高中物理人造卫星变轨问题专题
人造卫星变轨问题专题
(一) 人造卫星基本原理
绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GM r T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是唯一确定的。如果卫星的质量是确定的，那么与轨道半径r 对应的卫星的动能E k 、重力势能E p 和总机械能E 机也是唯一确定的。一旦卫星发生了变轨，即轨道半径r 发生变化，上述所有物理量都将随之变化（E k 由线速度变化决定、E p 由卫星高度变化决定、E 机不守恒，其增减由该过程的能量转换情况决定）。同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。
(二) 常涉及的人造卫星的两种变轨问题
1. 渐变
由于某个因素的影响使原来做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。
解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r 是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。
1) 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型发动机，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的状态），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。这种变轨的起因是阻力。阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，卫星所需要的向心力r m v 2减小了，而万有引力2r GMm
的大小没有变，因此卫星将
做向心运动，即轨道半径r 将减小。
由基本原理中的结论可知：卫星线速度v 将增大，周期T 将减小，向心加速度a 将增大，动能E k 将增大，势能E p 将减小，有部分机械能转化为内能（摩擦生热），卫星机械能E 机将减小。
为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，
在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。而且万有引力做的正功远大于克服空气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。根据E 机=E k +E p ，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。
2) 有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量G 是逐渐减小的。
如果这个结论正确，那么环绕星球将发生离心现象，即环绕星球到中心星球间的距离r 将逐渐增大，环绕星球的线速度v 将减小，周期T 将增大，向心加速度a 将减小，动能E k 将减小，势能E p 将增大。
2. 突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。 1) 发射同步卫星时，可以先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1；变轨时在P 点点火加
速，短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3；此时进
行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使
卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
例题
1. 某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆．由于阻力作用，人造卫
星到地心的距离从r 1慢慢变到r 2，用E Kl ．E K2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则
A.r 1 B.r 1>r 2，E K1 C.r 1 D.r 1>r 2，E K1>E K2 2. （1）飞船在椭圆轨道１上运行，Q 为近地点，P 为远地点，当飞船运动到P 点时 点火，使飞船沿圆轨道２运行，以下说法正确的是( ) A ．飞船在Q 点的万有引力大于该点所需的向心力 B ．飞船在P 点的万有引力大于该点所需的向心力 C ．飞船在轨道1上P 的速度小于在轨道2上P 的速度 D ．飞船在轨道1上P 的加速度大于在轨道2上P 的加速度 （2）假设由于飞船的特殊需要，美国的一艘原来在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是 A ．从较低轨道上加速 B ．从较高轨道上加速 C ．从同一轨道上加速 D ．从任意轨道上加速 3.航天飞机在完成对哈勃太间望远镜的维修任务后，在A点短时间开动小型发动机 进行变轨，从圆形轨道Ⅰ进入椭圆道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。下列说法中正确的有 A．在轨道Ⅱ上经过A的机械能大于经过B的机械能Array B．在A点短时间开动发动机后航天飞机的动能增大了 A C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 4.我国成功实施了“神舟”七号的载入航天飞行，并实现了航天员首次出舱。飞船 先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，把飞船运行轨道由椭圆轨道变成离地面高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。 下列正确的是( ) A．飞船变轨前后的机械能相等 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于超重状态 C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度 D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 1. B 2.BC A 3. C 4. C 微型专题4 卫星变轨问题和双 星问题 知识目标核心素养 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨 的原因和变轨前后卫星速度的变化. 