利用导数判断函数的单调性教案
§1.3导数的应用
1.3.1利用导数判断函数的单调性
【学习要求】
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
【学法指导】
结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想. 一般地，在区间(a，b)
探究点一
问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
答：(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y(x)是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y(x)是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y(x)是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y(x)是增函数；
(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1
x2<0，y(x)是减函数．
小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
答：由问题1中(3)知f′(x)≥0恒成立．
问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．
(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
答：(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．问题1中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1
当x＝4或x＝1时，
f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．
解：当1
当x>4或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减；
当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．
小结本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的
单调性符合题意就可以了．
跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．
解 f ′(x)图象的大致形状如下图：
注：图象形状不唯一．
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x 3－4x 2＋x －1； (2)f(x)＝2x(e x －1)－x 2； (3)f(x)＝3x 2－2ln x. 解 (1)f ′(x)＝3x 2－8x ＋1.
令3x 2－8x ＋1>0，解此不等式，得 x<4－133或x>4＋133
.
因此，区间? ????－∞，4－133和? ??
??4＋133，＋∞为f(x)的单调增区间． 令3x 2
－8x ＋1<0，解此不等式，得 4－133 3 . 因此，区间? ?? ? ?4－133，4＋133为f(x)的单调减区间． (2)f ′(x)＝2(e x －1＋xe x －x) ＝2(e x －1)(x ＋1)． 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0； 当x ∈(－1,0)时，f ′(x)<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0. 故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增， 在(－1,0)上单调递减． (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝6x －2 x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x)>0，即2·3x 2－1 x >0， 解得－33 3 . 又∵x>0，∴x>3 3 . 令f ′(x)<0，即2·3x 2－1 x <0， 解得x<－33或0 3 . 又∵x>0，∴0 3 . ∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，3 3 )． 小结 求函数的单调区间的具体步骤是 (1)确定f(x)的定义域；(2)计算导数f ′(x)；(3)求出f ′(x)＝0的根(也可以直接解f ′(x)>0和f ′(x)<0)；(4)用f ′(x)＝0的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干个区间内f ′(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 2－ln x ； (2)f(x)＝e x x －2 ； (3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π) 解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f ′(x)＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1) x . 因为x>0，所以2x ＋1>0， 由f ′(x)>0得x>2 2， 所以函数f(x)的单调递增区间为??? ?22，＋∞； 由f ′(x)<0得x< 22 ， 又x ∈(0，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为? ???0， 22. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x)＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3) (x －2)2 . 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x)>0得x>3， 所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x)<0得x<3， 又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)． (3)f ′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x) ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． 因为0≤x<2π，所以cos x ＋1≥0， 由f ′(x)>0得0 3 由f ′(x)<0得π3 3 ， 故函数f(x)的单调递增区间为????0，π3，????5π3，2π，单调递减区间为??? ?π3，5π3. 探究点二 函数的变化快慢与导数的关系 问题 我们知道导数的符号反映函数y ＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y ＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？ 答 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平 缓”一些．如图所示，函数y ＝f(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b ，＋∞)或(－∞，a)内的图象“平缓”． 例3 如图，设有圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种 ( ) 解析 由于是匀速旋转，阴影部分面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S 增速快． 