2016年高考真题数学解析分类汇编10：立体几何(带详细答案)
2012高考试题解析分类汇编：立体几何 一、选择题
1.【2012高考新课标文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的
三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18
【答案】B
【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题.
【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为1163332
????=9，故选B.
2.【2012高考新课标文8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为
（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B
【解析】球半径3)2(12
=
+=r ，所以球的体积为ππ34)3(3
4
3=?，选B.
3.【2012高考全国文8】已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ，
2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为
（A ）2 （B （C （D ）1 【答案】D
4.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）
【答案】B.
【解析】显然从左边看到的是一个正方形，因为割线1AD 可见，所以用实线表示；而割线1B C 不可见，所以用虚线表示．故选B ．
5.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
A ．
112 B.5 C.4 D. 9
2
【答案】D
【解析】通过观察三视图，确定几何体的形状，继而求解.
通过观察几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为六边形（2条对边长为1，其余4条
，高为1的直棱柱.所以该几何体的体积为11222
?
?+? ?
V =sh =
14?=故选D.
【点评】本题考查三视图及空间想象能力，体现了考纲中能掌握三视图所表示的简单的立体图形以及对空间想象能力的要求，来年三视图考查仍然围绕根据三视图求几何体的表面积或体积，以及根据几何体来求三视图等问题展开，难度适中.
6.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不．可能．．
是
【答案】D
【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型. 7.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A. 72π
B. 48π
C. 30π
D. 24π 【答案】C
【解析】几何体是半球与圆锥叠加而成 它的体积为32141
3330233
V πππ=
??+??= 8.【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可
图1
正视图 俯视图
侧视图
以是
A 球
B 三棱锥
C 正方体
D 圆柱 【答案】D.
考点：空间几何体的三视图。 难度：易。
分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；
三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。
9.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a 且长为a 的棱
a 的取值范围是
（A ） （B ） （C ）（D ）
【答案】A
【解析】：2
BE ==
BF BE <，
2AB BF =
【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空
间想象能力，极限思想的应用，是中档题．． 10.【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是
A.1cm 3
B.2cm 3
C.3cm 3
D.6cm 3 【答案】C
【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题，体现了对学生空间想象能力的综合考查。【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为11
123132
?
???=. 11.【2012高考浙江文5】 设l 是直线，a ，β是两个不同的平面
A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥β
B. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β
C. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥β
D. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β 【答案】B
【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。
【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β．如选项A ：l ∥a ，
l ∥β时，a ⊥β或a ∥β；选项C ：若a ⊥β，l ⊥a ，l ∥β或l β?；选项D ：若若a ⊥β, l ⊥a ，l ∥β或l ⊥β．
12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（ ）
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C
[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
13.【2012高考四川文10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=
，则A 、
P 两点间的球面距离为（ ）
A
、R B 、4R π C
、R D 、3R π
【答案】A
[解析]以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，则
A )0,2
3,21(),22,0,22(
R R P R R 422
=?=∠∴R AOP COS
4
2arccos
=∠∴AOP
4
2arccos ?=∴R P A
[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.
14.【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
（A ）
28+B ）
30+C ）
56+D ）
60+【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面
积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,S S S S ====后右左底
因此该几何体表面积30S =+B 。
【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积，因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力。
二、填空题
15.【2012高考四川文14】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，
M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________。N
A 1
【答案】
2
π
[解析]方法一：连接D 1M,易得DN ⊥A 1D 1 ,DN ⊥D 1M,
所以，DN ⊥平面A 1MD 1，
又A 1M ?平面A 1MD 1，所以，DN ⊥A 1D 1，故夹角为90o
方法二：以D 为原点，分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴，建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2，则D （0,0,0），N （0,2,1），M （0,1,0）A 1（2,0,2） 故，），（），（2,121,2,01-==MA DN 所以，cos<|
MA ||DN |11
1MA MA ?=
?? = 0,故DN ⊥D 1M ，所以夹角为90o
[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.
16.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 【答案】π6
【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：
πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.
【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 17.【2012高考湖北文15】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.
【答案】12π
【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是
222121412V πππ=???+??=.
【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积.
18.【2012高考辽宁文13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
_______________.
【答案】12+π
【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为
3411112ππ??+??=+
【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。
19.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，
3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3
．
【答案】6。
【考点】正方形的性质，棱锥的体积。
【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中BD cm ，BD （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。
∴四棱锥11A BB D D -的体积为123?。 20.【2012高考辽宁文16】已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四
边形ABCD 是边长为
则△OAB 的面积为______________.
【答案】【命题意图】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。
【解析】点P A B C D O 、、、、为球内接长方体的顶点，
14
O OAB ∴?球心为该长方体对角线的中点，
的面积是该长方体对角面面积的，
1
6=4
AB PA PB OABD ==∴=∴?? ，面积
【点评】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。
21.【2012高考天津文科10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体 积 3
m
.
