简化力学模型简述
简化力学模型简述基于几种简单模型简化实例的研究
姓名：王成龙
班级：车辆工程1303
学号： 131********
学院：交通与车辆工程学院
日期： 2014/12/8
目录
摘要 (1)
一质点模型简化法 (2)
二刚体模型简化法 (3)
三将空间杆件结构简化为平面杆件结构 (4)
3．1. 用杆件的轴线代替杆件 (4)
3.2.用符号表示理想化的支座 (4)
四负载下盖板加固梁柱刚接节点的简化力学模型 (5)
4.1 盖板加固的有限元分析方法 (5)
4.1.1有限元模型 (5)
4.1.2 盖板和梁翼缘之间的应力分布 (6)
4.2盖板加固简化力学模型 (7)
4.2.1基本假设 (7)
4.2.2非负载下加固节点的简化计算模型 (8)
4.2.3 加固节点荷载分配比例简化计算 (10)
4.2.4 算例比较分析 (10)
4.3 负载下盖板加固节点受力性能 (11)
4.3.1 负载下加固的应力分布 (11)
4.3.2 负载下加固节点的简化计算模型 (11)
4.3.3 负载下加固节点可能的破坏模式分析 (12)
4.4 结论 (13)
参考文献 (13)
摘要
模型是科学研究中最基本的方法之一,它在各门学科中,尤其在自然科学中得到了广泛的应用，而模型的简化在理学、工学等方面起着重要作用，它可以极大简化对研究对象的处理，当然在力学这个分支上，模型的简化也不容忽视，特别是在一些复杂的工程问题，可以让我们的问题在不违背客观条件的前提下简化问题的算法，模型等，进而让我们在较复杂的工程问题面前更快更有效更好的解决。
本文分别对在理论力学的主要两大模型,即质点模型和刚体模型的简化进行阐述。
空间杆件结构，负载下盖板加固梁柱刚接节点力学模型等几大常见模型给予简化。负载下盖板加固梁柱刚接节点力学模型等几大常见模型给予简化
笔者还将结构力学中空间杆件结构予以简化即在当某一平面内的杆系可以简化
为独立承受该平面内的荷载时,则可把这个平面杆系分离出来,按平面杆件结构分析
计算用杆件的轴线代替杆件。
该文还在有限元研究的基础上，对盖板和原节点之间的相互作用关系做出合理的假设，并提出了模拟盖板加固的简化力学模型，进一步研究了负载下加固节点的受力性能。通过简化力学模型分析，得到了负载下加固节点中初始荷载与新增荷载在加固盖板与原节点之间的分配关系，负载下盖板加固节点不能视为一个整体来设计，平截面假定也不再满足。同时简化力学模型计算结果表明盖板长度对最终荷载在盖板和原节点之间的分配关系影响很小，盖板厚度是节点负载下加固的主要几何设计参数。
关键字：模型的简化；力学模型；质点模型；刚体模型；空间杆件结构简化；
刚接节点的简化
首先让我们来了解力学模型的定义：遵循认识论的规律,其研究方法是首先从生活、工程或实验中观察各种现象,从复杂的现象中抓住共性,找出反映事物本质的主要因素,略去次要因素,经过简化,把作机械运动的实际物体抽象为力学模型（mechanical model）,建立力学模型是工程力学研究方法中很重要的一个步骤．因
为实际中的力学问题往往是很复杂的,这就需要对同一个研究对象,为了不同的研究
目的,进行多次实验,反复观察,仔细分析,抓住问题的本质,做出正确的假设,使问题
理想化或简化,从而达到在满足一定精确度的要求下用简单的模型解决问题的目的．建立了力学模型以后,还要按照机械运动的基本规律和力学定理,对力学模型进行数学描述,建立力学量之间的数量关系,得到力学方程,即数学模型（mathematical model）．然后,经过逻辑推理和数学演绎进行理论分析和计算,或用计算机求数值解．
一质点模型简化法
质点模型是指当物体的形状和大小与所研究的问题无关或者所起的作用很小的
情况下,我们就可以在尺度上把它看作一个几何点 ,而不必考虑它的形状和大小,它
的质量就可以被认为集中在这个点上,这个点就叫做质点,这种抽象化的模型就叫做