图A 表示S 的增速是常数，与实际不符，图A 应否定； 图B 表示最后时段S 增速快，也与实际不符，B 也应否定； 图C 表示开始时段增速和最后时段S 增速比中间时段快，也应否定； 图D 表示开始和结束阶段，S 增速慢，中间时段增速快，符合实际，应选D. 答案 D 小结 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行． 跟踪训练3 (1)如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象． 解 (1)→B (2)→A (3)→D (4)→C (2)已知f ′(x)是f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是 ( ) 解析 从f ′(x)的图象可以看出，在区间????a ，a ＋b 2内，导数递增；在区间???? a ＋ b 2，b 内，导数递减．即函数f(x)的图象 在????a ，a ＋b 2内越来越陡峭，在????a ＋b 2，b 内越来越平缓． 1．函数f(x)＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数 C ．在????0，1e 上是减函数，在????1e ，6上是增函数 D ．在????0，1e 上是增函数，在??? ?1 e ，6上是减函数 解析 ∵ f ′(x)＝1＋1 x >0， ∴函数在(0,6)上单调递增． 2. f ′(x)是函数y ＝f(x)的导函数，若y ＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y ＝f(x)的图象可能是 ( ) 解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f ′(x)>0，即函数f(x)为增函数； 当0 (2)函数y ＝x 3－x 的增区间为_______________________，减区间为______________． (2)y ′＝3x 2－1，令y ′>0，得x> 33或x<－33； 令y ′<0，得－33 ， 所以y ＝x 3－x 的增区间为????－∞，－ 33和??? ?33，＋∞，减区间为(－33，33)． 1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度． 2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为 (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f ′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间. 用导数判断函数的单调性 2003年高考（新课程卷·理）第19题对函数的单调性进行了考察，题目如下： 【题目】设0>a ，求函数)ln()(a x x x f +-=)),0((+∞∈x 的单调区间。 解：a x x x f +- = '1 21)(（0>x ） 当0>a ，0>x 时， 0)(>'x f ?0)42(22>+-+a x a x ， 0)(<'x f ?0)42(22<+-+a x a x ， （i ）当1>a 时，对所有0>x ，恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞单调递增； （ii ）当1=a 时，对1≠x ，恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递增， 又知函数)(x f 在1=x 处连续，因此)(x f 在),0(+∞单调递增； （iii ）当10<'x f ，即0)42(2 2>+-+a x a x ， 解得a a x ---<122或a a x -+->122，因此，函数)(x f 在)122,0(a a ---单调递增，在),122(+∞-+-a a 单调递增， 令0)(<'x f ，即0)42(2 2<+-+a x a x ， 解得a a x a a -+-<<---122122， 因此，函数)(x f 在)122,122(a a a a -+----上单调递减。 本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）： 3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的， 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--= 2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈ 3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性. 3.3.1函数的单调性与导数 【三维目标】 知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形 结合思想、转化思想。 情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一．复习回顾 复习 1：导数的几何意义 复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法） 问题提出：判断y=x 2 的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成） 那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数 二．新知探究 探究任务一：函数单调性与其导数的关系： 问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2 ++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像. 通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点 到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发 现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗? 启发: 函数)(t h 在(0,a)上位增函数， 函数)('t h 在(0,a) 5、利用导数判断函数的单调性 一、选择题 1．函数y ＝x 3 的递减区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．不存在 2．函数f (x )＝x －e x 的单调增区间是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞ ) C ．(－∞，0) D ．(－∞，1) 3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 4．三次函数y ＝f (x )＝ax 3 ＋x 在x ∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a <1 D ．a <13 5．若在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0，且f (a ) ≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )＞0 B ．f (x )＜0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 6．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.? ????－π，－π2和? ????0，π2 B.? ????－π2，0和? ????0，π2 C.? ????－π，－π2和? ????π2，π D.? ????－π2，0和? ?? ??π2，π 7．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac ≥0 B ．