泊松方程

泊松方程（英语：Poisson's equation）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

泊松方程为

在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成

在三维直角坐标系，可以写成

如果没有，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。

静电学

在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制（SI）中：

此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而是真空电容率（单位为法拉/米）。

如果空间中有某区域没有带电粒子，则

此方程就变成拉普拉斯方程：

[编辑]高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度：

此处，Q代表总电荷

此泊松方程：的解Φ(r)则为

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场；正如我们所预期的。

[编辑]参阅

?离散泊松方程

[编辑]参考资料

?Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

?L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2

A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations

for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

第六章溅射物理

溅射物理我们知道具有一定能量的离子入射到固体表面上时，它将同表面层内的原子不断地进行碰撞，并产生能量转移。固体表面层内的原子获得能量后将做反冲运动，并形成一系列的级联运动。如果某一做级联运动的原子向固体表面方向运动，则当其动能大于表面的结合能时，它将从固体表面发射出去，这种现象称为溅射。早在1853年Grove就观察到了溅射现象，他发现在气体放电室的器壁上有一层金属沉积物，沉积物的成份与阴极材料的成份完全相同。但当时他并不知道产生这种现象的物理原因。直到1902年，Goldstein 才指出产生这种溅射现象的原因是由于阴极受到电离气体中的离子的轰击而引起的，并且他完成了第一个离子束溅射实验。到了1960年以后，人们开始重视对溅射现象的研究，其原因是它不仅与带电粒子同固体表面相互作用的各种物理过程直接相关，而且它具有重要的应用，如核聚变反应堆的器壁保护、表面分析技术及薄膜制备等都涉及到溅射现象。1969年，Sigmund 在总结了大量的实验工作的基础上，对Thompson的理论工作进行了推广，建立了原子线性级联碰撞的理论模型，并由此得到了原子溅射产额的公式。对于低能重离子辐照固体表面，可以产生原子的非线性级联碰撞现象，通常称为“热钉扎”(thermalized spike) 效应。在1974年，这一现象被H.H. Andersen 和H. L. Bay的实验所验证。本章主要介绍溅射物理过程的一些基本概念和特征、计算溅射产额的Sigmund的线性级联碰撞模型、Matusnami 等人的溅射产额经验公式、热钉扎溅射以及溅射过程的计算机模拟等。最后，我们还对表面腐蚀现象与溅射过程之间的关系进行简要的讨论。 §6.1 溅射过程的一般描述溅射过程可以用溅射产额Y这个物理量来定量地描述，其定义为平均每入射一个粒子从靶表面溅射出来的原子数，即

第七章玻耳兹曼统计教案..

热力学与统计物理课程教案

第七章玻耳兹曼统计 7.1 热力学量的统计表达式一、定域系统的内能、广义力和熵统计表达式在§6.8说过,定域系统和满足经典极限条件的玻色系统都遵从玻耳兹曼分布。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。本节首先推导热力学量的统计表达式。内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.所以 ∑∑--==l βεαl l l l l l e ωεεa U ① 引入函数1Z :∑-=l βεl l e εZ 1 ② 名为粒子配分函数。由式∑--=l βεαl l e ωN ②，得：1Z e e ωe N αl βεl αl ---==∑ ③ 上式给出参量α与N 和1Z 的关系,可以利用它消去式①中的α。经过简单的运算,可得：11ln Z βZ N e ωβe e ωεe U l βεl αl βεl l αl l ???? ????-=???? ????-==∑∑---- ④ 式④是内能的统计表达式。在热力学中讲过,系统在程中可以通过功和热量两种方法与外界交换能量。在无穷小过程中，系统在过程前后内能的变化dU 等于在过程中外界对系统所作的功W d 及系统从外界吸收的热量Q d 之和：Q d W d dU +=。如果过程是准静态的, W d 可以表达为Ydy 的形式,其中dy 是外参量的改变量,Y 是外参量y 相应的外界对系统的广义作用力。粒子的能量是外参量的函数。由于外参量的改变,外界施于处于能级l ε的一个粒子的力为 y εl ??。因此，外界对系统的广义作用力Y 为： 11 ln 11Z y βN Z y βe e ωy βe e ωy ε a y εY αl βεl αβεαl l l l l l l l ??-=??? ? ????-=???? ????-=??=??=-----∑∑∑ ⑤

matlab程序(解泊松方程)

