2016高考一轮之解三角形专题复习
解三角形专题复习
【要点精讲】
1．直角三角形中各元素间的关系：
（1）三边之间的关系：____________________ （2）锐角之间的关系：____________________ （3）边角之间的关系：____________________ 2．斜三角形中各元素间的关系：
（1）三角形内角和：_________________ （2）正弦定理：________________________ （3）余弦定理：___________________________ 3．三角形的面积公式：
（1）△＝
21ah a ＝21bh b ＝21
ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2
1
ac sin B ；
4．三角形中的三角变换
因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－
tanC 。2
sin 2cos ,2cos 2sin
C B A C B A =+=+； 【典例解析】
题型1：正、余弦定理
例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ．
变式训练1：(1)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）
A ．
14 B ．34 C ．24 D ．23
（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.0
20,45,80b A C === B.0
30,28,60
a c B === C.0
14,16,45a b A ===
D. 0
12,15,120
a c A ===（3）已知ABC ?中，3AB =、37BC =、4AC =，求ABC ?中的最大角。
（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ． （5）在△ABC 中，已知b ＝503，c ＝150，B ＝30°，则边长a ＝________.
题型2：三角形面积 例2在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，求△ABC 面积.
例3.已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1
sin 6
C ，求角C 的大小．
变式训练 在锐角△ABC 中，2a sinB=3b, (1)求A 的大小
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积
题型3：正、余弦定理判断三角形形状
例4．（1）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
（2）在ABC ?中，已知三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则ABC ?（ ） A:锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 变式练习
1.已知在△ABC 中acosA=bcosB,判断其形状
2.在△ABC 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．
3.在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状
2016正弦定理和余弦定理真题精选
1、（2016年全国III 高考）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A = （A ）
31010 （B ）1010 （C ）1010- （D ）310
10
- 2、（2016年天津高考）在△ABC 中，若=13AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC = （ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
3、（2016年上海高考）已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________
4、（2016年全国II 高考）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4
cos 5
A =
，5
cos 13
C =
，1a =，则b = ． 5、（2016年北京高考） 在?ABC 中，2
2
2
2+=+a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；
（2）求2cos cos A C + 的最大值.
6、（2016年山东高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
tan tan 2(tan tan ).cos cos A B
A B B A
+=
+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.
7、（2016年四川高考）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C
a b c
+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若2
2
2
6
5
b c a bc +-=，求tan B .
8、（2016年全国I 高考）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ；
（II ）若7,c ABC △=的面积为33
2
，求ABC △的周长．
9、（2016年浙江高考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.
（I ）证明：A =2B ；
（II ）若△ABC 的面积2
=4
a S ，求角A 的大小.
4、C 1
5、A 1
6、
733 17、2113
18、⑴∵2222a c b ac +=+∴2222a c b ac +-=
∴22222
cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===
∴π4B ∠= ⑵∵πA B C ++=∴3
π4
A C +=
∴2cos cos A C +222cos (cos )sin 22A A A =+-+22
cos sin 22
A A =+πsin()4A =+
∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴π
sin()4
A +最大值为1 上式最大值为1
19、(Ⅰ)由cosA tanB +cosB tanA =
tanB)+2(tanA 得 cosAcosB
sinB
cosAcosB sinA cosAcosB sinC 2+=?，
所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+． （
Ⅱ
）
由
ab c ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos 21
12312
23123222=-=-+≥-=)(b a c ab c ．
所以C cos 的最小值为
2
1． 20、（I ）证明：由正弦定理
sin sin sin a b c A B C ==可知原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B C
A B C
+== ∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠
则，两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B +=
由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-=原式得证。
（II ）由题222
65b c a bc +-=,根据余弦定理可知，2223cos 25
b c a A bc +-=
= ∵A 为为三角形内角，()0,A π∈，sin 0A > 则2
34
sin 155A ??=-= ???
，即cos 3sin 4A A = 由（I ）可知
cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C +==，∴cos 11
sin tan 4B B B == ∴tan 4B = 21、(1)()2cos cos cos C a B b A c +=
由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C
?+?=
()2c o s s i n s i n
C A B C ?
+=
∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1
cos 2
C = ∵()0πC ∈，∴π3
C =
⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-? 221
722
a b ab =+-?