2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星 运动的周期和角速度. 1.掌握卫星变轨的实质及蕴含的思想方法. 2.掌握“双星”的特点，建立“双星”问题 模型. 一、人造卫星的发射、变轨与对接 1．发射问题 要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v＞v1＝7.9 km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F向，即G Mm r2 ＝m v2 r ，从而使卫星进入预定轨道． 2．卫星的变轨问题 卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化． (1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m v2 r 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做 近心运动，向低轨道变迁． (2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2 r 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力， 卫星将做离心运动，向高轨道变迁． 以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据． 3．飞船对接问题 (1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图1甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接． 图1 (2)同一轨道飞船与空间站对接 如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度． 例1 如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( ) 图2 A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B ．卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期 C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度 答案 B 解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有： G Mm r 2＝m v 2 r ，v ＝GM r 因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误． 由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确． 在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速． 所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误． 人造地球卫星的分类 人造卫星的分类，可以安装用途，运行轨道等分来，不过在我们高中物理中更加侧重对人造 卫星运行轨道的研究，所以，我们就按照卫星的运行方式给予分类 （1）、地球同步卫星： ①、同步卫星的概念：所谓地球同步卫星，是指相对于地球静止、处在特定高度的轨道上、 具有特定速度且与地球具有相同周期、相同角速度的卫星的一种。 ②、同步卫星的特性： 不快不慢------具有特定的运行线速度（V=3100m/s）、特定的角速度（ω=7.26x10-5ra d/s ） 和特定的周期（T=24小时）。 不高不低------具有特定的位置高度和轨道半径，高度H=3.58 x118m, 轨道半径r=4.22 x118m. 不偏不倚------同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，轨道中心与地心重合， 只能‘静止’在赤道上方的特定的点上。 证明如下： 如图4-1所示，假设卫星在轨道A上跟着地球的自转同步地匀速圆周运动，卫星运动的向心 力来自地球对它的引力Ｆ引，Ｆ引中除用来作向心力的Ｆ1外，还有另一分力Ｆ2，由于Ｆ2的作用将使卫星运行轨道靠向赤道，只有赤道上空，同步卫星才可能在 稳定的轨道上运行。 由得 ∴h=R-R地是一个定值。(h是同步卫星距离地面的高度) 因此，同步卫星一定具有特定的位置高度和轨道半径。 = 3 \* GB3 ③、同步卫星的科学应用： 同步卫星一般应用于通讯与气象预报，高中物理中出现的通讯卫星 与气象卫星一般是指同步卫星。 （2）、一般卫星： ①、定义： 一般卫星指的是，能围绕地球做圆周运动，其轨道半径、轨道平面、运行速度、运行周期各 不相同的一些卫星。 ②、、卫星绕行速度与半径的关系： 由得：即(r越大v越小) ③、、卫星绕行角速度与半径的关系： 由得：即；（r越大ω越小） ④、、卫星绕行周期与半径的关系： 由得：即（r越大Ｔ越大）， （3）双星问题 两颗靠得很近的、质量可以相比的、相互绕着两者连线上某点做匀速圆周运的星体，叫做双 星．双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提 供．由于引力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，因两子星绕 着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，线速度与 两子星的轨道半径成正比．精品推荐强力推荐值得拥有 卫星变轨问题和双星问题 课后练习题 一、选择题 1. 1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G .则( ) 图1 A.v 1＞v 2，v 1＝GM r B.v 1＞v 2，v 1＞ GM r C.v 1＜v 2，v 1＝GM r D.v 1＜v 2，v 1＞ GM r 答案 B 解析 根据开普勒第二定律知，v 1>v 2，在近地点画出近地圆轨道，由GMm r 2＝m v 2 r 可知，过近地点做 匀速圆周运动的速度为v ＝GM r ，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v 1>GM r ，故B 正确. 2.