2011数学建模
城市表层土壤重金属污染
分析模型与研究方案
小组成员：10级金融学院8班
10级金融学院8班
10级会计学院12班
城市表层土壤重金属污染分析的模型与研究方案
摘要
本文针对城市表层土壤重金属污染问题求出重金属元素在该城区的空间分布，建立重金属污染分析评价模型，并作出了相应的研究方案。
问题一，利用Matlab作图做出重金属污染物在该城区不同功能区含量的空间分布，及重金属元素在各个功能区的总体分布图，接着采用单因子污染指数法和综合污染指数法来评价城区土壤重金属污染程度分析出不同重金属元素的污染程度，得出以下结论：生活区是中度污染，工业区是中度污染，山区是警戒线，主干道路区是重度污染，公园绿地区是轻度污染；重金属元素主要分布在地势较低的主干道路区、生活区、工业区。
问题二，利用主成分分析法将8种主要重金属元素在问题一中受污染严重的工业区、主干道路区、生活区这三个区分别进行提取。分析得主干道路区提取出Pb、 Cd，生活区提取出Cr、 Zn 、Ni，工业区提取出来Ni,同时结合各主要重金属元素的相关系数大小，得出重金属污染的主要原因是由工业、生活、交通这三个方面所引起的。
问题三，通过观察每种超标的重金属与工业区、主干道路区、生活区之间的关系的分布图，我们可以判断重金属浓度与所在地理位置的大致关系，然后我们利用Matlab 对他们的浓度与地理位置进行拟合，得出重金属浓度与地理位置的具体关系，根据他们之间的数值关系，我们可以判断出污染源的大致位置及污染源的数目．
问题四，通过增加地质构造、岩性、海拔高度、地形坡度、植被覆盖类型及覆盖率、土壤类型、水资源、地质灾害、人类活动影响及环境质量这10个评价因子，并根据此10个评价因子构建了生态地质环境脆弱性评价指标体系，然后运用熵权模糊数学综合评判的方法，对该城市生态地质环境脆弱性及脆弱性分区进行评价。
关键词：重金属元素因子分析单因子污染指数内梅罗综合指数法数值拟合熵权模糊数学
一、问题重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8
种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二、引言
土壤重金属污染是指由于人类活动将重金属带入土壤中，致使土壤中重金属含量明显高于其自然背景含量，并造成生态破坏和环境质量恶化的现象。由于土壤重金属污染具有多源性、隐蔽性和一定程度上的长距离传输性以及污染后果的严重性，故有人形象地将土壤污染称之为“化学定时炸弹”。
随着工业化、城市化的发展，土壤环境污染问题越来越突出。土壤中重金属不仅对植物的生长造成影响，还通过食物链危害人类健康。受重金属污染的土壤进入到大气和水体中，还会造成大气污染和水污染等环境问题。对土壤中的重金属污染进行分析和评价，目前已有很多报道，因此，土壤重金属污染以及与其相关的评价研究越来越引起人们的关注。同时，近几年，国内外学者针对不同地区已进行了很多土壤环境调查及质量评价方面的研究工作，以土壤重金属元素为例，其主要研究方法为：有针对性地对某城市采取土壤样品，并分析采样点土壤的污染物含量，在此基础上，从多个方面进行土壤重金属污染程度评价，并分析可能的污染源。
三、模型的假设
（一）假设所给的采样点的数据的可靠精确的
（二）污染源的重金属浓度不再增加
四、符号说明
X表示平均值；
S表示标准偏差；
X+2S表示污染起始值值；
P i表示土壤中污染物i的污染指数；
C i表示金属污染物i的实测值平均值；
S i表示污染物i的评价标准，即是污染起始值；
p
i表示污染物i的单因子污染指数；
p
i max表示最严重污染物的单因子指数；
P表示综合污染指数；
A表示各个脆弱性等级的区间边界
五、问题一、二的分析与模型的建立
5.1 问题一的分析与求解
5.1.1 重金属元素在不同区域的空间分布
利用Matlab软件，在原有该城区的地形数据上做出以下该城区的地形图：
根据原有的附录数据，利用Matlab软件做出砷、镉、铬、铜、汞、镍、铅及锌八种重金属元素在该城区的不同区域的分布图，分别如下图所示：
砷（As）元素在不同功能区的含量显示图（1）
注：图（1）中，右边的竖直彩条从下到上表示砷（As）的浓度由高到低，以下镉（Cd）、铬（Cr）、铜（Cu）、汞（Hg）、镍（Ni）、铅（Pb）和锌（Zn）在不同功能区的含量显示图类似，见附录一
利用Matlab软件做出该城区内生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区的分布结构如下图（9）：
x 104
4
图（9）注释：
区域生活区工业区山区主干道路区公园绿地区符号* . o + p
综上可知，八种主要重金属元素在地势较低的主干道路区、工业区及生活区含量都很高，分布较集中。
5.1.2 某城市不同功能区重金属含量统计值
某城市土壤重金属含量统计表，如下表（1）所示：
功能区项
目
砷
(As)
镉(Cd) 铬(Cr) 铜(Cu) 汞(Hg)
镍
(Ni)
铅(Pb) 锌(Zn)
生活区全
距
2.34-
11.45
86.80-1
044.50
18.46-
744.46
9.73-2
48.85
12.00-5
50.00
8.89-
32.80
24.43-
472.48
43.37-
2893.4
7
平
均
值
6.27 289.96 69.02 49.4 93.04 18.34 69.11 23
7.01
标
准
差
2.15 18
3.68 107.89 47.16 102.9 5.66 72.32 443.64
工业区全
距
1.61-
21.87
114.50-
1092.90
15.40-
285.58
12.70-
2528.4
8
11.79-1
3500.00
4.27-
41.70
31.24-
434.80
56.33-
1626.0
2
平
均
值
7.24 393.11 53.41 127.54 642.36 19.81 93.04 277.93 标
准
差
4.24 237.57 44 414.94 2244.07 8.37 8
5.37 350.83
山区全
距
1.77-
10.99
40.00-4
07.60
16.20-
173.34
2.29-6
9.06
9.64-20
6.79
5.51-
74.03
19.68-
113.84
32.86-
229.80 平
均
值
4.04 152.32 38.96 17.32 40.96 1
5.45 3
6.56 73.29 标
准
差
1.8 78.38 24.59 10.73 27.85 10.43 17.73 30.94
主干道路区
全
距
1.61-
30.13
50.10-1
