2019北京101中学高一(上)期中数学含答案

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2019北京101中学高一（上）期中数学

参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】因式分解法求解一元二次方程．

【解答】解：∵﹣x2﹣5x+6＝0，

∴x2+5x﹣6＝0，

∴（x+6）（x﹣1）＝0，

∴x＝﹣6或1，

方程﹣x2﹣5x+6＝0的解集为{﹣6，1}．

故选：A．

【点评】本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题．2．【分析】由x2＞4，解得x＞2，或x＜﹣2．即可判断出结论．

【解答】解：由x2＞4，解得x＞2，或x＜﹣2．

∴“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件．

故选：B．

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．【解答】解：由一次函数的性质可知，y＝﹣3x﹣1在区间（1，+∞）上为减函数，故A错误；

由反比例函数的性质可知，y＝在区间（1，+∞）上为减函数，

由二次函数的性质可知，y＝x2﹣4x+5在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故C错误；

由一次函数的性质及图象的变换可知，y＝|x﹣1|+2在（1，+∞）上单调递增．

故选：D．

【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．

4．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，结合函数的奇偶性可得f（﹣）＝﹣f（），即可得答案．

【解答】解：根据题意，f（x）满足x＞0时，f（x）＝x2，则f（）＝（）2＝，

又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣）＝﹣f（）＝﹣；

故选：A．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．

5．【分析】直接利用基本不等式求得函数f（x）＝4x+﹣1（x＜0）的最值得答案．

【解答】解：当x＜0时，f（x）＝4x+﹣1＝﹣[（﹣4x）+]﹣1．

当且仅当﹣4x＝﹣，即x＝﹣时上式取“＝”．

∴f（x）有最大值为﹣5．

故选：D．

【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值，是基础题．

6．【分析】由已知可转化为a＝﹣x2在（1，2）只有一个零点，然后结合二次函数的性质可求a的范围．【解答】解：由f（x）＝x+＝0可得，a＝﹣x2，

由函数f（x）＝x+（a∈R）在区间（1，2）上恰有一个零点，可知a＝﹣x2在（1，2）只有一个零点，当x∈（1，2）时，y＝﹣x2∈（﹣4，﹣1），

∴﹣4＜a＜﹣1，结合选项可知，A符合题意．

故选：A．

【点评】本题主要考查了函数零点的简单应用，体现了转化思想的应用．

7．【分析】由f（x）为R上的减函数可知，x≤1及x＞1时，f（x）均递减，且（a﹣3）×1+5≥2a，由此可求a 的取值范围．

【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，

所以x≤1时，f（x）递减，即a﹣3＜0①，

x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a﹣3）×1+5≥2a③，

联立①②③解得，0＜a≤2．

故选：B．

【点评】本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易．

8．【分析】由已知可知f（x）为奇函数，从而可得g﹣x）也为奇函数，然后结合|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|，及导数的定义可知g′（x）＞0，从而可知g（x）单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．

【解答】解：由函数f（x+1）的对称中心是（﹣1，0），可得f（x）的图象关于（0，0）对称即f（x）为奇函数，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），

∵g（x）﹣f（x）＝x，

∴g（x）＝f（x）+x，

∴g（﹣x）＝f（﹣x）﹣x＝﹣f（x）﹣x＝﹣g（x），

∵对于任意的x，y∈R，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|，

∴|g（x）﹣g（y）﹣（x﹣y）|＜|x﹣y|，

∴，

即||＜1，

∴0＜＜2，即g′（x）＞0，

∴g（x）单调递增，

∵g（2x﹣x2）+g（x﹣2）＜0，

∴g（2x﹣x2）＜﹣g（x﹣2）＝g（2﹣x），

∴2x﹣x2＜2﹣x，

整理可得，x2﹣3x+2＞0，

解可得，x＞2或x＜1，

故选：A．

【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是结合导数的定义判断出函数g （x）的单调性．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．【分析】x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两根，可得x12+2x1﹣5＝0，x1x2＝﹣5．即可得出．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两根，

则x12+2x1﹣5＝0，x1x2＝﹣5．

∴x12+2x1+x1x2＝5﹣5＝0．

故答案为：0．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．【分析】由已知条件以及根与系数的关系求出a，b的值，再根据不等式的解集与对应方程的根之间的关系即可求解．

【解答】解：由已知方程ax2+bx+1＝0的两个根分别为，3，

∴﹣+3＝﹣，（﹣）×3＝；

解得：a＝﹣，b＝．

∴不等式ax2+bx+1＞0对应的二次函数开口向下，且对应方程的根为：﹣和3．

∴所求不等式的解集为（﹣，3）．

故答案为：（﹣，3）．

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于基础题．

11．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题“?x＞0，x2+2x﹣3＞0”的否定是为?x0＞0，x02+2x0﹣3≤0，

故答案为：?x0＞0，x02+2x0﹣3≤0．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

12．【分析】由已知可得f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），结合f（x）﹣g（x）＝x3+x2+2，可得f（﹣x）+g （﹣x）＝x3+x2+2，代入x＝﹣1即可求解．

