鲁教版六年级数学上册全部知识点

第一讲：丰富的图形世界

【考点归类】

考点一、常见的几何体分类及其特点：

长方体：有顶点，条棱，个面，且各面都是（正方形是特殊的长方形）正方体是特殊的。

棱柱：上下两个面称为棱柱的，其它各面称为，长方体是。

圆柱：有上下两个底面和一个侧面，两个底面是的圆。

圆锥：有一个和一个，且侧面展开图是。球：由围成的几何体

考点二、.图形是由、、构成。点动成，线动成，面动成。面与面相交得到，线与线相交得到。面动成体可以通过平移和旋转实现。例如：五棱柱、圆柱分别可以看作是由五边形或圆沿着竖直方向平移形成。圆柱又可以看作是绕着一边旋转一周形成。

考点三、展开与折叠

（1）正方体的展开图

正方体有，需要剪刀才能展开成平面图形。

（2）圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图

考点四、截一个几何体

（1）用一个截面去截长方体或正方体，截面可能是等腰三角形、等边三角形、但不可能是三角形，也可能是正方形，长方形，梯形，五边形等，最多可截得边形。

（2）用一个截面去截圆柱，截面可能是正方形，长方形，梯形、圆或椭圆。

（3）用一个截面去截圆锥，截面可能是等腰三角、圆、抛物线形或椭圆。

（4）三棱锥的截面可以是三角形、长方形、四边形。其中四边形可以是特殊的矩形、梯形。

考点五、三视图

我们从不同方向观察物体时，从正面看到的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的视图叫做俯视图。

三种视图之间的关系：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等。

考点六、生活中的平面图形

（1）多边形：由不在直线上的线段相连组成的封闭图形.

扇形：由和经过这条弧的端点的组成的图形。

（2）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形，可以得到条对角线。

从一个多边形内部的任意一点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形。

从一个多边形边上除顶点外的任意一点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形。

（3）一个n边形一共有

2)3

(

n

n

条对角线。

【典型例题】

例1、观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来( )

例2、一个几何体全部展开后铺在平面上，不可能是（）

A、一个三角形

B、一个圆

C、三个正方形

D、一个小圆和半个大圆

例3、有一个正方体的六个面上分别写养1，2，3，4，5，6这6个数，根据图中ABC三个图中所写数字想一想“？”处的数字是什么？

例4、画出下列立方体的三视图，

例5下图是用小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形的数字表亦该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图。

例6用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？

【练习巩固】

1. 圆柱体是由____个面围成，这些面相交共得_____条线，它们是 线.

2. 用一个平面去截某一几何体，若截面是圆，则原来的几何体可能是 .

3. 将半圆绕直径旋转一周，形成的几何体是_______；将直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，形成的几何体是________；假如我们把笔尖看作一个点,当笔尖在纸上移动时,就能画出线,说明了_______.

4. 如果一个几何体的主视图、左视图、俯视图都完全相同的是 ．

5. 如果长方体从一顶点出发的三条棱长分别为2，3，4，则该长方体的

表面积为 ，体积为 .

6.如图，这是一个正方开体的展开图，则“喜”代表的面所相对的面．．．．

的号码是 ． 7.平面内有5

个点，每两个点都用直线连接起来，则最多可得______条直线， 最少可得______条直

线。

平面内的三条直线可把平面分割成最少______部分，最多_____部分

8.如下图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是 ．（把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上）

9.

一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由_______个这样的正方体组成。

10.将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现有一个长为4cm 、宽为

3cm 的长方形，分别

．．

绕它的长、宽所在的直线旋转一周．．．．．．．．．．．．．．．

，得到的圆柱体的体积分别是多少？（友情提示：2

V r h π=?，其中r 代表圆柱底面半径，h 代表圆柱高）（结果保留π）

11.正方体是由六个平面图形围成的立体图形， 设想沿着正方体的一些棱将它剪开，就可以 把正方体剪成一个平面图形，但同一个正方 体，按不同的方式展开所得的平面展开图是 不一样的，下面的图形是由6个大小一样的 正方形，拼接而成的，请问这些图形中哪些 可以折成正方体？试试看

12.已知正方体的顶点A 处有一只蜘蛛，B 处有一只小虫，如图所示，请你在图上作出一种由A 到B 的最短路径，使得这只小蜘蛛能在最短时间内捉住这只小虫子.

我 喜

欢 数

学 课 6题图 主视图 左视图

① ② ③ ④

图16

B A

【课堂演练】

一、填空题

1、面与面相交成___，线与线相交得到___，点动成____，线动成_____，面动成____

2、下面是两种立体图形的展开图．请分别写出这两个立体图形的名称：________，___________

3、下图所示的三个几何体的截面分别是：(1)_________；(2)__________；(3)___________．

4、已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、

12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此可以推测n棱

柱有_____个面，____个顶点，_____条棱。

5、当下面这个图案被折起来组成一个正方体，数字_______会在

与数字2所在的平面相对的平面上

6、从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点和其余各顶点，可以把这个多边形分割成10个三角形，则这个多边形的边数为_____。

7、用小正方块搭一个几何体，使它的主视图、俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？最少需几块？最多需几块？

二、选择题

8、下面几何体的截面图不可能是圆的是（）

A、圆柱

B、圆锥

C、球

D、棱柱

9、将左边的正方体展开能得到的图形是（）

10、将半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体是（）

A、圆柱

B、圆锥

C、球

D、正方体

11、用一个平面去截一个正方体，截面可能是（）

A、七边形

B、圆

C、长方形

D、圆锥

12、一个直立在水平面上的圆柱体的主视图、俯视图、左视图分别是（）

A长方形、圆、长方形 B、长方形、长方形、圆

C、圆、长方形、长方形

D、长方形、长主形、圆

【课堂演练】

一、选择题

1. 长方形的长为6厘米，宽为4厘米，若绕着它的宽旋转一周得到的圆柱的体积为（）立方厘米.

