数值分析(颜庆津)第5章 学习小结
第5章 插值与逼近
--------学习小结
一、 本章学习体会
插值法是一种很常见的方法，在一些工具书中，经常使用插值法来读取一些表的数据，但是经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。而如何寻找这样的一个插值函数，以及怎样尽可能的寻找截段误差小的函数就是本章解决的问题。
本章内容繁多，但插值函数其实就是由N 个线性无关的多项式组组成。在理解时，可以按向量来理解。在梳理本章内容时，也可以按照这样的思路来理解：从插值方法，到插值条件，到插值多项式，到截断误差，再到如何控制截断误差，再思考有没有更好的方法？以样条函数为例，样条函数已经在AutoCAD 、UG 、origin 等软件中广泛应用，也有一些学者，编写程序改进现有的样条函数，以减小误差。
本章的内容很多，插值与逼近的方法更是不胜枚举。最重要的是，我们要理解每种方法的思路，以期将其用的得心应手。
二、 本章知识梳理
本章主要介绍插值与逼近，是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替某个复杂或者解析表达式未知的函数，以便简化对后者的各种计算或者揭示后者某些性质。函数插值是对函数的离散数据建立简单的数学模型。
5.1代数插值
代数插值就是插值函数为多项式的插值问题。
本章介绍代数插值有二个方法：Lagrange （拉格朗日）插值多项式、Newton （牛顿）插值多项式。 1、插值的相关定义
（1）、在次数不高于n 的多项式集合},...,{D 10n n Span ???=中寻找多项式
k n
k k n c x p ?∑==0
)(使其满足条件),...,1,0)(()(n i x f x p i i n ==，此问题为一元函数的
代数插值问题。n x x x ,...,,10成为插值节点；)(x f 为被插值函数；),...,1,0)((n k x k =?称为插值基函数；),...,1,0)(()(n i x f x p i i n ==为插值条件；k n
k k n c x p ?∑==0)(为n 次
插值多项式。
（2）满足k n
k k n c x p ?∑==0)(的n 次插值多项式事存在且唯一的。
（3）设实数n x x x ,...,,10互异，称比值0
10110)
()(],[x x x f x f x x f --=
为)(x f 关于节点
10,x x 的一阶差商。称比值1
21020210]
,[],[],,[x x x x f x x f x x x f --=
为)(x f 关于节点
2,10,x x x 的二阶差商。一般的，设)(x f 的k-1阶差商已定义，则比值
1
110210210]
,...,,[],,...,,[],...,,[-----=
k k k k k k x x x x x f x x x x f x x x x f 为)(x f 关于节点
k x x x ,...,10的k 阶差商(k=2,3,…,n)
特殊的，)(i x f 称为)(x f 关于i x 的零阶差商。
2、插值多项式的表达式
（1）Lagrange （拉格朗日）插值多项式
),...,1,0()(0n k x x x x x l n k
j j j
k j
k =--=∏≠= Lagrange （拉格朗日）插值多项式的基
函数
?
??≠==k i k i x l i k ,0.1)( )()()(0
k n
k k n x f x l x p ∑== Lagrange （拉格朗日）插值多项式
（2）Newton （牛顿）插值多项式
)
)...()(](...,[...))(](,,[)](,[)()(110,10102100100----+
+--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x p
为Newton （牛顿）插值多项式。
任一交换节点的次序所得到的的各个n 次Newton （牛顿）插值多项式都是同一个n 次多项式。
（3）由于满足条件),...,1,0)(()(n i x f x p i i n ==的n 次插值多项式是唯一的，所以Lagrange （拉格朗日）插值多项式和Newton （牛顿）插值多项式是同一个n 次多项式。 （4）插值余项 插值余项即误差
设n x x x ,...,,10是互异的实数，对于给定的实数x,实值函数
阶导数具有在区间1n I )(+x t f ，则插值公式)()(x p x f n ≈的余项为
)()!
