运用三角函数巧解定值问题
解注意到三角形任何两边之和大于第三边!得
原式"#$%&’(#’#&%(’$#%#(%$’&#’（(%$%&）"（$%&’(）’（&%(’$）%（( %$’&）’（(%$%&）"!（$’(’&）!
"绝对值与最值
例#!当)为何值时，#)%##%#)%!#%#) %$#的值最小，并求出最小值!
解从数轴上看，即是求到点’#，’!，’$的距离的和为最小时的点)，不难尝试出)"’!时，其最值为最小，且最小值为!!
例#$已知($&*+是一个五位自然数，其中(，$，&，*，+为阿拉伯数码，且(,$,&,*，求#(’$#%#$’&#%#&’*#%#*’+#的最大值!
解求值式"（$’(）%（&’$）%（*’&）% #*’+#"*’(%#*’+#（!）!
当*"+时，（!）式"!*’(’+!
由题设可得##(#$%##&%##*且(，$，
&，*，+均不大于"!此时*""，("#，+"%时，（!）式取得最大值为#&!
当*,+时，
（!）式"+’(#"’#"’,#&!
故#(’$#%#$’&#%#&’*#%#*’+#的最大值为#&!
#%绝对值与求和
例#(已知#($%##%#(%##"%，求和：#
(（$%#）%
#
（(’#）（$%!）%
…% #
（(’!%%$）（$%!%%(）
!
解注意到#($%##"%，#(%##"%，由已知得($"#，且(%#"%，解得("’#，$"#!
故原式"#
#?!%
#
!?$%
…%#
!%%(?
()
!%%) "’
#
#’
()#
!%
#
!’
()#
$%
…%#
!%%(’
#
() []
!%%)
"
#
!%%)’
#"’
!%%(
!%%)
!
运用三角函数巧解定值问题
湖北省武汉市第三初级中学($%%)%桂文通
三角学的特点是建立边与角的函数关系，在动
态几何中的定值问题体现了变与不变的辩证思想，
我们可以运用三角函数解决一类几何定值问题!该
方法是在图形运动中，选取适当的角和三角函数，将
有关线段进行表示，使一些复杂的线段关系简单化、
具体化，达到顺利求解的目的!
#直接运用三角函数的定义
例#证明：内接于定圆的所有腰长为(的等腰
梯形的高与中位线的长度之比为定值*（第!!届全
苏数学奥林匹克竞赛题）
分析与解观察图形在变化过程中，分析等腰
梯形的高与中位线的比值，由什么不变量确定的*如
图#，设圆内接等腰梯形是-./0，-0"/."(，过
/引/1$-.于1*显然，-1的长即等腰梯形中位线
的长，所以，只考虑/1
-1
即可*
设%/-1"!，则/1
-1"
+,-!，只要!是定值，那么+,-!也就定值了，这一点不难判定，因为不论等腰梯形如何变化，腰./是圆内定长（(）的弦，所以它所对的圆周角!也就是确定不变的值!
说明：将线段的比转化为正切函数，再利用弦不变，它所对的圆周角不变确定定值!
图#图!
例!./是过已知&2内的定点-的任意一条弦，过点.、/分别作此圆的切线，求证：点-到两切线的距离的倒数和为一定值!
分析与解如图!，设点-到两切线的距离分别为-3、-4，过点-作在特殊位置的弦———直径56，则此点-到此弦两端所作切线的距离分别为-5、-6，由于点-为定点，故-5、-6为定长!
从而
!
!"#
!
!$%
"$
!"?!$
，而!"?!$%!&?
!’，
所以，只需证明
!
!(#
!
!)%
"*
!&?!’
，
设!!&(%!’!)%!，则!+%!，所以!(%!&#$%!、!)%!’#$%!,
所以
!
!(#
!
!)%
!&#&’
!&?!’#$%!%
&’
!&?!’#$%!%
"*
!&?!’
,
例&如图&，在直角坐标系中，&（’、"）、’（"、(），点-从’点出发，以!个单位.秒的速度沿/轴正方向运动，点0从1点出发，以"个单位.秒的速度沿2轴正方向运动，以&-为直径"+交/轴于!点，-点在!点的左侧，连结!0交"+于点"，求证!"?!0为定值,（"(("年武汉市中考试题）分析与解很显然可以通过极端化猜想定值，当-、0两点没有运动时，即-、0分别在’、1两点时，!"?!0%!’?!1%"3’%),
设-、0两点运动的时间为4秒，则10%"4、!-%"54，连结&"、-"，作&6#!"于点6，所以"&%&-#$%!&-"%&-#$%!&!"% &-#$%!10!，
所以"6%"&*+#!&"!%"&*+#!&-!%
&-#$%!10!?*+#!&-!%&-#$%!10!?!-
&-%
!-#$%!10!,
又因为!6%!&*+#!&!"%"*+#!10!，
图&图’
所以!"%"6#!6%!-#$%!10!#
"*+#!10!%（"54）?