(A)36π（B）72π（C）96π（D）144π

2. 下面是某物体的三视图,则这个物体是( ).

正视图右视图俯视图

(A)圆锥(B)棱锥(C)三棱锥(D)三棱柱

3. 将长方形截去一个角，剩余几个角（）.

（A）三个角（B）四个角（C）五个角（D）不能确定

4. 下面的四个图形,能折叠成三棱柱的有( )个.

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5. 下列几何体的截面是（）.

（A）（B）（C）（D）6. 从上面看下图，能看到的结果是图形（）.

（C）

（A）（B）

（D）

7. 下图是( )的平面展开图.

(A)六棱柱(B)五棱柱(C)四棱柱(D)五棱锥

8. 下列各图中,( )是四棱柱的侧面展开图.

(A) (B) (C) (D)

9. 下列四个圆,哪个是左边圆锥的俯视图(

).

(A) (B) (C) (D)

10. 指出图中几何体截面的形状符号 ( )

（A）（B）（C）（D）

11. 一个平面去截一只篮球，截面是（）．

（A）圆（B）三角形（C）正方形

（D）非圆的曲线12.

下列立体图形中,_______锥体的( ).

(A) (B) (C) (D)

13. 对于一个多面体来说,欧拉公式是指

( ).

(A)顶点数+棱数-

面数=2

(B)顶点数+面数-棱数=2

(C)棱数+面数-

顶点数=2 (D)不同于ABC的结论

14. 下列图形中是正方体的展开图的是（）

(A) （B）（C）（D）

15. 指出图中几何体截面的形状符号( )

二、填空题（每小题2分，共30分）

1. 从_____,_____和______三个不同的方向看一个物体,得到的图形称为______图.

2. 如图是一个正方体的展开图，和C面的对面是______面．

A

D

B

E F

C

3. 一个三棱柱，它由个三角形和个形围成.

4. 如图所示的圆锥，从它的前面、上面、左面三个方向看到的图形分别是、、.

5. 竖直放置的三棱柱，用水平的平面去截，所得截面是.

6. 柱体包括____,_____,锥体包括____,_____.

7. 圆柱是由个底面和个曲面所组成的，它的侧面展开图是.

8. 一个圆柱体的侧面展开图的边为4πcm的正方形,则它的表面积为______cm2.

9. 举出主视图是圆的三个物体的例子．

10. 雨点从高空落下形成的轨迹说明了；车轨快速旋转时看起来象个圆面，这说明了；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了.

11. 下列图形中是柱体的是_____(填代码即可);______是圆柱,_______是棱柱.

(a) (b) (c) (d)

12. 若棱柱的底面是一个8边形，则它的侧面必有_____个长方形，它一共有_____面．

13. 直接写出下列立体图形的形状.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

14. 每一个多边形都可以分割成若干个_____形,一个n边形,至少可以将它分成____个三角形.三角,(n-2)

15. 长方体是由____个面围成的，它有_____个顶点，经过每个顶点有____条边．

三、解答题（每小题4分，共40分）

1. 如图所示是由几个小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图：

1 1

1

2

2. 用平面截一个正方体，能截出梯形截面吗？若能在图上画一画；若不能，请说明理由.

3. 用平面去截一个几何体，如果截面是正方形，你能想像出原来的几何体可能是什么吗？如果截面是圆呢？

4. 请问右图是一个什么几何体的展开图？

5. 在下图中,有多少个不同的四边形?此图看起来有点像什么?

6. 下列物体与哪些立体图形类似,并说明理由.

(1)数学课本(2)易拉罐(3)金字塔(4)日光灯(5)八角亭(6)大喇叭

(7) 乒乓球(8)足球

7. 请把图5的十字形纸片剪两刀,然后拼成大小相等的两个五边形.

8. 如图所示的立体图形，画出它的主视图、左视图和俯视图.

9. 画出蓝球的三视图．

10. 至少找出下列几何体的4个共同点

第二讲有理数

【考点归类】

考点一、有理数的基础知识

1，大于0的数是正数，小于0的数是负数；在同一个问题中，正数和负数表示相反意义；相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等

2，0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；

3，整数和分数统称有理数；有理数的分类:

按符号分①

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

负分数

负整数

负有理数

零

正分数

正整数

正有理数

有理数按整数分数②

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

负分数

正分数

分数

负整数

零

正整数

整数

有理数

(3)自然数 = 0和正整数； a＞0 = a是正数； a＜0 = a是负数；

a≥0 = a是正数或0 ? a是非负数； a≤ 0 = a是负数或0 = a是非正数.

1，在小学我们知道，数的分类为整数和分数。如1,8,39,…是整数，

1

3

，

3

4

，

11

5

…是分数。上一节我们学习了另一种新数：负数。那么整数就有正整数、负整数，分数就有了正分数、负分数；正整数、0、负整数和正分数、负分数我们统称为有理数，有新的分类：

按符号（正或负）来作为划分标准的：

????