1()
()(1)1(x w n f x R n n n +++=ξ
))...()(](,,...,[)(1010n n n x x x x x x x x x x f x R ---= 可得差商与导数的关系：
)!1()
(],,...,[)1(10+=
+n f x x x x f n n ξ
3、插值多项式的选择
（1）尽量使截断误差绝对值小一些。
影响因素主要是插值多项式的次数n 和插值节点的选择。 （2）采用分段低次插值。
5.2Hermite 插值 1、Hermite 插值的定义
2、Hermite 插值多项式的构造
)()()()(11x w x q x p x H n m n n m ++++= 3、Hermite 插值多项式的余项
∏=+++++-++=-=m
k i n n m n m n k x x x w n m f x H x f x R 01)2(1)
()()!2()
()()()(ξ
5.3样条插值
1、K 次样条函数
对于区间[a,b]上的一个分划b x x x x a n n =<<<=-110...:π如果函数)(x s 满足条件
（1）)(x s 在每个子区间)1,...2,1,0](,[1-=+n i x x i i 上是次数不高于K 的多项式。 （2）)(x s 在区间（a,b ）上具有K-1阶连续导数，称)(x s 是定义在[a,b]上对应于分划π的K 次多项式样函数。
n x x x ,...,,10称为样条节点，其中1-1,...,,n x x 称为内节点，n x x ,0称为边界节点。相应于分划π的k 次样条函数的全体为π,D k 2、样条函数空间π,D k 的基
对于区间[a,b]上的一个分划b x x x x a n n =<<<=-110...:π
π,D k 的一组基：1,...,2,1
,)(,,...,2,1,0,-=-=+n j x x k j x k j j })(,...,)(,...,,,1{D 112,k
n k k k x x x x x x x span +-+--=π
3、K 次样条函数的表示
b x a x x
c k x a x s k
n j j j j
k
j j ≤≤-+=+-==∑∑,)(!1)(110
4、三次样条插值问题
对于区间[a,b]上的一个分划b x x x x a n n =<<<=-110...:π函数)(x f 在每个节点处的值为)...,2,1,0)((n i x f y i i ==如果三次样条函数π,3D s(x)=，满足条件
n i y x s i i ,..,2,1,0,)(==则称s(x)为函数)(x f 的三次样条插值函数。 三次样条插值函数：
b x a x x
c x a x s j n j j i
i i ≤≤-+=+-==∑∑,)(!31)(31
13
三种边界条件：
（1）n y x s y x s '')('','')(''00== （2）n y x s y x s ')(',')('00==
（3）周期性条件
)('')(''),(')(),()(0
00n n n x s x s x s x s x s x s -+
-+===
误差估计
设)(x f 在区间[a,b]上有四阶连续导数，)(x s 是关于第一或第二种边界条件的三次样条插值问题，记
i
n
i i i i h h x x h ≤≤-=-=11max ,
则有估计
)
2,1,0(4)
4()
()(=≤--∞
∞
m h f a s f m m m m 其中2
10,,a a a 都是与f 和h 无关的常数。
三次样条插值函数的构造方法： （1）待定系数法
b
x a x x c x a x s j n j j i
i i ≤≤-+=+-==∑∑,)(!31)(31
13
利用边界条件和上面的公式来做 （2）三弯矩法
三弯矩方程：)1,...,2,1(211-==+++-n i M M M r i i i i i i βα
其中：
i
i i i i i h h h αγα-=+=
++1,1
1
???
?
??---+=
-++-i i i i i i i i i h y y h y y h h 11116β
5.5正交多项式
5.5.1正交多项式概念与性质 1.内积的性质
).(),(f g g f =；
),(),(),(g f k kg f g kf ==，k 为常数；
),(),(),(2121g f g f g f f +=+； 若在[]b a ,上0)(≠x f ，则0),(>f f 。 2.正交多项式的性质 1）数乘性 2）唯一性 3）根的性质 4）递推性
5.5.2 几种常用的正交多项式 1、Legendre 多项式
Legendre 多项式重要性质：
1)、Legendre 多项式系{})(x L n 是区间[]1,1-上的正交多项式系。 2）、)(x L n 的最高次项系数为
2
)
!(2)!
2(n n a n n =
3）、n 为奇数时，)(x L n 为奇数，n 为偶数时)(x L n 为偶函数。 4）、满足递推关系：当1≥n 时，有
)
(1)(112)(11x L n n
x xL n n x L n n n -++-++=
Chebyshev 多项式
Chebyshev 多项式重要性质：
)(x T n 是x 的n 次多项式，并且当1≥n 时，)(x T n 的最高次项系数为
12-=n n a
2）Chebyshev 多项式系{})(x T n 是区间[]1,1-上带权2
11x
-的正交多项式。
3）)(x T n 满足递推关系
??=-==≡-+)
,2,1)(()(2)()(1)(11
10 n x T x xT x T x
x T x T n n n 4）当1≥n 时，)(x T n 在开区间()1.1-内有n 个互异实零点，它们是
πn
i n x i 21
)(2cos
+-=()n i ,,2,1 = 5）当n 为奇数时，)(x T n 为奇数，n 为偶数时)(x T n 为偶函数。
Hermite 多项式
Hermite 多项式重要性质：
)(x H n 是x 的n 次多项式，并且它的最高次项系数为n n a 2=。
Hermite 多项式系{})(x H n 是在区间()+∞-∞,上带权2
x e -的正交多项式系。
事实上有???=≠=?∞
∞
--n
m n n
m dx x H x H e
n n m x ,!2,0)()(2
π
5.6 函数的最佳平方逼近 5.