’
!0#
"?
"4
!0%
)
!0
,
所以!"?!0%),
说明：以上两例，关键在选取适当的三角函数，建立有关线段与特定角的函数模型，运用解直角三角形的方法使问题得到解决,
"运用与三角函数有关的两个重要定理
例’如图’，在定角!&!’的角平线上一定点+，过!、+任作一圆交!&!’的两边于&、’，求证：!&#!’为定值,
分析与解在问题中不变的量有定角!&!’和线段!+的长,设!&!+%!’!+%!，在$!&+和$!+’中，由余弦定理得，
&+"%!&"#!+"5"!&?!+*+#!，
’+"%!’"#!+"5"!’?!+*+#!,
即!&"5"!&?!+*+#!#!+"5&+"%(!
!’"5"!’?!+*+#!#!+"5’+"%("
因为&+%’+，
所以根据!、"，!&、!’可看成方程/"5 "!+*+#!/#!+"5&+"%(的两根,由根与系数关系得!&#!’%"!+*+#!,（定值）
图-
例-如图-，!&是定圆
的一定直径，’是!&上一定
点，过点’任作弦+-，设!+
和!-的延长线分别交此圆
过点&的切线于点0、6，求
证：&0?&6为一定值,
分析与解设!0!&
%!，则!0%.(/5!%!!&+%!!-6；又设!6!&%"，则!6%.(/5"%!-!&%!!+’,因为&0%
!&#$%!
#$%（.(/5!）
，
&6%
!&#$%"
#$%（.(/5"）
，
所以&0?&6
%
!&"#$%!?#$%"
#$%（.(/5!）?#$%（.(/5"）
,
又在$!’+和$!-’中，分别由正弦定理得
’+
!’%
#$%!+!’
#$%!!+’%
#$%!
#$%（.(/5"）
，
’-
!’%
#$%!’!-
#$%!’-!%
#$%"
#$%（.(/5!）
，
所以&0?&6%!&"?
’+
!’
?
’-
!’%
!&"?
!’?&’
!’?!’%!&"?
&’
!’
（定值）,
说明：根据问题的结构特征，正确地运用正弦和余弦定理，巧妙地建立变量和不变量间的关系,
运用三角函数巧解定值问题
作者：桂文通
作者单位：湖北省武汉市第三初级中学,430050
刊名：
中学数学杂志(初中版)
英文刊名：ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(CHUZHONGBAN)
年，卷(期)：2003，""(4)
被引用次数：0次
本文链接：https://www.360docs.net/doc/bd16587448.html,/Periodical_zxsxzz-czb200304018.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：53d8ae49-880b-4cfb-b1b5-9dc800f9caf3
下载时间：2010年8月4日
利用三角函数测高
利用三角函数测高导学案 班级：九年级学生姓名：使用时间：11月28日 【学习目标】1.能够利用三角函数测一些实际物体的高度 2.体会数学来源于生活又服务于生活. 【重点】能够利用三角函数测一些实际物体的高度 【难点】能够利用三角函数测一些实际物体的高度 【学法指导】合作交流，自主探究 【课时安排】 1 课时总第7课时 相关知识回顾： 1.直角三角形ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ （1）边角之间关系： （2）三边之间关系： （3）锐角之间关系： 2. 解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？ 预习要求： 通过预习初步了解本节知识点，并根据个人能力初步完善探究案。学科组长组检查组内各对子预习完成情况。一、情景引入： 请同学们欣赏下列图片，你们能测量出它们的高度吗？ 二、PPT出示教学目标。 三、第一次“先学后教”——如何测量倾斜角 测量方法：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下： 1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. 2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数. 四、第二次“先学后教”——测量底部可以到达的物体的高度 （概念指导：所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离） 测量方法：如图，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行： 预习案——课前自主学习 探究案——课中合作探究 人贵有志，学贵有恒。 学者如禾如稻，不学者如蒿如草。
1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ 成水平位置时它与地面的距离） 做一做：（小组展示） 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由。 五、第三次“先学后教”——测量底部不可以到达的物体的高度 （概念指导：所谓“底部不可以到达”－－－就是在地面上不可以直接测得测点与被测物体之间的距离。） 测量方法：如图，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行： 1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A，B与N在一条直线上，且A，B 之间的距离可以直接测得），测得M的仰角∠MCE=β 3.量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b. 做一做：（小组讨论解决问题） 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由. 六、当堂检测： 1.如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m) 2.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan=3 4 ，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26. 6°，求小山岗的高AB(结果取整数，参考数据：sin26. 6°=0. 45，cos26. 6°=0.50) 七、小结：（小组内总结组内成员完成了本节的哪些学习目标） 掌握一个解题方法，比做一百道题更重要。
三角函数最值问题类型归纳
三角函数最值问题类型归纳 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为 只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。 例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数 特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。 3．y=asin2x+bcosx+c型的函数 特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。 例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。 解：y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
《与三角函数有关的最值问题》复习课教学设计
《与三角函数有关的最值问题》复习课教学设计 湖南师大第二附属中学刘海军 一.教学分析 三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一，是对三角函数的概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间的关系、两角和与差公式的综合考查，是函数最值的一个重要组成部分.三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。 二.教学目标 1.知识与技能：正确理解三角函数的有关概念，掌握三角函数的基本概念、公式、图象及性质，并能综合运用这些概念，公式及性质解决实际问题. 2.过程与方法：在教学过程中，让学生学会运用数形结合思想、函数和方程的数学思想 来分析解决数学问题；培养学生的观察能力、动手能力、创新能力和归纳能力. 3.情感态度与价值观：通过例题的分析，方法的归纳，激发学生主动参与、主动探索的意识，使学生始终在动态过程中去感受知识、巩固知识、运用知识，提高45分钟的效率. 三.教学重点、难点 教学重点：求三角函数的最大、最小值. 教学难点：针对各题，会观察题中特点，正确运用相应方法求三角函数最值. 四.课型及课时安排 高三复习课，2课时：第1课时. 五.教学方法设计 综合启发教学，边教边让学生参与，学会对知识的归纳；强调教师为主导、学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性和创造性. 六.学情分析 高三学生对三角函数这部分知识比较熟悉.但学生对知识的前后联系，有效方法的选择，分析问题的内涵，综合运用知识的能力还很薄弱.学生对知识的归纳整理能力比较欠缺，所以对三角函数最值的几个基本类型需要进行归纳和整理，以便学生能够更好的掌握.