b 2－4ac ≤0 C ．b 2－3ac ≤0 D ．b 2－3ac ≥0 8．函数f (x )＝2x 2－ln2x 的单调递增区间是( ) A.? ????0，12 B.? ????0，24 C.? ????12，＋∞ D.? ????－12，0及? ????0，12 《函数的单调性与导数》教学设计 【课题】函数的单调性与导数 【教材】湘教版《高中数学》选修2-2 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是湘教版选修2-2第四章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二课中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到 一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时 【教学准备】 多媒体课件. 【教学设计说明】 高二（下）数学理科学案9、10、11:1.3.1利用导数判断函数的单调性 【知识目标】 （一）求函数)(x f 单调区间的方法： 1.如果在),(b a 内，0)(/ >x f ，则)(x f 在此区间是增函数，),(b a 为)(x f 的单调增区间； 2.如果在),(b a 内，0)(/ 【典型例题】 例题1（1）确定函数422+-=x x y 的单调区间； （2）找出函数14)(23-+-=x x x x f 的单调区间； （3）求函数0(ln 1)(>=x x x x f 且1≠x ）的单调区间. 例题2求下列函数的单调区间 （1）x e x f x -=)(；（2）x e x x f ln 2)(2-=； （3）x e x x x f -++=)1()(2 例题3 （1）求方程0＝7＋6x －2x 23在区间(0,2)上的根的个数． （2）证明方程x －12 sinx ＝0有惟一解． 利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题（题型注释） 1．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2． （1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围； （3）若0>?x ，不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立，求a 的取值范围． 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性， 即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1)12()(2/-+=∴， 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数， 利用导数判断函数的单调性 【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用. 【重点、难点】利用导数研究函数的单调性. 【自主学习】 1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数. 2、()/0f x <是()f x 为减函数的（ A ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【自测】 求下列函数的单调区间: (1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x =+ 解：（1）函数的单调递增区间为：413413(,),(,)33 -+-∞+∞ 函数的单调递减区间为：413413(,)33 -+ （2）函数的单调递增区间为：(,2),(2,)-∞-+∞ 函数的单调递减区间为：(2,2)- 课内探究案 【精讲点拨】 例1、 求下列函数的单调区间: （1）()1x f x e x =-- （2）()ln f x x x =- 解：（1）函数的单调递增区间为：(0,)+∞ 函数的单调递减区间为：(,0)-∞ （2）函数的单调递增区间为：(1,)+∞ 函数的单调递减区间为：(0,1) 例2、 证明：函数16()f x x x =+ 在()0,4上是减函数 证明：222 221616()1(0,4)16 160 0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴ 函数在（）上是减函数 例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。 解：232y x x m '=++ 4120 1 3 R R m m '∴≥∴?=-≤∴≥ 2函数在上是增函数 y =3x +2x+m 0在上恒成立 【当堂检测】 函数11 y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞ 利用导数判断函数的单调性教学案 课后拓展案 A 组 1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。 解：函数的递增区间： ∞∞（-,-1),(11,+) 2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。 解：函数的定义域(0,)+∞ 《导数与函数的单调性》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能 （1）会用导数解决函数的单调性问题。 （2）能利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立他们的导数模型。 2. 过程与方法通过利用导数研究函数单调性问题的过程，体会从特殊到一般的数形结合的研究方法。 3. 情感态度与价值观 (1)通过导数方法研究单调性的问题，体会不同数学知识间的内在联系，认识数学是一个有机整体。 (2)通过导数研究单调性的基本不骤的形成和使用，是的学生认识到导数使一些复杂问题变的有矩可循，因而认识到导数的实用价值。 【教学重难点】 重点:利用导数的方法判定函数的单调性。 难点:导数与函数单调性的关系。 【教学设计思路】通过观察发现，启发引导，探究导函数与函数单调性之间的联系，得出结论。 【教学方法】观察发现，启发引导。 【教学手段】运用多媒体和板书。 【教学过程】 1. 问题激发，新课导入教师:我们知道，对于函数y=f(x) 来说，导数y=f’(x) 刻画的是y 在x点的瞬时变化率，函数的单调性描述的是y 随x的增加而减少，两者都是刻画函数的变化，那么，导数与函数单调性之间有什么关系呢? 2. 实践感知，新知形成教师:用多媒体展示几个函数的解析式，让学生求出以上6个函数的导函数。 (1)y=f(x)=2x+5 (2)y=f(x)=-3x+4 (3)y=f(x)=2x (4)y=f(x)=(12)x (5)y=f(x)=log3x (6)y=f(x)=log12x 学生： (1)f’(x)=2 (2)f’(x)=-3 (3)f’(x)=2xln2 (4)f’(x)=(12)xln12 (5)f’(x)=1xln3 (6)f’(x)=1xln12 教师:用多媒体展示这6个函数的图像，以及导函数的图像，并让学生观察各个点导函数的值与函数单调性有什么关系?同学间可以相互交流，(因制作了flash动画，只要教师拖动切点在曲线上运动，就能看到每一点切线斜率的值) 学生：函数（1）（3）（5）上各点的斜率都是正的，函数（2）（4）（6）上各点切线的斜率都是负的。 教师：我们知道各点切线的斜率就是各点的导数值。 学生: 函数（1）（3）（5）的导数是正的，函数（1）（3）（5）就是递增的，函数（2）（4）（6）的导数都是负的，函数（2）（4）（6）就是递减的。 §1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A 函数单调性判断方法（五）-导数法 函数在区间上连续，在内可导，且在内 ① 如果 ，那么函数在区间上单调增加 ② 如果 ，那么函数 在区间 上单调减少 由此得到确定单调区间的方法 ① 确定函数的定义域 ② 求导数 ③ 令 解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为 ④ 确定区间 内导数符号 ⑤ 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这 区间内递减。 