高中数学苏教版必修4学案：3.1.1 两角和与差的余弦含解析

3.1 两角和与差的三角函数

3.1.1 两角和与差的余弦

1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)

2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)

3．能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)

[基础·初探]

教材整理两角和与差的余弦公式

阅读教材P103～P104完成下列问题．

1．两角差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.

2．两角和的余弦公式

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( ) (2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.( ) (3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )

(4)cos ? ????α＋π4cos ? ????π4－α＋sin ? ????α＋π4sin ? ????

π4－α＝cos 2α.( ) 【解析】 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ [质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

已知sin α＝4

5，α∈? ????

π2，π，cos β＝－513

，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．

【精彩点拨】 由sin α求cos α；由cos β求sin β，套用cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β公式求值．

【自主解答】 ∵α∈? ????

π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－35.

又β是第三象限角，cos β＝－5

13，∴sin β＝－12

13.

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝? ?????－35×? ?????－513＋45×? ?????

－1213 ＝－3365

.

解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式，便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

[再练一题]

1．已知sin α＝1

5

，α∈? ????π2，π，求cos ? ?

???α－π3的值．