(完整)初中锐角三角函数教案
锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233
? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B
利用三角函数测高设计
利用三角函数测高 教学内容 本节课为活动课，活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三：测量底部不可以到达的物体的高度． 教学目标 1、能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题； 2、经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力； 3、通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神． 教学重点、难点 设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养． 教具准备 自制测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具． 教学过程 一、提出问题，引入新课 现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后 度时，用到了哪些仪器？有何用途？如何制作一个测角仪？它 的工作原理是怎样的？ 活动一：设计活动方案，自制仪器 首先我们来自制一个测倾器（或测角仪、经纬仪等）．一般 的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成．下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器．制作测角仪时应注意什么？ 支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确．度盘的顶线PQ 与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ 的交点．当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下．
一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤） 活动二：测量倾斜角 （1）把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置M，记下此时铅垂线指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角． 它的依据是什么？ 如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数．即∠BCA的度数．根据图形我们不难发现 ∠BCA+∠ECB=90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA=∠MCE．因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数． 活动三：测量底部可以到达的物体的高度． “底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离． 要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：（如下图） （1）在测点A处安置测倾器（即测角仪），测得M的仰角∠MCE=α． （2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l． （3）量出测倾器（即测角仪）的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据，就能求出物体MN的高度．
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα 1.6 利用三角函数测高 1. 2. 3. 明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算). 4.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D 处测得点A,点B 的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米) B D A C 5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索: 实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算 树AB 的高度(精确到0.1米) 实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题: (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图; (3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____. (4)写出求树高的算式:AB=___________. (1) (2) 6.在1:50000的地图上,查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm,若要在A 、B 之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少? (说明:地图上量得的AB 的长,就是A,B 两点间的水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A 即是缆索的倾斜角.) 7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索： 实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB ）8.7米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.7米，观察者目高CD =1.6米，请你计算树（AB ）的高度．（精确到0.1米） 三角函数最值问题—解题9法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常 涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问 题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另 一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面 就介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定 的函数化归为二次函数的最值问题来处理。 例1函数的最小值为（）. A． 2 B . 0 C . D . 6 [分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B. 例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值 [分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 二引入辅助角法 例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。 解： 三利用三角函数的有界性 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。 