求解泊松方程的 function Finite_element_tri(Imax) % 用有限元法求解三角形形区域上的Possion方程 Jmax=2*Imax; % 其中Imax Jmax分别表示x轴和y轴方向的网格数，其中Jmax等于Imax的两倍 % 定义一些全局变量 global ndm nel na % ndm 总节点数 % nel 基元数 % na 表示活动节点数 V=0; J=0;X0=1/Imax;Y0=X0;%V=0为边界条件 domain_tri % 调用函数画求解区域 [X,Y,NN,NE]=setelm_tri(Imax,Jmax); % 给节点和三角形元素编号，并设定节点坐标 % 以下求解有限元方程的求系数矩阵 T=zeros(ndm,ndm); for n=1:nel n1=NE(1,n); n2=NE(2,n); n3=NE(3,n);%整体编号 s=abs((X(n2)-X(n1))*(Y(n3)-Y(n1))-(X(n3)-X(n1))*(Y(n2)-Y(n1)))/2;%三角形面积 for k=1:3 if n1<=na|n2<=na T(n1,n2)=T(n1,n2)+((Y(n2)-Y(n3))*(Y(n3)-Y(n1))+(X(n3)-X(n2))*(X(n1)-X(n3)))/(4*s); T(n2,n1)=T(n1,n2); T(n1,n1)=T(n1,n1)+((Y(n2)-Y(n3))^2+(X(n3)-X(n2))^2)/(4*s);%V=0则边界积分为零，非零时积分编程类似，再加边界积分。 end k=n1;n1=n2;n2=n3;n3=k; % 轮换坐标将值赋入3阶主子矩阵中 end end M=T(1:na,1:na); % 求有限元方程的右端项 f=X;%场源函数 G=zeros(na,1); for n=1:nel n1=NE(1,n); n2=NE(2,n); n3=NE(3,n); s=abs((X(n2)-X(n1))*(Y(n3)-Y(n1))-(X(n3)-X(n1))*(Y(n2)-Y(n1)))/2; for k=1:3 if n1<=na G(n1)=G(n1)+(2*f(n1)+f(n2)+f(n3))*s/12;%f在单元上为线性差值时场域单元的积分公式 end n4=n1; n1=n2; n2=n3; n3=n4; % 轮换坐标标 end end F=M\G; % 求解方程得结果

《第七章玻耳兹曼统计》(期末复习资料)

《第七章玻耳兹曼统计》（期末复习）一、热力学第一定律的统计解释： Q d W d dU += l l l l l l l l da d a dU a U ∑∑∑+=?=εεε 比较可知：l l l d a W d ε∑= l l l da Q d ∑=ε 即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化二、相关公式 1、非定域系及定域系的最概然分布 l e a l l βεαω--= 2、配分函数：量子体系：∑-=l l l e βεω1Z ∑---==l l l l l l l l e e e a βεβεβεωωωN Z N 1 半经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l ΛΛΛ2121,1Z ???==-βεβεω 经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l 02121,01Z ΛΛΛ???==-βεβε ω 3、热力学公式（热力学函数的统计表达式）内能：β ??=1lnZ -N U 物态方程：V lnZ N 1??=βp 定域系：自由能：1-NkTlnZ F = 熵：B M k .ln S Ω=或??? ? ? ? ??-=ββ11lnZ ln Nk S Z