6.1 最佳平方逼近的概念与解法 1、最佳平方逼近的概念
2、最佳平方逼近的充分必要条件
设[]b a C x f ,)(∈，n H x p ∈*)(是子空间n H 中对于()x f 的最佳平方逼近元素的充分必要条件是
0),(=-*j p f ?，n j ,,1,0 =
或对任一个()n H x p ∈，总有0),(=-*p p f
3、最佳平方逼近元素是唯一的
设[]b a C x f ,)(∈。则在子空间n H 中对于()x f 的最佳平方逼近元素是唯一的。
4、最佳平方逼近元素的求法
()()x c x k n
k k φ?∑=*
*
=0 求系数*k
c
5、最佳平方逼近误差
),(**--=??δf f
均方误差：δ
)
,(),(0f c f f k n
k k ?δ∑=*
==
5.6.2、正交函数系在最佳平方逼近的应用
设()()()()x x x x n ????,,,,210 为[]b a ,上带权()x ρ正交函数系，则
()
()
k k k k f c ???,,=
*，n k ,,2,1,0 =
1、Legendre 多项式的应用
对于给定的函数[]1,1)(-∈C x f ，要求)(x f 在[]1,1-上的n 次最佳平方逼近多项式
)(x p n ，前已指出，这个问题相当于在内积为
()()()?=b
a dx x g x f g f ,
的情形下，在子空间
{}
n n x x x span x H ,,,,1)(2 =
中寻求对()x f 的最佳平方逼近元素)(x p n 。今对该n H 另取一组基底，即
{}n n L L L span x H ,,,)(10 =
其中()x L j 是j 次Legendre 多项式。此时，法方程()),(,0j j k n
k k
f c ???=∑=*
的解
可直接得到，即
()()dx x f x L k L L L f c
k
k k k k
)(0(212,,11-*+==),,1,0(n k = 所求的n 次最佳平方逼近多项式为
)()(0
x L c x p n
k k k n ∑=*
=， 11≤≤-x
如果所给的区间不是[]1,1-，而是一般的有限区间[]b a ,，那么，可以通过变量置换 2
2a b b a x -+=
将它转化为区间的11≤≤-t 的情形来处理。
2）设[]1,1)(-∈C x f ，则由式)()(0x L c x p n
k k k n ∑=*
=（11≤≤-x ）和系数公式
()()dx x f x L k L L L f c k k k k k )()(2
12,,1
1?-*+==
),,1,0(n k =所确定的多项式)(x p n 。当∞→n 时均方收敛于)(x f ，即
0),(lim =--∞
→n n n p f p f
若[]1,1)(-∈''C x f ，则当∞→n 时多项式)(x p n 在区间[]1,1-上一致收敛于)(x f ，即
0)()(max lim 1
1=-≤≤-∞→x p x f n x n
当∞→n 时由系数公式()()dx x f x L k L L L f c k k k k k
)()(2
1
2,,+==*
所确定的式
)()(0
x L c x p n
k k k n ∑=*
=就成为一个无穷级数：)(0
x L c n k k k ∑=*
，11≤≤-x
2、Chebyshev 多项式的应用 1）内积
()dx x
x g x f g f ?--=1
121)()(,
并取[]1,1-C 的一个子空间
{}n n T T T Span
H ,,,10 = 其中)(x T j 是j 次Chebyshev 多项式。n H 中任一元素为
)(2)(1
20x T a a x p j n
j j ∑=+=， 11≤≤-x
设[]1,1)(-∈C x f 。由于n T T T ,,,10 是在区间[]1,1-上带权2
11x
-的正交函数组，并
且
???
??≠==0,2
0,),(j j T T j j ππ 所以，由式)
,()
,(k k k k
f c ???=*
，),,1,0(n k =可知，当
???
?
??
?=-=-==?--),,2,1.,0(1)()(2),(),(1)(2),(),(2112112
0000n j dx x x T x f T T T f a x x f T T T f a j j j j j ππ 时，式)(2)(120x T a a x p j n
j j ∑=+=所表示的)(x p n 就是空间n H 中对于)(x f 的最佳平方
逼近元素，也就是)(x f 在区间[]1,1-上带权2
11)(x
x -=ρ的n 次最佳平方逼近多项
式。
2） 设)(x f '在区间[]1,1-上存在且有界，那么由式)(2)(1
20x T a a x p j n
j j ∑=+=和系数
公式???
?
???
=-=-==?--),,2,1.,0(1)()(2),(),(1)(2),(),(2112112
0000n j dx x x T x f T T T f a x x f T T T f a j j j j j ππ所确定的多项式)(x p n ，当∞
→n 时，在[]1,1-上一致收敛于函数)(x f 。
3、三角函数系的应用
当被逼近函数)(x f 是以π2为周期的函数时，宜用三角多项式做逼近函数。 定义内积?=π
20)()().(dx x g x f g f
在空间
{}nx nx x x span D n sin ,cos ,,sin ,cos ,1 = 中寻求对于)(x f 的最佳平方逼近元素
)sin cos (2)(0
0kx b kx a a x s k n
k k n ++=∑=
由于有
??
