河北省正定中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学试题

高二第二学期期末考试

数学试题

说明：

1.考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或签字笔答在答题纸上。

试卷Ⅰ（共 60 分） 一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。请把答案涂在答题卡上）

1.设集合M {|||3}x x =≤，N = {}22|log (32)x y x x =-+-，则M N =

A.{}|13x x <≤ B ．{}|12x x << C. {}|32x x -≤< D ．{}|33x x -≤≤ 2.已知命题:,2lg p x R x x ?∈->，命题2:,0q x R x ?∈>，则 A ．命题p q ∨是假命题

B ．命题p q ∧是真命题

C ．命题()p q ∧?是真命题

D ．命题()p q ∧?是假命题

3. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则

2

2z z

+= A. 1i +

B. 1i -

C. 1i --

D. 1i -+

4.参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，可见部分信息如下，据此计算得到：参加数学抽测的人数n 、分数在[]90,100内的人数分别为

A ．25,2

B ．25,4

C ．24,2

D ．24,4 5.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S 为 A ．12

-

B ．3-

C ． 1

3 D ． 2

6.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是

A.2

B.

92 C.3

2

D.3 7.四位外宾参观某场馆需配备两名安保人员.六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两

名安保人员，外宾甲乙要排在一起，则六人的入门顺序的总数是 A ． 12 B ． 24 C ． 36 D ． 48

8.若22n

x ???展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是

A ．180

B ．120

C ．90

D ．45

9. 设数集34M x m x m ??

=≤≤+????

，13N x n x n ??

=-

≤≤????

，且,M N 都是集合{}01x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的“长度”的最小值是

A.

13 B.23 C.112 D.5

12

10. 在

ABC ?中，三个内角

,,A B C 所对的边为,,a b c ，若

6,

ABC S a b ?=+=cos cos a B b A

c

+2cos C =，则c =（ ）

A ．．．4 D ．11.设1F ，2F 分别为双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左，右焦点，A 为双曲线的左顶

点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足120MAN ∠=

，则该双曲线的离心率为( )

A B C ．23

D 12.已知函数3211()322

m n

f x x mx x +=

++的两个极值点分别为12,x x ，且1201x x <<<，

点(,)P m n 表示的平面区域内存在点00(,)x y 满足00log (4)a y x =+，则实数a 的取值范围是( )

A.1(0,)(1,3)2

B.(0,1)(1,3)

C.]1(,1)(1,32

D ．[(0,1)3,)+∞

试卷Ⅱ（共 90 分）

二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上） 13.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 ． 14.已知菱形ABCD 的边长4，150ABC ∠=

，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为 ．

15.已知点P 在渐近线方程为034=±y x 的双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 上，其中1F ，2F 分

别为其左、右焦点．若12PF F ?的面积为16且120PF PF ?= ，则a b +的值为 ．

16.若1a >，函数2()22f x x x a =++与()1g x x x a =-++有相同的最小值，则

1

()a

f x dx =?

．

三、解答题（本题共6个小题 共计70分。请把解答过程写在答题纸上） 17、（本小题满分10分）

已知数列{}n a 与{}n b ，若12a =且对任意正整数n 满足12n n a a +-=，数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列1

1

{

}n n b b +的前n 项和n T 18、（本小题满分12分）

某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩，作出频率分布直方图如下，规定考试成绩[]120,150内为优秀。

（1）由以上频率分布直方图填写下列22?列联表，若按是否优秀来判断，是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异。

（2）某高校派出2名教授对该校随机抽取的学生中一练数学成绩在140分以上的学生进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位学生只能被一位教授面试，若甲教授面试的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

19. （本小题满分12分）

如图,四棱锥P ABCD -中, PA ABCD ⊥底面，

24BC CD AC π

===∠∠，，ACB=ACD=3

.F 为PC 的中点，

AF PB ⊥.

(Ⅰ)求PA 的长 ；

(Ⅱ)求二面角B AF D --的正弦值.

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且过点()3,1-.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动点P 在直线:l x =-P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，证明：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标. 21、（本小题满分12分）

已知()()()2,()ln ,()f x x ax g x x h x f x g x =-==+。 （1）当3a =时，求()h x 的单调区间；

（2）设()h x 有两个极值点12,x x ，且11(0,)2

x ∈，若12()()h x h x m ->恒成立，求m 的最大值。

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD 为圆O 的切线， B ，D 为切点.

⑴ 求证：OC AD //；

⑵ 若圆O 的半径为2，求OC AD ?的值.

23.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为?

??+-=+=θθ

sin 24cos 23y x （θ为参数）.

⑴ 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； ⑵ 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ?面积的最大值.