?

?

????????

?负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0

按形式（整或分）来分类可分为：?????

???

??

???????

?

???---???????????---???），，负分数（如：），，，正分数（如：分数），，，负整数（如：），，，

正整数（如：整数有理数766.32143.532213210321 【练习巩固】

1，以下是一位同学的分类方法，你认为他的分类的结果正确吗？为什么？

?

??

???

???????负分数负整数

负有理数正分数

正整数正有理数有理数； 2．把下列各数填入相应的大括号内： -7，0.125，

12，-31

2

，3，0，50%，-0.3 （1）整数的有{ }（2）分数的有{ } （3）负分数的有{ }（4）非负数的有{ } （5）有理数的有{ }

考点二、数轴

1，数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 2，数轴三要素：原点、正方向、单位长度。

3，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。但数轴上的点不只表示有理数，还有没学过的无理数。 4，通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。

【练习巩固】

下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．

①

4

5

2

31

②

-10

23

1③

-1

-202

1

④

0⑤

-10

1

⑥

-1-20-32

1

⑦

-1-20

2

1 试一试：用你画的数轴上的点表示4，1.5，-3，-73

，0 一，判断题：

1、数轴上离开原点距离越大的点，表示的数越大。

2、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。

3、数轴上表示-3的点在原点的左侧（规定向右的方向为正方向）。

4、因为零表示不存在，所以数轴上没有零这个点。

5、数轴上到原点的距离小于2的整数有1个。 二，填空题：

（1）、规定了________、________、________的直线叫做数轴。

b

a

（2）、在数轴上离开原点4个长度单位的点表示的数是___________。

（3）、数轴上与原点之间的距离小于5的表示整数的点共有_______个 ，它们分别

是 。

（4）、在数轴上，点A 表示-11，点B 表示10，那么离开原点较远的是______点。 （5）、在数轴上点M 表示2

1

2

-，那么与M 点相距4个单位长度的点表示的数是 考点三、相反数

1，只有符号不同的两个数叫相反数．如1和-1是相反数，但是1和-2就不是相反数； 2，互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称．

3，规定0的相反数就是0；求一个数或者一个式子的相反数，就直接给他加括号，然后括号前面加一个“－”；如a-b 的相反数是-（a-b ）=b-a ；a+b 的相反数是-（a+b ）=-a-b ；

4，互为相反数的两个数的和为0，如a 和b 互为相反数，则有a+b=0. １．观察下列数：6和-6，322

和-3

2

2，7和－7，75和－75，并把它们在数轴上标出．

【练习巩固】

一、选择题

1．下列说法正确的是（ ）

A ．带“＋号”和带“－”号的数互为相反数

B ．数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数

C ．和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数

D ．一个数前面添上“－”号即为原数的相反数 2．下列说法错误的是（ ）

A ．+（-3）的相反数是3；

B ．-（+3）的相反数是3

C ．-（-8）的相反数是-8；

D ．-（+

1

8

）的相反数是8 3．有下列几种说法： ⑴ －5是相反数；⑵ 5和－5都是相反数；⑶ 5是－5的相反数；⑷ －5和5互为相反数.其中正确的说法是（ ）

A. ⑴ ⑵

B. ⑵ ⑷

C. ⑴ ⑷

D. ⑶ ⑷ 4．一个数的相反数大于它本身，这个数是（ ）

A ．有理数

B ．正数

C ．负数

D ．非负数 5．a-b 的相反数是（ ）

A ．a+b

B ．-（a+b ）

C ．b-a

D ．-a-b 二、填空题

6．-（-6.3）的相反数是________． 7．化简（1），-（-

32）=________； （2），+（+1

5

）=_______； （3），+[-（+1）]=________； （4），-[-（-5）]=_________． 8．若-a=

1

3

，则a=_______，若-a=-7.7，则a=________． 9．若-（b-2）是负数，则b-2________0． 10．比较大小：43-

______;87-)32

(+-______);4

3(-+ )14.3(--______)π(--．

11．如图所示，有理数a ，b 的位置．

（1）a______b ； （2）-a________-b ；

（3）-a_______b ； （4）-b______+a ．

考点四、绝对值

1，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|；

2，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，也是本身。两个负数，绝对值大的反而小。如a>0，那么|a|=a ；a<0，那么|a|=-a ；如果a=0，那么|a|=0。

3，|a|是重要的非负数，即|a|≥0；所以如果|a|+|b|+|c|=0，那么有a=0，b=0，c=0；

4，

0a 1a

a >?= ；

0a 1a

a

5，一组数6与-6，3.5与-3.5，1和-1，它们是一对互为________，?它们的__________不同，__________相同． 【总结】 例如6和-6两个数在数轴上的两点虽然分布在原点的两边，?但它们到原点的距离相等，如果我们不考虑两点在原点的哪一边，只考虑它们离开原点的距离，这个距离都是6，我们就把这个距离叫做6和－6的绝对值． 想一想 （1）-3的绝对值是什么？ （2）+7

3

2

的绝对值是多少？ 当a 是正数时，|a|= a ； 当a 是负数时，|a|= -a ； 当a=0时，|a|= 0 ；

3，正数大于0,0大于负数，正数大于负数；

4，两个负数，绝对值大的反而小。 例如：1 0,0 -1,1 -1，-1 -2 ；

【练习巩固】

1．下列各式中，等号不成立的是( )．

(A)｜－5｜＝5 (B)－｜5｜＝－｜－5｜ (C)｜－5｜＝｜5｜ (D)－｜－5｜＝5

2．|3

2

|--的相反数是( )．

(A)