619.80
15.32-
920.84
12.34-
1364.8
5
8.57-16
000.00
6.19-
142.5
22.01-
181.48
40.92-
3760.8
2 平
均
值
5.71 360.01 58.05 62.21 44
6.82 1
7.62 63.53 242.85
标
准
差
3.04 239.24 75.43 111.52 2010.56 11.79 32.53 38
4.78
公
园
绿
地区全
距
2.77-
11.68
97.20-1
024.90
16.31-
96.28
9.04-1
43.31
10.00-1
339.29
7.60-
29.10
26.89-
227.40
37.14-
1389.3
9
平
均
值
6.26 280.54 43.64 30.19 114.99 15.29 60.71 154.24
标
准
差
2.02 235.84 14.84 22.68 224.28 4.97 45.84 230.92
主要重金属元素的背景值，如下表（2）所示：
元素平均值（X）标准偏差（S）污染起始值（X+2S）
As (μg/g) 3.6 0.9 5.4
Cd (ng/g) 130 30 190
Cr (μg/g) 31 9 49
Cu (μg/g) 13.2 3.6 20.4
Hg (ng/g) 35 8 51
Ni (μg/g) 12.3 3.8 19.9
Pb (μg/g) 31 6 43
Zn (μg/g) 69 14 97 不同功能区土壤中重金属元素的密度平均值，如下表（3）所示：
功能区项目
砷
(As)
镉
(Cd)
铬
(Cr)
铜
(Cu)
汞
(Hg)
镍
(Ni)
铅
(Pb)
锌
(Zn)
生活区平均
值
6.27
289.9
6
69.02 49.4 93.04 18.34 69.11
237.0
1
工业区平均
值
7.24
393.1
1
53.41
127.5
4
642.3
6
19.81 93.04
277.9
3
山区平均
值
4.04
152.3
2
38.96 17.32 40.96 15.45 36.56 73.29
主干道路
区平均
值
5.71
360.0
1
58.05 62.21
446.8
2
17.62 63.53
242.8
5
公园绿地
区平均
值
6.26
280.5
4
43.64 30.19
114.9
9
15.29 60.71
154.2
4
由表（3）得出以下直方图（ⅰ）：
图（ⅰ）
从图（ⅰ）可知：
砷（As ）含量顺序是工业区>生活区>主干道路区>公园绿地区>山区； 镉（Cd ）含量顺序是工业区>生活区>主干道路区>公园绿地区>山区； 铬（Cr ）含量顺序是生活区>主干道路区>工业区>公园绿地区>山区； 铜（Cu ）含量顺序是工业区>主干道路区>生活区>公园绿地区>山区； 汞（Hg ）含量顺序是工业区>主干道路区>公园绿地区>生活区>山区； 镍（Ni ）含量顺序是工业区>生活区>主干道路区>山区>公园绿地区； 铅（Pb ）含量顺序是工业区>生活区>主干道路区>公园绿地区>山区； 锌（Zn ）含量顺序是工业区>主干道路区>生活区>公园绿地区>山区 5.1.3 该城区内不同区域重金属的污染程度 （1）土壤重金属污染程度评价方法
本文采用单因子污染指数法和综合污染指数法来评价该城区土壤重金属污染程度，污染程度等级用污染指数来表示。
单因子污染指数法公式如下:
S C P i
i
i
/=
综合污染指数采用内梅罗综合指数法：P=
()()2
max 2
2
p p i i ave +
根据以上单因子污染指数和综合污染指数的计算方法得出以下表格，分析出各个功
能区的污染程度及重金属含量的高低。
土壤污染评价等级如下表Ⅰ：
经过计算可的五个区的八种重金属元素的单因子污染指数如下表Ⅱ：
元素生活区工业区山区主干道路公园绿地区As (μg/g) 1.16 1.34 0.75 1.06 1.16 Cd (ng/g) 1.53 2.07 0.80 1.89 1.48 Cr (μg/g) 1.41 1.09 0.80 1.18 0.89 Cu (μg/g) 2.42 6.25 0.85 3.05 1.48 Hg (ng/g) 1.82 12.60 0.80 8.76 2.25 Ni (μg/g) 0.92 1.00 0.78 0.89 0.77 Pb (μg/g) 1.61 2.16 0.85 1.48 1.41 Zn (μg/g) 2.44 2.87 0.76 2.50 1.59
五个区的重金属综合污染指数（P）如下表Ⅲ：
功能区生活区工业区山区主干道路区公园绿地区P 2.09 9.28 0.82 6.46 1.87
（2）综合评价
将各区单因子污染指数与土壤污染分级标准对比可得到如下结果：
生活区：Ni属于警戒级As，Cd，Cr，Hg，Pb都属于轻度污染，Cu，Zn属于中度污染。
工业区：Ni属于警戒级；As，Cr属于轻度污染；Cd，Pb，Zn属于中度污染，Cu，Hg属于严重超标，属于重度污染。
山区：As，Cd，Cr，Cu，Hg，Ni，Pb，Zn均处于警戒级。
主干道路区：Ni属于警戒级，As，Cd，Cr ，Pb，属于轻度污染，Zn属于中度污染，Cu，Hg严重超标，属于重度污染。
公园绿地区：Cr，Ni属于警戒级，As，Cd，Cu，Pb，Zn，属于轻度污染，Hg属于中度污染。
从综合分析指数分析可得到不同区的污染程度如下表Ⅳ：
功能区生活区工业区山区主干道路区公园绿地区
污染程度中度污染重度污染警戒线重度污染轻度污染
5.2 问题二的分析与求解
土壤中重金属元素主要有自然来源和人为干扰输入两种途径。在自然因素中，成土母质和成土过程对土壤重金属含量的影响很大，在各种人为因素中，则主要包括工业、
生活和交通等来源引起的土壤重金属污染。
5 .2.1 利用因子分析各种金属元素
表A个金属元素的相关矩阵
由相关矩阵可看出Cr和Ni的相关性最好，是0.716，其次是Cd和Pb，相关系数是0.660，Cu和Cr，Pb和Cu相关系数较好分别为0.532，0.520;Ni和Cu，Zn和Pb的的相关系数分别为0.495；0.494.，其他的相关性不太好，从成因上分析，相关性好的元素可能在成因和来源上有一定的关联。
在累积方差＞90%的前提下分析得到五个主因子.从表B 可知旋转后主因子1和主
因子2的方差贡献率均在20%左右，主因子3到主因子方差贡献率在12.549～13.068之间，这可解释为因子1和因子2可能为该城市土壤重金属污染的最重要污染源。其他四个因子对该城市重金属污染有重要影响，由旋转成分矩阵可知因子1为Cr、Ni、Cu，因子2为Cd和Pb，因子3为Hg，因子4为As，因子5为Zn。Cr、Ni和Cu，Cd和Pb，可能是同一来源，并且这两组元素的相关性最好。