?
??≠====≠=0,),,1,0,(0,2,0)cos ,(cos j k n j k j k j k jx kx ππ
?
?
?=≠=≠=),,2,1,(0,.0)sin ,(sin n j k j k j
k jx kx π ),,2,1;,,1,0(0)sin ,(cos n j n k jx kx ===
故三角函数系{
}nx nx x x sin ,cos ,,sin ,cos ,1 是区间[]π2,0上的正交函数系。由式()()
k k k k f c ???,,=
*
),,1,0(n k =可知，)(x f 在[]π2,0上的最佳平方逼近元素
)sin cos (2)(0
0kx b kx a a x s k n
k k n ++=∑=中的系数为
???
????====??ππππ2020
),,1,0(sin )(1),,1,0()cos (1n k kxdx x f b n k kxdx x f a k k 由公式表示的k k b a ,称为Fourier 级数
)sin cos (20
0kx b kx a a k n
k k ++∑= 的部分和。当()∞-∞∈,)(C x f 且以π2为周期时，系数由公式所确定的)(x s n （∞
→n
时）在任意的x 处收敛于)(x f 。
4、 曲线拟合与曲面拟合 （1）曲线拟合的概念
一直数据点：),(i i y x ，m i ,,2,1,0 =寻找一个函数)(x y ?=，使其在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲面拟合的好。 四种误差：
最大误差：i i n
i n y x E -=≤≤)(max 1?
平方误差：∑=-=n
i i i y x n E 1
1)(1?
均方根误差：21
1
22))(1(∑=-=n i i i y x n E ?
误差平方和：∑=-=n
i i i y x E 1
2
)(?
用四种方法可以分别得到在四种准则下的四条最佳拟合曲线，使其误差平方和最小的方法称为最小二乘准则。 曲线（数据）拟合的最小二乘法：
给定一组数据),(i i y x ，m i ,,2,1,0 =在某一函数类D 中找函数)(x y *=?使：
[]
()[]2
2
min )(∑∑===*
-=-m
i i i m
i i i y x y x ??
?
称)(x *?为上述数据的最小二乘拟合曲线。 拟合曲线的求法
[]
()[]2
2
min )(∑∑===*
-=-m
i i i m
i i i y x y x ??
?
)()(0
x c x j n
j j ??∑=**
=
y A Ac A T T =* 误差平方和
()[]
2
∑=-=m
i i i y x ?σ
最小二乘法的分类： ①线性最小二乘法
拟合函数是待定参量的线性函数。
x
c c x y 1
0)(+
= 一般设：
)()()()(1100x c x c x c x y m m ???+++= ②非线性最小二乘法
拟合函数使待定参量的非线性函数。
x
b ae x y =)(
可转换为线性函数。
基函数的选取（以多项式作为拟合函数类） 选择幂函数j x ，n j ,,2,1,0 =作为基函数
构造在点集{}m i x i ,,2,1,0, =上的正交多项式系{}n j j ,,2,1,0, =? 其构造的公式为：
???
??-=--=-==-+1
,,2,1),()()()()(1)(11
10n j x x x x x x x i i i i i ?β?α?α?? 其中：
1,,1,0,)
()
(0
2
02-==∑∑==n j x x x m
i i j
m
i i j
i
j ?
?
α
1,,2,1,)
()
(0
210
2
-==∑∑=-=n j x x m i i j m
i i j
j ??
β
取Chebyshev 多项式作为基函数
)arccos cos()(x n x T n =
若),,1,0(m i x i =分布在[]1,1-内，
i x 的选取：)(1x T m +的全部零点：
m i m i m x i ,,1,0,)
1(21)(2cos =++-=π
最佳元素：∑=+=n j j j x T c c x 1
**0
*
)(2)(?
n k x T y m y c i k m
i i k k k k
,,2,1,0),(12),(),(0
* =+=ΦΦΦ== 若),,1,0(m i x i =只能分布在[]b a ,内， 令t a
b b a x 2
2-++=
)()(t g x f y ==
取m i m i m t i ,,1,0,)
1(21
)(2cos
=++-=π ∑==n j j j t T c c t 1*
*0*
)(2)(φ→∑=---=n j j
j b a x a b T c c x 1**0))2(1(2)(? n k x T y m c i k m
i i k
,,2,1,0),(120
* =+=∑= （d ）取三角函数为基函数
{}x n x x nx x x )1sin(,,2sin ,sin ,cos ,,2cos ,cos ,1- 在点集{}1
20
),(-=m j j j y x 上正交 []ππ,-∈j x ，ππm
j
x j +-=，12,,2,1,0-=m j
∑-=+++=1
1
)sin cos (cos 2)(n k k k n kx b kx a nx a a x ?