()
2
37
a b ab +-=
1333sin 242
S ab C ab =
?== ∴6ab = ∴()2
187a b +-=
5a b += ∴ABC △周长为57a b c ++=+
22.
（II ）由24a S =得2
1sin C 24
a a
b =，故有1sin sin C sin 2sin cos 2B =B =B B ，
因sin 0B ≠，得sin C cos =B ．又B ，()C 0,π∈，所以C 2
π
=±B ．
当C 2
π
B +=时，2
π
A =
；当C 2
π
-B =
时，4
π
A =
．综上，2
π
A =
或4
π
A =
．
高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）．
解三角形高考真题汇总
2017高考真题解三角形汇编 1.（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37 a . （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积. 2．（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 3．（2017全国卷1文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =B A ．π 12 B ．π6 C ．π4 D ．π3 4.（2016全国卷2理科）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知 2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 5.（2017全国卷2文科16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 6．（2017全国卷3理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a b =2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积． 7．（2017全国卷3文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知 C =60°，b c =3，则A =_________。 8.（2017山东高考题理科）在C ?AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 C ?AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，
专题21 解三角形(知识梳理)(新高考地区专用)(原卷版)
专题21 解三角形（知识梳理） 一、知识点 1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===。 (其中R 为ABC ?的外接圆的半径) 正弦定理的变形公式：①A R a sin 2?=，B R b sin 2?=，C R c sin 2?=； ②R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin =； ③C B A c b a sin :sin :sin ::=； ④C c B b A a C B A c b a sin sin sin sin sin sin ===++++； 2、三角形面积定理：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21?=?=?= ?； r c b a S ABC )(2 121++=?=?高底； (其中r 为ABC ?的内切圆的半径) 3、余弦定理：A bc c b a cos 22 22?-+=?bc a c b A 2cos 2 22-+=； B ac c a b cos 22 22?-+=?ac b c a B 2cos 2 22-+=； C ab b a c cos 22 22?-+=?ab c b a C 2cos 2 22-+=； 4、射影定理：B c C b a cos cos ?+?=，A c C a b cos cos ?+?=，A b B a c cos cos ?+?= 5、设a 、b 、c 是ABC ?的角A 、B 、C 的对边，则：①若222c b a =+，则 90=C ； ②若222c b a >+，则 90
三角函数与解三角形专题训练
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式： 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式： 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式： si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式：① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R，证明：sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ，求cos( )的值. 2 ?若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 ， sin() 2，求芽的值.
3 5 6
1 2?若sin2 2，求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型：①知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等 ② 知两个条件，求某个特定元素或范围； ③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形： b c a a c cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系：在 △ ABC 中, ②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）. 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程：① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .
2016年高考数学理试题分类汇编：三角函数、解三角形
2016年高考数学理试题分类汇编 三角函数、解三角形 一、选择题 1、（2016年北京高考）将函数sin(2)3y x π =- 图象上的点(,)4 P t π 向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ A ） A.12t = ，s 的最小值为6π B.t = ，s 的最小值为6π C.12t = ，s 的最小值为3π D.t =，s 的最小值为3 π 2、（2016年山东高考）函数f （x ）=x +cos x cos x –sin x ）的最小正周期是（ B ） （A ） 2 π （B ）π （C ） 2 3π （D ）2π 3、（2016年四川高考）为了得到函数πsin(2)3 y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ D ） （A ）向左平行移动 π3个单位长度 （B ）向右平行移动π 3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π 6 个单位长度 4、（2016年天津高考）在△ABC 中，若AB ，120C ∠=o ,则AC = （ A ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5、（2016年全国I 高考）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ， ω?ω?=>≤=-为()f x 的零点，π 4 x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π ()1836 ，单调，则ω的最大值为（ B ） （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 6、（2016年全国II 高考）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12 π 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ B ） （A ）()26k x k Z ππ= -∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ= -∈ （D ）()212 k x k Z ππ=+∈ 7、（2016年全国III 高考）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ A ）
高考解三角形专题(一)及答案
解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（ ） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中，内角为钝角， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（ ）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列， 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为 ． 9.在 中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小； （2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab