三角函数概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结济南临沂青岛小班文化课一对一辅导机构大智学校
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
三角函数
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示: (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。
(答:25- ;536
π-
)
(2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .
(6)α
终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈;α终边在y 轴上的角可表示为:
,2
k k Z
π
απ=+
∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2
k k Z
πα=
∈.如α的终边与
6
π
的
终边关于直线x y =对称,则α=____________。
(答:Z
k k ∈+
,3
2π
π)
4、α与2
α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角,则
2
α
是第_____象限角
(答:一、三)
5.弧长公式:||l R
α
=,扇形面积公式:211||2
2
S lR R α==,1弧度(1rad)57.3≈ . 如
已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
(答:22cm )
6、任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是22
0r x y =
+>,那么s i n
,c o s
y x r
r
αα==,
()tan ,0y x x
α=
≠,cot x y
α=
(0)y ≠,sec r x
α=()0x ≠,()csc 0r y y
α=≠。三角函数值只
与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。如
(1)已知角α的终边经过点P(5,-12),则ααcos sin +的值为__。
(答:713
-
);
(2)设α是第三、四象限角,m
m --=
432sin α,则m 的取值范围是_______
(答:(-1,)23
);
(3)若
0|
cos |cos sin |sin |=+
ααα
α,试判断)tan(cos )cot(sin αα?的符号
(答:负)
7.三角函数线的特征是:正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在
x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如 (1)若0
8π
θ-<<,则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为
_____
(答:tan sin cos θθθ<<); (2)若α为锐角,则,s i n ,t a n ααα的大小关系为_______
(答:sin tan ααα<<);
(3)函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______
(答:2(2,2]()
3
3
k k k Z π
πππ-
+
∈)
8.特殊角的三角函数值: 30° 45° 60°
0° 90° 180° 270° 15°
75°
sin α
2
1 22
23 0 1 0 -1 62
4-
62
4+
cos α
2
3 2
2
2
1 1
0 -1 0 624
+ 624
-
tan α
33 1 3
0 2-3 2+3 cot α
3
1
3
3
2+3
2-3
9. 同角三角函数的基本关系式:
(1)平方关系:222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= (2)倒数关系:sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, (3)商数关系:sin cos tan ,cot cos sin ααααα
α
=
=
同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可
y
T
A x
α
B S O M P
能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
(1)函数sin tan cos cot y αααα
+=
+的值的符号为____
(答:大于0);
(2)若π220≤≤x ,则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____
(答:[0,
]4π
],4
3
[ππ)
; (3)已知5
3sin +-=
m m θ,)2
(524cos πθπ
θ<<+-=
m m ,则θtan =____
(答:12
5-
);
(4)已知
11
tan tan -=-αα,则
α
αααcos sin cos 3sin +-=___;2cos sin sin 2++ααα=____
(答:3
5-
;
5
13);
(5)已知a = 200sin ,则 160tan 等于 A 、2
1a
a --
B 、
2
1a
a - C 、a
a 2
1--
D 、
a
a 2
1-
(答:B );
(6)已知x x f 3cos )(cos =,则)30(sin f 的值为______
(答:-1)。
10.三角函数诱导公式(2k
πα+)的本质是:奇变偶不变(对k 而言,指k 取奇数或
偶数),符号看象限(看原函数,同时可把α看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角
的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2k π+α,02απ≤<;(2)转化为锐角三角函数。如
(1)97cos
tan()sin 214
6
πππ
+-
+的值为________
(答:
2323
-
);
(2)已知5
4)540sin(-
=+α ,则=-)270cos( α______,若α为第二象限角,则
=
+-+-)
180tan()]360cos()180
[sin(2
ααα
________。
(答:5
4-
;100
3-
)
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±???→=
()()2
2
2
2
2
22
cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 =
= αβ
αβ
αβαβααα
αααβα
αβ
ααβ
α
αααα
=±=???→=-↓=-=-±±=
?-↓=
-
如(1)下列各式中,值为12
的是
A 、1515sin cos
B 、22
12
12
cos sin
π
π
-
C 、
2
225
1225
tan .tan .-
D 、
130
2
cos +
(答:C ); (2)命题P :0tan(A B )+=,命题Q :0tan A tan B +=,则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件
(答:C );
(3)已知35
sin()cos cos()sin αβααβα---=
,那么2cos β的值为____
(答:
725
);
(4)
1310
80
sin sin -
的值是______
(答:4);
(5)已知0tan 110a =,求0tan 50的值(用a 表示)甲求得的结果是313a a
-+
,乙求得
的结果是
2
12a a
-,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
(答:甲、乙都对)
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,
2()()αβαβα=+--,22
αβαβ++=?