???
????
-====∑∑-=-=1,,2,1,sin 1,,1,0,cos 11
20120n k kx y m b n k kx y m a m i i k
m i i k
三、 本章思考题
以下列表显示出我国若干年份的研究生招生人数，请你运用最小二乘方法，建立适当的模型，测算未来两年我国的研究生招生人数。（目的：训练知识应用的综合能力。）
解：（1）首先利用描点先根据给出数据估计函数类型 在MATLAB 中的命令窗口输入下列命令：
>> y0=[1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005];x0=[6.8 8.7 12.8 15.6 20.26 26.7 32.6 37.0];x=5:5:40;y=spline(x0,y0,x);plot(x,y),grid on 输出结果：
（2）估计其可能为指数型函数：（记人数为y,年份为x ）
x
b
ae x y )(
此时)(x y 不是某组已知函数的线性组合，对上式两边取对数：
x b a x y +
=ln ))(ln(
记：U=lny,c 0=lna,c 1=b,则有：
x c c x 1
0u +
=）（
得到下面的数据变换表：
令：x 110==??，
系数矩阵A=?????
???
???
??
?????
?? ??200511200411200311200211200111200011199911199811 由u A Ac A T T =求出10,c c 。然后得到)(x y 的函数表达式，
在给定年份，求出未来年份的人数。
四、 本章检测题
给定数据4
)2(,3)1(,2)1(,1)0('====f f f f , 用构造基函数的方法构造三次插值多项式，并写出插值余项。 解：
由题分析，利用Hermite 插值法来解
)()()()(11x w x q x p x H n m n n m ++++=
得到：
12
1
21)(22++=
x x x p 设)2)(1)(0()()(23---+=x x x a x p x H
将3)1('
3=H 带入上式得：2
3-=a
所以12
7
423)(233++-=x x x x H
数值分析第五章学习小结
第五章学习小结 姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2******* 一、本章学习体会 本章的内容与实际关联很大，可以解决很多工程实际问题。1、主要有两方面内容：插值与逼近。插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。逼近即是用简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最小最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。2、插值中样条插值比较难，需要花一定的时间。逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最小。3、我个人觉得本章的难点是样条插值与最佳平方逼近。 二、知识构图： 因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。 1、插值：
2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下方式： 一、正交多项式 1、正交多项式的概念与性质 若在区间上非负的函数满足 （1）对一切整数存在； （2）对区间上非负连续函数，若 则在上，那么，就称为区间上的权函数。 常见的权函数有 2、两个函数的内积 定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称 为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。 内积的性质： （1）对称性：()(),,f g g f =； （2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==； （3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+； （4）非负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。 (,)a b ()x ρ0,()b n a n x x dx ρ≥?(,)a b ()f x ()0b n a x x dx ρ=? (,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)a b 2 ()1,()11 ()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤= -<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞ (,)a b (,)()()()b a f g x f x g x dx ρ=?(,)0f f >
最新第六章习题答案-数值分析
第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<
数值分析第二章小结
第二章小结 对于n 元线性方程组b A =x (*),其中A 为非奇异矩阵,当0det ≠A 时,方程组有唯一的解向量。求解线性方程组的方法可分为两类：直接法（如克莱姆法则，高斯消去法等）和迭代法（Jacobi 迭代法和GS 迭代法等）。 一 、直接法 1、Gauss 消去法:(1) 顺序Gauss 消去法:将矩阵化为上三角矩阵 (2) 列主元素Gauss 消去法:将增广矩阵],[)()(k k b A 中绝对值最大的元素交换到底k 行的主对角线上。 比较：顺序Gauss 消去法的计算结果数值稳定性没有列主元素Gauss 消去法的好。 2、直接三角分解法： (1)定义 Doolittle 分解法和Crout 分解法:如果方程组b A =x 的系数矩阵A 可以分解为A=LU,其中L 是下三角矩阵U 是上三角矩阵,这样方程组b A =x 就化为两个容易求解的三角方程组:y U b Ly ==x ,。 定理3 Doolittle 分解法的充要条件是矩阵A 的前n-1阶顺序主子式0≠K D (k 取1,2,3,4...,n-1) 推论 矩阵A 有唯一Crout 分解的充要条件是A 的前n-1阶顺序主子式0≠K D (k 取1,2,3,4...,n-1) Doolittle 分解计算公式为: 对于k=1,2,3...,n ),...,1,(1 1n k k j u l a u k t tj kt kj kj +=-=∑-=
);,...,2,1(/)(1 1n k n k k i u u l a l kk k t tk it kj ik <++=-=∑-= 则求解下三角方程组y U b Ly ==x 和上三角方程组的计算方程式: ???? ?????--=-===-==∑∑+=-=1 ,,2,1,/)(u /),,3,2(11111 n n i u x u y x y x n i y l b y b y ii n i t t it i i nn n n t i t it i i Crout 分解计算公式为: 对于k=1,2,3...,n ),...,1,(1 1n k k j u l a l k t tk it ik ik +=-=∑-= );,...,2,1(/)(1 1n k n k k j l u l a u kk k t tj kt kj kj <++=-=∑-= 则求解下三角方程组y b y U L ==x ~ ~和上三角方程组的计算方程式: ?????????--=-===-==∑∑+=-=1 ,,2,1,),,3,2()(/1111111 n n i x u y x y x n i l y l b y l b y n i t t it i i n n ii t i t it i i (2)选主元的Doolittle 分解法 优点:对A 的要求低,只要矩阵A 可逆即可,即只要矩阵A 非奇异便可通过对A 做适当变换就可以了. 二、迭代法 1、思想：通过构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组b A =x 的解向量，通过求迭代矩阵，再通过迭代公式使解向量逐步逼近精确解。所以迭代法的缺点也很明显，凡是迭代法都存在收敛性与
数值分析心得体会
数值分析心得体会 篇一：学习数值分析的经验 数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级：计算131 学号：XX014302 姓名：曾欢欢 数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用，可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容，也巩固了MATLAB的学习，有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中，我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想，才能让我们独立自主的完成该作业，如果是上述能力有限的同学，需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度，所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容，借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中，我复习了各种知识，所以我认为这门课程是有必要且是有用处的，特别是需要处理大量实验数据的人员，很有必要深入了解学习它，这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。 学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解等。