5.2.2 土壤重金属污染的主要原因分析
通过刚才对主要重金属元素的数据分析可知某些重金属类污染元素异常与主干道路区、工业和生活区等在空间分布上往往具有很好的对应性，并且它们地处的位置比较低容易使重金属离子在降雨、降雪和自身所载水分的作用下被淋融下来，进入土壤后造成土壤的重金属污染，因此可以初步判定人为干扰是这类异常的主要成因。
下面再借助第一问中各功能区的各重金属元素含量顺序的前提下就对造成土壤重金属污染的主要原因进行分析：
（1）由于Cr的主要来源是电镀、燃料、制药、皮革、颜料等铬化合物制造企业中排放的废物，有报道南京某合金厂周围土壤中的Cr大大超过土壤背景值，Cr污染以工厂烟囱为中心，范围达到1.5 km2。Ni的主要来源是工业污染和矿山开采，因此可以推测重金属Cr的主要来源是工业污染。
（2）由于化工生产、金属制造等多种工业原料中都含有Pb、Cd，释放后进入土壤，煤与原油中也含有Cd,在燃烧过程中释放到大气中，而汽车尾气是城市中Pb的主要来源之一，FAKAYODE和OWOLABI研究了尼日利亚不同交通密度公路边表层土壤中Pb、Cd的分布，结果表明，重金属含量在车流密度大的公路两侧土壤中要高于车流密度小的公路两侧土壤，且随着距公路距离的增大，重金属含量快速降低，到距公路50 m左右的地方，重金属含量基本降低到背景值水平。因此可以推测重金属Pb、Cd的主要来源是工业污染、交通污染和生活污染。
（3）由于化工产业等排放的未经处理或处理不彻底的废水中含有Hg元素，而各
种化妆品厂排放的工业废水中也含有大量的Hg，因此可以推测重金属Hg的主要来源是工业污染。
（4）由于土壤中As的来源可以分为自然源和人为源，前者主要是地质岩石中的As；后者主要来自农药、化肥和矿山冶炼，MESHALIKNA等研究了俄罗斯一硫酸生产厂周围土壤中元素的污染及其空间变异后发现，在距烟囱1～2 km外的土壤中仍能监测到高含量的S、V和As。因此可以推测重金属As的主要来源是工业污染，
（5）由于汽车尾气与生活垃圾中中含有大量的铜，Вериня等研究发现在公路两侧50m的距离有被污染的痕迹，每月每平方米累积的易溶性污染物在4～40 g。进入环境的强度顺序为：Cu、Pb、Co、Fe和Zn。对武汉市垃圾堆放场，杭州铬渣堆放区附近土壤中重金属含量的研究发现，这些区域土壤中Cd、Hg、Cr、Cu、Zn、Pb、As等重金属含量均高于当地土壤背景值。因此可以推断重金属Cu的主要污染来源是交通污染与生活污染。
（6）由于Zn是汽油添加剂的成分之一，汽车部件的电镀材料，润滑剂以及轮胎等均不同程度都含有Zn，而机动车辆排放的废气以及车辆构造磨损物都会释放出Zn, 另外工业制造也会产生大量的Zn,例如沈阳冶炼厂冶炼Zn 的过程中产生的矿渣主要含Zn 和Cd，1971年开始堆放在一个洼地场所，其浸入液中Zn、Cd含量分别达6.6×103 mg·L-1和7.5×103 mg·L-1，目前已扩散到离堆放场700 m以外的范围，重金属污染物质量浓度是以同心圆状分布因此可以推测重金属Zn地主要来源是交通污染和工业污染。
综合上述结论可得：该城区重金属污染的主要原因是工业区中废物的排放、原料的使用、生产的产品等多种方面都含有重金属元素，汽车尾气的排放、车辆构造的磨损物等也会释放重金属元素；生活区中密集的人口对煤炭的大量燃烧、废水的不当处理也会产生重金属元素。即工业，交通，密集的人口活动是重金属污染的主要原因。
六、重金属污染物污染源分析模型
6.1 问题分析与模型的建立
6.1.1问题分析
若要了解污染源的传播特征并确定污染源的位置，必须要知道该区域受什么污染以及污染情况．由前两问的分析，我们可知每个区域的污染情况及造成污染的原因即这8种重金属对山区、公园绿地区的影响相对较小，因此我们不考虑他们对其污染程度的影响．故在研究重金属传播的问题中我们只需研究工业区、主干道路区和生活区对这8种重金属浓度的影响．首先，我们利用Excel将各种重金属的排序，并将得到的值与其相对应的背景值作比较，舍去小于背景值的值，保留余下的超标的值，然后我们用Matlab作图，得出每种超标的重金属与工业区、主干道路区、生活区之间的关系的分布图，通过观察图像，我们可以判断重金属浓度与所在地理位置的大致关系，然后我们利用Matlab对他们的浓度与地理位置进行拟合，得出重金属浓度与地理位置的具体关系，根据他们之间的数值关系，我们可以判断出污染源的大致位置及污染源的数目。
6.1.2模型建立
在该问题中，我们对同一种金属在城区中的分布，首先找出该金属在城区内浓度最
高点，然后以r 为5公里做圆，并统计出该圆内实际测量点的个数M ，并用N 表示实际测量点的值小于背景值的点的个数，用H=(M-N)/M 表示污染源指数。当H 大于0.6时，我们认为该区域内存在污染源；否则，该区域内无污染源。过程中采用局部最优值法。然后利用题中在该区域的实际测量值拟合二次曲线，并由此求的污染源的坐标。 如：在考虑的空间范围内，取一点()i i y x ,，i g 表示这种金属在()i i y x ,处的采样浓度。那么建立函数式
()()[]
∑=-+-=m
i i i i y y x x g M 12
2
当M 在可用区域内取最大值时，()y x ,就是这种金属在这一区域的污染源。
考虑第一种重金属元素As ，我们要求其污染源，则由常识可知，污染源处重金属的离子浓度一定大于题中给出的背景值．因此，我们可以利用Excel 筛选出所有大于背景值的点，将小于背景值的点舍弃即全部赋值为零；然后，我们利用Excel 在余下的具有参考价值的点中筛选出浓度最高的点，以此点为参考值，其坐标记为m(x,y),然后选取距该点距离为5公里的范围内的任意一点，记为n(x i ,y i )，求解在这范围内使得m 点与任意一点n 距离与浓度的乘积的取得最大值的那一点，则这个极大值点即为我们所找到的污染源；然后将这个极大值点和它所包含的范围内的所有点舍弃即赋值为零，在余下的所有点中继续利用上述方法寻找污染源，则所找的的极大值点的个数即为产生As 这种重金属的污染源的数目，而这些极大值点的位置即为污染源所在的位置(详细编程见附录)结合第一问的图像分析，结果如下：
在该城市中As 的污染源有三个，其坐标分别为：
（5695.8，6302.2）、（3426.9，1700.1）、（7371.6，1250.5）； 同理可得在该城市中Cd 的污染源有八个，其坐标分别为： （5697.8，6202.2）、（3426.9，1700.1）、（7371.6，1250.5）、（4663.8，4822.5）、（8656.6，9784.9）、（10395，3141）、（10562，15901）、（16465，17658）； 在该城市中Cr 的污染源有六个，其坐标分别为：
