2016届宝山区高三一模数学卷及答案

宝山区2015学年度第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷

（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.方程0624=--x

x 的解集为 .

2.已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位 ），则z = .

3．以)2,1(为圆心，且与直线03534=-+y x 相切的圆的方程是 ．

4.数列2,*3n

n N ????

??∈?? ???????

所有项的和为 ．

5. 已知矩阵A =????

??421y ，B =???? ??876x ，AB =???

?

??50432219，则x+y = ． 6. 等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .

7．若9

a x x ??- ??

?的展开式中3

x 的系数是-84，则a= ．

8. 抛物线2

12y x =-的准线与双曲线22

193

x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．

9. 已知,0,>t ω函数x

x

x f ωωcos 1sin 3)(=

的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t

个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 ．

10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是 ．

11. 向量a r ，b r 满足a 1=r

，a 2

b -=r r ，a r 与b r 的夹角为60°，则b =r .

12. 数列121231234

1213214321

???，，，，，，，，，，

，则9

8

是该数列的第 项. 13. 已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数

x

x y 1

+

=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 .

14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，

2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，L .记(0,)n n A y ，1,2,3,n =L .

给出下列三个结论：

① 数列{}n y 是递减数列； ② 对任意*

n ∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则52

3

y =

. 其中，所有正确结论的序号是_____．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15.如图，该程序运行后输出的结果为…… （ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）16

16. P 是ABC ?所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ， 则P 点一定在……（ ）

（A ）ABC ?内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上 17.若,a b 是异面直线，则下列命题中的假命题为

------------------------------------------ （ ）

（A ）过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行； （B ）过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直； （C ）唯一存在一个平面α与直线a b 、等距； （D ）可能存在平面α与直线a b 、都垂直。

18.王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）

若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算. ……（ ）

（A ）300秒 （B ）400秒 （C ）500秒 （D ）600秒

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务

必写在黑色矩形边框内． 19．（本题满分12分）

在三棱锥P ABC -中，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P ABC -的体积为20，Q 是BC 的中点，求异面直线PB ，AQ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知角C B A 、、是ABC ?的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量

??? ??-+-=2cos ),cos(1B A B A m ,??? ??-=2cos ,8

5

B A n ,且89=?.

（1）求B A tan tan ?的值； （2）求2

22sin c

b a C

ab -+的最大值.

21. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．

的牌照的数量维持在这一年的水平不变． C

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知椭圆

2

212

x y +=上两个不同的点A,B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称． （1）若已知)21

,0(C ，M 为椭圆上动点，证明：2

10≤MC ； （2）求实数m 的取值范围；

（3）求

AOB ?面积的最大值（O 为坐标原点）．

23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4， 公差为2的等差数列.

(1)求证：数列{}n a 是等比数列；

(2) 若()n n n b a f a =+，当k =

时，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值； （3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；

若不存在，说明理由．

宝山区2015学年第一学期期末高三年级数学

参考答案

一．填空题

1. {}3log 2

2. -3-4i 3．()()25212

2

=-+-y x 4． 2

5. 8

6. π6

2

7． 1

8. 9. 65π

10.48 11.

1

2

12. 128 13. ),3[+∞- 14. ① ② ③ 二．选择题 15.D 16. B 17. D 18.B

三．解答题 19．解：11

562032

V PA =

???=，所以4PA =，-------------------3分 取PC 的中点为D ，连结AD ，DQ ，

则AQD ∠为异面直线PB ，AQ 所成的角，--------------------------------5分

5

3,2

PD QD ==，5DA =，------------------------------------7分

因为QD PAC ⊥平面，所以QD AD ⊥----------------------9分 所以2tan =∠AQD

异面直线PB ，AQ 所成的角为2arctan 。-----------------------12分

20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

解：（1）由(1cos(),cos

)2

A B m A B -=-+u r ,5(,cos )82A B n -=r

，且98m n ?=u r r ，

C

即2

59

[1cos()]cos

8

28

A B A B --++=.-----------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,--------------------------------------------------------------------4分

即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1

tan tan 9

A B =.----------------6分 （2）由余弦定理得2

22sin sin 1

tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-----------------8分 而∵tan tan 9

tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++=

=+-------------------------------------------10分 由1

tan tan 9A B =知：0tan ,tan >B A ------------------------------------------11分

93

tan()84

A B +≥?=,

当且仅当1

tan tan 3

A B ==时取等号，-------------------------------------------------------------12分

又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值3

4

-，

所以222

sin ab C a b c +-的最大值为3

8-.---------------------------------14分 21. 解：（1）

--------------------------------------------------------------1分

当120n ≤≤且n N *

∈时，2110(1)(0.5)22

n n a n =+-?-=-

+； 当21n ≥且n N *

∈时，0n a =．

∴21,12022

0,21n n n n N

a n n N **?-+≤≤∈?=??≥∈?