,
(
)()2
2
2αβ
β
ααβ+=-
-
-
等)
,如 (1)已知2tan()5
αβ+=
,1tan()4
4
π
β-
=
,那么tan()4
π
α+
的值是_____
(答:
322
);
(2)已知02
π
βαπ
<<<<,且12
9
cos()β
α-
=-
,22
3
sin(
)α
β-=
,求cos()αβ+的
值
(答:
490729
);
(3)已知,αβ为锐角,sin ,cos x y αβ==,3cos()5
αβ+=-,则y 与x 的函数关系
为______
(答:2
3431(
1)5
5
5
y x x x =-
-+
<<)
(2)三角函数名互化(切割化弦),如
(1)求值sin 50(13tan 10)+
(答:1);
(2)已知
sin cos 21,tan()1cos 23
αααβα
=-=-
-,求tan(2)βα-的值
(答:1
8)
(3)公式变形使用(tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。如
(1)已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +=_____
(答:22
-
);
(2)设A B C ?中,33tan A tan B tan A tan B ++=,34
sin A cos A =,则此三角形是
____三角形
(答:等边)
(4)三角函数次数的降升(降幂公式:21cos 2cos 2
α
α+=
,21cos 2sin 2
α
α-=
与升幂公
式:21cos 22cos αα+=,21cos 22sin αα-=)。如
(1)若3
2(,)αππ∈,化简
111122
2
2
2
cos α+
+
为_____
(答:sin
2
α
);
(2)函数2553f (x )sin x cos x cos x =-532
(x R )+
∈的单调递增区间为____
(答:512
12
[k ,k ](k Z )π
πππ-
+
∈)
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 (1)tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αααα
++
+
(答:sin α);
(2)求证:
2
1tan 1sin 212sin
1tan
2
2αααα++=--;
(3)化简:
42
2
12cos 2cos 2
2tan(
)sin (
)
4
4
x x x x ππ-+
-+
(答:1
cos 22
x )
(6)常值变换主要指“1”的变换(221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=?
tan sin 42ππ=== 等)
,如已知tan 2α=,求22sin sin cos 3cos αααα+-(答:3
5
). (7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”,如 (1)若 sin cos x x t ±=,则sin cos x x = __
(答:2
12
t -±
),特别提醒:这里[2,2]t ∈-;
(2)若1(0,),sin cos 2
απαα∈+=,求tan α的值。
(答:47
3
+-
);
(3)已知
2
sin 22sin 1tan k αα
α
+=+(
)4
2
π
π
α<<
,试用k 表示sin cos αα-的值
(答:1k -)。
13、辅助角公式中辅助角的确定:()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定,θ角的值由tan b a
θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。
如
(1)若方程sin 3cos x x c -=有实数解,则c 的取值范围是___________.
(答:[-2,2]);
(2)当函数23y cos x sin x =-取得最大值时,tan x 的值是______
(答:32
-
);
(3)如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数,则tan ?=
(答:-2);
(4)求值:
=
?+?
-
?
20sin
6420cos
120sin
32
2
2
________
(答:32)
14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,
3,,
,222π
πππ
的五点,再用光滑的曲线把这五点连
接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质: (1)定义域:都是R 。
(2)值域:都是[]1,1-,对sin y x =,当()22
x k k Z π
π=+
∈时,y 取最大值1;当
()322
x k k Z ππ=+
∈时,y 取最小值-1;对cos y
x =,当()2x k k Z π=∈时,y 取最大值
1,当()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值-1。如
(1)若函数sin(3)6
y a b x π
=-+
的最大值为
2
3,最小值为2
1-
,则=a __,=b _
(答:1,12
a b =
=或1b =-)
; (2)函数x x x f cos 3sin )(+=(]2
,
2[π
π
-
∈x )的值域是____
(答:[-1, 2]);
(3)若2αβπ+=,则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____
(答:7;-5); (4)函数2
()2cos sin()3sin 3
f x x x x π
=+-sin cos x x
+的最小值是_____,此时x =
__________
(答:2;()
12
k k Z π
π+
∈);
(5)己知2
1cos sin =
βα,求αβcos sin =t 的变化范围
(答:1
[0,]2);
(6)若αβαcos 2sin 2sin 22=+,求βα22sin sin +=y 的最大、最小值
(答:1max =y ,222min -=y )
。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?