（4663.8，4822.5）、（8656.6，9784.9）、（10395，3141）、 （10562，15901）、（16465，17658）、（4449.5，5037.2）； 在该城市中Cu 的污染源有六个，其坐标分别为：
（3127.9，4093.2）、（9922.5，8128.6）、（5871.6，6972.9）、 （11401，15370）、（15210，12642）、（9435.1，1740.7）； 在该城市中Hg 的污染源有六个，其坐标分别为：
（2817.7，2822.8）、（1336.7，2692）、（15122，9352）、 （7032.2，7883.5）、（9374，13158）、（22543，10501）； 在该城市中Ni 的污染源有四个，其坐标分别为：
（4747.5，5039.7）、（10405，15020）、（15596，3043）、（18364，7000）； 在该城市中Pb 的污染源有八个，其坐标分别为：
（5092.8，4491.3）、（13910，11005）、（8461，10256）、（12525，3190）、 （14022，17564）、（22963，12987）、（9213，15917）、（13535，6505）； 在该城市中Cu 的污染源有六个，其坐标分别为：
（13626，9573）、（9424.1，4429.5）、（3895.3，4766.0）、
（8339，10210）、（10627，15485）、（5584.1，753.6）；（以上坐标的单位为米）
七、模型评价及改进方向
7.1 模型的优缺点：
优点：
（一）用MATLAB处理数据，降低了计算量，简单可操作性大。
（二）单因子评价通过计算所监测的各个单因子污染指数可以判定环境究竟受到那种污染物的影响。
（三）因子分析简化系统结构，通过旋转使得因子变量更具有可解释性，命名清晰性高。
缺点:
（一）在计算因子得分时，采用的是最小二乘法，此法有时可能会失效。
（二）在实际操作中未考虑污染因素对所建模型的影响。
7.2 研究城市地质环境演变模式
为更好的研究该城市地质环境的演变模式仍需以下6个信息：
（1）从地球系统科学、环境地质学的角度讨论了生态地质环境研究的兴起以及主要研究内容，界定了生态地质环境的内涵。从地质构造、气候、水资源、植被与土地资源、社会经济子系统等方面分析了该城市生态地质环境系统特征。
（2）研究了生态地质环境的影响、演化过程及环境效应。
（3）重点研究了近现代该城市生态地质环境面临的主要问题。
（4）从演化动力、演化过程及环境效应等方面探讨该城市生态地质环境演化机制。地质构造运动一气候变化一人类活动影响是生态地质环境演变的主要驱动力。
（5）界定了生态地质环境的“脆弱性”及“脆弱性评价”的内涵，存在固有的脆弱性评价指标，并以地质构造、岩性、海拔高度、地形坡度、植被覆盖类型及覆盖率、土壤类型、水资源、地质灾害、人类活动影响及环境质量等10个评价因子构建了生态地质环境脆弱性评价指标体系，运用熵权模糊数学综合评判的方法，进行该城市生态地质环境脆弱性及脆弱性分区评价。
（6）利用野外调查、文献综述、模型分析以及历史对比等方法探讨了未来50年该城市生态地质环境演化趋势。
7.2.1 熵权模糊综合评价模型的建立基本的步骤
第一步建立生态地质脆弱性评价指标论域U，，U={u
1, u
2
, u
3
, u
4
, u
5,
u6,u7 , u8,
u9, u10 }。u
1~ u
10
分别对应地质构造、岩性、海拔高度、地形坡度、植被覆盖类型及
覆盖率、土壤类型、水资源、地质灾害、人类活动影响、环境质量这10个评价因子。
第二步建立脆弱性等级论域V，V={v
1, v
2
, v
3
, v
4
, v
5
}。v
1~
v
5
分别对应低、较低、
中、较高、高五个脆弱性等级。
第三步在评价指标U和脆弱性等级V之间建立模糊隶属度矩阵R。
第四步构造各因子对地质环境脆弱性指标的权重矩阵W。
对应的脆弱性等级作为最终的评价结第五步进行综合评价结果集矩阵B,把maxb
j
果。
7.2.2 权模型具体建立过程
（1）计算隶属度矩阵R。
地质环境的脆弱性大小是相对的,没有明显的界限,是典型的模糊集概念,因此可以用模糊集理论来描述评价指标连续变化这一问题。偏离越大，则相对隶属度越低，因此得到其相对隶属度函数：
（2）对隶属度矩阵R进行归一化处理，得到矩阵B；
使用归一化公式：
（3）确定评价指标的熵值。
按照熵的定义, m 个评价对象n 个评价指标,确定评价指标的熵值，使用如下公式：
其中F矩阵使用如下公式计算：
这里为了使取自然对数运算始终有意义，故使用加1校正中的数据
（4）利用值计算评价指标的熵权。
使用下述公式计算熵权：
其中熵权满足sum(W)=1.
（5）计算评价指标的综合权重
利用AHP方法计算各评价指标的主观权重。
设主观权重为
使用如下公式计算评价指标的综合权重
由此可计算每年的综合风险评价指标：
式中为模糊合成算子，这里选用取加权平均型算子M (·,⊕) 进行综合评价：
并选取max(M)所对应的评语为最终评价指标。
八、参考文献
[1] 王起超，沈文国，麻壮伟︱中国燃煤汞排放量估算︱中国环境科学1999，19(4):318-321︱︱
[2] FALAHI-ARDAKANI A. Contamination of environment with heavymetals emitted from automotives. Ecotoxicology andEnvironmental Safety, 1984, 8: 152-161.
[3] 菲尔汉?汉杰尔，潘丽英，陈勇，等︱汽车废气中的铅对城市土壤污染状况调查︱干旱环境检测，2002, 16(3):154-161︱︱
[4] 索有瑞，黄雅丽︱西宁地区公路两侧土壤和植物中铅含量及其评价︱环境科学，1996, 17(2): 74-77︱︱
[5] 任福民，汝宜红，许兆义，等︱北京市生活垃圾重金属元素调查及污染特性分析︱北方交通大学学报，2001, 25(4): 66-68︱︱
[6] 张辉，马东升︱城市生活垃圾向土壤释放重金属研究︱环境化学,2001, 20(1): 43-47︱︱
[7] URE A M, QUEVAUVILLER P H, MUNTSU H, et al. Speciation ofheavy metal in soils and sediments. International Journal ofEnvironmental Analytical Chemistry, 1993, 51: 135-151.