2

3 (B)2

3-

(C)

3

2 (D)3

2-

3．下列判断中，错误的是( )． (A)一个正数的绝对值一定是正数 (B)一个负数的绝对值一定是正数 (C)任何数的绝对值都是正数 (D)任何数的绝对值都不是负数

4．填表：

有理数 －9 3.75 4

3-

0 －0.001

－1 绝对值 相反数

5．一个正数的绝对值是______；______数的绝对值是它的相反数；______的绝对值是零；绝对值最小的数是______． 6．______7.3=-；______0=；______3.3=--；______75.0=+-． 7．一个数的绝对值是

3

2

，那么这个数为______． 8. 若5-x +3-y =0 ，求2x+y 的值

【典型例题】

例1：如图，若数轴上的两点A ，B 表示的数分别为a, b ，则下列结论正确的是（ ）

A ．

02

b

a -> B. 0a

b -> C ．2a + b > 0 D. 0a b +>

例2：若0,0,0,a b a b ><+>将,,,a b a b --按从小到大的顺序排列。

例3：妈妈在女儿现在年龄时，女儿已满2岁，而当女儿到妈妈现在年龄时，妈妈满80岁，母女俩相差多少岁？ 例4：1. 一个数的相反数非负，则这个数是_________.2. （1）()2

m -的相反数是________.（2）m, n 互为相反数，则

87()ab m n ++= _________（3）m, n 互为相反数，a, b 互为倒数，则()

()

1999

2000

19992000________m n ab ++=

【练习巩固】

1.有理数-1a

一定不是( )A ．正整数． B ．负整数．C ．负分数． D ．0．

2，若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) A ．a ，-1，1，-a ．B ．-a ，-1，1，a ．C ．-1，-a ，a ，1．D ．-1，a ，1，-a ．

3，a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则 ( ) A ．c ＞b ＞a ． B ．c ＞a ＞b ．C ．a ＞b ＞c ． D ．b ＞c ＞a ．

4．若a ＜0，b ＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( ) A ．(a-b)(ab+a)． B ．(a+b)(a-b)．C ．(a+b)(ab+a)． D ．(ab-b)(a+b)． 5．a ，b ，c ，m 都是有理数，并且a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，那么b 与c ( )

A ．互为相反数．

B ．互为倒数．

C ．互为负倒数．

D ．相等．

6,．a ，b ，c 在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是 ( )

A.1()a a c b ??+- ?

??; B.11()c a b c ??-- ???

; C.(1-a)(c-b); D.ac(1-bc).

7,绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于 ( ) A ．0． B ．-32．C ．33． D ．-33． 8.

19941994

-----+的值的负倒数是( )

A.4

13; B.-3

13

; C.1; D.-1. 9,111111100110001002100110021000

-+---=________.

10,.有理数a,b,c,d 使

abcd abcd

=-1,则

a b c d a

b

c

d

+

+

+

的最大值是_______.

【课堂演练】

1. 若｜a ＋b|＝－（a ＋b ）,下列结论正确的是（ ）

A ：a ＋b ≤0

B ：a ＋b<0

C ：a ＋b=0

D ：a ＋b>0 2.如果a<0,那么a 和它的相反数的差的绝对值等于（ ）

A ：a

B ：0

C ：－a

D ：－2a 3.下列说法错误的个数是( )

①一个数的绝对值的相反数一定是负数;②只有负数的绝对值是它的相反数 ③正数和零的绝对值都等于它本身;④互为相反数的两个数的绝对值相等 A ：3个 B ：2个 C ：1个 D ：0个 4. －2

3 的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 。 5. 在数轴上,离开表示数2的点距离是3的点表示的数是_______。 6．绝对值大于1而小于4的整数有 。 7．若y+5>0,且│y+5│=14,那么y=________。

8. 若│x │=2,│y │=3,则│x+y │的值为 。 9. 若│x -3│+│y+4│+│z -5│=0,求代数式z-3y+x 的值. 10、已知a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则

m m b a m

cd

-?++)(的结果是________ 考点五、有理数的加法

1.有理数的加法法则 加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

1) 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 2) 互为相反数的两个数相加得0； 3) 一个数同0相加，仍得这个数。

例1：计算

()()()()()()()()()111732463224 3.2033??

-+-++--+-+ ?

??；；；

2.有理数加法的运算律（难点） （1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：

()()a b c a b c ++=++

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化的目的，通常有下列规律：

（1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法” （2）符号相同的数先相加——“同号结合法” （3）分母相同的数先相加——“同分母结合法” （4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法” （5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法” 例2：计算

()1113

232????-++ ? ??

???；

()()()()()226141618++-+-++；

()()()()()318.56 5.16 1.44 5.1618.56+-+-+++-

()()1144.110.1724????

++

+-+-+ ? ?????

()11152

35223??+-+ ??? ； ()3160.750.1252448????++-+- ? ?????

例3：某出租车下午从停车场出发，沿着东西方向的大街进行汽车出租，到晚上6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：千米）

1034285281257+-++++--+--，，，，，，，，，，

（1）到晚上6时，出租汽车在什么位置？

（2）若汽车每千米耗油0.06升，则从停车场出发到晚上6时，出租汽车共耗油多少升？

例4：计算

()()()()

12345699100+-++-++-+++-……

考点六、有理数的减法

1.有理数的减法法则（重点）

减去一个数，等于加这个数的相反数 例5：计算

()()123;-- ()()()()20 3.72 2.724;---+--

()41

33

73??+

- ???