24、（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 已知()2

,,2a b R f x x a x b

+

∈=--+

（1）求()f x 的最大值； （2）若()f x 的最大值为5，求

1

b a

+的最小值。

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且过点()3,1-.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动点P 在直线:l x =-P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，证明：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标. 21、（本小题满分12分）

已知()()()2,()ln ,()f x x ax g x x h x f x g x =-==+。 （1）当3a =时，求()h x 的单调区间；

（2）设()h x 有两个极值点12,x x ，且11(0,)2

x ∈，若12()()h x h x m ->恒成立，求m 的最大值。

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD 为圆O 的切线， B ，D 为切点.

⑴ 求证：OC AD //；

⑵ 若圆O 的半径为2，求OC AD ?的值.

23.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为???+-=+=θ

θ

sin 24cos 23y x （θ为参数）.

⑴ 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； ⑵ 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ?面积的最大值.

24、（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 已知()2

,,2a b R f x x a x b

+

∈=--+

（1）求()f x 的最大值； （2）若()f x 的最大值为5，求1

b a

+的最小值。

高二期末考试数学答案

A 28,7,

8

3

BCAAADBACB B π选择：填空：甲，1-

17.

(1)2,21

(2)3(23)

n n n a n b n n

T n ==+=

+ 18题

19.解：（Ⅰ）如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC CD =,即BCD 为等腰三角形，又AC 平分B C D ∠，故

A C

B D ⊥.以O 为坐标原点，,,OB O

C AP u u u r u u u r u u u r

的方向分别为

x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyx .

则

cos

1

3

OC CD π

==，而

=4

AC ，得

3A O A C O C =-=,

又sin

3

OD CD π

==，

故

(030(300)(010),(300).A C -，，，，，，因为PA ABCD ⊥底面,可设03)P

z -（，，，由F 为PC

边的中点，得(01)(02),)22

z z F AF PB z -==-，，，，，uu u r uu r

.

2

,0602

z AF PB AF PB ⊥?=-=，uu u r uu

r z PA =∴=舍去（Ⅱ）由（Ⅰ）知

(0),(0AD AB AF ===3，，u u u r u u u r u u u r .设平面FAD 的法向量为

1111(,,)n x y z u r ,FAB 的法向量为2222(,,)n x y z u u r

, 由110,0n AD n AF ==u r uuu r u r uu u r

g g ,

得11113020y y ?+=??=??

由此可取12)n =- 由220,0n AB n AF ==u u r uu u r u u r uu u r

g g ,

得222230

20

y y +=+=??

由此可取2n =u u r 从而法向量12,n n u r u u r

的夹角的余弦值为

1212121cos ,8

n n n n n n ??==?u r u u r

u r u u r g u r u u r ，

故二面角B AF D --

的正弦值为

8

. 20．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C 上，即9a 2＋1

b

2＝1, ①

又椭圆的离心率为63，所以c 2a 2＝a 2－b 2

a 2＝(63)2＝2

3

，②

联立①②可解得a 2

＝12，b 2

＝4，所以椭圆C 的方程为x 212＋y 2

4

＝1.(5分)

(2)因为直线l 的方程为x ＝－22，设P (－22，y 0)，y 0∈(－233，23

3)，

当y 0≠0时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然x 1≠x 2，

联立?

??x 2112＋y 21

4＝1，x 2212＋y 22

4

＝1，则x 21－x 2212＋y 21－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2

y 1＋y 2，

又PM ＝PN ，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN 的斜率为－13·－22y 0＝22

3y 0，

又l ′⊥MN ，所以直线l ′的方程为y －y 0＝－

3y 0

22

(x ＋22)，

即y ＝－3y 022(x ＋42

3)，

显然l ′恒过定点(－42

3

，0)；

当y 0＝0时，直线MN 即x ＝－22，此时l ′为x 轴亦过点(－42

3，0)．

综上所述，l ′恒过定点(－42

3

，0)．(12分)

21.(1)11

()(0,),(1,),22

h x +∞的单调增区间为单调减区间为(,1)

22.解： (1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，

DB AD ⊥∴，//AD OC .

5分

(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ?∴∽Rt COB ?，

AD AB OB OC

=，8AD OC AB OB ?=?=.

10分

23.解：（1）圆C 的参数方程为???+-=+=θ

θ

sin 24cos 23y x （θ为参数）

所以普通方程为4)4()3(2

2

=++-y x .

2分

∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ.

5分 （2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为2|

9sin 2cos 2|+-=θθd

7分

ABM ?的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=??=

θπ

θθd AB S

所以ABM ?面积的最大值为229+ 10分