且且----------------------------------------------------------4分

而4415.2515a b +=>，

∴132(),142

6.75,5n n n n N

b n n N -**??≤≤∈?=??≥∈?且且-------------------------------------------------------------7分

（2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=．---------------8分 当205≤≤n 时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++L L

432[1()]

(1)1210() 6.75(4)32212

n n n n --=+?-+

+-- 216843

444

n n =-+-------------------------------------------------------------11

分

由200n S ≥ 得2

168432004

44

n n -+

-≥，即2688430n n -+≤，

解得n=3416.3021≈≤ --------------------------------------------------------------13分

∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分

22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

解：（1）设),,(y x M 则2

212

x y +=, 于是 22)21(-+=y x MC =22)2

1

(22-+-y y

4

9

2+

--=

y y --------------------------------------------------------2分 2

5)21(2++-=

y

因11≤≤-y ,

所以，当21-

=y 时，2

10max =MC .即210≤MC ----------------------------4分 （2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1

y x b m

=-

+. ------------------------------5分 由2

21,21,x y y x b m ?+=????=-+??

消去y ，得

2222

22102m b

x x b m m +-+-=. --------------------------------------------------------7分 因为直线1y x b m =-+与椭圆

2

212

x y +=有两个不同的交点， 所以,2

2

4

220b m ?=-++>， 即2

221b m

<+

①----------------------------8分

将AB 中点22

22(,)22mb m b

M m m ++ --------------------------------------------------------9分 代入直线方程12y mx =+解得22

2

2m b m +=-

②

由①②得3

m <-

或3m > --------------------------------------------------------10分

（3

）令1((0,t m =

∈ ，即23(0,)2t =，

则 2

12

3

2212

242+

+

+-?

+=

t t t t AB --------------------------------------------11分

且O 到直线AB

的距离为21

t d +

=

-----------------------------------------------12分 设AOB ?的面积为()S t ，所以

2

2

2)21(22121)(22≤

+--=?=

t d AB t S --------------------------14分 当且仅当2

1

2

t =

时，等号成立. 故AOB ?

面积的最大值为

2

. ---------------------------------------------------16分 23．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

解：(1) 证：由题意()4(1)222n f a n n =+-?=+，即log 22k n a n =+， ∴22

n n a k

+= ---------------------------------2分

∴2(1)2

2122n n n n a k k a k

++++==. ∵常数0k >且1k ≠，∴2

k 为非零常数，

∴数列{}n a 是以4

k 为首项，2

k 为公比的等比数列. -----------------------4分

(2)

当k =

时，112n n a += , ()2n+2n f a =，----------------------6分

所以2111122411423122212n n n n S n n n +??- ?++??

=+=++---------------------8分

因为

1n ≥,所以，2

111322n n n +++-是递增数列， 因而最小值为11115

13244

S =++-=。----------------------10分

(3) 由(1)知，22

lg (22)lg n n n n c a a n k

k +==+?，要使1n n c c +<对一切*n ∈N 成立， 即2

(1)lg (2)lg n k n k k +<+??对一切*

n ∈N 成立. ----------------------12分

当1k >时，lg 0k >，21(2)n n k +<+对一切*n ∈N 恒成立；---------------14分

当01k <<时，lg 0k <，2

1(2)n n k +>+对一切*n ∈N 恒成立，

只需2

min

12n k n +??< ?+??，-------------------------------------------------16分

∵11

122

n n n +=-++单调递增， ∴当1n =时，min 1223

n n +??

= ?

+??. -----------------------------------17分 ∴223k <

，且01k <<，

∴0k <<.

综上所述，存在实数(1,)k ∈+∞U 满足条件. ------------------18分