2.有理数的加减混合运算（重点）

有理数加减混合运算的方法和步骤：

（1）运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，然后省略加号和括号；

（2）运用加法交换律、加法结合律，使运算简便。例6：计算

（1）()()()() 910283

+-++---+

；

（2）（2）

()() 5.13 4.628.47 2.3

-++---

；

（3）3712

1 4263

????

-+----

? ?

????

【典型例题】

题型一：有理数的加减混合计算

例1：把

()()()

10864

++---+

写成省略括号和加号的和的形式，并把表示和的算式读出来

例2：计算

第1章()()()

4027192432

--++---

；（2）

1351

3462

-+--

题型二：有理数减法的实际应用

例3：某工厂2009年第一季度的效益如下：一月份获利润150万元，二月份比一月份少获利润70万元，三月份亏损5万元。

（1）一月份比三月份多获利润___________万元；

（2）第一季度该工厂共获利润___________万元。

题型三：有理数的加减在实际生活中的应用

例4：某市冬季的一天，最高气温为6摄氏度，最低气温为-11摄氏度，这天晚上的天气预报说，将有一股冷空气袭击该市，第二天气温将下降10摄氏度~12摄氏度，请你利用以上信息，估计第二天该市的最高气温不会高于多少？最低气温不会低于多少？

例5：以地面为基准，A处高+2.5m，B处高-17.8m，C处高-32.4m。问：

第三节A处比B处高多少？

第四节B处和C处哪个地方高？高多少？

第五节A处和C处哪个地方低？低多少？

题型四：规律探究创新题

例6：计算

12345699100

-+-+-+--+

……

考点七、有理数的乘除

1、乘法法则

1、运用有理数的乘法法则计算时，符号的确定应与有理数加法法则的符号确定区别开来.有理数的乘法法则分三种情况：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘.

即①a＞0,b＞0,a·b＞0;②a＜0,b＜0,a·b＞0;③a＞0,b＜0,a·b＜0;④a＜0,b＞0,a·b＜0.

（2）多个数相乘时，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正.

如（+16）×（－1）×（－4

3）×（－2）=－（16×1×

4

3×2）=－24.而（－16）×（－1）×（－

4

3）×（－2）=16×1×

4

3×2=24.×

××××

（3）无论几个数相乘，若有一个因数为0，积就为0. 如（－3）×0×)71

(-×)9

48(+=0反之，

①、若a·b=0,则a=0或b=0,这就是说，两数相乘，积为0时，这两个因数中至少有一个是0. ②、任何数同+1相乘，仍得任何数.同－1相乘，得这个数的相反数. 如：（+1）×)81(-=81-

，（－1）×)81(-=8

1 乘法的交换律.：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；

乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变； 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两数相乘，再把积相加。

例1计算

（1）（－5）×（+3） （2）（－8）×（－7）

（3）（5

13-）×0 （4）0×π

例2计算

（1）（+7）×（－8）×)8821(-

×0×)3

2

9(+×（－4.25） （2）16×（－52）×0.5×（－0.25）

（3）)65

1214332(-+-×12

（4）918

17

99?-

【练习巩固】

一、填空题

1、如果a ＞0，b ＜0,则ab ＿＿0.

2、绝对值不大于5的所有负整数的积是＿＿＿。

3、如果ab ＞0,那么∣a ＋b∣＿＿∣a∣＋∣b∣

4、四个互不相等的整数a.b.c.d.它们的积abcd=9. 那么a ＋b ＋c ＋d=＿＿。

5、–2.75的相反数的倒数是＿＿＿。 -3的倒数是＿＿＿。

6、五个有理数的积是负数，那么这五个有理数中至少有＿＿个负数。

7、如果a ＋b ＜0, 且 ab ＜0, 那么 8、若∣a∣=1,∣b∣=4, 且 ab ＜0, 那么a ＋b=＿＿. 9、5×（-4.8）＋∣-2.3∣=＿＿＿＿。10、.a>0,b<0,则ab_______0.

11、|a+2|=1,则a=_______.12、几个不等于0的有理数相乘，它们的积的符号如何确定_______. 13、(－2)×(－2)×(－2)×(－2)的积的符号是_______.14、若0

15、若

3

=a ，

5

=b ，且a 、b 异号，则=?b a 。16、当n 是奇数时，

=----

个

n )1()1)(1)(1( 。

17、计算=-+-?-)5()18()2( 。18、绝对值小于8的所有的整数的和是 。

19、绝对值大于1，小于4的所有整数的积是______。20、绝对值不大于5的所有负整数的积是______。 21、两个非零有理数相乘，同号得_____，异号得_____.22、零与任意负数的乘积得_____. 23、两数相除同号_____，异号_____.24、一个数的倒数是它本身，这个数是_____.