三、应用： 1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。 2、能量均分定理 ①能量均分定理的内容 ②能量均分定理的应用： A 、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多原子分子）内能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 B 、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典固体的内能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 3、定域系的量子统计理论： ①、爱因斯坦固体模型；②、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的内能及其热容量；③、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。四、应熟练掌握的有关计算 1、求配分函数1Z 进而求系统的热力学性质 2、用Ω=kln S 的证明及相关应用四、解题指导 1、求广义力的基本公式∑??=l l l y a εY 的应用；例1：根据公式V a p l l l ??-=∑ε，证明：对于极端相对论粒子，

波尔兹曼

路德维希·玻尔兹曼(Ludwig Edward Boltzmann 1844.2.20-1906.9.5)，热力学和统计物理学的奠基人之一。玻尔兹曼1844年出生于奥地利的维也纳，1866年获得维也纳大学博士学位。玻尔兹曼的贡献主要在热力学和统计物理方面。1869年，他将麦克斯韦速度分布律推广到保守力场作用下的情况，得到了玻尔兹曼分布律。1872年，玻尔兹曼建立了玻尔兹曼方程（又称输运方程），用来描述气体从非平衡态到平衡态过渡的过程。1877年他又提出了著名的玻尔兹曼熵公式。人物生平生于维也纳，卒于意大利的杜伊诺，1866年获维也纳大学博士学位，历任格拉茨大学、维也纳大学、慕尼黑大学和莱比锡大学教授。他发展了麦克斯韦的分子运动类学说，把物理体系的熵和概率联系起来，阐明了热力学第二定律的统计性质，并引出能量均分理论（麦克斯韦-波尔兹曼定律)。他首先指出，一切自发过程，总是从概率小的状态向概率大的状态变化，从有序向无序变化。1877年，波尔兹曼又提出，用“熵”来量度一个系统中分子的无序程度，并给出熵S与无序度W（即某一个客观状态对应微观态数目，或者说是宏观态出现的概率）之间的关系为S=k ㏒W。这就是著名的波尔兹曼公式，其中常数k=1.38×10^(-23) J/K 称为波尔兹曼常数。他最先把热力学原理应用于辐射，导出热辐射定律，称斯忒藩-波尔兹曼定律。他还注重自然科学哲学问题的研究，著有《物质的动理论》等。作为哲学家，他反对实证论和现象论，并在原子论遭到严重攻击的时刻坚决捍卫它。 “如果对于气体理论的一时不喜欢而把它埋没，对科学将是一个悲剧；例如：由于牛顿的权威而使波动理论受到的待遇就是一个教训。我意识到我只是一个软弱无力的与时代潮流

麦克斯韦-玻尔兹曼载流子统计

玻尔兹曼方程 Boltzmann equation玻尔兹曼方程（1）基本概念：对于载流子的导电、导热等输运过程的分析，简单的方法就是采用所谓粒子平均运动的模型来处理。这能够得到载流子的各种输运参量，但是因为忽略了许多因素，故结果不太精确。玻尔兹曼方程是经典粒子牛顿力学运动模型，和能态跃迁的量子力学模型相糅合的产物。如果忽略所有的相干效应，经过一定的简化，可以从量子输运模型中推导出玻尔兹曼方程。经典的输运理论建立在玻尔兹曼传输理论的基础上，玻尔兹曼理论的基本假设包括： (i) 电子和空穴都是微小粒子； (ii) 粒子之间各自独立，没有相干性，通过散射互相作用； (iii) 粒子可以用Bloch理论描述； (iv) 散射是一种瞬态行为，没有时间和空间上的持续性； (v) 只考虑两个粒子之间的散射，不考虑多个粒子之间的共同作用。（2）玻尔兹曼方程： Boltzmann equation 又称为玻尔兹曼输运方程，它就是分布函数法中所采用的一种方程，即是非平衡分布函数f(k,r,t)所满足的一个方程，求解此方程可得到不同条件下的f(k,r,t)，然后即可求出电子的各种输运参量。玻尔兹曼输运方程中考虑到了载流子的速度分布和散射的方向性，因此较为精确。在有电场或温度梯度等外场的情况下，根据分布函数因电场、磁场、温度梯度等外场而引起的漂移变化以及因散射而引起的变化，即可建立起Boltamann方程，由于其中的散射项应是一个对散射几率的积分, 所以Boltamann方程是一个微分-积分方程。该方程的求解很复杂, 通常采用近似方法，常用的一种近似方法就是弛豫时间近似。玻尔兹曼方程是一个高维的方程，三维波矢空间（k），三维实空间（r），再加上一维时间（t），难于求解，常用蒙特卡罗方法来模拟。（3）局限性：随着半导体器件进入纳米尺度，量子效应对器件性能的影响越来越重要，载流子的输运进入了量子输运的领域，这同时体现在空间和时间两个方面。一方面，位于费米能量的电子的德布罗易波长与器件的尺寸相比拟，电子的波动性更加明显；另一方面，电子在沟道中的输运时间动量和能量的弛豫时间相当，使得描述载流子散射的费米黄金定则的适用性受到局限。因此，对纳米尺度半导体器件，玻尔兹曼方程的适用性受到局限，载流子输运需要建立在量子力学理论框架上。