质点模型．可以这样来作进一步的理解:
条件: 物体自身线度远小于相关物 (如参照物 )的大小或者远小于它们之间的
距离或者远小于研究对象所在的范围的尺度,以至于可以忽略物体自身的形状和大小．结果: 不考虑其形状和大小,把它看作一个点．
这样,就将复杂的问题简单化了,仅抓住本质的东西,去除非本质的东西,也就是
仅将其看作一个有质量的点 ,用简明的方法处理复杂的问题．最典型的例子就是地球绕太阳的公转,此时,地球自身的大小比起太阳的大小以及地球与太阳之间的距离或
者研究范围(太阳系)来说可以忽略不计,即把地球作为一个仅有质量点(质点),不考
虑其形状 (椭圆)和大小 (半径 6400公里)．开普勒三大定律就是这样建立起来的．下面 ,举个例子来分析说明质点模型在理论力学的解题中的具体应用．
例1: 小船 M 被水冲走后 ,用一绳子把它拉回岸边的 A 点．假定水流速度 C1沿河宽不变 ,而拉绳子的速度为 C2．求小球的轨迹 (见图1 )．
严格说来,小球不同部位的轨迹是不同的,如图2．但我们不必去考虑小船上各点的轨迹,我们仅将其作为一个整体 (质点) ,不考虑它的形状和大小 ,因为此时小船
相对于河面(研究范围)来说,它的大小是可以忽略不计的．
设小船的位矢为 r,解得 : r = r ( ,,) 为小船的运动轨迹．
二刚体模型简化法
刚体模型是指某物体内部的任何两个质点间的距离不因力的作用而发生改变 ,这样的物体我们把它叫做刚体 ,相应的模型就是刚体模型．可以这样来作进一步的理解：
条件：物体的形状和大小的变化相对于物体自身的大小、或者物体内部的运动相对于所研究的物体的整体运动来说可以忽略不计．
结果：不考虑物体的形状和大小的变化,不考虑物体内部的相对运动,即认为物体内任意两点间的距离保持不变．
在刚体模型中,物体的形状和大小至关重要,这与质点不同,质点模型不必考虑其形状和大小．最典型的例子就是地球的自转,这时,物体(地球)自身大小与研究所取的范围(地球所占的空间)相当,因而,不能将地球作为一个质点来处理,而必须考虑它的形状(近似球体)和大小(半径约为 6400 公里)．但地球内部的相对运动(如地幔运动,河水运动,潮汐等)较之于所研究的地球的自转来说 ,可以忽略不计 ,因而却可以将地球抽象为内部任意两点间的距离不变的刚体．[1]
同样 ,下面举一个例子来分析说明刚体模型在理论力学解题中的应用．
例 2：一质量为 m ,半径为 a的均质圆球 B ,被握着静止在另一半径为的固定圆球 A的顶端．其后,把手松开 ,使其自由滚下．试证:当两球的连心线与竖直向上的
直线间的夹角为时,此时两球将互相分离．
此时,B 球不能作为一个质点,因 B 的大小相对于 A 的大小以及两者之间的距离不能忽略不计,但 B 球的形状和大小的变化可以忽略不计 (严格说来 ,由于受 A 球对 B 球的支持弹力的作用 ,其形状是有所变化的 ,但相对于 B 球和 A 球的大小来说极其微小) ,因此 ,可将其视为形状和大小不变的刚体．只需考虑其质心的运动和绕其质心的转动 (注意：必须考虑绕质心转动 ,这与质点不同 ,质点不需要考虑绕自身质心的转动)．[2]
列方程
注意： ( 1 )式和 ( 2 )式是质心的运动．参照系为地面 , ( 3 ) 式是绕质心的转动 ,其惯量只能是相对于质心.θ外加约束方程： a = ( a + b ) ΦΦ联立可解得：时 , N = 0
即当Φ=时 ,两球分离．
三将空间杆件结构简化为平面杆件结构
一般的杆件结构都是空间结构(图4-a)．当某一平面内的杆系可以简化为独立承受该平面内的荷载时,则可把这个平面杆系分离出来,按平面杆件结构分析计算(图4—b)．用杆件的轴线代替杆件(见图4-c、d)，用符号表示杆件之间理想化的结点．
3．1. 用杆件的轴线代替杆件
杆件结构中,杆件之间的连接区叫做结点．将实际的结点简化为两种理想化的结点：按杆件的受力、位移特点,经常可以分为：