例1：（2011安徽）设()1x e f x ax =+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 4 3 = 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。 解析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(x f 求导得.) 1(1)(2 22ax ax ax e x f x +-+=' ① （I ）当34= a ，若.21,23,0384,0)(212 ===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知 所以,231= x 是极小值点,2 1 2=x 是极大值点. x )2 1,(-∞ 2 1 )2 3,21( 2 3 ),2 3 (∞ )(x f ' + 0 － 0 + )(x f ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知 0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增 例3：（2011广东） 设0>a ,讨论函数 x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞） 221212122(1)2(1)1'(), 1 12(1)2(1)1012(1)() 3 1 0,'()23 (1)(31)(1)(31)11 0,, 22(1)22(1)0'()0,()(0,)(,)a a x a x f x x a a a x a x a a a f x a a a a x x a a a a a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=?=------=->=+--<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点 且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)1 10,'()0,()(0,)3 1 1'()0(0),()(0,)(1)(31)(1)(31)11 10,0,0,'()22(1)22(1)x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x x a a a a a x x f x a a a a a a <<<≤>+∞---->?>=->=+<--；当时，在(内为减函数 当时，在内为增函数； 当时，在内为增函数； 当时，所以在定义域内有唯一零点 ②③④11110'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数； 综上所述，f(x)的单调区间如下表： 103a << 1 13 a ≤≤ 1a > 1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与 函数的单调性与导数教案 一、目标 知识与技能：了解可导函数的单调性与其导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、重点难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间 三、教学过程： 函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。 五、教学方法 发现式、启发式 新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备： 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排： 1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 提问 1．判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。） 2．比如，要判断y=x2的单调性，如 何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。） 3．还有没有其它方法？如果遇到函数： y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时 间内尝试完成，结果发现：用“定义法”， 3.3.1利用导数判断函数的单调性 一、学习目标：学会利用导数判断函数的单调性. 二、复习巩固： 1.函数的平均变化率如何求？ 2.导数与平均变化率的关系是怎样的？ 3.如何用定义证明函数单调性？ 三、自主学习：自学课本，思考下面问题： 1. 设函数y=f(x) 在区间（a,b ）内可导，那么在这个区间内f (x)'满足什么条件时，函数y=f(x) 为这个区间内的增函数；在这个区间内f (x)'满足什么条件时，函数y=f(x) 为这个区间 内的减函数 ？ 2. 求函数单调区间可以分几步完成？ 注：（1）若函数在区间的端点有意义，写区间时往往把端点写进去。 （2）若有多个单调区间，不可以用“∪”并起来！但可以用“和”“及”连起来 3. （重要结论）设函数y=f(x) 在区间（a,b ）内可导， 若函数y=f(x) 为这个区间内的增函数，则在这个区间内f (x)0'≥恒成立； 若函数y=f(x) 为这个区间内的减函数，则在这个区间内f (x)0'≤恒成立。 四、尝试练习： 1.（A ）y=2x-x 2的单调增区间为 ( ) A ．（0，2） B ．（-∞，1） C ．（-1，1） D ．（1，+∞） 2.（A ） 函数1 y x x =- 的单调区间为（ ） A. ),0()0,(+∞-∞ B. (,0)(0,)-∞+∞和 C. (,1),-∞ D. (1,)+∞ 3.（B ）函数x e f(x)=x 的单调增区间是（ ） A. (,0)-∞ B. (,1)-∞ C. (1,1),- D. (1,)+∞ 4.（A ）函数y=x x ln 21 -的单调减区间为 . 5.（A ）函数f (x )=1 3 x 3－x 2-3x+1的单调增区间为 减区间为 . 6.（B ）求证：当x<2时32 x 6x 12x 17-+-<. 7.（C ）确定函数f (x )=a x (a 0)x + >在(0，+∞)上的单调区间. 五、小结： 六、：巩固提升： 1.（A ）关于函数762)(2 3+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A.在区间)0,(-∞内，f(x)为增函数 B.在区间（0，2）内，f(x)为减函数 C.在区间),2(+∞内，f(x)为增函数 D.在区间),2()0,(∞+-∞ 内，f(x)为增函数 2.（A ）函数y=xlnx 的单调减区间是（ ） A.?? ? ??∞+,1e B.?? ? ??∞-e 1, C.?? ? ? ?e 1, D.()∞+,e 3.（B ）设)('x f 是函数f(x)的导数，y f '(x)=的图象 如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能是（ ） 4．（B ）函数f(x)的导函数)('x f y =的图象如下图， 则函数f(x)的单调递增区间为 5.（B ）函数f (x )=4 x x + 的增区间为 ； 减区间为 . 6.