Boltzmann方程的量子修正

中国科学 G辑:物理学力学天文学 2008年第38卷第9期:1178~1187 https://www.360docs.net/doc/bf7113014.html, https://www.360docs.net/doc/bf7113014.html, 1178 《中国科学》杂志社SCIENCE IN CHINA PRESS Boltzmann方程的量子修正王正川①*, M. Levy Peter② ①中国科学院研究生院物理科学学院, 北京 100049; ②Department of Physics, New York University, New York, NY10003 * E-mail: wangzc@https://www.360docs.net/doc/bf7113014.html, 收稿日期: 2007-05-31; 接受日期: 2007-12-18 国家自然科学基金(批准号: 10404037)和中国科学院研究生院科研启动基金(编号: 055101BM03)资助项目摘要讨论了经典玻尔兹曼分布函数的量子修正项及其满足的方程. 我们将用于推导量子玻尔兹曼方程的梯度近似中的普朗克常数明显地写出, 并且将量子Wigner分布函数用普朗克常数展开, 经过推导就可以得到量子修正项所满足的方程. 量子Wigner分布函数的普朗克常数展开式中的一阶和高阶项正好是量子修正项, 它们可具有负值, 而零阶项则具有正值. 这样我们自然在量子Wigner分布函数中分离出正的分布函数, 避免了用Husimi方法做粗粒平均取得正值的传统框架. 另外我们也用量子Wigner分布函数普朗克常数展开的方法讨论了量子热力学熵的经典极限这一问题. 关键词量子玻尔兹曼方程Wigner分布函数量子修正项 Boltzmann方程描述的是单粒子的非平衡分布函数如何随时间空间变化的运动方程[1~5]. 通常它只适用于稀薄的单原子分子气体动力学的研究, 但是近年来一些人开始用它来研究介观系统的输运问题, 如用它来研究磁性多层膜系统中的自旋极化隧穿现象[6~11]. 可是常用的经典Boltzmann方程不适用于描述诸如磁性多层膜表面那样的尺度非常小的区域, 所以人们怀疑它应用于介观系统输运问题的研究是否正确. 事实上, 经典Boltzmann方程仅适用于介观系统中没有明显的量子干涉效应的耗散输运过程的研究. 可是量子Boltzmann方程却有助于克服经典Boltzmann方程的上述局限性. 利用非平衡Green函数理论, Kadanoff和Baym得到了量子形式的Boltzmann方程. 它实际上是一个关于Green函数的运动方程, 其中经典Boltzmann方程中的分布函数在这里变成了量子Wigner分布函数[12~14]. 量子Boltzmann方程和经典Boltzmann方程形式上具有相似性, 因此人们尝试着用它来研究介观系统中的输运问题. 然而量子Boltzmann方程也有它适用的局限性[12~14], 而且还会碰到负几率的困难[15~17]. 这是因为在量子Boltzmann方程中引入了所谓的Wigner分布函数[12~14], 这个分布函数中