(3)周期性:①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π;②()sin()f x A x ω?=+和
()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||
T πω=
。如
(1)若3
sin
)(x
x f π=,则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++ =___
(答:0);
(2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____
(答:π);
(3) 设函数)5
2
sin(
2)(π
π
+
=x x f ,若对任意R
x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立,则
||21x x -的最小值为____
(答:2) (4)奇偶性与对称性:正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数,对称中心是()(),0k k Z π∈,
对称轴是直线()2
x k k Z π
π=+
∈;余弦函数c o s ()y x x R =∈是偶函数,对称中心是
(),02k k Z
ππ??+∈ ???
,
对称轴是直线()x k k Z π=∈(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴的交点)。如
(1)函数522y sin x π
??
=-
???
的奇偶性是______、 (答:偶函数);
(2)已知函数31f (x )ax b sin x (a ,b =++为常数),且57f ()=,则5f ()-=______
(答:-5);
(3)函数)c os (s in c os 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
(答:128
k (
,)(k Z )ππ
-
∈、2
8
k x (k Z )ππ
=
+
∈);
(4)已知3f (x )sin(x )cos(x )θθ=+++为偶函数,求θ的值。
(答:6
k (k Z )π
θπ=+
∈)
(5)单调性:()sin 2,22
2y x k k k Z π
πππ?
?
=-
+
∈????
在上单调递增,在
()32,222k k k Z ππππ?
?++∈???
?单调递减;cos y
x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减,在
[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒,别忘了k Z ∈!
16、形如sin()y A x ω?=+的函数: (1)几个物理量:A ―振幅;1f T
=
―频率(周期的倒数);x ω?+―相位;?―初
相;
(2)函数sin()y A x ω?=+表达式的确定:A 由最值确定;
ω由周期确定;?由图象上的特殊点确定,如
()s i n ()(0f x A x A ω?
ω=
+>>,||)2
π
?<
的图象如图所示,则()
f x =_____(答:15
()2sin(
)23
f x x π
=+
);
(3)函数
sin()y A x ω?=+图象的画法:①“五点法”――设X x ω?
=+,令X =0,
3,,
,222π
πππ
求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:
这是作函数简图常用方法。
(4)函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系:①函数sin y x =的图象纵坐标不变,横坐标向左(?>0)或向右(?<0)平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象;②函数()s i n y x ?=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的
1
ω
,得到函数
()s i n y x ω?=+的图象;③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A
23题图
2π9
Y X
-2
2
3
倍,得到函数sin()y A x ω?=+的图象;④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变,纵坐标向上(0k >)或向下(0k <),得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意,若由
()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象,则向左或向右平移应平移|
|?ω
个单位,如
(1)函数2sin(2)14
y x π
=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象?
(答:2sin(2)14
y x π
=-
-向上平移1个单位得2sin(2)
4
y x π
=-
的图象,再向左平移
8
π
个单位得2sin 2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵
坐标缩小到原来的1
2
即得sin y x =的图象);
(2) 要得到函数cos()2
4
x y π
=-
的图象,只需把函数sin
2
x y =的图象向___平移____
个单位
(答:左;
2
π
);
(3)将函数72sin(2)13
y x π=-
+图像,
按向量a
平移后得到的函数图像关于原点对称,
这样的向量是否唯一?若唯一,求出a
;若不唯一,求出模最小的向量
(答:存在但不唯一,模最小的向量(,1)
6a π
=-
-
);
(4)若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点,则k 的取值范围是
(答:[1,2))
(5)研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法:类比于研究sin y x =的性质,只需将
sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ,
但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时,要特别注意A 和ω的符号,通过诱导公式先将ω化正。如
(1)函数23
y sin(x )π
=-+
的递减区间是______
(答:512
12
[k ,k ](k Z )π
πππ-
+
∈);
(2)12
3
4
x y log cos(
)π
=+
的递减区间是_______
(答:33664
4
[k ,k ](k Z )ππππ-+
∈);
(3)设函数)2
2
,0,0)(sin()(π
?π
ω?ω<
<-
>≠+=A x A x f 的图象关于直线3
2π=x 对称,它
的周期是π,则
A 、)2
1
,0()(的图象过点x f
B 、()f x 在区间52[,
]12
3
ππ上是减函数
C 、
)0,12
5(
)(π是的图象的一个对称中心
x f
D 、()f x 的最大值是A
(答:C );
(4)对于函数()2sin 23f x x π?
?
=+
???