(2019·北京市石景山区一模)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A.质量大的天体线速度较大 B.质量小的天体角速度较大 C.两个天体的向心力大小一定相等 D.两个天体的向心加速度大小一定相等 答案 C 解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B 项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D 错误；根据牛顿第二定律有： G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1，Gm 1m 2L 2 ＝m 2ω2r 2，其中r 1＋r 2＝L 故r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，故v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1 故质量大的天体线速度较小，故A 错误. 3.(2019·定州中学期末)如图2，“嫦娥三号”探测器经轨道 Ⅰ 到达P 点后经过调整速度进入圆轨道 Ⅱ，再经过调整速度变轨进入椭圆轨道Ⅲ，最后降落到月球表面上.下列说法正确的是( ) 图2 A.“嫦娥三号”在地球上的发射速度大于11.2 km/s B.“嫦娥三号”由轨道Ⅰ经过P 点进入轨道Ⅱ时要加速 C.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上经过P 点的速度大于在轨道Ⅱ上经过P 点的速度 D.“嫦娥三号”稳定运行时，在轨道Ⅱ上经过P 点的加速度与在轨道Ⅲ上经过P 点的加速度相等 答案 D 4. 如图3所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道正常运行时，下列说法中不正确的是( ) 卫星变轨问题易错题分析 欧阳光明（2021.03.07） 一、不清楚变轨原因导致错解 分析变轨问题时,首先要让学生弄明白两个问题:一是物体做圆周运动需要的向心力,二是提供的向心力。只有当提供的力能满足它需要的向心力时,即“供”与“需”平衡时,物体才能在稳定的轨道上做圆周运动，否则物体将发生变轨现象——物体远离圆心或靠近圆心。当卫星受到的万有引力不够提供卫星做圆周运动所需的向心力时，卫星将做离心运动，当卫星受到的万有引力大于做圆周运动所需的向心力时卫星将在较低的椭圆轨道上运动，做近心运动。导致变轨的原因是卫星或飞船在引力之外的外力，如阻力、发动机的推力等作用下，使运行速率发生变化，从而导致“供”与“需”不平衡而导致变轨。这是卫星或飞船的不稳定运行阶段，不能用公式分析速度变化和轨道变化的关系。 例一：宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船想与前面的空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可采取的方法是（） A.飞船加速直到追上空间站，完成对接 B.飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接 C.飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接 D.无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接 错解：选A 。错误原因分析：不清楚飞船速度变化导致"供"与"需"不平衡而导致出现变轨。 答案：选B 。分析：先开动飞船上的发动机使飞船减速，此时万有引力大于所需要的向心力，飞船做近心运动，到达较低轨 道时，由222()Mm G m r r T π=得2T =小于空间站的周期，飞船运行得要比空间站快。当将要追上空间站时，再开动飞船上的发动机让飞船加速，使万有引力小于所需要的向心力而做离心运动，到达空间站轨道而追上空间站，故B 正确。如果飞船先加速，它受到的万有引力将不足以提供向心力而做离心运动，到达更高的轨道，这使它的周期变长。这样它再减速回到空间站所在的轨道时，会看到它离空间站更远了，因此C 错。 二、不会分析能量转化导致错解 例二：人造地球卫星在轨道半径较小的轨道A 上运行时机械能为E A ，它若进入轨道半径较大的轨道B 运行时机械能为E B ，在轨道变化后这颗卫星() A .动能减小，势能增加，E B ＞E A B .动能减小，势能增加，E B =E A C .动能减小，势能增加，E B ＜E A D .动能增加，势能增加， E B ＞E A 2020年高考物理备考微专题精准突破 专题2.8 卫星变轨与航天器对接问题 【专题诠释】 人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论． 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上． (2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．物理量的定性分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B.因在A点加速，则v A＞v1，因在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同．同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由 开普勒第三定律a3 T2＝k可知T1＜T2＜T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3. 【高考领航】 【2019·江苏高考】1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则() A ．v 1>v 2，v 1＝ GM r B ．v 1>v 2，v 1> GM r C ．v 1 人造卫星宇宙速度 教学目的: 1．了解人造卫星的有关知识 2．掌握第一宇宙速度的推导。了解第二、第三宇宙速度的意义。 教学重点：第一宇宙速度的推导 教学难点：发射速度与环绕速度的区别 教学方法:启发、讲授 教学过程： 一导入新课 1．