【答案】30
【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为24243=??，五棱柱的体积是
6412
)
21(=??+，所以几何体的总体积为30。
22.【2012高考安徽文12】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于______。
【答案】56
【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱 几何体的的体积是1
(25)44562
V =
?+??= 23.【2012高考山东文13】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.
【答案】
6
1 考点：空间多面体的体积
解析：求1DED A -的体积，显然为定值，也就是说三棱锥的地面面积与三棱锥的高都
为定值，因此，我们需要找底面三角形的面积为定值，三角形1ADD 的面积为21
（为定值），而E 点到底面1
ADD 的高正合适为正方体的高为1（为定值），因此体积为6
1
24.【2012高考安徽文15】若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，
AC BD =，AD BC =，则______(写出所有正确结论编号)。 ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等
③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。
而小于180。
④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【答案】②④⑤
【解析】②四面体ABCD 每个面是全等三角形，面积相等
③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180ο
④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
25.【2012高考全国文16】已知正方体1111ABCD A BC D -中，
E 、
F 分别为11BB CC 、的
中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________. 【答案】
5
3 【命题意图】本试题考查了正方体中的异面直线所成角的求解问题。
【解析】首先根据已知条件，连接DF ，则由1//D F AE 可知1DFD ∠或其补角为异面直线
AE 与1D F 所成的角，设正方体的棱长为2
，则可以求解得到112DF D F DD ===，
再由余弦定理可得22211115543
cos 2255
D F DF D D DFD D F DF +-+-∠===??。
三、解答题
26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上．．．．．作答无效．．．．
） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面
ABCD
，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。
（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）设二面角A PB C --为90
，求PD 与平面PBC 所成角的
大小。
【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。
解：设AC BD O = ,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y
轴建立空间直角坐标系，则
((A C P 设(0,,0),(0,,0),(,,)B a D a E x y z -。
（Ⅰ）证明：由2PE EC =
得2()33E ，
所以2)PC =-
，2(,)33
BE a = ，
(0,2,0)BD a =
，所以2
2)(,)033
PC BE a ?=-?= ，
2)(0,2,0)0PC BD a ?=-?= 。
所以PC BE ⊥ ,PC BD ⊥
，所以PC ⊥平面BED ； （Ⅱ） 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =
，又(0,0,2),2,,0)
AP AB a ==-
，由0,0n AP n AB ?=?=
得,0)n a
= ，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z = ，又
D
,0),(BC a CP ==- ，由0,0m BC m CP ?=?=
，得(1,m = ，由
于二面角A PB C --为90 ，所以0m n ?=
，解得a =
所以2)PD =- ，平面PBC
的法向量为(1,1m =-
，所以PD 与平面PBC
所成角的正弦值为||1
2
||||PD m PD m ?=?
，所以PD 与平面PBC 所成角为6π. 【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊
的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E 的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。
27.【2012高考安徽文19】（本小题满分 12分）
如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱1AA 上任意一点。
（Ⅰ）证明：BD 1EC ⊥ ；
（Ⅱ）如果AB =2，AE =2，1EC OE ⊥,，求1AA 的长。 【解析】（I ）连接AC ，11//,,,AE CC E A C C ?共面 长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形
,,AC BD EA BD AC EA A BD ⊥⊥=?⊥ 面1EACC 1BD EC ?⊥
（Ⅱ）在矩形11ACC A 中，111OE EC OAE EAC ⊥???
得：
1111AC AE AA AO EA =?=?= 28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠= ，60PAB ∠=
，AB BC CA ==，点P
在平面ABC 内的射影O 在AB 上。
（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。
命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力. [解析]（1）连接OC. 由已知，ABC PC OCP 与平面为直线∠所成的角
设AB 的中点为D ，连接PD 、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD ⊥AB.
因为为，所以，PAD PAB APB ??=∠?=∠6090等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3, AB=4.
所以CD=23，OC=1312122=+=+CD OD . 在Rt 中，OCP ?tan 1339
13
3=
==
∠OC OP OPC .…………………………6分 （2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE.
由已知可得，CD ⊥平面PAB. 据三垂线定理可知，CE ⊥PA ，
所以，的平面角——为二面角C AP B CED ∠. 由（1）知，DE=3 在Rt △CDE 中，tan 23
3
2===
∠DE CD CED 故2arctan 的大小为——二面角C AP B …………………………………12分 [点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.