玻尔兹曼及其对热力学理论的贡献

玻尔兹曼及其对热力学理论的贡献第1章：绪论近年来有许多关于玻尔兹曼及其理论的研究，虽然这些研究都十分精辟，但是我们看到的都只是玻尔兹曼及其理论的一部分，就好比我们只看到一棵大树的许多枝条和树叶，但是始终没有去把握去观察这棵树的树干，所以我们还需要对玻尔兹曼的人生经历的梳理和他对热力学理论的贡献的概括总结！本文在阅读大量的期刊，对玻尔兹曼有了比较完整的认识的基础上，描述出玻尔兹曼的人生经历和概括总结出玻尔兹曼对热力学理论的主要贡献。本文通过上网查找、翻阅书报、收集资料等方式，了解现在国内外学者对玻尔兹曼及其相关理论研究的现况，从而进一步了解玻尔兹曼的部分人生经历，以及他对热力学理论的贡献。

第2章玻尔兹曼及其对热力学理论的贡献 2.1 玻尔兹曼的青春岁月 “玻尔兹曼是另两位伟大的理论物理学家——19世纪的麦克斯韦和20世纪的爱因斯坦之间的中间环节,是连接19世纪和20世纪物理学的桥梁.”[1] 路德微希.爱德华.玻尔兹曼1844年2月20日出生于名闻遐迩的音乐之都维也纳。维也纳的文化氛围对玻尔兹曼的成长产生了很大的影响。他诞生的那一夜，正是基督教从忏悔向灰色星期三的过度。玻尔兹曼因此常说他的诞生日子说明了为什么他的性情会突然由非常高兴变得非常沮丧。玻尔兹曼的父亲是一名从事法律工作的文职官员, 虽然他的薪水不高，但是却非常重视子女的教育问题，在家庭非常拮据的情况下，也让玻尔兹曼接受好的教育。但是不幸的是在1859年，当时玻尔兹曼15岁，他的父亲死于肺结核，16 岁痛失胞弟。这一悲剧在孩子身上留下难以消除的痕迹。家庭的不幸致使玻尔兹曼的母亲把自己全部的希望都寄托在年少的玻尔兹曼身上。相依为命的母子二人，从此具有更深厚的感情。玻尔兹曼在青少年时期志趣广泛,他不仅喜欢音乐和文学,而且具有特殊的观察天赋,对自然界具有非凡的洞察力。他善于思考,乐于读书,学习成绩优异。他在班上总是十分杰出的，并且显示出对数学和科学的极大热情。但是在这一阶段漫漫长夜的秉烛夜读，使得玻尔兹曼在晚年岁月深受视力恶化的痛苦。 1863 年,玻尔兹曼在林茨读完大学预科后,进入著名的维也纳大学跟斯忒藩和洛喜密脱学习数学和物理。以至于他后来成为伟大的物理学家。“比玻尔兹曼年长9岁的斯忒藩非常赏识玻尔兹曼的才华”。[2]玻尔兹曼也不负师望。在大学二年级就发表了首篇研究论文,回答了斯忒藩提出的电学原理问题。 2.2 玻尔兹曼在学术界崭露头角玻尔兹曼大学毕业后,继续在斯忒藩的指导下攻读博士学位,并担任斯忒藩的助手。1866 年 2 月，22 岁的玻尔兹曼,向维也纳科学院宣读了他的博士论文。论文的题目是: 《力学在热力学第二定律中的地位和作用》在他的博士论文中明确地指出,仅仅把力学规律应用于气体分子的运动,还不能完全解释热力学第二定律，“但这篇论文却为玻尔兹曼日后所取得的最辉煌的科学成就奠定了基础”。[3] 在论文中,他试图把热力学第二定律与力学的最小作用原理联系起来,以对热力学定律作出纯力学的证明.结果,他虽然得到了一个熵的力学表达式,但这种处理很难令人信服.这时,他注意到了麦克斯韦的分子速度分布律,引起了极大的兴趣.经过研究,他发现麦克斯韦的推导有一些不能令人满意的地方。于是,