2018年秋新课堂高中数学北师大版选修2-2第2章变化率与导数 (10)

§1变化的快慢与变化率

1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率.(重点)

2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量.(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理1函数的平均变化率

阅读教材P25～P27“练习1”以上部分，完成下列问题.

1.定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从

f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为f（x2）－f（x1）

x2－x1

.

通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以

表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy

Δx

＝

f（x2）－f（x1）

x2－x1

.

2.作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由Δx＝x2－x1，知Δx可以为0.()

(2)Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零.()

(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1

x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭

程度.( )

【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 函数瞬时变化率

阅读教材P 27“练习1”以下至P 30“练习2”以上部分，完成下列问题. 1.定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）

x 1－x 0

＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）

Δx

.

当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率. 2.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.

一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.

【解析】 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2

＋3－(12

＋3)＝2Δt ＋(Δt )2

，∴Δs Δt

＝

2Δt ＋（Δt ）2Δt

＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，Δs

Δt 趋于2.

【答案】 2

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑：

[小组合作型]

() A.0.40 B.0.41

C.0.43

D.0.44

(2)已知函数f(x)＝x＋1

x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5

时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.

【精彩点拨】(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)

＝f(2＋0.1)－f(2)可得.

(2)求Δx＝x2－x1→求Δy＝f（x2）－f（x1）→计算Δy Δx

【自主解答】(1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.【答案】 B

(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为

f（2）－f（1）

2－1＝

2＋

1

2－（1＋1）

1＝

1

2；

自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为

f（5）－f（3）

5－3＝

5＋

1

5－?

?

?

?

?

3＋

1

3

2＝

14

15.

因为1

2<

14

15，所以函数f(x)＝x＋

1

x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.

1.求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1). 第三步，求平均变化率Δy

Δx ＝f （x 2）－f （x 1）

x 2－x 1.

2.求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用

f （x 0＋Δx ）－f （x 0）

Δx

的形式.

[再练一题]

1.函数y ＝x 2＋1在[1，1＋Δx ]上的平均变化率是( )

【导学号：94210031】

A.2

B.2x

C.2＋Δx

D.2＋(Δx )2

【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2

Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C

121-1所示，

试比较两人的速度哪个快？

图2-1-1

【精彩点拨】 比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果.

【自主解答】在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)，

故s1（t0）－s1（t0－Δt）

Δt

<

s2（t0）－s2（t0－Δt）

Δt

.

所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快.

1.本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论.

2.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢.

[再练一题]

2.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图2-1-2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是()

图2-1-2

A.甲的日生产量大于乙的日生产量

B.甲的日生产量小于乙的日生产量

C.甲的日生产量等于乙的日生产量

D.无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小

【解析】由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜

率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量.

【答案】 B

[探究共研型]

探究1 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在???

?

??0，6549时间内的平均速度为多少？

【提示】 易知h ? ??

??

6549＝h (0)，v －＝h ? ????

6549－h （0）6549－0＝0.

探究2 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？

【提示】 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.

探究3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？

【提示】 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态. 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs

Δt ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）

Δt ，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时

刻的瞬时速度.

一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时

速度.(时间单位：s ；位移单位：m)

【精彩点拨】 先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度.

【自主解答】 当时间从3变到3＋Δt 时，

v －＝s （3＋Δt ）－s （3）Δt ＝3（3＋Δt ）2＋1－（3×32

＋1）Δt

＝3Δt ＋18，

当Δt 趋于0时，v －

趋于常数18.

∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.

求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤： (1)求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)计算

Δy

Δx

，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止； (3)将Δx ＝0代入化简后的Δy Δx

即得瞬时变化率.

[再练一题]

3.求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率.

【导学号：94210032】

【解】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)

＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2. ∴Δy Δx ＝7Δx ＋3（Δx ）2Δx

＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，

Δy

Δx

＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.

∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.

[构建·体系]

1.在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx

为( )

A.Δx ＋

1

Δx

＋2 B.Δx －

1

Δx

－2 C.Δx ＋2

D.2＋Δx －

1Δx

【解析】 Δy Δx

＝（1＋Δx ）2＋1－2

Δx

＝2＋Δx ，故选C.

【答案】 C

2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )

A.3Δt ＋6

B.－3Δt ＋6

C.3Δt －6

D.－3Δt －6

【解析】

Δs Δt ＝

5－3（1＋Δt ）2－（5－3）

Δt

＝－6－3Δt .

【答案】 D

3.已知函数y ＝2

x ，当x 由2变为1.5时，函数的改变量Δy ＝________.

【导学号：94210033】

【解析】 Δy ＝21.5－22＝1

3. 【答案】 1

3

4.设某产品的总成本函数为C(x)＝1 100＋

x2

1 200，其中x为产量数，生产900

个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________.

【解析】ΔC

Δx

＝

C（1 000）－C（900）

1 000－900

＝

19

12.

【答案】19 12

5.在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)，求：

(1)t＝20，Δt＝0.1时Δs与Δs Δt

；

(2)t＝20时的瞬时速度.

【解】(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)

＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，

Δs Δt ＝

21.05

0.1＝210.5(m/s).

(2)∵Δs Δt

＝10（20＋Δt）＋5（20＋Δt）2－10×20－5×202

Δt

＝5Δt＋210，

当Δt趋于0时，Δs

Δt

趋于210，

所以在t＝20时的瞬时速度为210 m/s.

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)