铰结点：被连接的杆件在连接处不能相对移动,但可相对转动．铰用小圆圈作为符号．装配式钢筋混凝土门式刚架的顶铰就是铰结点．工程中更多的是,根据被连接杆件的受力特点而将结点抽象为铰结点（如图5所示）．[3]
图4
刚结点：被连接的杆件在连接处既不能相对移动,又不能相对转动．结点用深色小块作为符号,也可以用线段相接的形状表示．
3.2.用符号表示理想化的支座
结构与基础或其他支承物的连接区称为支座．按照杆件受力、位移的特点,平面杆件结构实际的支座经常简化为三种理想化的支座,
1.固定铰支座：被支承的部分在该处可以转动,不能移动．常用两根相交的链杆作为符号(图5)．[4]
图5
2.可动铰支座：被支承的部分在该处可以转动和沿支承面方位做微小移动．常用一根垂直于支承面的链杆作为符号(图6)．
图6
3.固定端支座：被支承的部分在该处完全被固定．既不产生任何方向的移动、又不产生转动．
四负载下盖板加固梁柱刚接节点的简化力学模型
4.1 盖板加固的有限元分析方法
4.1.1有限元模型
针对国外已有的试验研究节点AD5试件，采用有限元模拟的方法进行了大量的参数分析．有限元模型如图 7所示．
图7
有限元分析表明负载下加固的节点，最终荷载在盖板与原节点梁段之间的分配与非负载下加固的节点有很大不同，设计时应该对盖板和原节点分别考虑．同时还给出了荷载分配的定性关系：初始荷载完全由原节点梁段承担，而加固后增加的荷载由盖板和原节点梁段分担，两者之间分配的比例与非负载下加固的盖板与原节点之间弯矩分配比例相同．
虽然有限元研究能够得到一定的直观的认识，而且通过参数分析能够得到一些定性的结论，但是有限元不能对节点的受力性能得出更深入的力学解释．这就需要建立力学模型来进行进一步的分析．[5]
4.1.2 盖板和梁翼缘之间的应力分布
分析了腋加固节点和肋板加固节点加固件与原节点之间的应力分布，结果显示其分布趋势与腋和肋板的尺寸无关．根据加固节点的设计原则，即加固部分应保持线弹性受力状态，故根据有限元模型，本文也提取了非负载下盖板加固节点在线弹性受力阶段盖板与原节点梁翼缘之间的应力分布．同时为考察应力分布状态与盖板尺寸的关系，本文在国外加固相关的规程FEMA-355D及FEMA-267a中推荐的盖板尺寸范围内选择不同于 AD5节点的盖板尺寸进行参数分析．节点AD5的盖板长度和厚度分别为355.6mm (14inch)及 19.1mm (1.1倍梁翼缘厚度)，所以参数分析中盖板长度分别选取为 317.5mm(12.5inch)及381mm(15inch)，而盖板厚度分别选取为17.4mm(1倍梁翼缘厚度)及 20.9mm(1.2倍梁翼缘厚度)．对于这些模型都分别加载到其屈服荷载的0.5倍左右，并且对于提取的盖板与翼缘之间的分布应力做归一化处理，即各处的实际应力值除以最大的分布应力，而相应距离柱翼缘表面的距离用盖板长度来归一化．得到的结果如图 8所示．
图8 (a) 剪应力分布图8 (b) 剪应力分布
由图8可以看出对于不同的几何模型归一化之后盖板和梁翼缘之间的应力分布趋势完全一致．综合分析结果可知：加固件与原节点之间的应力分布只与采用何种加固形式相关，即若采用盖板加固，只要节点加固部分处于线弹性受力阶段，盖板与梁之间的应力分布趋势不会因为节点所受荷载大小及盖板尺寸变化而变化．图 8反映的应力分布趋势与本文选用的 AD5节点盖板与原节点的连接有关，盖板与梁翼缘端部的角焊缝存在很大的集中力，而盖板与梁翼缘两侧的半熔透焊缝则提供了沿长度方向较为均匀的剪力．盖板与柱翼缘之间的对接焊缝的存在，以及节点处焊接工艺孔、螺栓等使接近柱翼缘表面存在一定的应力集中．
4.2盖板加固简化力学模型
根据上面的有限元结果，先对非负载下加固的节点进行受力分析．由图8（a）应力分布趋势提取简化力学计算模型如下．
4.2.1基本假设
1)忽略螺栓滑移、焊接工艺孔等影响，整个钢梁按等刚度处理．
