2018年中考数学压轴题专题汇编37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(压轴题)

一、选择题

1．（ 广西桂林市）已知直线33y x =-+与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线2

1

(3)43

y x =--+上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个

2．（ 湖北省武汉市）平面直角坐标系中，已知A （2，2）、B （4，0）．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

3．（ 湖南省邵阳市）如图所示，点D 是△ABC 的边AC 上一点（不含端点），AD =BD ，则下列结论正确的是（ ）

A ．AC ＞BC

B ．A

C =BC ．C ．∠A ＞∠ABC

D ．∠A =∠ABC

4．（ 福建省漳州市）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B ，C ），若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个

[来源:学§科§网Z §X §X §K]

5．（ 江苏省南通市）如图，已知点A （0，1），点B 在x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使点C 在第一象限，∠BAC =90°，设点B 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，则表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

A．B．C．D．

6．（甘肃省白银市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x 函数关系的图象是（）

A．B．C．D．[来源:Z#xx#https://www.360docs.net/doc/bd16502514.html,] 7．（青海省西宁市）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

8．（ 广东省梅州市）如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ．

9．（2015辽宁）如图，边长为6的正方形ABCD 内部有一点P ，BP =4，∠PBC =60°，点Q 为正方形边上一动点，且△PBQ 是等腰三角形，则符合条件的Q 点有 ▲ 个．

三、解答题

10．（ 山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣2x +10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．

（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；

（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA =QA ？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出

点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（ 山东省日照市）阅读理解：

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹． 例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．

问题：如图1，已知EF 为△ABC 的中位线，M 是边BC 上一动点，连接AM 交EF 于点P ，那么动点P 为线段AM 中点．

理由：∵线段EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，由平行线分线段成比例得：动点P 为线段AM 中点． 由此你得到动点P 的运动轨迹是： ． 知识应用：

如图2，已知EF 为等边△ABC 边AB 、AC 上的动点，连结EF ；若AF =BE ，且等边△ABC 的边长为8，求线段EF 中点Q 的运动轨迹的长． 拓展提高：

如图3，P 为线段AB 上一动点（点P 不与点A 、B 重合），在线段AB 的同侧分别作等边△A PC 和等边△PBD ，连结AD 、BC ，交点为Q ． （1）求∠AQB 的度数；

（2）若AB =6，求动点Q 运动轨迹的长．

12．（ 山东省日照市）如图1，抛物线2

3

[(2)]5

y x n =--+与x 轴交于点A （m ﹣2，0）和B （2m +3，0）（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结BC ． （1）求m 、n 的值；

（2）如图2，点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值； （3）如图3，点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点，连接PM 、PC ，是否存在这样的点P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（ 山西省）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE ≌△FCE ？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ，试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．

14．（ 广东省梅州市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5cm ，∠BAC =60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ．

（1）若BM =BN ，求t 的值；

（2）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；

（3）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．

15．（ 广东省深圳市）如图，抛物线2

23y ax x =+-与x 轴交于A 、B 两点，且B （1，0） （1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；

（2）如图1，点P 是直线y =x 上的动点，当直线y =x 平分∠APB 时，求点P 的坐标； （3）如图2，已知直线24

39

y x =

-分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点，点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线段CD 的延长线上，连接QE ．问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

16．（ 云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x =1

2

的抛物线经过B （2，0）、C （0，4）两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值；

（3）如图2，若M 是线段BC 上一动点，在x 轴是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（ 四川省凉山州）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．

[来源:学_科_网]

18．（ 海南省）如图1，抛物线2

6y ax x c =-+与x 轴交于点A （﹣5，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C （0，﹣5），点P 是抛物线上的动点，连接P A 、PC ，PC 与x 轴交于点D ． （1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点P 的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC 的面积；

（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点H ，交直线AC 于点E ，如图2． ①若∠APE =∠CPE ，求证：

3

7

AE EC =； ②△APE 能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由．

19．（ 湖北省襄阳市）如图，已知点A 的坐标为（﹣2，0），直线3

34

y x =-

+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C ，连接AC ，顶点为D 的抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点． （1）请直接写出B 、C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 是第一象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；

（3）设点M 是线段BC 上的一动点，过点M 作MN ∥AB ，交AC 于点N ，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动，运动时间为t （秒），当t （秒）为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？

20．（ 湖南省娄底市）如图，抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）经过点A （﹣1，0），B （5，﹣6），C （6，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形P ACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB 为等腰三角形的点Q 一共有几个？并请求出其中某一个点Q 的坐标．