[8]乔胜英，李望城，何方，等︱漳州市城市土壤重金属含量特征及控制因素[J]︱地球化学，2005,34(6):635-64︱︱
[9]史贵涛，陈振楼，许世远，等︱上海城市公园土壤及灰尘中重金属污染特征[J] 环境科学，2007,28(2):238-242︱
九、附录
9.1 附录一
镉（Cd）元素在不同功能区的含量显示图（2）
铬（Cr）元素在不同功能区的含量分布图（3）
铜（Cu）元素在不同功能区的含量分布显示图（4）
汞（Hg）元素在不同功能区的含量分布显示图（5）
镍（Ni）元素在不同功能区的含量显示图（6）
铅（Pb）元素在不同功能区的含量显示图（7）
锌（Zn）元素在不同功能区的含量显示图（8）
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛C 题评阅要点 [说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 命题思路：企业退休职工养老金制度改革及退休推迟问题是一个热点课题。由于国情的复杂和数据的缺乏，对全国甚至一个地区的社会统筹基金进行总体规模的预测都是困难的，所以本题仅限于在现有制度下，对职工个人的基金和个人账户收支情况进行精算。本题的数学模型并不复杂，关键是学生正确理解养老金收支计算办法和题目的要求。 1 必要的假设 如下一些假设是基本的：1）假设我国在今后一个较长时间段内社会政治经济形势稳定，工资不会出现异常动荡。2）假设男女同工同酬。3）假设现有缴费及发放制度在一个充分长的时间段内不发生变化。4）假设附件2 中反映的该企业不同年龄的职工工资与企业平均工资的比例可以用来计算一个普通职工的养老保险缴费指数。5）假设只有个人账户中的储存额产生利息，而社会统筹基金账户中的储存额不产生利息。6）假设附件1中的社会平均工资为缴费工资。7）为便于计算，可以假设第i 岁参加工作、退休、死亡均是指在刚满i 周岁时，缴费年数为整数。 2问题一 虽然我国当前正处于经济快速发展期，但考虑到我国发展的战略目标是在二十一世纪中期达到中等发达国家的经济发展水平，而发达国家的工资增长率多比较低，所以应当假设我国未来的工资增长率会逐步降低。只要符合这一假设的预测方法，都可以认为是恰当的。如Logistic 模型以及其它阻滞型增长模型均可用，用这些方法得到的工资上限大约在2010年工资水平的3-4倍左右。但若假设工资以固定比例增长或线性增长、以及用线性或多项式拟合都是不恰当的，用灰色预测或指数预测也不恰当。 3 问题二 根据附件2，用加权平均方法容易求得该企业不同年龄段的职工工资与企业平均工资的比值，结果如下： 表1：该企业不同年龄段职工平均工资与企业平均工资的比值： 本题的本意是将此数据作为一个一般意义上的企业职工在不同年龄段时的缴费指数。如果学生在计算养老金支出时没有利用该数据，只考虑了一些特殊情况，如缴费指数取固定值，是不合题意的。对于60-64岁的职工的缴费指数，可以基于一些简单合理的假设进行预测。 在计算社会统筹基金账户和个人账户金额时，按年或按月缴存的两种计算方式都是可以的。 到退休时职工个人账户中的金额的计算模型如下： ∑k 退休前第k 年缴费额本息=∑k 退休前第k 年缴费工资×缴费率×k r )1( , 其中r 为银行利息。学生中可能会出现忘记计算个人账户利息或利息计算错误的情况。 因为社会统筹基金账户中的储存额不计利息，所以其中金额的计算模型如下： ∑k 退休前第k 年缴费额=∑k 退休前第k 年缴费工资×缴费率. 退休后第一个月领取的养老金=基础养老金+个人账户养老金，其中 基础养老金=（退休前一年社会平均工资+本人指数化月平均缴费工资）/2×缴费年限×1%； 个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数。 其中，
2017年中国研究生数学建模竞赛题
2017年中国研究生数学建模竞赛D题 基于监控视频的前景目标提取 视频监控是中国安防产业中最为重要的信息获取手段。随着“平安城市”建设的顺利开展，各地普遍安装监控摄像头，利用大范围监控视频的信息，应对安防等领域存在的问题。近年来，中国各省市县乡的摄像头数目呈现井喷式增长，大量企业、部门甚至实现了监控视频的全方位覆盖。如北京、上海、杭州监控摄像头分布密度约分别为71、158、130个/平方公里，摄像头数量分别达到115万、100万、40万，为我们提供了丰富、海量的监控视频信息。 目前，监控视频信息的自动处理与预测在信息科学、计算机视觉、机器学习、模式识别等多个领域中受到极大的关注。而如何有效、快速抽取出监控视频中的前景目标信息，是其中非常重要而基础的问题[1-6]。这一问题的难度在于，需要有效分离出移动前景目标的视频往往具有复杂、多变、动态的背景[7，8]。这一技术往往能够对一般的视频处理任务提供有效的辅助。以筛选与跟踪夜晚时罪犯这一应用为例：若能够预先提取视频前景目标，判断出哪些视频并未包含移动前景目标，并事先从公安人员的辨识范围中排除；而对于剩下包含了移动目标的视频，只需辨识排除了背景干扰的纯粹前景，对比度显著，肉眼更易辨识。因此，这一技术已被广泛应用于视频目标追踪，城市交通检测，长时场景监测，视频动作捕捉，视频压缩等应用中。 下面简单介绍一下视频的存储格式与基本操作方法。一个视频由很多帧的图片构成，当逐帧播放这些图片时，类似放电影形成连续动态的视频效果。从数学表达上来看，存储于计算机中的视频，可理解为一个3维数据，其中代表视频帧的长，宽，代表视频帧的帧数。视频也可等价理解为逐帧图片的集合，即，其中为一张长宽分别为 的图片。3维矩阵的每个元素（代表各帧灰度图上每个像素的明暗程度）为0到255之间的某一个值，越接近0，像素越黑暗；越接近255，像素越明亮。通常对灰度值预先进行归一化处理（即将矩阵所有元素除以255），可将其近似认为[0,1]区间的某一实数取值，从而方便数据处理。一张彩色图片由R（红），G（绿），B（蓝）三个通道信息构成，每个通道均为同样长宽的一张灰度图。由彩色图片
2011年全国大学生数学建模竞赛B题
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 韩晓峰 2. 杨晓帆 3. 李弘倩 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 11 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 在（1）第一问中，我们根据附表1所给各路口坐标算出A图中每条路线的长度，然后通过floyd算法找出了两点之间的最短路程，得出矩阵D，通过使用matlab圈出各服务平台到周围路口小于3min（即3km）的点，再根据就近原则，将各路口划分到这个圈中离此路口最近的交巡警平台。对于任意到交巡警平台路程大于3min（即3km）序号为28，29，38，39，61，92的五个路口，则采用就近原则人工划入距离其最近的交巡警平台辖区，这样就在保证出警时间基本都小于3min的条件下，划分出各警务平台合理的管辖范围。 对于（1）第二问中，我们采用指派模型，用lingo软件对20个巡警服务平台对17个城市出入口进行封锁的方法进行了优化，得到初步的调度方案。在这个方案的基础上，如果在某条巡警服务平台调度路线中经过其他的的调度点，则与所经过的调度点互换目标路口，由此得到最佳调度方案，即最快8分钟可以实现快速封锁路口。 对于（1）第三问，我们按照工作量均衡和出警时间尽可能短的原则考虑增加交巡警平台。首先，利用excel算出了各辖区内交巡警服务平台的工作量总和以及出警时间的平均值，求出了所有辖区的工作总量与出警时间的平均值，取出工作总量明显高于平均值且平均出警时间超过3min的四个辖区来增设新的交巡警平台。我们通过（1）第一问中的最短路程矩阵得到各辖区内种增设平台的所有可能的方法，通过比较每种方法的工作量总和及出警时间综合考虑得到一个最优的设置。最后通过spss软件求得优化前后两组数据的标准差，比较后发现优化后的数据标准差明显下降，达到了优化的目的。 在（2）第一问中，首先参照（1）中A区的处理方法分别求出了城区B，C，D，E，F中路口到最近交巡警服务平台的路程，出警时间以及工作量。通过spss软件计算出标准差，并与优化后的A城区进行比较，找出了交巡警平台明显分配不合理（标准差远高于A区优化后方案的标准差）的三个区，在其距离较远工作量较大的路口增设服务平台。 对于（2）中第二问搜捕嫌疑犯问题，我们采用时间圈法，以事发地点为圆心，以一分钟所行使的路程为单位半径，画出等间隔的数个同心圆，这样就可以确定每个时间段嫌疑犯的逃逸范围（因为任意两点间的路程大于等于两点间的距离，所以在某时间内嫌疑犯必定在对应的时间圈内），根据每个路口在这些时间圈上的位置，要求警察到这些路口的时间小于罪犯到达的时间（即可以围堵住罪犯），找出所有这些路口，构成闭圈，最小的闭圈便是围堵罪犯的最佳方案。 关键词：floyd算法，指派模型，spss分析数据，时间圈法