25、非零有理数与其倒数的相反数的乘积为_____.26、几个不等于0的数相乘，积的符号由______的个数决定. 27、自然数中，若两数之和为奇数，则这两个数_____.28、若两个自然数之积为偶数，则这两个数_____. 29、若一个数的绝对值等于3，则这个数为______.30、如果a ＞0，b ＞0，c ＜0，d ＜0，则：

a ·

b ·

c ·

d ____0

b a +12

d c

____0 c a +d b ____0 （填写“＞”或“＜”号）

二、选择题

1.若mn >0,则m ,n （ ）A.都为正 B.都为负C.同号 D.异号

2.已知ab <|ab |,则有（ ）A.ab <0 B.a 0,b <0 D.a <0

3.若m 、n 互为相反数，则（ ）A.mn <0 B.mn >0 C.mn ≤0 D.mn ≥0

4.下列结论正确的是（ ）A.－1

3

×3=1

B.|－|17 ×17 =－149

C.－1乘以一个数得到这个数的相反数

D.几个有理数相乘，同号得正

5.若ab>0,则必有( )A.a>0, b>0 B.a<0,b<0 C.a>0,b<0 D.a.b 同号

6.若ab=0,则必有( )A.a=b=0 B.a=0 C.a,b 至少有一个为0 D.a.b 最多有一个为0

7.一个有理数和它的相反数之积( )A.符号为正 B.符号为负 C.不大于零 D.不小于零

8.下列说法错误的是( )

A.一个数同0相乘,仍得0

B.一个数同1相乘,仍得原数

C.一个数同-1相乘,得原数的相反数

D.互为相反数的积为1 9.如果a ，b 满足0>+b a ，0

b

a > B.

b

a < C. 当0>a ，0<

b 时，b a > D. 当0b 时，b

a >

10.下列说法正确的是（ ）

A. 两个数的积大于每一个因数

B. 两个有理数的积的绝对值等于这两个数的绝对值的积

C. 两个数的积是0，则这两个数都是0

D. 一个数与它的相反数的积是负数

11.两个有理数的积是负数，和为零，则这两个有理数（ ）

A. 一个为零，另一个为正数

B. 一个为正数，另一个为负数

C. 一个为零，另一个为负数

D. 互为相反数

12.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧,那么这两个有理数的积( ) A.一定为正 B.一定为负 C.为零 D. 可能为正,也可能为负 13.若干个不等于0的有理数相乘,积的符号( ) A.由因数的个数决定 B.由正因数的个数决定

C.由负因数的个数决定

D.由负因数和正因数个数的差为决定 14.下列说法正确的是（ ）

A 、同号两数相乘，取原来的符号

B 、两个数相乘，积大于任何一个乘数

C 、一个数与0相乘仍得这个数

D 、一个数与－1相乘，积为该数的相反数 三、解答题

1、计算 111111111111223344????????????-?+?-?+?-?+ ? ? ? ? ? ?

?

??????????? 2、如果a,b,c 满足a+b+c=0,abc ＞0，问a,b,c 中有几个正数？为什么？

3、已知|a |=5,|b |=2,ab <0.求：1、3a +2b 的值.2、ab 的值.

4、上午6点水箱里的温度是78℃，此后每小时下降4.5℃,求下午2点水箱内的温度.

5、在某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米平均降低0.8 ℃,已知山脚的温度是24 ℃,山顶的温度是4 ℃,试求这座山的高度.

2、倒数的概念

(1)定义：乘积为1的两个有理数互为倒数．即：ab ＝1?a 、b 互为倒数

如：2和21互为倒数， －32和－23

互为倒数．

(2)倒数是它本身的数有：1和－1． (3)0的倒数：0没有倒数．

(4)互为倒数的两个数的特征． ①乘积为1 ②符号相同 一般地a

a 1

?

=1（a ≠0）,也就是说a 的倒数是a 1。

【练习巩固】

一、填空题

1.

211

-的相反数是 ，倒数是 。2. 32

2

-的倒数的相反数是 。

3.

)

3221(--的相反数是 ，倒数是 。

二. 选择题：

1. 一个数的倒数是它本身，则这个数是（ ）A. 1 B. 1- C. 0 D. 1±

2. 若0

的值是（ ） A. 1 B. 1- C. 0 D. 不能确定 3. 下列说法错误的是（ ）

A. 有理数m 的倒数是

B. 两个数互为倒数，则这两个数的积是1

C. 两个数互为负倒数，则这两个数的积是1-

D. 0乘以任何数都等于0. 4．一个数的倒数是它本身，则这个数是（ ）A. 1 B. 1- C. 0 D. 1± 三、说出下列各数的倒数：1、－

43、－（－4.5）、|－23| 1， —1， 1,3 1

,3

- 5， —5， 23， 2

3

-

3、有理数除法

(1)除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；0除以任何一个不等于0的数都等于0 （2）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

1、能整除时，一般根据法则2，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；

2、不能整除时，一般根据法则1，将除数变为它的倒数，再用乘法；

几个非0的有理数相除，商的符号怎样确定?几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．

【练习巩固】

1.若1x 有意义，则x _______

2.若a >0,b <0,则a b _______0,ab _______0.

3.(－4)÷_______=－8,_______÷(－1

3 )=3.

4.一个数的25 是－165 ，这个数是_______.

5.若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，则2c +2d －3ab =_______.