2)不考虑加固件的塑性发展，加固部分盖板和梁都处于线弹性受力阶段．
3）盖板末端与梁翼缘之间的角焊缝对盖板竖向约束力为P，水平约束力为Q；盖板两侧与梁翼缘之间的半熔透焊缝沿长度方向提供均匀的剪力q(x) = q，忽略其竖向力的作用．根据表1列出的有限元参数分析的结果以及图８中曲线下方所包含面积近似设qa :Q =1，其中a表示盖板长度．计算简图如图９所示，其中A点为盖板末端点，即P、Q的作用点．而梁端施加荷载大小为V．
表 1 qa和Q的比较
图９
4.2.2非负载下加固节点的简化计算模型
分别把盖板和梁做为隔离体建立方程．对于盖板：
由式(1)~式(3)得盖板上A 点变形为：
式中：ｔ表示盖板厚度；Ａ
ＣＰ表示盖板截面面积；Ｉ
ＣＰ
为盖板相对于其截面中
心的惯性矩．
对于梁：
同时考虑剪力引起的剪切变形作用，剪力大小为：
由式(5)~式(7)得梁上A 点变形为：
式中：d 为梁高度；Ib 为梁对其中轴线的惯性矩；G为剪切模型；而γ是与形状相关的参数，对于工字型梁：
式中：Ab 为梁整个截面面积；Aw 表示梁腹板的面积；对于AD5 节点γ约等于2.335．
根据A 点的变形协调方程：
同时考虑计算假设中qa :Q =1，通过式(10)可以求解出P 和Q：
式中：
由式(11)可以看出，当节点几何参数确定之后，简化模型中，P、Q 和梁端加载力成正比．代入模型AD5 节点的所有几何参数、弹性模型及剪切模量等，式(11)可以简化为：
由式(5)、式(13)可以计算得到盖板所分担的弯矩大小为：
其中有限元参数分析的结果对于节点AD5 盖板所分担的弯矩大小分别为最终加固节点总弯矩67.4%，可见简化计算模型与有限元计算结果还是比较吻合的．其误差主要是以下因素：
１) 简化力学模型中忽略了焊接工艺孔的影响，梁段视为等刚度的．但焊接工艺
孔的存在对梁有一定的削弱，故节点附近梁段分担的弯矩相应也要减小．而且国外已有研究还指出由于焊接工艺孔的存在，梁腹板上的剪力焊接工艺孔附近的梁翼缘段会产生一定的二阶弯矩，使得盖板分担更多的弯矩．故简化力学模型计算得到的原节点梁段分段分担的弯矩比有限元计算结果要大一些．同时从有限元计算结果可以看出，焊接工艺孔周围存在很大的应力集中．
2) 忽略了螺栓滑移的影响．螺栓的滑动必然使原节点梁段分担的弯矩减小．
3) 对于应力的分布(即q(x)，Q，P)也有一定的简化．
4.2.3 加固节点荷载分配比例简化计算
在式(14)中，令：
则式(14)可以化简为：
由式(16)可知，k 是只与盖板加固节点的几何尺寸相关的参数；对于一个特定的节点，k 就是一个固定的值．这与有限元参数分析的结论相同，对于非负载下加固的节点，在梁加强部分保持线弹性受力的状态下，盖板及原节点梁段所分担的弯矩和节点总弯矩成正比．
利用 MATLAB [6]可以得到参数k 的具体表达式，最终的表达式与中盖板长度a 这一参数可以完全约去，这与有限元参数分析结果一致，即非负载下加固节点总弯矩在盖板和原节点梁段之间的分配与盖板的长度无关．但是k 的完整表达式仍比较复
杂．注意到近似等于上下两块盖板相对于梁中心的惯性矩Ｉ，同时省略掉一些较小的项，可以得到k进一步的简化表达式为：
由式(17)可以看出，k 是只与盖板厚度相关的参数，若截面受力满足平截面假定，则m = n =1，但实际代入节点几何数据计算结果m 、n 都约等于2(略小于2)，即由于梁柱节点连接处几何上的不连续，平截面假定不再适用，这与国外以后的关于盖板加固节点研究的结论一致．
4.2.4 算例比较分析
若令m = n = 2，对于 AD5 节点采用不同的盖板厚度进行加固，分别为0.8 倍~1.2 倍梁翼缘厚度，采用式(17)计算得到的结果和有限元结果的比较如表2 所示．同时平截面假定的结果也列出来，可以看出，平截面假定对于节点附近梁的受力不再满足．而式(17)的结果与有限元结果吻合的很好．
表2 有限元与简化模型结果比较
4.3 负载下盖板加固节点受力性能