2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题
2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；
2011数学建模竞赛题目
A: 网络舆论的形成、发展与控制 持有、接受、表达某种相同、相似的观点的人在社会人群中所占的比例超过一定的阀值，这时候这种观点就上升为舆论（opinions）。舆论在特定的条件下，产生巨大的社会力量，能够左右社会大众和政府的行为。 如今，互联网作为一个开放自由的平台，已经成为了世界的“第四媒体”。显然，网络舆论与传统舆论在形成、发展等方面有着诸多不同的特点，如何控制和引导网络舆论的形成与发展是当今社会的一个重要课题。作为开放的网络平台，加上其虚拟性、隐蔽性、发散性、渗透性和随意性等特点，越来越多的人们愿意通过互联网来表达自己的个人想法。现今，互联网已成为新闻集散地、观点集散地和民声集散地。 互联网上的信息内容庞杂多样，容纳了各种人群、各类思潮，对于社会上的一些敏感问题出现在网上而引起一些人的共鸣应是一种正常现象，但是由于各种复杂因素使这些敏感问题向热点演变，最后形成网络舆论并引起社会群众的违规和过激行动时，将影响到社会安定和其他政治问题，因此网络舆论的爆发将以“内容威胁”的形式对社会公共安全形成威胁，对网上的信息内容进行管理和控制将成为互联网进一步发展的必然趋势。 请在上述背景基础上，解决如下问题： （1）请在查找资料的基础上，给出网络舆论的基本概念和特性，分析影响网络舆论的各种因素； （2）运用你们所掌握数学知识，建立网络舆论形成的数学模型，使其能够对网络舆论的发展、变化趋势做出有效的判断，并能对网络舆论的态势做出客观的表述； （3）基于上述模型的基础上，请描述在网络舆论形成后，如何利用你们的模型来控制和引导网络舆论的发展趋势。
B题：水资源短缺风险综合评价 水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。 风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。 水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。 近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。 以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。 《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题： 1评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？ 影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。 2建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？ 3 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛全国一等奖A题城市表层土壤重金属污染分析
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文主要研究重金属对城市表层土壤污染的问题,我们根据题目所给定的一些数据和信息分析并建立了扩散传播模型、权重分配模型、对比模型和转换模型解决问题。 首先，我们利用Matlab 软件拟出该城区地势图（图1），根据所给数据绘出该地区的三维地势及采样点在其上的综合空间分布图。之后将8种重金属的浓度等高线投影到该地区三维地形图曲面上，接着分别计算8种重金属在五个区域的平均值，立体图和平面图（图1附件）相结合便可得出8种重金属元素在该城区的空间分布。 其次，在确定该城区内不同区域重金属的污染程度时，我们运用两种方法进行解答。先假设各重金属毒性及其它性质相同，运用公式ij ij P C P = '求出各区域各金属相对于背景平均值的比值作为金属污染程度，再运用1 j i ij j C C ==∑求出各区域重金属污染程度，并将各区进行比较。之后，我们加上 各重金属的毒性，对各重金属求出权数，再结合国标重金属污染等级和已知的各组数据来确定金属 的污染程度。由上述两种方法的对比，更准确地得出重金属对各区的影响程度。 即： 工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区 并根据第一个模型的数据来说明重金属污染的主要原因。 再次，对重金属污染物的传播特征进行了分析，判断出重金属污染物主要是通过大气、土壤和水流进行传播。在分析之中，我们得出这三种状态的传播并不是孤立存在的，而是可以相互影响和叠加的，因此，我们分别建立三个传播模型，再对这三个传播模型进行了时间和空间上的拟合，得出重金属浓度最高的区域图，并结合各重金属的分布图（图6）来确定各污染源的位置。 最后，本题中只给出了重金属对土壤的污染，对于研究城市地质环境的演变模式，还需要搜集一些信息（图7）。根据每种因素对地质环境的影响程度进行由定性到定量的转化。建立同一地质时期地质环境中各因素的正影响和负影响的权重分配模型，再对这些权重进行验算和修正。从而，根据这些权重再建立预测模型便可反向推出各重金属对不同时期地质环境的影响，得出随时间变化的地质环境的演变模式。 结论：在本次模型建立中，我们得出以下结论： 1.重金属在各个区域中的污染严重程度为：工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区 2.各重金属的污染源主要分布在工业区和交通区 关键词：重金属污染 三维地形图 时空结合 地质环境演变 影响因子权重 一．问题重述 1.问题背景 目前，社会经济发展迅速，人口数量不断增加，环境污染现象日显突出，尤其重金属对土壤的污染更受广泛关注。土壤状况直接影响着动植物的生长和安全，甚至通过食物链进入人体，导致一些慢性疾病的发生。 对于具有独立的系统来说，人们的生活和生产将会给环境和土壤造成污染，而且，每一个区域的功能不同，如山区、生活区、工业区、主干道路区和绿地区等，对环境和土壤的污染程度也不同。所以，做好调查分析，控制污染源是现今的关键。 2.提出问题： （1）.根据题中所给各区域点的坐标，绘制中该区的空间分布图，计算不同重金属对该区的影响。
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题省一等奖
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题省一等奖
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：B甲00226 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 对于给各个交巡警服务平台分配管辖范围的问题，首先运用Dijkstra算法求出A 区交通网络中的任一路口节点到其他路口节点的最短路经值，再从道路的两个节点出发，选出具离它最近的交巡警服务平台，那么此道路就由所选的服务平台来管辖，这样可以依次选出各条道路所对应的交巡警服务平台，那么各交巡警服务平台相对应的管辖范围就能划分出来。 对于调度20各服务平台来封锁13条交通要道，也即13个路口节点的情况，假设每个路口节点只需一个服务平台的警力资源来封锁，建立一个有路程约束的最佳调度方案，得出进出城区的标号为12、14、16、21、22、23、24、28、29、30、38、48、62的路口节点分别由标号为12、9、16、14、10、13、11、15、7、8、2、5、4的交巡警服务平台的警力资源来封锁。 对于在A区增设交巡警服务平台的情况，首先定义和路径有关的出警时间、和发案率及道路长度有关的工作量，进而根据出警时间和工作量来决定增设平台的具体个数和位置。得出需要在标号为30、53、90、74的路口节点各增设一个平台。 对于分析研究该市全市交巡警服务平台设置方案合理性的问题，建立一个包含发案率、交通流量及人流量的评价指标值，根据各个指标的权重，运用综合评价的方法来评价服务平台设置是否合理。得到该市现有交巡警服务平台设置不合理。 在一地点发生案件，犯罪嫌疑人由事发点驾车逃跑，设计一个调度全市交巡警服务平台警力资源的围堵方案，在警力资源一定的情况下，要尽量使此次行动所花时间短，同时能够尽量保证围堵成功。建立一个由事发点向外放射的放射性网状图，确定一番逃跑的所有路径，进行分析，得到一系列围堵点为： 378，372，321，320，173，16，168，169，12，14，16，21，22，24，28，29，30，48，62。
全国大学生数学建模竞赛历年赛题培训资料
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