首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始，从研究他们的定义，性质再到证明与应用。但实际上，尤其是工程，物理，化学等其它具体的学科。往往我们拿到 手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验，需要代回到公式 进行分析，验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验，无具体 公式定理可代。那就必须通过插值，拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂，在工程中不实用，所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表 示。学习数值分析，不应盲目记公式，因为公事通常很长且很乏味。其次，应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法，就 是就是把实验所得的数据看成是公式的解，由这些解反推出一个近似公式，可以具有局部一般性。再比如说拟合，在插值的基础上考虑实 验误差，通过拟合能将误差尽可能缩小，之后目的也是得到一个具有 一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际，比如在物理实验里面很多
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即： 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的 和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)
一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而 f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|
数值分析第二章小结
第2章线性方程组的解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。 本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前《线性代数》学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。第三节矩阵的条件数与病态方程组，我 Ax 的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通首先了解到的是线性方程组b 过观测或计算而得到，因而会带有误差。即使原始数据是精确的，但存放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab 的编程中还存在很大的问题。 在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序编写上还存在很多问题。希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。 二、本章知识梳理 2.1、Gauss消去法（次重点） Gauss消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。 a(k=1,2,```,n-1)均不为零的充分必要条件定理顺序Gauss消去法的前n-1个主元素)(k kk 是方程组的系数矩阵A的前n-1个顺序主子式
第五章习题解答_数值分析
第五章习题解答 1、给出数据点:0134 19156 i i x y =?? =? (1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。 解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数 2 20 2 1303011915 01031013303152933 ()()()()()() ()()()()()()()() i i i x x x x x x L x l x y x x =------== ?+?+?-------++= ∑ 代入可得2151175(.).L =。 (2)利用 134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表： 229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。 (3)用事后误差估计的方法可得误差为 ()()()02222 03-x 150 x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈= -≈- ()()()3222203-154 x x -=1175135-1.0938-04 .()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈- 2、设Lagrange 插值基函数是 0012()(,,,,)n j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏ 试证明:①对x ?,有 1()n i i l x ==∑ ②00110001211()()(,,,)()()n k i i i n n k l x k n x x x k n =?=?==??-=+? ∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。 证明： ①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10 1()()()()()!n n i i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行
数值分析第一章学习小结
数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的数的相关容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于数，不明白数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理
2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源
误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 绝对误差限： （2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。 相对误差： 相对误差限： 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。 （3）有效数字的定义 有效数字的第一种定义:设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到小数点后第k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。
第六章习题答案数值分析.docx
第六章习题解答 2 2、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值， 并估计两种方法计算值的最大 1 误差限。 解：①由梯形公式： T ( f ) b a [ f (a) f (b)] 2 1 [ln1 ln 2] ln 2 0.3466 2 2 2 最大误差限 R ( f ) (b a)3 f '' ( ) 1 1 1 0.0833 T 12 12 2 12 12 其中， (1,2) ②由梯形公式： b a 4 f ( b a f (b)] 1 4ln( 3 ln 2] 0.3858 S( f ) [ f (a) ) [ln1 ) 6 2 6 2 最大误差限 R S ( f ) (b a)5 f (4) ( ) 6 6 0.0021， 2880 2880 4 2880 其中， (1,2) 。 4、推导中点求积公式 f ( x)dx (b a) f ( a b ) (b a) 3 (a b) b a 2 24 证明： 构造一次函数 P （ x ），使 P a 2 b f a b , P ' ( a b ) f ' ( a b ), P '' ( x) 0 2 2 2 则，易求得 P( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 且 P(x)dx f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) dx b b a a 2 2 2 f ( a b )dx (b a) f ( a b ) ，令 P(x)dx I ( f ) b b a 2 2 a 现分析截断误差：令 r ( x) f ( x) P(x) f ( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 由 r ' ( x) f ' (x) f ' ( a b ) 易知 x a 2 b 为 r (x) 的二重零点， 2 a b )2 ， 所以可令 r (x) ( x)( x 2
数值分析实验报告总结
数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科
如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以
数值分析 第六章 习题