6.（1）－31的

相反数是______，倒数是_______；（2）－2.6的相反数是_____，倒数是_____，绝对值是______；（3）若一个数的相反数是－1

41，则这个数是______，这个数的倒数是______；（4）5

3

的相反数的倒数是______；（5）若a ，b 互为倒数，则ab 的相反数是______。7．若一个数的相反数为－2.5，则这个数是_____，它的倒数是_____8．倒数是它本身的数有

____，相反数是它本身的数有______9．若两个数a ，b 互为负倒数，则ab ＝_____。 10．当x ＝____时，代数式

2

1

-x 没有意义。11．（1）如果a>0，b<0，那么b a _____0；

m 1

（2）如果a<0，b>0，那么

b a _____0；（3）如果a<0，b<0，那么b a _____0；（4）如果a ＝0，b<0，那么b

a

_____0。 12、－2的倒数是 ；－0.2的倒数是 ，负倒数是 。13、被除数是

215

-，除数是1211

-

的倒

数，则商是 。14、若ab c <0，0

c <0，0>ac ，则b 0。

16、一个数的相反数是－5，则这个数的倒数是 。17、若a ·（－5）＝5

8

，则a ＝ 。 二、选择题

1.如果两个有理数的商等于0，则（ ） A.两个数中有一个数为0 B.两数都为0

C.被除数为0，除数不为0

D.被除数不为0，除数为0 2.下列运算错误的是（ ）

A. 1

3

÷(－3)=3×(－3)

B.－5÷(－1

2

)=－5×(－2)

C.8－(－2)=8+2

D.0÷3=0

3.mn 为相反数，则下列结论中错误的是（ ）

A.2m +2n =0

B.mn =－m 2

C.|m |=|n |

D. m

n

=－1 4、下列说法正确的是（ ）

A.几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负

B.几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负

C.几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个

D.几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为负

5、如果两数之和等于零，且这两个数之积为负数，那么这两个数只能是（ ） A.两个互为相反数的数

B.符号不同的两个数

C.不为零的两个互为相反数的数

D.不是正数的两个数

6、如果一个数的绝对值与这个数的商等于－1，则这个数是（ ）

A.正数

B.负数

C.非正

D.非负

7、下列说法错误的是（ ）

A.正数的倒数是正数

B.负数的倒数是负数

C.任何一个有理数a 的倒数等于1

a

D.乘积为－1的两个有理数互为负倒数

8、如果abcd ＜0，a +b =0，cd ＞0，那么这四个数中负因数的个数至少有

（ ）

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

9、如果两个有理数a 、b 互为相反数，则a 、b 一定满足的关系为（ ） A.a ·b =1 B.a ·b =－1 C.a +b =0 D.a －b =0

10、设a 、b 、c 为三个有理数，下列等式成立的是（ ） A.a (b +c )=ab +c B.(a +b )·c =a +b ·c C.(a －b )·c =ac +bc D.(a －b )·c =ac －bc

11、若ab ≠0, 则|

|||b b

a a +的取值不可能是（ ） Ａ、０ Ｂ、１ Ｃ、２ Ｄ、－２ 12、若a+

b ＜0，不

a

b

＞0则下列结论成立的（ ） Ａ、a ＞0,b ＞0 B 、a ＜0,b ＜0 C 、a ＞0,b ＜0 D 、a ＜0,b ＞0 13、下列说法错误的是（ ）

·“奇负偶正”的应用· 1、如下符号的化简（指负号的个数与结果符号的关系），如： -{+[-(-2)]}= -2 2、连乘式的积（指负因数的个数与结果符号的关系），如： (-1)×(-2)×(-3)×(+4)=-24 (-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24 3、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系)，如：

(-2)3=-8, (-3)2=9 4、分数的符号法则（指的是分子、分母及分数本身三个符号中，同时改变两个，值不变，但改变一个或三个都改变时，分数

的值就变相反了），如： 2

12121-=

-=-

；b a b a b a -=-=-

A ．任何有理数都有倒数

B ．互为倒数的两数的积等于1

C ．互为倒数的两数符号相同

D ．1和其本身互为倒数 14、两个有理数的商是正数，那么这两个数一定（ ）

A ．都是负数

B ．都是正数

C ．至少一个是正数

D ．两数同 号

三、判断题

1. -a b =a -b =－a b

.

（ ）2.若a b >0,则a >0,b >0. （ ） 3.若a =0,b ≠0,则a

b

=0.

（ ）

考点八 有理数的乘方

一、基础知识

1.求几个相同因数的积的运算，叫做有理数的乘方。 即：a n

=aa …a(有n 个a)

2.从运算上看式子a ｎ

，可以读作 ； 从结果上看式子a ｎ

可以读作 . 二、知识题库 1. 33

= ；（2

1-

）2= ；-52= ；22

的平方是 ； 2.下列各式正确的是（ ）

A.225(5)-=-

B.1996

(1)

1996-=- C.2003

(1)

(1)0---= D.99(1)10--=

3.下列说法正确的是（ ） A.如果a b >，那么22

a b > B.如果22

a b >，那么a b > C.如果a b >，那么22

a b > D.如果a b >，那么a b >

4.在2+32

×（－6）这个算式中，存在着 种运算.请你们讨论、交流，上面这个式子应该先算 、再算 、最后算 . 5.有理数的运算 ①()2

253[]39??

-?-+- ???

②（-1）10×2+（-2）3÷4

③（-5）3－3×4

1()2

- ④

111135

()532114

?-?÷

6. （能力提升）已知a =3，2b =4，且a b >，求a b +的值。

7. （能力提升）某大楼地上共有12层，地下共有4层，每层高2.8米，请用正负数表示这栋楼每层的楼层号，某人乘电梯从地下3层升至地上7层，电梯一共上了多少米？

三、直通中考

[2011年雅安中考]下列运算正确的是（ ）

A 、a 3·a 3=2a 3

B 、a 3 +a 3=2a 6

C 、(-2x)3=-6x 3

D 、a 6÷a 2

=a 4

考点九【近似数及有效数字】

一、基础知识

1.把一个大于10的数记成a ×10n

的形式(其中a 是整数数位只有一位的数)，叫做科学记数法.