全国大学生数学建模竞赛历年赛题 1992：A 施肥效果分析 B 实验数据分解 1993：A 非线性交调的频率设计 B 足球队排名次 1994：A 逢山开路 B 锁具装箱 1995：A 一个飞行管理问题 B 天车与冶炼炉的作业调度1996：A 最优捕鱼策略 B 节水洗衣机 1997：A 零件参数 B 截断切割 1998：A 投资的收益和风险 B 灾情巡视路线 1999：A 自动化车床管理 B 钻井布局 C 煤矸石堆积 D 钻井布局 2000：A DNA序列分类 B 钢管购运 C 飞越北极 D 空洞探测 2001：A 血管三维重建 B 公交车调度 C 基金使用 2002：A 车灯线光源 B 彩票中数学 D 赛程安排 2003：A SARS的传播 B 露天矿生产 D 抢渡长江2004：A 奥运会临时超市网点设计 https://www.360docs.net/doc/df1267837.html,/qkfile/2004Adata.rar B 电力市场的输电阻塞管理 C 饮酒驾车 D 公务员招聘 2005：A 长江水质的评价和预测 B DVD在线租赁 C 雨量预报方法的评价 D DVD在线租赁 2006：A出版社的资源配置 B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测C易拉罐形状和尺寸的最优设计D 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制2007：A 中国人口增长预测 B 乘公交，看奥运 C 手机“套餐”优惠几何 D 体能测试时间安排 2008：A 数码相机定位 B 高等教育学费标准探讨 C 地面搜索 D NBA赛程的分析与评价 2009：A 制动器试验台的控制方法分析 B 眼科病床的合理安排C 卫星和飞船的跟踪测控 D会议筹备 2010：A储油罐的变位识别与罐容表标定 B 2010年上海世博会影响力的定量评估 C输油管的布置 D对学生宿舍设计方案的评价 2011: A 城市表层土壤重金属污染分析 B 交巡警服务平台的设置与调度 C 企业退休职工养老金制度的改革
2011年数学建模竞赛A题参考答案
问题重述 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。 现要求你们通过数学建模来完成以下任务： (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？ 模型假设 基于问题实际，本文作出如下假设： 符号说明
模型的分析、建立与求解 问题分析 在遵循合理性、代表性、系统性、可比性、可操作性及可获得性的原则下， 我们应用因子分析的方法对重金属污染的主要原因进行分析。因子分析方法是将 具有相关性的多个原始指标的评价问题转换为较少的、新的综合指标的评价问题 的一种方法。其主要原理是利用降维的思想，通过研究指标体系的内在结构关系， 把多指标转化成少数几个相互独立而且包含原有指标大部分信息的综合指标的 多元统计方法。新的综合指标称为主成分或公因子。利用各主成分的因子得分计 算出每个评价对象的综合得分,并以此作为综合评价的依据。 模型的建立与求解 首先，建立指标体系和在SPSS中导入原始矩阵，并且利用分析—描述统计 来将数据进行标准化。接着，考察收集到的原有变量之间是否存在一定的线性关 系，是否适合采用因子分析提取因子。 我们利用spss软件，借助变量的相关系数矩阵、卡方检验和KMO 检验方 法进行分析。其软件结果如下表： 相关矩阵 As (μg/g) Cd (ng/g) Cr (μg/g) Cu (μg/g) Hg (ng/g) Ni (μg/g) Pb (μg/g) Zn (μg/g) 相关As (μg/g) 1.000 .255 .189 .160 .064 .317 .290 .247 Cd (ng/g) .255 1.000 .352 .397 .265 .329 .660 .431 Cr (μg/g) .189 .352 1.000 .532 .103 .716 .383 .424 Cu (μg/g) .160 .397 .532 1.000 .417 .495 .520 .387 Hg (ng/g) .064 .265 .103 .417 1.000 .103 .298 .196 Ni (μg/g) .317 .329 .716 .495 .103 1.000 .307 .436 Pb (μg/g) .290 .660 .383 .520 .298 .307 1.000 .494 Zn (μg/g) .247 .431 .424 .387 .196 .436 .494 1.000 KMO 和 Bartlett 的检验 取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.778 Bartlett 的球形度检验近似卡方905.711 df 28 Sig. .000
2011全国大学生数学建模竞赛B题题目及参考答案
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题交巡警服务平台的设置与调度 “有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。 试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。 对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。 （2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。 如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
2011数学建模竞赛试题
数学建模竞赛试题 1、磁盘的最大存储量 现有一张半径为R 的磁盘,它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域，试确定r ，使磁盘具有最大存储量。 2、新工人的学习曲线 在电冰箱、电视机、汽车等行业中，装配工人的工作是一种重复性的熟练劳动。在这些行业中，新工人的学习过程如下：刚开始时由于技术不熟练，生产单位产品需要较多的劳动时间，随着不断的工作，新工人的熟练程度逐步提高，生产单位产品所需的劳动时间越来越短；当工人达到完全熟练程度以后，生产单位产品所需要的劳动时间就会稳定在一个定值。 纺织厂招收一批新工人学习1511型织布机的操作。观察工人的学习过程发现，当累计织完25匹布以后，工人织每匹布需要用16小时；当累计织完64匹布时，工人织每匹布用10小时.已知熟练工人织每匹布用8小时，是确定出新工人的学习曲线，并计算新工人用多少时间才能达到熟练工人的程度。 3、工人数量调整问题 一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量为 2(,)f x y x y = 现有16名技术工人和32名非技术工人，而厂长计划再雇佣一名技术工人。试求厂长如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？ 4、乙酸回收的最好效果 在,A B 两种物质的溶液中，我们想提取出物质A ，可以采取这样的方法：在,A B 的溶液中加入第三种物质C ，而C 与B 不互溶，利用A 在C 中的溶解度较大的特点，将A 提取出来。这种方法就是化工中的萃取过程。 现有稀水溶液的乙酸，利用苯作为溶剂，设苯的总体积为m 。进行3次萃取来回收乙酸.问每次应取多少苯量，方使从水溶液中萃取的乙酸最多？ 5、陈酒出售的最佳时机 某酒厂有批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入050R =万元，如果窖 藏起来待来日（第n 年）按陈旧价格出售，第n 年末可得总收入为0R R =元。而银行利率为0.05r =。试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收入的现值最大。 6、森林救火模型 森林失火了！消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多，森林的损失越小，但是救援的开支会越大。所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目。 7、家庭教育基金计划问题 从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度，为了保障子女将来的教育经费，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x 元作为家庭教育基金。若银行的年复利率为r ，试写出第n 年后教育基金总额的表达式。预计当子女18
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题论文.