给出下列结论:
①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线12
x π
=
成轴对称;
③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3
π
个单位得到
;④图像向左平移
12
π
个单位,即得到函数2cos 2y x =的图像。
其中正确结论是_______
(答:②④);
(5)已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中,距离最近两点间
的距离为
3
π
,那么此函数的周期是_______
(答:π)
17、正切函数tan y x =的图象和性质: (1)定义域:{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数
的定义域了吗?
(2)值域是R ,在上面定义域上无最大值也无最小值;
(3)周期性:是周期函数且周期是π,它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =
cos x +的周期为
2
π
,而1
|2s i n (3
)|,|2s i n (3)2|62
6
y x y x
ππ
=-+=
-+
,|tan |y x =的周期不变;
(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是,02k π
??
???
()k Z ∈,特别提醒:正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,
但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。
(5)单调性:正切函数在开区间(),
2
2k k k Z π
π
ππ?
?
-
++∈ ???
内都是增函数。但要注意
在整个定义域上不具有单调性。如下图:
山东省最大的中小学课外辅导 https://www.360docs.net/doc/bd11527315.html,
18. 三角形中的有关公式:
(1)内角和定理:三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边
的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理:2sin sin sin a
b c R A B C
=
==(R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦
定理的一些变式:()sin sin sin i a b c A B C ::=::;()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R
== 2c R
=;()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===;②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理:2
2
2
2
2
2
2cos ,cos 2b c a
a b c bc A A bc
+-=+-=等,常选用余弦定理鉴定三
角形的形状.
(4)面积公式:111sin ()22
2
a S ah a
b C r a b
c ===++(其中r 为三角形内切圆半径).如ABC ?中,若C B A B A 2
2
2
2
2
sin sin cos cos sin =-,判断ABC ?的形状(答:直角三
角形)。
特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意A B C π++=这个特殊性:
,s i n ()s i n ,s i n c o s 22
A B
C A B C A B C π++=-+==
;(2)求解三角形中含有边角混合关系的
问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如
(1)A B C ?中,A 、B 的对边分别是 a b 、
,且A=60 6 4,a ,b ==
,那么满足条件的A B C ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定
(答:C );
(2)在A B C ?中,A >B 是sin A sin B >成立的_____条件
(答:充要);
(3)在A B C ?中, 112(tan A )(tan B )++=,则2log sin C =_____
(答:12
-
);
(4)在A B C ?中,a ,b ,分
别是角A 、B 、C 所对的边,若
(a b c )(sin A sin B +++3sin C )a sin B -=,则C ∠=____
三角函数图象几何性质
x O y
x =x 1x =x 2x 4邻中心|x 3-x 4|= T /2邻渐近线|x 1-x 2|=T 无穷对称中心:由y =0或y 无意义确定y =A tan(ωx +φ)x 3无对称轴
任意一条y 轴的垂线与正切
函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期!
tan()y A x ω?=+三角函数图象几何性质x O
y
x =x 1x =x 2x 4邻中心|x 3
-x 4
|=T /2邻轴|x 1
-x 2
|=T /2无穷对称中心:由y =0确定
无穷对称轴:由y =A 或-A 确定y =A sin(ωx +φ
)x 3
4
T
邻中心轴相距sin()y A x ω?=+
(答:60 );
(5)在A B C ?中,若其面积2
2
2
43
a b c
S +-=,则C ∠=____
(答:30 );
(6)在A B C ?中,60 1A ,b == ,这个三角形的面积为3,则A B C ?外接圆的直径
是_______
(答:
239
3
);
(7)在△ABC 中,a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边,2
13,cos ,cos
3
2
B C a A +==
则= ,
2
2
b c
+的最大值为
(答:19
32;);
(8)在△ABC 中AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是
(答:06
C π
<≤
);
(9)设O 是锐角三角形ABC 的外心,若75C ∠= ,且,,AOB BOC COA ???的面积满足关系式3AOB BOC COA S S S ???+=,求A ∠(
答:45 ).
19.反三角函数:(1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例):arcsin a 表示一个角,这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ??
-
????
内(11)a -≤≤。(2)反正弦a r c s i n x 、反余弦
arcco s x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2
,2(],,0[],2
,2[πππππ-
-
.
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以及两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围?(0,],[0,],[0,]2
2
πππ,[)π,0, [0,),[0,),[0,]2
π
ππ.
20、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值)。如
(1)若,(0,)αβπ∈,且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根,则求αβ+的值______
(答:
34
π);
(2)A B C ?中,3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=,则C ∠=_______
(答:
3π
);
(3)若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=,0cos cos cos αβγ++=,
求βα-的值
(答:
23
π).