问：在高山上用不同的水平初速度抛出一个物体，不计空气阻力，它们的落地点相同吗？ 学生：它们的落地点不同，速度越大，落地点离山脚越远.因为在同一座高山上抛出，它们在空中运动的时间相同，速度大的水平位移大，所以落地点也较远。 教师：假设被抛出物体的速度足够大，物体的运动情形又如何呢？ 学生进行猜想。 教师总结，并用多媒体模拟。 如果地面上空有一个相对于地面静止的物体，它只受重力的作用，那么它就做自由落体运动，如果物体在空中具有一定的初速度，且初速度的方向与重力的方向垂直，那么它将做平抛运动，牛顿曾设想过：从高山上用不同的水平速度抛出物体，速度一次比一次大，落地点也一次比一次离山脚远，如果没有空气阻力，当速度足够大时，物体就永远不会落到地面上来，它将围绕地球旋转，成为一颗绕地球运动的人造地球卫星，简称人造卫星。 1970年4月24日,我国发射了第一颗人造地球卫星, 到现在我国已发射了多颗人造地球卫星。1975年,我国就掌握了使卫星返回地面的回收技术,成为世界上第三个掌握这种先进技术的国家。1984年4月8日, 我国发射了一颗试验通讯卫星, 把卫星准确地运送到指定位置的同步轨道上。这是一个难度非常大的多维控制问题.同步卫星的定点成功, 标志着我国在运载火箭和卫星技术方面已加入世界先进行列。近几年,我国一直利用火箭为其它国家发射卫星。这节课我们来学习人造地球卫星的基本知识。 2．人造卫星的分类 人造卫星变轨问题专题 一、人造卫星基本原理 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GM r T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是确定的。如果卫星的质量也确定，那么与轨道半径r 对应的卫星的动能E k （由线速度大小决定）、重力势能E p （由卫星高度决定）和总机械能E 机（由能量转换情况决定）也是确定的。一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。 在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。 二、渐变 由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。 解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。 如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。 由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力r m v 2 减小了，而万有引力大小2 r GMm 没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r 将减小。 由㈠中结论可知：卫星线速度v 将增大，周期T 将减小，向心加速度a 将增大，动能E k 将增大，势能E p 将减小，该过程有部分机械能转化为内能（摩擦生热），因此卫星机械能E 机将减小。 为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。而且万有引力做的正功远大于克服大气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。 根据E 机=E k +E p ，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。 再如：有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量G 是逐渐减小的。如果这个结论正确，那么恒星、行星将发生离心现象，即恒星到星系中心的距离、行星到恒星间的距离都将逐渐增大，宇宙将膨胀。 三、突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的目标。 如：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，第一次在P 点点火加速，在短时间 内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行 到远地点Q 时的速率为v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将 速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 v 2 v 3 v 4 v 1 Q P Ⅰ Ⅲ Ⅱ 人造卫星的基本原理 参考、摘录自——王冈 曹振国《人造卫星原理》 一、关于椭圆轨道 在地球引力的作用下，要使物体环绕地球作圆周运动，那么必须使得物体的速度达到第一宇宙速度。如果卫星所需的向心力恰好和其所受万有引力相等，则它将作圆周运动。若其所需向心力大于地球引力，这是物体的运动轨迹就变成椭圆轨道了。物体的速度比环绕速度（作圆周运动时的速度）大得越多，椭圆轨道就越“扁长”，直到达到第二宇宙速度，物体便沿抛物线轨道飞出地球引力场之外。 因为发射卫星和飞船时，入轨点的速度控制不可能绝对精确，速度大小的微小偏离，和速度方向与当地的地球水平方向间的微小偏差，都会使航天器的轨道不是圆形二是椭圆形，椭圆扁率取决于入轨点的速度大小和方向。 二、卫星运动轨道的几何描述 尽管开普勒定律阐明的是行星绕太阳的轨道运动，它们可以用于任意二体系统的运动，如地球和月亮，地球和人造卫星等。 假定地球中心O 在椭圆的一个焦点上 a ——椭圆的半长轴 b ——椭圆的半短轴 >11.2km/s-抛物线 >16.7km/s-双曲线 c e ——偏心率 a c e = P e ——近地点 A p ——远地点 P ——半通径)1(2 2 e a a b P -== Y w ——轴与椭圆交点的坐标 f ——真近点角，近地点和远地点之间连线与卫星向径之间的夹角 E ——偏近点角 只要知道了卫星运行的椭圆轨道的几个主要参数：a ，e 等，卫星在椭圆轨道上任一点（r ）处的速度就可以计算出来： )12( a r v - = μ 其中2μ=GM （地心万有引力常数） 椭圆轨道上任一点处的向径r 为：)cos 1(E e a r -= 近地点向径：)1(e a r p -= 远地点向径：)1(e a r A += 所以，近地点r 最小，卫星速度最大e e a v -+? = 112 μ 远地点r 最大，卫星速度最小e e a v +-? = 112 μ 卫星或飞船入轨点处的速度，通常就是近地点的速度，这个速度一般要比当地的环绕速度要大；而椭圆轨道上远地点速度则比当地的环绕速度要小。 