极坐标参数方程讲义 2016-6 姓名 班级 一、基本知识

1、极坐标方程与直角坐标方程的互化：极坐标P (),,θρ θ为终边与极轴的逆时针交角

[)()πθρθρθ

ρ2,0,0s i n c o s ∈≥???==y x ()??

???≠=+=0tan 2

22x x y

y x θρ 2、常见的参数方程的标准形式 （1）圆：[)()πααα

α

2,0,sin cos 00∈??

?+=+=为参数r y y r x x

（2）椭圆：[)()παααα

2,0,sin cos ∈?

??==为参数b y a x ，a ，b 为半轴长

（3）直线：()为参数t t y y t x x ??

?+=+=θ

θ

sin cos 00

其中M 0（x 0,y 0）是直线上的一个定点，M （x,y ）表示直线上的动点，

||0t M M =

（注意方向），t>o,M 在M 0上方，t

3、t 的意义：

（1）直线与曲线的交点分别为A ，B ，则B A t t AB -= （2）直线与曲线的交点分别为A ，B ，中点为M ，则2

B

A M t t t +=

（3）直线与曲线的交点分别为A ，B ，并过定点P ，参数方程以P 进行书写，则 B A t PB t PA ==,

二、常见题型一--------利用t 的意义解决问题

※基本方法为把直线l 的参数方程代入与l 相交的普通方程（包括直线，圆，椭圆）中 ※产生关于的t 的一元二次方程

※写出关于t 的韦达定理，并判断t A ，t B 的符号 ※代入关于的t 的式子中求值

1、（2010福建）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ???

????+=-

=22522

3。在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C

的方程为ρθ=。 （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P

的坐标为，求|PA|+|PB|。

2、（2015昆明摸底）已知曲线C 的极坐标方程是ρ﹣2cos θ﹣4sin θ=0，以极点为平面直角坐

标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程是

（t 是参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，与y 轴交于点E ，求|EA|+|EB|．

3、（2015鞍山一模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2

=2，直线l 的倾斜角为45°且经过点P （﹣1，0）

（Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程

（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，求|PA|2+|PB|2

的值． 4、（2015唐山摸底）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：

2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点P (－2，－4)的直线l

的参数方程为

2242

x t

y ?

=-+???

?=-+??

(t 为参数)，l 与C 分别交于M ，N . (1)写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值.

5、（2015衡水一模）过点P （）作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2

=1交于点M ，

N ． （1）写出直线的一个参数方程； （2）求|PM|?|PN|的最小值及相应的α值．

6、（2015唐山摸底解析几何题）椭圆C ：22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的离心率为35，P (m ，0)

为C 的长轴上的一个动点，过P 点斜率为

4

5

的直线l 交C 于A 、B 两点.当m ＝0时，412

PA PB ?=- (1)求C 的方程； (2)求证：22

PA PB +为定值.

7、（2015沈阳一模解析几何题）如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的

中点横坐标为，且=λ．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求实数λ的值．

8、已知直线l过点P（3,2），直线l的倾斜角为α，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，

PA?取最小值时直线l的方程

B两点（1）求直线l的参数方程（2）求PB

三、常见题型二--------利用三角函数求最值的问题

※基本方法为写出曲线的参数方程，并以参数方程设出曲线上的动点坐标

※代入关于的动点的式子中，从而转化为三角函数的求最值问题，进行合一变形，注意角的范围

1、（2016长春一模）已知曲线C 的参数方程为???==θ

θsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的极坐标方程为224sin =??

?

?

?+

πθρ. ⑴ 写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； ⑵ 设点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.

2、（2015贵阳一模）在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），圆C 的极坐标方程

是ρ=1．

（1）求直线l 与圆C 的公共点个数；

（2）在平面直角坐标系中，圆C 经过伸缩变换

得到曲线C′，设M （x ，y ）为曲

线C′上一点，求4x 2

+xy+y 2

的最大值，并求相应点M 的坐标．

3、（2015吕梁一模）在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2

=

，点R （2，）．（Ⅰ）

以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；

（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．

4、在直角坐标系xOy 中，以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为??

?

???∈=2,

0,sin 4πθθρ （1）求曲线C 的参数方程； （2）已知直线l 的方程为63

3

+-

=x y ，点M 在曲线C 上，过点M 且斜率为-1的直线与l 交于点Q ，当|MQ|取得最小值时，求M 的坐标

5、在直角坐标系xOy 中，曲线()πφφφ

φ

20,0sin cos <≤>>???==为参数，b a b y a x 上的两点A ，

B 对应的参数分别为2

,π

αα+

（1）求AB 中点M 的轨迹的普通方程

（2）求原点O 到直线AB 的距离的最大值和最小值。

6、（2014全国一）已知曲线22

1:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+??=-?

（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30?的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．

7、（2016江西联考）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为??

?+-=+=θ

θ

sin 24cos 23y x （θ为

参数） (Ⅰ) 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；

(Ⅱ) 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ?面积的最大值。

四、常见题型三--------利用极坐标中的ρ及直角坐标方程解决

※基本见于只是关于直线和圆的交点问题或弦长问题 ※直线过原点并其中的线段的长度关系

1、（2015全国一）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2

2

2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π

R 4

θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积.

2、（2015太原一模）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为

（其中θ

为参数），点M 是曲线C 1上的动点，点P 在曲线C 2上，且满足

=2．

（Ⅰ）求曲线C 2的普通方程；

（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C 1，

C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．

3、（2014辽宁）将圆122=+y x 上每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C （1）写出C 的参数方程

（2）设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程

4、（2011全国一）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y α

α

=??

=+?（α为参

数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v

,P 点的轨迹为曲线C 2

(Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=

与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 5、（2015邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，

圆C 的参数方程为（θ是参数），直线l 的极坐标方程为（ρ∈R ）

（Ⅰ）求C 的普通方程与极坐标方程；

（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．

6、（2013全国一）已知曲线C 1的参数方程为???

x =4+5cost

y =5+5sint

（t 为参数），以坐标原点为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）

7、（2015全国二）在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,

:sin ,

x t C y t αα=??

=?（t 为参数，0t ≠），其中

0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线

3:C ρθ=． （Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；

（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．

8、（2010全国一）已知直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+??=? （t 为参数），圆2C :cos ,

sin ,

x y θθ=??=? (θ为

参数)， （Ⅰ)当α=

3

π

时，求1C 与2C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;