29.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点。（Ⅰ）求异面直线1CC 和AB 的距离；（Ⅱ）若11AB AC ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
1
3
【解析】（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC ， D 为AB 的中点，故CD ⊥AB 。又直三棱柱中，
1CC ⊥ 面ABC ，故1CD CC ⊥ ，所以异面直线1CC 和AB 的距离
为
（Ⅱ）：由1CD ,CD ,AB BB ⊥⊥故CD ⊥ 面11A ABB ，从而1CD DA ⊥ ，1CD DB ⊥故11A DB ∠ 为所求的二面角11A CD B --的平面角。
因1A D 是1AC 在面11A ABB 上的射影，又已知11C,AB A ⊥ 由三垂线定理的逆定理得11D,AB A ⊥从而11A AB ∠，1A DA ∠都与1B AB ∠互余，因此111A AB A DA
∠=∠，所以1Rt A AD ≌11Rt B A A ，因此
1111
AA A B AD AA =得2
1118AA AD A B =?=
从而111A D B D A D ===所以在11A DB 中，由余弦定理得222111111111
cos 23
A D D
B A B A DB A D DB +-=
=? 30.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，
PD=CD=2. （I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；
（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。 【解析】（I ）//AD BC ?PAD ∠是PA 与BC 所成角 在ADP ?中，,1,2AD PD AD BC PD ⊥===
tan 2PD
PAD AD
∠=
= 异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2
（II ）,,AD PD AD DC PD DC D AD ⊥⊥=?⊥ 面PDC
AD ? 面ABCD ∴平面PDC ⊥平面ABCD （III ）过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE
平面PDC ⊥平面ABCD PE ?⊥面ABCD PBE ?∠是直线PB 与平面ABCD 所成角
2,1201CD PD PC PDC PE DE ?===?∠=?== 在Rt BCE ?
中，BE PB 在Rt BPE ?
中，sin PE PBE PB ∠=
=
得：直线PB 与平面ABCD
31.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1
的中点
(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
B 1 C
B A
D
C 1
A 1
【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.
【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,
由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=0
90,即1DC DC ⊥,
又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ?面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；
（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+???=1
2
，
由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，
∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
32.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）
如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.
【答案】
【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥?⊥平面平面所以 又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC ?平面PAC ，所以BD PC ⊥.
（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，
所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=
. 由BD ⊥平面PAC ，PO ?平面PAC ，知BD PO ⊥.
在Rt POD
中，由DPO ∠30=
，得PD=2OD.
因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD 的高为
111
(42)3,222
AD BC +=?+=于是梯形ABCD 面积 1
(42)39.2
S =?+?=
在等腰三角形ＡＯＤ中，2
OD AD =
=
所以2 4.PD OD PA ===
=
故四棱锥P ABCD -的体积为11
941233
V S PA =
??=??=.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由1
3
V S PA =??算得体积. 33.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)
如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；
(Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .
【答案】(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知 ，
CO BD ⊥，
又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE .
所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线， 所以BE DE =.
(II)取AB 中点N ，连接,MN DN ， ∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ， ∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.
由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥， 所以ND ∥BC ，
所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .
34.【2012高考湖北文19】（本小题满分12分） 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1-ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A 2B 2C 2D 2。
A ．证明：直线
B 1D 1⊥平面AC
C 2A 2；
B ．现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A 1B 1=20，AA 2=30，AA 1=13（单
位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，
所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为AB AD A = ，所以2AA ⊥平面ABCD . 连接BD ，因为BD ?平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.
因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 根据棱台的定义可知，BD 与B 1 D 1共面.
又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D 平面ABCD BD =， 平面11BB D D 平面111111A B C D B D =，所以B 1 D 1∥BD . 于是
由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1 D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，11AC B D ⊥. 又因为2AA AC A = ，所以11B D ⊥平面22ACC A .
（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以
2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+?=+??=四棱柱上底面四棱柱侧面. 又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，
所以2211111
()42S S S A B AB A B h =+=+?+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()
221204(101120(cm )2=+?+.
于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=， 故所需加工处理费为0.20.22420484S =?=（元）.
【解析】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划
归的能力.线线垂直?线面垂直?面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查. 35.【2012高考广东文18】本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且1
2
DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2）若1PH =，AD =，1FC =，求三棱 锥E BCF -的体积；
（3）证明：EF ⊥平面PAB .
【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，
所以PH AB ⊥。
因为PH 为△PAD 中AD 边上的高， 所以PH AD ⊥。
因为AB AD A = ，
所以PH ⊥平面ABCD 。
（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。 因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH 。
因为PH ⊥平面ABCD ，
所以EG ⊥平面ABCD 。
则1122EG PH =
=，
111
3
32
E B C F
B C F
V S E G F C A D -?=?=????=。
（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。 因为E 是PB 的中点，
所以1
//
2ME AB =。 因为1
//2
DF AB =，
所以//ME DF =
， 所以四边形MEDF 是平行四边形，
所以//EF MD 。 因为PD AD =， 所以MD PA ⊥。
因为AB ⊥平面PAD ， 所以MD AB ⊥。 因为PA AB A = ，
所以MD ⊥平面PAB ， 所以EF ⊥平面PAB 。 36.【2102高考北京文16】（本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2。
(I)求证：DE ∥平面A 1CB ； (II)求证：A 1F ⊥BE ；
(III)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由。