圆形轨道可以看成椭圆轨道的特殊情况。即a=b=r ，所以 r GM r v = = 2 μ A 专题强化4 卫星变轨问题和双星问题--学生版 [学习目标] 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度. 一、人造卫星的变轨问题 1.变轨问题概述 (1)稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G Mm r 2＝m v 2r . (2)变轨运行 卫星变轨时，先是线速度v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化. ①当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2 r 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁. ②当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2 r 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁. 2.实例分析 (1)飞船对接问题 飞船与在轨空间站对接 先使飞船位于较低轨道上，然后让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道飞船完成对接(如图1甲所示). 注意：若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道. 通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙. 图1 (2)同步卫星的发射、变轨问题 如图2所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q 点点火加速做离心 运动进入椭圆轨道2，在P 点点火加速，使其满足GMm r 2＝m v 2r ，进入同步圆轨道3做圆周运动. 图2 例1 (2019·通许县实验中学期末)如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( ) 图3 A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期 C.卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率 D.卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度 针对训练 (多选)(2019·定远育才实验学校期末)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图4所示.关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( ) 图4 A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 点的速度 B.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 人造卫星 宇宙速度教学设计 课前预习： 1．第一宇宙速度是指卫星在__________绕地球做匀速圆周运动的速度，也是绕地球做匀 速圆周运动的____________速度．第一宇宙速度也是将卫星发射出去使其绕地球做圆周 运动所需要的________发射速度，其大小为________． 2．第二宇宙速度是指人造卫星不再绕地球运行，从地球表面发射所需的最小速度，其大 小为________． 3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳________的束缚，飞到________外所需 要的最小发射速度，其大小为______． 4．人造地球卫星绕地球做圆周运动，其所受地球对它的______提供它做圆周运动的向心 力，则有：G Mm r 2＝________＝____________＝__________，由此可得v ＝_____________， ω＝____________，T ＝____________. 5．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其环绕速度可以是下列的哪些数据( ) A ．一定等于7.9 km/s B ．等于或小于7.9 km/s C ．一定大于7.9 km/s D ．介于7.9 km/s ～11.2 km/s 6．关于第一宇宙速度，以下叙述正确的是( ) A ．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B ．它是近地圆轨道上人造卫星运行的速度 C ．它是使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度 D ．它是人造卫星发射时的最大速度 7．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的2倍，且仍做圆周运动， 则下列说法正确的是( ) ①根据公式v ＝ωr 可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 ②根据公式F ＝mv 2 r 可 知卫星所需的向心力将减小到原来的12 ③根据公式F ＝GMm r 2，可知地球提供的向心力 将减小到原来的1 4 ④根据上述②和③给出的公式，可知卫星运行的线速度将减小到原 来 的22 A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 课堂探究：（学生看书，讨论，做题，总结） 知识点一 第一宇宙速度 1．下列表述正确的是( ) A ．第一宇宙速度又叫环绕速度 B ．第一宇宙速度又叫脱离速度 C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关 2．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径 较小，一般在7～20 km ，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km ，密度为 1.2×1017 kg/m 3 ，那么该中子星上的第一宇宙速度约为( ) 高考物理专题复习： 人造卫星变轨问题专题 随着我国航天事业的蓬勃发展，高考对天体运动及宇宙航行的考查也逐渐成热点，然而在复习中许多同学对于万有引力在天体运动中的运动仍有许多困惑，其中有不少同学对于人造卫星的变轨问题模糊不清，在此针对上述问题，将个人在卫星变轨问题上的处理与同行共享，希望能够对二轮复习有所帮助，不妥之处，还望指正。 一、人造卫星基本原理 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GM r T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是确定的。如果卫星的质量也确定，一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。同理，只要上述物理量之一发生变化，另外几个也必将随之变化。 二、在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。 1、渐变 由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。 解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。 如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。 由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力r m v 2 减小了，而万有引力大小2r GMm 没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r 将减 人造卫星 宇宙速度 主讲人：市二中 周龙 教学目标： 认识目标：使学生了解人造卫星的有关知识,知道卫星的发射原理,知道三 个宇宙速度. 能力目标：会推导第一宇宙速度,理解v 、r 之间的关系,理解同步卫星必 须定点在赤道上方一定高度处. 情感目标：通过介绍我国航天事业的发展,加强学生的爱国主义教育. 教学过程：一、新课引入：课件展示：在地面上高度为h 的一点,以初速 度v 0向水平方向抛射的物体,将沿抛物线轨道落到地平面上. 二、授新课： （一）人造卫星的原理 课件展示：人造卫星的原理图 （二）宇宙速度： 设地球质量为m /,卫星质量为m,卫星到地面的距离为r,卫星的环绕速度为 v,则有： 对于靠近地面运行的人造卫星,可以认为轨道半径r 与地球的半径R 近似 R Gm v /= 将m /=5.89×1024kg,G=6.67×相等,则有： 10-11N.m 2/kg 2 R=6.37×106m 代入可将 或者：对于靠近地面运行的人造卫星,可以认为地球对卫星的引力差不多 等于卫星的重量mg,即：mg R m m G =21将 Gm /=gR 2将其代入R Gm v /= 将 gR v = 将g=9.8m/s 2 R=6.37×106m 代入得s km v /9.7= v=7.9km/s 第一宇宙速度绕地道行的最大环绕速度也是地球卫生的最小发射速度. V=11.2km/s 第二宇宙速度 卫星挣脱地球束缚的最小发射速度. V=16.7km/s 第三宇宙速度 卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度. 2、人造卫星的发射速度是决定其运行轨道的主要因素. 地球对人造卫星的万有引力为2/r m m G F = 人造卫星绕地球做圆周运动所需的向心力r v m F 2/ = ①当F=F /时,人造卫星轨道为圆形 ②当F 2015年高考物理拉分题专项训练 专题13 卫星变轨问题分析（含解析） 一、人造卫星基本原理 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GM r T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是确定的。如果卫星的质量也确定，那么与轨道半径r 对应的卫星的动能E k （由线速度大小决定）、重力势能E p （由卫星高度决定）和总机械能E 机（由能量转换情况决定）也是确定的。一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。 在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。 二、渐变 由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢， 卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。 解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星 的其他相关物理量如何变化。 如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及时进 行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。 由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力r m v 2 减小了，而万有引力大小2 r GMm 没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r 将减小。 由㈠中结论可知：卫星线速度v 将增大，周期T 将减小，向心加速度a 将增大，动能E k 将增大，势能 E p 将减小，该过程有部分机械能转化为内能（摩擦生热），因此卫星机械能E 机将减小。 为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。而且万有引力做的正功远大于克服大气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。 根据E 机=E k +E p ，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。 再如：有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量G 是逐渐减小的。