（C ）证明不等式：x e x 1≥+ 《函数的单调性与导数》-教学设计 《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习，我倡导“主动参与，乐于探究，交流合作与联系实际”的教学理念，借助多媒体的简洁性、直观性和交互性，注重与现实生活的紧密性，充分调动每位学生的学习热情，建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 （一）教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. （二）教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识，具有了较强的分析问题、解决问题的能力. （三）教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点，我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学，多媒体教学具有信息量大、直 观性强的特点，能提高教学效率,取得更好的教学效果，因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标： （一）知识与技能 1．探索函数的单调性与导数的关系； 2．会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间； 3．探索三次函数的单调性与系数之间的关系. （二）过程与方法 1．通过对函数单调性与导数关系的探究，让学生经历从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的认知过程； 2．培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力，领会由特殊到一般，一般到特殊的数学方法，渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1．通过创设情境，激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度； 2．通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结，培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系，学生的认知困难主要体现在： 1.3.1利用导数判断函数的单调性 -----主备人：韩甜甜 【课前预习案】 阅读教材24--25页，填写知识点. 1.知识回顾：怎样判断函数的单调性？ ⑴、__________ ⑵、___________ 思考：判断函数2x y =的单调性，画出图象，思考其导数和单调性的关系. 2. 设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，（1）如果_________,则)(x f 为增函数；如果_________,则)(x f 为_________.（2）如果)(x f 在),(b a 上单调递增，则_________；)(x f 单调递减，则_________。 【课内探究案】 【教学目标】1、解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系； 2、会利用导数求函数的单调区间，利用导数画出函数的大致图像。 【教学重点】 利用导数求单调区间 【教学难点】导数与单调性的关系，含参数问题和证明。 探究一 应用导数求已知函数的单调区间： 例1、求下列函数的单调区间： （1）x x x f 3)(3-= ；（2）3)(x x f = ； （3）x x x f 1)(- = ；（4）x y e x =- 跟踪练习： 1．函数x x y 1+=的单调递减区间为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-∞-，()+∞,1 C ．()()1,00,1 - D ．()()1,0,0,1- 2.求函数ln y x x =的单调区间. 探究二 利用导数求参数范围： 例2.已知函数332y x mx x =-++在R 上单调递增，求实数m 的取值范围. 跟踪练习： 1. 已知函数),0()(2R a x x a x x f ∈≠+ =，若函数)(x f 在),2[+∞∈x 上是单调递增的，求a 的取值范围. 归纳总结. 1．导数法判定单调性的步骤： （1）求定义域；（2）求导数；（3）()()00'<>x f ，则()x f 为增（减）函数； 2．已知函数单调区间求参数范围； 3．注意：()0'>x f 则()x f 为增函数的充分不必要条件； 1.3.1函数的单调性与导数（一） 一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 （一）复习引入 1．增函数、减函数的定义 一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数． 2．函数的单调性 如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间． 在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性． 解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形 当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号 ∴y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减．判断 当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)， ∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。 能否利用导数的符号来判断函数单调性？ 一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导， 如果f (x )'＞0，则f (x )为增函数； 如果f (x )'＜0，则f (x )为减函数． 例2．教材P24面的例1。 例3．确定函数f(x)＝x 2 －2x ＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解： f(x)'＝2x －2． 令2x －2＞0，解得x ＞1． 因此，当x ∈(1, +∞)时，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1． 因此，当x ∈(－∞, 1)时，f (x )是减函数． 例4．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解：f (x )'＝6x 2 －12x ． 令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2． 因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数， 当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． 因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间． 练习1：教材P24面的例2 利用导数的符号来判断函数单调性: 设函数y ＝f (x )在某个区间内可导 (1)如果f '(x )＞0 ，则f (x )为严格增函数； (2)如果f '(x )＜0 ，则f (x )为严格减函数． 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？ 若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的充分而非必要条件． 例如 f (x )＝x 3 ，当x =0，f '(x )=0，x ≠0时，f '(x )>0，函数 f (x )＝x 3 在(－∞,＋ ∞)上是增函数． （2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？ 若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为常数函数．用导数判断函数的单调性
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