例4求函数的值域 [分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为，可直接得到：或 解法一：原函数变形为或 例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。 [分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。 解： f(x)的最小正周期为，最大值为。 四引入参数法（换元法） 对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。 例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。 [分析]解：令sinx+cosx=t，则 ，其中 三角函数的最值问题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 三角函数的最值问题 三角函数最值问题散见于不同的章节，或作为问题的背景、或作为单独的数学问题、或作为解题的工具。今天，我们就求解最值的方法层面展开讨论！ 一 化为单名函数的形式 例1 函数f(x)=x x x x 44sin cos sin 2cos -- ① 求f(x)得最小正周期; ② ?? ????∈2,0πx 时，求f(x)的最小值。 解: (1) x x x x x f cos sin 2sin cos )(22--= x x 2sin 2cos -= )2 22sin 222(cos 2?-=x x )4 2cos(2π+=x ∴ f(x)最小正周期是π=T （2）20π≤ ≤x ∴ ??????∈+45,422πππx ∴ 442ππ=+ x 即0=x 时最大值是1 ππ=+ 42x 即83π=x 时最小值是－2 注意 ① 辅助角公式)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a 的应用 ② 注意三角函数区间最值的正确取舍 二 单名函数的复合型 例2 3 1sin sin =+y x ，求x y 2cos sin -的最值 解：∵ x y sin 3 1sin -= ∴ 1sin 311≤-≤-x ∴ 3 4sin 32≤≤-x ∴ 12 11)21(sin cos sin 22--=-=x x y u ∴ 21sin =x u 的最小值为12 11- ； 32sin -=x u 的最大值为94 注意：隐含条件不可忽视！ 三 关系代换x x cos sin ±与x x cos sin 例3 求函数x x x x y cos sin 1cos sin ++=的最值 解：令x x t cos sin += 则 x x t cos sin 12+= ∴ )1(2 1121 2-=+-=t t t y ∴ 22≤≤-t 且 1≠t ∴ )12(21)12(21-≤≤+-y 且 1-≠y 注意① 代换要等效 ；② 原函数中对代换量的现定！ 四 限量代换 例4 求函数21x x y -+=的值域 解：函数的定义域[]1,1-∈x 令 θcos =x ， πθ≤≤0 )4 sin(2sin cos π θθθ+=+=y ∴ 21≤≤-y 注意：限量代换要求对代换量进一步分析并“定性” 五 建立关系等式整体带入或转化 初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数 分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。 第一章直角三角形的边角关系 1.6 利用三角函数测高 一、知识点 1. 制作测倾器并掌握测倾器测角的方法? 2. 应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题 二、教学目标 知识与技能： 1. 能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法 2. 能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题 过程与方法： 1. 经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并会对仪器进行调整，对测量结果进行矫正，从而使测量结果符合实际. 2. 经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力 情感态度与价值观： 能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神? 三、重点与难点 重点：合理制定方案，掌握用三角函数的知识计算出物体的高度 难点：制作测倾器，理解测倾器的构造原理，并对测量结果进行矫正 四、试一试测量倾斜角： 数学课上，我们用直尺测量长度，用量角器测量角度.生活中，我们是如何测量长度和角度的呢? 测量长度可以用皮尺或卷尺，测量倾斜角可以用测倾器 简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.（如图）（出示幻灯片2） 皮尺测倾器 使用测倾器测量倾斜角的步骤如下（出示幻灯片3、4）: 1、把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线水平位置. 2、转动度盘，使度盘的直径对准目标M记下此时铅垂线所指的度数. 根据测量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理由. 活动内容：测倾器的使用 活动目的：培养学生的使用工具的能力? 活动的注意事项：展示样品，让学生亲身使用 五、掌握测量物体高度的原理 活动内容：活动一：测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离 分组活动、小组合作: 1、你们能设计一个方案测量底部可以到达的物体的高度吗？ 2、需要用到哪些工具？（工具尽可能简单、尽可能少） 3、需要测量哪些数据？（数据尽可能方便、尽可能少） 4、根据测量数据，如何计算物体的高度？ 全班交流研讨，确定方案： 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行（出示幻灯片5、6）: PQ在 三角形中的最值问题 山东莘县观城中学 郭银生 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明： 例1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ） A ．∏ /4 B. ∏/3 C. ∏/6 D.正弦值是1/3的锐角 解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c ，其一个锐角是α，周长是L,则两个直角边是csinα 和ccosα， 故 L =c+csinα +ccosα =c+1.414csin(α+∏ /4 ) ∵0<α<∏/2 ∴当α+∏ /4 =∏/2时，Lmax=c+1.414c 故选A 解法2.设两条直角边为a,b,周长为L ，则斜边c=22b a ＋是定值。 L=a+b+2 2b a ＋≤） ＋（222b a +22b a ＋=(2+1) 22b a ＋(当且仅当a=b 时取等号) 即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏ /4 从而选A. 例2．已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为 . 方法Ⅰ.