【解答】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），

∵f（x）﹣g（x）＝x3+x2+2，

∴f（﹣x）+g（﹣x）＝x3+x2+2，

则f（1）+g（1）＝﹣1+1+2＝2．

故答案为：2

【点评】本题主要考查了利用奇函数及偶函数的定义求解函数值，属于基础试题．

13．【分析】根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出a的值．

【解答】解：因为函数f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，

所以对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，0）．

令x2﹣2x+1＝4得：x2﹣2x﹣3＝0，

解得：x＝﹣1或3，

所以a+2＝﹣1或a＝3，

即：a＝﹣3或3．

故答案为：{﹣3，3}

【点评】本题主要考察二次函数的图象，以及利用图象求最值问题．

14．【分析】（1）a＝0时，画出图象即可得到有2个零点；

（2）分别画出a≥0时和a＜0时函数示意图，数形结合可得a取值范围．

【解答】解：（1）当a＝0时，如图，

由图可知，f（x）有2个零点．

（2）①当a≥0时，f（x）＝，

如图，A（1，0），

当x＝a在A点左侧时，总能满足f（x）≤f（1），此时0＜a≤1；

当x＝a在A点右侧时，不满足，

②当a＜0时，f（x）＝，

如图，，

此时，无论a取何值均不能满足f（x）≤f（1）．

综上0＜a≤1．

故答案为：2；0＜a≤1．

【点评】本题考查函数零点及函数恒成立问题，数形结合数关键，属于中档题．

三、解答题共5题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．【分析】（1）x＝﹣3时，可求出A＝{9，﹣4}，B＝{﹣8，4，9}，然后进行交集的运算即可；

（2）根据A∩B＝{9}即可得出x2＝9或x﹣1＝9，再根据集合元素的互异性即可求出x＝﹣3或10，从而x＝﹣3时，求出集合A，B，然后求出A∪B；x＝10时，求出集合A，B，然后求出A∪B即可．

【解答】解：（1）x＝﹣3时，A＝{9，﹣4}，B＝{﹣8，4，9}，

∴A∩B＝{9}；

（2）∵A∩B＝{9}，

∴9∈A，

∴x2＝9，或x﹣1＝9，解得x＝±3或10，

x＝3时，不满足集合B中元素的互异性，∴x＝﹣3或10，

由（1）知，x＝﹣3时，A∪B＝{﹣8，﹣4，4，9}，

x＝10时，A＝{100，9}，B＝{5，﹣9，9}，∴A∪B＝{﹣9，5，9，100}．

【点评】本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．

16．【分析】（1）由题意可得，x≠0，然后检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断；

（2）由f（1）+f（2）＝a﹣2+2a﹣1＝0，代入可求a，然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可证函数f（x）在区间[1，4]上的最大值f（4），f（1）．即可求解．

【解答】解：（1）由题意可得，x≠0，

∵f（﹣x）＝﹣ax+＝﹣f（x），

∴f（x）为奇函数；

（2）由f（1）+f（2）＝a﹣2+2a﹣1＝0，

∴a＝1，f（x）＝x﹣，

设0＜x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2＝（x1﹣x2）（1+），

∵0＜x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，1+＞0，

∴（x1﹣x2）（1+）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增，

∴函数f（x）在区间[1，4]上的最大值f（4）＝，f（1）＝﹣1．

【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于函数性质的简单应用．

17．【分析】（1）一元二次方程有两实根，则判别式△≥0；

（2）利用根与系数的关系求得两根之积，从而化简求最值；

（3）利用公式得到|x1﹣x2|的表达式从而解不等式求m．

【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣mx+m2+m﹣1＝0有两实根x1，x2．

∴△＝（﹣m）2﹣4（m2+m﹣1）≥0，

从而解得：﹣2．

（2）∵一元二次方程x2﹣mx+m2+m﹣1＝0有两实根x1，x2．

∴由根与系数关系得：，

又由（1）得：﹣2，

∴，

从而，x1?x2最小值为，最大值为1．

（3）∵一元二次方程x2﹣mx+m2+m﹣1＝0有两实根x1，x2．

∴由根与系数关系得：，

∴＝，

从而解得：，

又由（1）得：﹣2，

∴．

【点评】本题考点是一元二次方程根与系数的关系，考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围，本题解法是解决元二次方程根与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧．

18．【分析】（1）根据由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；

（2）利用基本不等式求出（1）中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．

【解答】解：（1）由题意，有AM＝，由AM＞0，有 0＜x＜10；

则S＝4200x2+210（200﹣x2）+80×2×；

S＝4200x2+42000﹣210x2+＝4000x2++38000；

∴S关于x的函数关系式：

S＝4000x2++38000，（0＜x＜10）；

（2）S＝4000x2++38000≥2+38000＝118000；

＝时，即＝时，∈（10）＝米时，

＜﹣＜

＝﹣，可得﹣＝

＜﹣＜

（﹣）＝﹣+﹣，

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