浙江省2018年中考数学复习题型研究题型四新定义与阅读理解题类型一新法则运算学习型针对演练

第二部分 题型研究

题型四 新定义与阅读理解题 类型一 新法则、运算学习型

针对演练

1. (2017潍坊)定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图所示，则方程[x ]＝12

x 2

的解为( )

第1题图

A. 0或 2

B. 0或2

C. 1或－ 2

D. 2或－ 2

2. (2016杭州)设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a @b ＝(a ＋b )2

－(a －b )2

，则下列结论：

①若a @b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ；

③不存在实数a ，b ，满足a @b ＝a 2

＋5b 2;

④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a @b 的值最大． 其中正确的是( )

A. ②③④

B. ①③④

C. ①②④

D. ①②③

3. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a

A. 5－1

2

B.

5＋1

2

C. 1

D. 0

4. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：指数

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log21

2

＝－1.

其中正确的是( )

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

5. 对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a<2※x<7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是________．

第6题图

6. 用“?”定义一种新运算：对于任意实数m，n和抛物线y＝ax2，当y＝ax2?(m，n)后都可以得到y＝a(x－m)2＋n，例如：当y＝2x2?(3，4)后都可以得到y＝2(x－3)2＋4.函数y＝x2?(1，n)后得到的函数图象如图所示，则n＝________.

7. 在平面直角坐标系中，对平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：①△(a，

b )＝(－a ，b )；②O (a ，b )＝(－a ，－b )；③Ω(a ，b)＝(a ，－b )．按照以上变换有：△(O (1，

2))＝(1，－2)，那么O (Ω(3，4))＝________．

8. (2017乐山)对于函数y ＝x n

＋x m

，我们定义y ′＝nx

n －1

＋mx

m －1

(m 、n 为常数)．例如

y ＝x 4＋x 2，则y ′＝4x 3＋2x .

已知：函数y ＝13

x 3＋(m －1)x 2＋m 2

x (m 为常数)．

(1)若方程y ′＝0有两个相等实数根，则m 的值为________； (2)若方程y ′＝m －1

4

有两个正数根，则m 的取值范围为________．

9. P 为正整数，现规定P ！＝P (P －1)(P －2)…×2×1，若m ！＝24，则正整数m ＝________．

10. 定义)为二阶行列式．规定它的运算法则为)＝ad －bc .那么当x ＝1时，二阶行列式))的值为________．

11. 对于任意的自然数a ，b ，定义：f (a )＝a ×a －1，g (b )＝b ÷2＋1. (1)求f (g (6))－g (f (3))的值； (2)已知f (g (x ))＝8，求x 的值．

12. (2017张家界)阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2

＝－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a ＋bi (a ，b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．

例如计算：(2－i )＋(5＋3i )＝(2＋5)＋(－1＋3)i ＝7＋2i ； (1＋i )×(2－i )＝1×2－i ＋2×i －i 2

＝2＋(－1＋2)i ＋1＝3＋i ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：i 3

＝________，i 4

＝________； (2)计算：(1＋i )×(3－4i )；

(3)计算：i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2017

.

13. 定义一种对正整数n 的运算“F ”： (1)当n 为奇数时，结果为3n ＋5;

(2)当n 为偶数时，结果为n

2k (其中k 是使n 2k

为奇数的正整数)，并且运算可以重复进行．例如n ＝26时，则26――→F （2）第一次13――→F （1）第二次44――→F （2）

第三次11―→…

那么，当n ＝1796时，第2010次“F”运算的结果是多少？

答案

1. A 【解析】由图象可知，y 的取值为－2，－1，0，1，代入方程易得x 的取值为0，±2，经检验，－2不符合．故选A.

2. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2

－(a －b )2

＝(a ＋b ＋a －b )(a ＋b －a ＋b )＝4ab ，若a @b ＝0，则4ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；a @(b ＋c )＝4a (b ＋c )＝4ab ＋4ac ，a @b ＋a @c ＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，即②正确；∵a @b ＝4ab ，假设a @b ＝a 2

＋5b 2

，那么

4ab ＝ a 2＋5b 2，即 a 2－4ab ＋5b 2＝0，化简得(a －2b )2＋b 2＝0，当a ＝b ＝0时等式成立，

∴③是错误的；∵设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，

b ＝

c －a ，a @b ＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12

c )2＋c2，∴当a ＝12

c 时，4ab 有最大值是c 2，

即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴选项④正确；综上所述，正确的有①②④.