如果这个结论 正确，那么恒星、行星将发生离心现象，即恒星到星系中心的距离、行星到恒星间的距离都将逐渐增大，宇宙将膨胀。 4．人造卫星宇宙速度 【教学目标】 1．知识与技能 （1）简单了解航天发展史，了解人造卫星的有关知识 （2）分析人造卫星的运动规律，能用所学知识求解卫星基本问题。 （3）掌握三个宇宙速度的物理意义，会推导第一宇宙速度 2．过程与方法 （1）培养学生在处理实际问题时，如何构建物理模型的能力 （42）学习科学的思维方法，培养学生归纳、分析和推导及合理表达能力。 3．情感态度与价值观 介绍世界及我国航天事业的发展现状，激发学习科学，热爱科学的激情，增强民族自信心和自豪感。 【教学重点】 1、对宇宙速度的理解，第一宇宙速度的推导。 2、根据万有引力提供人造卫星做圆周运动的向心力的进行相关计算 【教学难点】 对运行速度及发射速度的理解与区分。学习本节要注意抓住人造卫星运动特点，结合圆周运动知识及万有引力定律进行综合分析。 【教学方法】 把握几个典型问题，掌握解决问题的一般方法 【教学过程】 第一课时 一、引入课题 仰望星空，浩瀚的宇宙苍穹给人以无限遐想，千百年来，人类一直向往能插上翅膀飞出地球，去探索宇宙的奥秘，李白的“俱怀逸兴壮思飞，欲上青天揽明月”是怎样的一种豪情？到今天这一梦想实现了吗？ 世界上第一颗人造卫星的发射，揭开了人类探索宇宙的新篇章。 二、新课 1．简介人造卫星的发展史 世界上第一颗人造卫星是哪一年由哪一国家发射的？我国哪一年发射了自己的人造卫星？迄今我国共发射了多少颗人造卫星？（从1970年4月24日东方红一号的成功发射，到2007年10月24日嫦娥一号发射，我国发射人造卫星和其他探测器60多个，他们分别在通信，气象，探测，导航等多个领域发挥着重要作用） 通过展示图片介绍我国发射人造卫星的基本情况，包括数量，种类，用途。 2．人造卫星的规律 （1）定性分析人造卫星的运行规律 问：现在我们地球上空有这么多卫星，他们运行的速度一样吗？他们是怎样被发射升空的？ 观察：我国目前发射的部分卫星的运行规律的数据(见下表)： 思考：（1）不同卫星的其运行轨道相同吗？ （2）不同的卫星运行时有什么规律？ （3）你能试着用你学过的知识解释为什么有这样的规律吗？ 教师引导学生讨论发现规律： 高中物理人造卫星变轨 问题专题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896- 人造卫星变轨问题专题 (一) 人造卫星基本原理 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。 轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度 r GM v = 、周期 GM r T 3 2π =、向心加速度2r GM a =也都是唯一确定的。如果卫星的质 量是确定的，那么与轨道半径r 对应的卫星的动能E k 、重力势能E p 和总机械能E 机也是唯一确定的。一旦卫星发生了变轨，即轨道半径 r 发生变化，上述所有物理量都将随之变化（E k 由线速度变化决定、E p 由卫星高度变化决定、E 机不守恒，其增减由该过程的能量转换情 况决定）。同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。 (二) 常涉及的人造卫星的两种变轨问题 1. 渐变 由于某个因素的影响使原来做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。 解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r 是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。 1) 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄 大气的阻力作用。如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型发动机，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的状态），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。这种变轨的起因是阻力。阻力对卫星做负功，使卫星速 度减小，卫星所需要的向心力r mv 2减小了，而万有引力2 r GMm 的 大小没有变，因此卫星将做向心运动，即轨道半径r 将减小。 由基本原理中的结论可知：卫星线速度v 将增大，周期T 将减小，向心加速度a 将增大，动能E k 将增大，势能E p 将减小，有部分机械能转化为内能（摩擦生热），卫星机械能E 机将减小。 为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。而且万有引力做的正功远大于克服空气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。根据E 机=E k +E p ，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。 《人造卫星、宇宙速度》测验题B 一、选择题（每小题中至少有一个选项是正确的） 1．如图1所示，a 、b 、c 是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地 球卫星，a 、b 质量相同，且小于c 的质量，则 （ ） A ．b 所需向心力最小 B ．b 、c 周期相等，且大于a 的周期 C ．b 、c 的向心加速度相等，且大于a 的向心加速度 D ．b 、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度 2．绕地球作匀速圆周运动的人造地球卫星内，其内物体处于完全失重状 态，物体 （ ） A ．不受地球引力作用 B ．所受引力全部用来产生向心加速度 C ．加速度为零 D ．物体可在飞行器悬浮 3．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1 ，则 （ ） A ．两行星密度之比为4∶1 B ．两行星质量之比为16∶1 C ．两行星表面处重力加速度之比为8∶1 D ．两卫星的速率之比为4∶1 4．