摘要 本文就某市的实际情况与需求，合理的建立了有关交巡警服务平台设置与调度的模型，通过图论模型、规划模型以及计算机程序的结合，对题中所述问题进行了求解，获得了比较满意的结果。 对于问题一，首先将出警时间的约束转换为距离约束，分别利用朴素的覆盖点集以及微变量逐次调控的方法，得出了该问题的预分配方案以及最后的优化方案。 问题一的第二个子问题是匹配问题，我们通过0-1变量match 来标记每个交巡警服务平台是否参与道路的封锁。则当封锁路口时，需要全部13 个路口全部封锁才能达到目的。警车到达节点所花费的时间应该以最后一个到达对应的节点的警车所需要的时间来决定。于是借助MATLAB 程序来解决此问题，由上文可得目标函数为：1max {[cost(,)(,)]}n i j i j match i j =?∑，得到一个最佳的调度方案，封堵完 成的最短时间约为8分钟。 第三个子问题作为对第一个子问题的优化补充，我们基于前面的结果对各站点的工作量进行尽量的均衡分配，根据再分配的结果，在满足各个服务站点工作量平衡的前提下，得出结论分别要在编号为42,57,62,90的四个交点上添加4个新的服务站。 对于问题二，采取与问题一的第三个子问题相同的原则和任务要求，针对全市现有的服务平台数量进行平台管辖范围的分配，分配原理与问题一的第一个子问题基本类似，只是数据规模的一个扩大问题。而在后来的模型优化过程中，我们引入人口密度的因素，对现有服务平台管辖范围进行重新分配。并利用工作量的均衡性来度量设置方案合理性。 最后，对于问题二的最后一个子问题，我们建立了最佳围堵方案模型。考虑到警力资源的限制，不可能完全将该区域的任何一个点都围堵住,这时就需要在原有围堵的基础上改进方案，在那些未被围住的点继续以3分钟的圈往外延伸。最后得出合理的围堵方案。 关键词：0-1规划 变量微调 工作量均衡度
2011数学建模竞赛C题参考答案
2011数学建模竞赛C 题评阅要点 命题思路：企业退休职工养老金制度改革及退休推迟问题是一个热点课题。由于国情的复杂和数据的缺乏，对全国甚至一个地区的社会统筹基金进行总体规模的预测都是困难的，所以本题仅限于在现有制度下，对职工个人的基金和个人账户收支情况进行精算。本题的数学模型并不复杂，关键是学生正确理解养老金收支计算办法和题目的要求。 1 必要的假设 如下一些假设是基本的：1）假设我国在今后一个较长时间段内社会政治经济形势稳定，工资不会出现异常动荡。2）假设男女同工同酬。3）假设现有缴费及发放制度在一个充分长的时间段内不发生变化。4）假设附件 2 中反映的该企业不同年龄的职工工资与企业平均工资的比例可以用来计算一个普通职工的养老保险缴费指数。5）假设只有个人账户中的储存额产生利息，而社会统筹基金账户中的储存额不产生利息。6）假设附件1中的社会平均工资为缴费工资。7）为便于计算，可以假设第i 岁参加工作、退休、死亡均是指在刚满i 周岁时，缴费年数为整数。 2问题一 虽然我国当前正处于经济快速发展期，但考虑到我国发展的战略目标是在二十一世纪中期达到中等发达国家的经济发展水平，而发达国家的工资增长率多比较低，所以应当假设我国未来的工资增长率会逐步降低。只要符合这一假设的预测方法，都可以认为是恰当的。如Logistic 模型以及其它阻滞型增长模型均可用，用这些方法得到的工资上限大约在2010年工资水平的3-4倍左右。但若假设工资以固定比例增长或线性增长、以及用线性或多项式拟合都是不恰当的，用灰色预测或指数预测也不恰当。 3 问题二 根据附件2，用加权平均方法容易求得该企业不同年龄段的职工工资与企业平均工资的比值，结果如下： 本题的本意是将此数据作为一个一般意义上的企业职工在不同年龄段时的缴费指数。如果学生在计算养老金支出时没有利用该数据，只考虑了一些特殊情况，如缴费指数取固定值，是不合题意的。对于60-64岁的职工的缴费指数，可以基于一些简单合理的假设进行预测。 在计算社会统筹基金账户和个人账户金额时，按年或按月缴存的两种计算方式都是可以的。 到退休时职工个人账户中的金额的计算模型如下： ∑k 退休前第k 年缴费额本息=∑k 退休前第k 年缴费工资×缴费率×k r )1( , 其中r 为银行利息。学生中可能会出现忘记计算个人账户利息或利息计算错误的情况。 因为社会统筹基金账户中的储存额不计利息，所以其中金额的计算模型如下： ∑k 退休前第k 年缴费额=∑k 退休前第k 年缴费工资×缴费率. 退休后第一个月领取的养老金=基础养老金+个人账户养老金，其中 基础养老金=（退休前一年社会平均工资+本人指数化月平均缴费工资）/2×缴费年限×1%； 个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数。 其中，