3. A 【解析】由－x 2＋1＝－x ，解得x ＝1－52 或x ＝5＋12

.故min{－x 2

＋1，－

x }＝?????－x 2

＋1（x≤1－52或x≥5＋1

2）－x （1－52≤x≤5＋12

），

由上面解析式可知：①当1－52≤x ≤5＋12

时，min{－x 2

＋1，－x }＝－x ，其最大值

为

5－12 ；②当x ≤1－52 或x ≥5＋12

时，min{－x 2＋1，－x }＝－x 2

＋1，其最大值为5－12.综上可知，min{－x 2

＋1，－x }的最大值是5－12

. 4. B 【解析】①∵24

＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52

＝25，∴log 525＝2，故②错误；③∵2－1

＝12，∴log 212

＝－1，故③正确．故式子正确的是①③.

5. 4≤a ＜5 【解析】根据题意得：2※x ＝2x －2－x ＋3＝x ＋1，∵a ＜x ＋1＜7，即

a －1＜x ＜6解集中有两个整数解，∴3≤a －1＜4，即a 的取值范围为4≤a ＜5.

6. 2 【解析】根据题意得y ＝x 2

?(1，n )是函数y ＝(x －1)2

＋n ；由图象得，此函数的顶点坐标为(1，2)，所以此函数的解析式为y ＝(x －1)2

＋2，∴n ＝2.

7. (－3，4) 【解析】∵Ω(3，4)＝(3，－4)，∴O (Ω(3，4))＝O(3，－4)＝(－3，4)．

8. (1)12；(2)m ≤34且m ≠1

2

.

【解析】(1)因为y ＝13

x 3＋(m －1)x 2＋m 2x ，则y ′＝x 2＋2(m －1)x ＋m 2

，由题可知方程

x 2＋2(m －1)x ＋m 2＝0有两个相等实数根，则Δ＝[2(m －1)]2－4×1×m 2＝0，解得m ＝12

；

(2)由题可知x 2＋2(m －1)x ＋m 2＝m －14有两个正数根，整理得x 2＋2(m －1)x ＋m 2

－m ＋14＝0

有两个正数根，则????

?Δ≥0x 1＋x 2>0x 1x 2>0

，即

?????[2（m －1）]2－4（m 2

－m ＋14

）≥0

－2（m －1）＞0m 2

－m ＋14＞0

，

解得m≤34且m ≠1

2

.

9. 4 【解析】∵P ！＝P (P －1)(P －2)…×2×1＝1×2×3×4×…×(P －2)(P －1)P ，∴m ！＝1×2×3×4×…×(m －1)×m ＝24，∵1×2×3×4＝24，∴m ＝4.

10. 0 【解析】根据题意得当x ＝1时，原式＝(x －1)2

＝0.

11. 解：(1)f (g (6))－g (f (3))＝f (6÷2＋1)－g (3×3－1)＝f (4)－g (8)＝4×4－1－(8÷2＋1)＝15－5＝10；

(2)∵f(g (x ))＝f (x ÷2＋1)＝8，f (3)＝3×3－1＝8， ∴x ÷2＋1＝3，∴x ＝4. 12. 解：(1)－i ；1； 【解法提示】∵i 2

＝－1， ∴i 3＝i 2·i ＝－i ，i 4＝i 2·i 2

＝1. (2)原式＝3－4i ＋3i －4i 2

＝3－i ＋4 ＝7－i ；

(3)根据题意可得i ＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，i 5＝i ，i 6＝－1，…，i 2016

＝1，i

2017

＝i ，

∵i ＋i 2＋i 3＋i 4

＝0，且2016÷4＝504， ∴i ＋i 2

＋i 3

＋i 4

＋…＋i2017

＝i . 13. 解：根据题意得，当n ＝1796时， 第一次运算，1796

2

2＝449；

第二次运算，3n ＋5＝3×449＋5＝1352； 第三次运算，1352

23＝169；

第四次运算，3×169＋5＝512； 第五次运算，512

29＝1；

第六次运算，3×1＋5＝8； 第七次运算，8

2

＝1；

可以看出：从第五次开始，结果就只是1，8两个数轮流出现，且当次为偶数时，结果是8，次数是奇数时，结果是1，而2010是偶数，因此最后结果是8.