地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自己静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗人造卫星到地球中心的距离可能是（ ） A ．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等 B ．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 C ．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等 D ．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 5．卫星在到达预定的圆周轨道之前，最后一节运载火箭仍和卫星连接在一起，卫星先在大气层外某一轨道a 上绕地球做匀速圆周运动，然后启动脱离装置，使卫星加速并实现星箭脱离，最后卫星到达预定轨道．星箭脱离后 （ ） A ．预定轨道比某一轨道a 离地面更高，卫星速度比脱离前大 B ．预定轨道比某一轨道a 离地面更低，卫星的运动周期变小 C ．预定轨道比某一轨道a 离地面更高，卫星的向心加速度变小 D ．卫星和火箭仍在同一轨道上运动，卫星的速度比火箭大 6．已知万有引力常量G ，某行星的半径和绕该星表面运行的卫星的周期，可以求得下面哪些量？ （ ） A ．该行星的质量 B ．该行星表面的重力加速度 C ．该行星的同步卫星离其表面的高度 D ．该行星的第一宇宙速度 7．设地面附近重力加速度为g ， 地球半径为R 0，人造地球卫星圆形运行轨道半径为R ，那么以下说法正确的是： ( ) A ．卫星在轨道上向心加速度大小为g R R 22 B ．卫星在轨道上运行速度大小为R g R 20 C ．卫星运行的角速度大小为 g R R 203 D ．卫星运行的周期为g R R 2 03 2 。 8．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1， 线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则 （ ） A ．F 1=F 2＞F 3 B ．a 1=a 2=g ＞a 3 C ．v 1=v 2=v ＞v 3 D ．ω1=ω3＜ω2 图1 人造卫星变轨问题专题 (一) 人造卫星基本原理 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GM r T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是唯一确定的。如果卫星的质量是确定的，那么与轨道半径r 对应的卫星的动能E k 、重力势能E p 和总机械能E 机也是唯一确定的。一旦卫星发生了变轨，即轨道半径r 发生变化，上述所有物理量都将随之变化（E k 由线速度变化决定、E p 由卫星高度变化决定、E 机不守恒，其增减由该过程的能量转换情况决定） 。同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。 (二) 常涉及的人造卫星的两种变轨问题 1. 渐变 由于某个因素的影响使原来做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢的变化 （逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。 解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r 是增大还是 减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。 1) 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。 如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型发动机，将化学能转化为机械能， 保持卫星应具有的状态），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各 个物理量的变化。这种变轨的起因是阻力。阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，卫星所需要的向心力r mv 2减小了，而万有引力2r GMm 的大小没有变，因此卫星将 做向心运动，即轨道半径r 将减小。 由基本原理中的结论可知：卫星线速度v 将增大，周期T 将减小，向心加速 度a 将增大，动能E k 将增大，势能E p 将减小，有部分机械能转化为内能（摩擦 生热），卫星机械能E 机将减小。 为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小， 在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。而且万有引 力做的正功远大于克服空气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星 动能增加。根据E 机=E k +E p ，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。 2) 有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量G 是逐渐减小的。 如果这个结论正确，那么环绕星球将发生离心现象，即环绕星球到中心星球间的2018_2019学年高中物理第三章万有引力定律及其应用微型专题4卫星变轨问题和双星问题学案粤教版必
最新-高中物理知识点整合人造地球卫星的分类素材精品
第七章 卫星变轨问题和双星问题—人教版(2019)高中物理必修第二册检测
2021年卫星变轨问题错解分析(典型例题详细解析)
2020高考物理卫星变轨与航天器对接问题(解析版)
高中物理《人造卫星宇宙速度》教案教科版必修
人教版高中物理必修二人造卫星变轨问题专题
人造卫星基本原理
高一物理必修二第六章 专题强化4 卫星变轨问题和双星问题---学生版
四川省宜宾市一中高中物理《人造卫星宇宙速度》教学设计 教科版必修2
高考物理专题复习：人造卫星变轨问题专题
【高中物理】人造卫星宇宙速度
2015年高考物理拉分题专项训练 专题13 卫星变轨问题分析(含解析)
3.《人造卫星 宇宙速度》教案
高中物理人造卫星变轨问题专题
高中物理人造卫星、宇宙速度》练习卷B
高中物理人造卫星变轨问题专题