第六章 习 题 1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。 （1）1101A ???=????，（2）312020116A ????=??????? . 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组 1231231 238322041133631236x x x x x x x x x ?+=??+?=??++=? 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。 3. 用Gauss-Seidel 迭代求解 12312312 35163621122x x x x x x x x x ??=??++=???+=?? 以(0)(1,1,1)T x =?为初值，当(1)() 310k k x x +?∞?<时，迭代终止。 4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=?? +=? （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。 （2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件. 5. 设有系数矩阵 122111221A ?????=?????? ， 211111112B ?????=??????? ， 证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛. （2）对于矩阵B ，. 6. 讨论方程组 112233302021212x b x b x b ?????????????=??????????????????? 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快.
《数值分析》第五章答案
习题5 1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式：?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式：?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈，??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??，),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ ， 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+，)2 ()2(b a f b a H +'=+'，则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ， ),(b a ∈ξ 于是 2．考察下列求积公式具有几次代数精度： （1） ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ； （2） )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。 解： （1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右； 当x x f =)(时，左21= ，右=2 1 210=+，左=右； 当2 )(x x f =时，左=3 1 ，右=1，左≠右，代数精度为1。
数值分析第四章学习小结
第四章学习小结 本章为非线性方程与非线性方程组的迭代解法，由此可分为两大节4.1非线性方程的迭代解法和4.2非线性方程组的迭代解法。本章以人口增长模型为引言，由于在实际应用中只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值法求出它的根的近似值，本章将要介绍几种常用的有效的数值求根方法，它们都属于迭代法，因而还要讨论这些方法的收敛性和收敛速度。 4.1.1对分法 （1）基本思想： ①确定方程有根的区间； ②将区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列{}k x ，在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。收敛速度与公比为12 的等比数列的收敛速度相同。 (2)迭代终止条件 或者 (3)二分法的优缺点： 优点：程序简单，总能求出近似根，对()f x 要求不高。 缺点：收敛速度慢，只能求单根和奇数重根，不能求偶重根，复根。二分法一般用于对根求近似根。 4.1.2简单迭代法及其收敛性 迭代法的基本思想: 迭代法是一种逐次逼近法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使 12 a b x +=2k k b a ε-<2 k k k b a x s ε--≤
之逐步精确化，最后得到满足精度要求的解。 迭代法的基本思想是将隐式方程()x x ?=的求根问题归结为计算一组显式公式1()k k x x ?+=，逐步过程实际上是一个逐步显示化的过程。 收敛性：若由迭代公式1().1,2,3...k k x x k ?+==产生的序列{}k x 收敛于x *，则x *是原方程的根。 收敛条件： a ．非局部收敛性定理：设函数()[,]x C a b ?∈，在（a ，b ）内可导，且满足两个条件： （1）当[,]x a b ∈时，()[,]x a b ?∈；（2）当[,]x a b ∈时，'()1x L ?≤<，其中L 为一常数。则有如下结论： （1）方程()x x ?=在[,]a b 上有唯一的根s ； （2）对任取的0[,]x a b ∈，简单迭代法1()k k x x ?+=产生的序列{}[,]k x a b ?且收敛于s ； （3）成立误差估计式101k k L s x x x L -≤--或11k k k L s x x x L --≤-- 这种形式的收敛定理称为大范围收敛性定理，但当条件不够充分时，预先指定一个区间常常是不可能的。 b ．局部收敛性定理 设'(),()s s x ??=在包含s 的某个开区间内连续。如果'()1s ?<，则存在0δ>当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1()k k x x ?+=产生的序列 {}[,]k x s s δδ?-+且收敛于s 。 4.1.3简单迭代法的收敛速度
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数值分析学习感想 一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门 课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处 理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微 分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有 了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误 差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误 差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在 别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数 值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出 的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数 学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中 的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容 易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的， 这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的 都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题， 从而知道如何去解决。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下， 我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自 己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触 到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 计算132 2013014923 张霖篇二：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：11级软工一班 姓名： * * * 学号: 20117610*** 指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会 无意中的一次选择，让我接触了数值分析。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学 和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比 较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab。matrix laboratory，即矩阵实验 室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影 响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强 大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语 言接口。 根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c语言，机器语言，java语言，这