4.3.1 负载下加固的应力分布
对于负载下加固的节点同样提取盖板和梁翼缘之间的应力分布，做归一化处理后与非负载下加固节点的应力分布比较，图10为盖板与原节点梁翼缘之间剪应力的分布比较(法向应力分布略)．可以看出，虽然是负载下加固，盖板与梁之间的应力分布趋势仍然相同．所以前面用于非负载下加固的简化计算模型的假设仍然适用，但是加固前梁就有一定的变形，故变形协调方程也将发生一定的变化．
图10
4.3.2 负载下加固节点的简化计算模型
对于加固前节点，在初始荷载的作用下A点产生初始变形，即在如图9所示受力简图中，只有梁端作用，盖板尚未施加，P、Q、q(x)也不存在．此时梁的受力为：
由上面两式可以求得梁的初始变形为：
加固后在梁端继续加载，增加的荷载大小为ΔV；此时梁端作用的总荷载大小为V=V0+ΔV，而P、Q、q(x)仍满足图9 的简化力学模型和非负载下盖板加固节点计算假设．盖板与梁在荷载V 作用下A 点的变形通过式(4)和式(8)求得，最后变形协调方程为：
对式(21)进一步简化，仍可得到如式(11)的表达形式，其中矩阵B、矩阵C 的所有参数完全没有变化，但V 变为ΔV，即P、Q 值与新增梁端荷载ΔV成正比，如式(22)所示:
求出P、Q 值后代入式(14)，并且考虑到式(16)，得到负载下加固节点最终荷载在盖板与原节点梁段之间的分配：
式中：表示由加固后新增荷载引起的节点处弯矩，而M =V ×L表示最终加固节点所承受的总弯矩．
式(23)中k 的表达形式和式(15)完全相同，通过化简即为式(17)的形式．
上述的关系式验证了有限元参数分析的结果，即关于负载下加固节点荷载在盖板及原节点梁段之间的分配关系：初始荷载M0 完全由原节点承担，而加固后增加的荷载ΔM 由盖板和原节点分担，两者之间分配比例与非负载加固后盖板与原节点之间弯矩分配比例相同．
通过上述分析可以看出，对于负载下加固的节点，盖板和原节点共同工作性能发生了一定的破坏，故不能再视为同一截面来设计．根据上述的荷载分配原则，设计时可以很容易得到盖板和原节点分别承担的弯矩大小，且式(17)中，k 的表达形式比较简单，适用于工程设计．
4.3.3 负载下加固节点可能的破坏模式分析
一般来说对于非负载下加固的节点或初始荷载较小时加固的节点，加固后由于节点附近梁得到了加强，所以国外的试验表明加固后节点在循环荷距柱翼缘距离/盖板长度归一化剪应力非负载下加固初始荷载为0.6My载作用下的破坏模式一般都是在盖板末端的梁上出现塑性铰．
但若加固时初始荷载较大，由于初始荷载完全由原节点承担，并且节点连接处的应力集中，故可能出现原节点梁段分担弯距过大，原节点梁柱翼缘之间的焊缝先进
入塑性发生脆性破坏．
4.4 结论
(1)采用盖板加固梁柱刚接节点，非负载情况下，加固件与原节点共同工作性能良好，可以视为一个整体来设计．而负载下加固的节点，最终荷载在盖板与原节点之间的分配与非负载下加固的节点有很大不同，设计时应该分别考虑．
(2)有限元参数分析结果显示，对于不同盖板尺寸的加固节点，归一化之后盖板和梁翼缘之间的应力分布的趋势是完全一致的．盖板末端与梁翼缘之间的角焊缝承受了加大的集中力，而盖板两侧与梁翼缘之间的半熔透焊缝则承担均匀的剪力．并在此基础上提出了简化的力学模型．
(3)简化力学模型计算结果表明：初始荷载完全由原节点梁段承担，加固后增加的荷载由盖板和原节点梁段分担，两者之间分配的比例与非负载下加固的盖板与原节点之间弯矩分配比例相同．这与有限元参数分析的结果相同．
(4)螺栓、焊接工艺孔以及焊接残余应力对负载下加固节点的受力性能也存在一定的影响，需要进一步的研究．
参考文献
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2010
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