2.对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。 二、知识题库

1. 水星和太阳的平均距离约为57900000 km 用科学记数法表示为 .

2.（1）025.0有 个有效数字，它们分别是 ；

（2）320.1有 个有效数字，它们分别是 ；中.考.资.源.网 （3）6

1050.3?有 个有效数字，它们分别是 .

3.120万用科学记数法应写成 ；2.4万的原数是 .

4.我国的国土面积为9596950平方千米，按四舍五入保留三个有效数字，则我国的国土面积可表示为 .

5.改革开放30年以来，成都的城市化推进一直保持快速、稳定的发展态势.据统计，到2008年底，成都市中心五城区（不含高新区）常住人口已经达到4410000人，这这个常住人口数有如下几种表示方法：①5

1041.4?人；②6

1041.4?人；③5

101.44?人。其中用科学记数法表示正确的序号为 . 6.下列说法正确的是（ ）

A 、近似数32与32.0的精确度相同

B 、近似数32与32.0的有效数字相同

C 、近似数5万与近似数5000的精确度相同

D 、近似数0108.0有3个有效数字

7.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）

A 、10

1026.7?元 B 、9

106.72?元 C 、11

10726.0?元 D 、11

1026.7?元 8.已知5.13亿是由四舍五入取得的近似数，它精确到（ ） A 、十分位 B 、千万位 C 、亿位 D 、十亿位

9.地球绕太阳转动每小时经过的路程约为1.1×105km ，声音在空气中每小时传播1.2×103km ，地球绕太阳转动的速度与声音传播的速度哪个快？

10.把47155精确到百位可表示为 . 三、直通中考

1. [2009年宁波中考]据《宁波市休闲旅游基地和商务会议基地建设五年行动计划》预计到2012年，宁波市接待游客容量将达到4640万人次。其中4640万用科学记数法可表示为（ ） A 、9

10464.0? B 、8

1064.4? C 、7

1064.4? D 、6

104.46?

2. [2008年南充中考] “125?”汶川大地震后，世界各国人民为抗震救灾，积极捐款捐物，截止2008年5月27日12时，共捐款人民币327.22亿元，用科学记数法（保留两位有效数字）表示为（ ） A 、10

1027.3? B 、10

102.3? C 、10

103.3? D 、11

103.3?

【课堂演练】

一、精心选一选，慧眼识金！（每小题3分，共24分） 1.下列语句中，正确的是（ ）

A 、两个有理数的差一定小于被减数

B 、两个有理数的和一定大于这两个有理数的差

C 、绝对值相等的两个有理数的差为零

D 、零减去一个有理数，等于这个有理数的相反数。 2.下列各式中，总是正数的是（ ）。A 、a B 、a 2

C 、a 2

+1 D 、(a+1)

2

3.任何一个有理数的平方（ ）

A ．一定是正数

B ．一定不是负数

C ．一定大于它本身

D ．一定不大于它的绝对值

4.把30.9740四舍五入,使其精确到十分位, 那么所得的近似数的有效数字的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5

5. 2008年我国的国民生产总值约为130800亿元，那么130800用科学记数法表示正确的是（ ） A 、2

10308.1? B 、4

1008.13? C 、4

10308.1? D 、5

10308.1?

6.计算(－1)1001

÷(－1)

2002

所得的结果是( ) A ．12 B ．－1

2

C ．1

D ．－l

7.任何一个有理数的平方（ ）

A ．一定是正数

B ．一定不是负数

C ．一定大于它本身

D ．一定不大于它的绝对值

8.(9-10)·(10-11)·(11-12)·…·(108-109)的值为（ ）。A 、1 B 、-1 C 、100 D 、-100 二、耐心填一填，一锤定音！（每小题3分，共18分）

9.2009年4月16日，国家统计局发布：一季度，城镇居民人均可支配收入为4834元，与去年同时期相比增长10.2%.4834用科学记数法表示为 .

10.50名学生和40kg 大米中, 是精确数, 是近似数.

11.温家宝总理在2009年政府工作报告中提出，今后三年内各级政府拟投入医疗卫生领域的资金将达到8500亿元人民币，用科学记数法表示“8500亿为______________.12.由四舍五入得到的近似数01020.0，它的有效数字的个数为_________个。13.若x+y=0，5=x ，则y x -= 14.若实数y x ,满足0≠xy ，则y

y x x

m +=的最大值是 。

三用心做一做，马到成功！（本大题共58分） 15.计算（32分）

（1）)]41()52

[()3(-÷-÷- （2）3)4

11()213()53(÷-÷-?-

（3）)5()910()101()212(-÷-÷-?- （4）7

4)431()1651()56(?-÷-?-

（5）2

2

)2(3---； （6）])3(2[6

1

124

--?-

-；

（7）]2)33()4[()10(2

2

2

?+--+-； （8）])2(2[3

1

)5.01()1(24

--??

---

16. （8分） 若,m n n m -=-且2

),3,4n m n m +==求（的值。

17. （8分）已知a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，2=x ，求10a+10b+cdx 的值。

18.（9分）已知：a 的相反数是－2，│b │=3，且b<0，

求：5(2a －b)－3(5a －2b ＋1)＋(4a －3b ＋3)的值。