数值分析第五章学习小结【计算方法】
第五章最小二乘法与曲线拟合小结 一、本章知识梳理 1、 从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量 的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差 平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合 中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函 数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小 的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合 函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 2、多项式拟合 假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即
(3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。 从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我 们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。 在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛 顿插值多项式。 3、曲线拟合： 曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。
第六章非线性方程的数值解法习题解答
第六章非线性方程的数值解法习题解答 填空题： 1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2.求解方程 在(1, 2)内根的下列迭代法中， (1) (2) (3) (4) 收敛的迭代法是（A ）. A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 3.若0)()(，故迭代发散。 以上三中以第二种迭代格式较好。 2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞ =对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2 0M λ<< 时，均收敛于方程的根。
数值分析 第五章习题
第五章 习 题 1. 用高斯消去法解方程组 123234011921261x x x ????????????=??????????????????? 2. 用LU 分解，将第1题中的系数矩阵分解为L 和U 的乘积，L 是对角线元素为1的下三角矩阵，U 是上三角矩阵. 3. 用平方根法和T LDL 分解为求解方程组 123121332522334x x x x x x x ++=??+=??+=? 4. 证明 （1）两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵. （2）下三角矩阵之逆仍为下三角矩阵. 5. 用列主元素消去法解方程组 1231231 233472212320x x x x x x x x x ?+=???+?=?????=? 取4位数字计算. 6. 对四阶Hilbert 矩阵为系数的方程组 12341234 1234 12341111 234111102345111103456111104 567x x x x x x x x x x x x x x x x ?+++=???+++=???+++=???+++=? 试求其系数方程组A 的条件数()cond A ∞并分析方程组的性态。 7. 如果A 是一个对称正定矩阵，且带宽为21m +，证明在A 的三角分解T A LL =中出现的矩阵L 也是带状矩阵. 8. 设有三对角方程组
11121 2122232 b x c x d a x b x c x d +=+++= (121111) 1n n n n n n n n n n n n a x b x c x d a x b x d ???????++=+= 其系数矩阵有严格对角优势. 试写出用LU 分解求其解的计算公式. 9. 画出2R 中满足下列不等式的集合. （1）11x ≤ （2）21x ≤ （3）1x ∞≤ 10. 求证1I ≥，11A A ?≥. 11. 试证明2 21A A A ∞≤ 12. 对矩阵 2100121001210012A ????????=???????? 求A ∞，2A ，1A 和2()Cond A . 13. 比较下面两个方程组的解. 123123123111 2311102341110345x x x x x x x x x ?++=???++=???++=?? ，1231231231.000.500.3310.500.330.2500.330.250.200x x x x x x x x x ++=??++=??++=?
数值分析第五章答案
数值分析第五章答案 【篇一：数值分析第五版计算实习题】 第二章 2-1 程序： clear;clc; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); or j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i)*df(i); end disp(4次牛顿插值多项式); p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs; disp(三次样条函数); for i=1:4 s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1]; s=vpa(collect(s),5) end x2=0.2:0.08:1.08; dot=[1 2 11 12]; figure ezplot(p4,[0.2,1.08]); hold on y2=fnval(pp,x2); x=x2(dot);
y3=eval(p4); y4=fnval(pp,x2(dot)); plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co); title(4次牛顿插值及三次样条); 结果如下： 4次牛顿插值多项式 p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数 x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x + 0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下 2-3（1） 程序： clear; clc; x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点 n=length(y1); a=ones(n,2); a(:,2)=-x1; c=1; for i=1:n c=conv(c,a(i,:)); end q=zeros(n,n); r=zeros(n,n+1); for i=1:n [q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk) end dw=zeros(1,n); for i=1:n dw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数 end p=dw*q; syms x l8; for i=1:n
数值分析考试复习总结
1 误差 相对误差和绝对误差得概念 例题: 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差 选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差 6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-?≤-≤a x x E . x a x x E r -=)(, 221018 1 10921)(--?=?≤ x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25 .0210113 21??≤ -+---a x x a =310- 33 104110|)(|--?=-≤a f E r . □ 2有效数字 基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题: 4．改变下列表达式使计算结果比较精确： （1） ;1||,11211<<+--+x x x x 对 （2） ;1,11>>- - +x x x x x 对 （3） 1||,0,cos 1<<≠-x x x x 对. 解 (1) )21()122x x x ++. (2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈ +=-. □