（三角函数的有界性） 设该直角三角形的斜边是c ，一个锐角是A ，面积是S ，则两条直角边是csinA 和ccosA ，根据题意 csinA+ccosA+c=1,即c=A A sin sin 11＋＋ ① S=21csinA*ccosA=41sin2A ≤4 1 (当且仅当A=∏/4时取等号) 目录 摘要................................................................................................................................................... I I ABSTRACT ......................................................................................................................................... I II 第一章绪论.. (4) 1.1 三角函数的起源与发展 (4) 1.2 三角函数的最值问题 (4) 第二章解决三角函数最值问题的方法技巧 (6) 2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题 (6) 2.2 利用转化（或化归）思想解决最值问题 (7) 2.3 利用换元法解决最值问题 (10) 2.4 利用数形结合解决最值问题 (14) 2.5 利用不等式解决最值问题 (15) 第三章三角函数最值的简单应用 (17) 3.1 在数列中的简单应用 (17) 3.2 在不等式中的简单应用 (18) 3.3 在几何中的简单应用 (19) 3.4 在复数中的简单应用 (20) 第四章结论 (22) 参考文献........................................................................................................... 错误!未定义书签。致....................................................................................................................... 错误!未定义书签。 锐角三角函数 中考要求 重难点 1．掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2．知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3．同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4．将实际问题转化为数学问题，建立数学模型． 课前预习 “正弦”的由来 公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表． 托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来． 例题精讲 模块一 三角函数基础 一、锐角三角函数的定义 如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边． （1）正弦：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a A c =． （2）余弦：Rt ABC ?中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 注意： ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、 cos 与A 、tan 与A 的乘积． ③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数 这些特殊角的三角函 数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围 在Rt ABC ?中，90C ∠=?，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 a A 培优点7 三角函数中的范围、最值问题 【方法总结】 以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键． 【典例】1 (1)若函数y ＝sin 2x ＋acos x ＋58a －32在? ?????0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________． (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3acos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________． 【典例】2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos x 的图象向右平移2π3 个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在??????0，π2上的值域为???? ??－12，1，则ω的取值范围为( ) A.??????43，83 B.??????13，53 C.??????43，＋∞ D.???? ??83，＋∞ (2)若将函数f(x)＝sin ? ????2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 【方法总结】 (1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等． (2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象． 【拓展训练】 1．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3 对称，且f ? ?? ??π12＝0，则ω的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．若函数f(x)＝2sin x ＋cos x 在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( ) A.45 B.35 C.25 D.215 3．已知函数f(x)＝2sin ? ????ωx ＋π6中x 在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________． 4．已知函数f(x)＝sin ? ????ωx ＋π3(ω>0)，若f(x)在??????0，2π3上恰有两个零点，且在???? ??－π4，π24上单调递增，则ω的取值范围是________． 广州市初中数学锐角三角函数的解析 一、选择题 1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( ) A ．4 B ．83 C ．6 D ．43 【答案】B 【解析】 【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案. 【详解】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ， 由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ， ∴∠OAB =60°， 在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43， ∴光盘的直径为83． 故选：B ． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数. 2．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( ) A 3 B ．4 C ．6 D ．33 【答案】D 【解析】 【分析】 连接OA ．证明OAB ?是等边三角形即可解决问题． 【详解】 如图，连接OA ． ∵AE EB =， ∴CD AB ⊥， ∴??AD BD =， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ， ∴60AOB ∠=o ， ∵OA OB =， ∴AOB ?是等边三角形， ∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =?=o ， 故选D ． 【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ） A 5 B ．35 C 2 D ．23 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ???，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性初中数学锐角三角函数定义大全
利用三角函数测高
三角函数最值问题解法归纳
三角函数的最值问题
初三数学锐角三角函数通用版
北师大版1.6利用三角函数测高教案
2020年高中数学三角函数的最值问题必修4
三角函数最值问题
初三数学锐角三角函数含答案
2021届新高考数学二轮 培优点7 三角函数中的范围、最值问题(原卷版)
广州市初中数学锐角三角函数的解析