最简二次根式定义
最简二次根式定义
二次根式是一种数学表达式，它由一个二次项和一个常数项组成，可以用来表示一个函数
的图像。它的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，x是未知数。
二次根式的解法有多种，最常用的是利用平方根法。根据二次根式的一般形式，可以将其
化为一个二次方程，即ax²+bx+c=0，可以求出x的值，即x=（-b±√（b²-4ac））/2a。
二次根式的应用非常广泛，它可以用来求解复杂的函数，也可以用来求解多元一次方程组。此外，它还可以用来求解抛物线的焦点和准线，以及求解圆的方程。
二次根式的求解也是数学学习中的重要内容，它可以帮助我们更好地理解函数的性质，从
而更好地掌握数学知识。
总之，二次根式是一种重要的数学表达式，它可以用来求解复杂的函数，也可以用来求解多元一次方程组，是数学学习中不可或缺的重要内容。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳 定义：一般的，式子 a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。其中 “”叫做二次根 号，二次根号下的a 叫做被开方数。 性质：1、 2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、 4 、 反过来: 5 6、最简二次根式： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根 9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项 二次根式中考试题精选 一.选择题： 1.【05宜昌 】化简20的结果是 （ ）. A. 25 B.52 C. . D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）. A.-3 B.3 C.± 3 D.81 3.【05南通】已知2x <, ）. A 、2x - B 、2x + C 、2x -- D 、2x -
A ．a 2＋a 3=a 5 B ．(－2x)3=－2x 3 C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2 D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ） A 、2xy B 、2xy C 、－y x 2 D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则 化简后为（ ）. A. B. C. D. 7.【05绵阳】化简 时，甲的解法是：==，乙的解法是： ，以下判断正确的是（ ）. A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8 B. 2 C. ±2 D. ±2 10.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A. 24 B. 12 C. 3 2 D. 18 11.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）. A.(-1)3和1 B.(-1)2和-1 C.|-1|和-1 和1 12.【05宁德】下列计算正确的是（ ）. A 、x 2·x 3＝x 6 B 、(2a 3)2＝4a 6 C 、(a －1)2＝a 2－1 D 、 4 ＝±2 13.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ）. A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 15.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ． a a b ++b a b +=1 B ．1÷b a ×a b =1 C +1 D ． 2 1()a b +· 2 2a b a b --= 1a b + 二、填空题 1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ． 2.【05南京】 10 在两个连续整数a 和b 之间，a< 10 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如 占 的式子叫二次根式，其中」叫被开方数，只有当」是一个非负数时, ■/-:才有意义. 注意理解： 1、 定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从 化简结果上判断，如都是二次根式。 2、 被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或 等于0. 3、 如果是给定的式子，-就是有意义的。、 4、 形如b 「（a 」「的式子也是二次根式，b 与「是相乘关系，当b 是分数时, 写成假分数。 5、 式子（^'二表示的是非负数。 6 +b （^，:: 和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。 二次根式定义： 变式练习： 1、已知： "是 整数， 则满足条件的最小正整数 n 的值是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 2、二次根式匚山是一个整数，那么正整数a 最小值是 ______________________ 1、 二次根式具有双重非负性。 -(a 」「 0 2、 如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式 中的被开方数是非负数，分式中的分母不为 0. 3、 如果式子中含有零指数幕或负整数指数幕，有意义的条件是，度数不为 0. 巫 + 1 【例1】下列各式 ；,2 二,3) - .x 2 2,4)、、4,5), (一；)2 。?,7) a 2—2a 1， 其中是二次根式的是 _____________ （填序号）. 变式练习： 1、 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、、a B 、： C 、、. a 1 D 、 2、 在庙、荷b 、J x+1、J 1+X 2 3、 下列的式子一定是二次根式的是（ A. J-x-2 B .护 3 中是二次根式的个数有 ） C. D.:: 二次根式的定义与性质 二次根式基本知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 1°二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 2°合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 注意：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）= =a a 2 （3）积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平 方根的积. （4）商的算术平方根的性质b a b a = （0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二次根式的考点 考点一：二次根式的概念 形如a （ ）的式子叫做二次根式。【注】：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、 多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件， 如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。 考点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二 次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 考点三：二次根式 （ ）的非负性 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 人教版八年级下册第十六章第四小节 最 简 二 次 根 式 的 教案 备课教师：岗巴县中学教师--次旺仁增 §16.1.4最简二次根式 一、教材分析： 本节是在二次根式的性质和乘除运算的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出最简二次根式的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法。本小节内容比较少（求学生了解最简二次根式的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要最简二次根式来联接。 二、学情分析： 八年级学生已经学习了分解因数和平方差公式，进入本学期以来又学习了二次根式定义和乘除法法则。班上学生基础知识、基本技能掌握较好。但是部分学生作业时常常粗心大意，在解题速度和正确率上还有待提高。我们一直采用“自主学习、小组合作、当堂训练、及时巩固”的教学模式。班上学生每 4或6人一组，经过一年多的训练，我班的学生在学案的引导下已经具备了较强的小组合作学习能力。所以在本节课的设计中，我会给学生较多展示的机会，让学生经历知识的生长发生、发展应用的过程，力争让学生在自主学习活动中通过小组合作去了解最简二次根式的概念，去探究分母有理化的方法。 三、教学目标： ㈠知识与技能目标: ①理解最简二次根式的概念；②能把所给的二次根式化为最简二次根式；③能进行简单的分母有理化。 ㈡过程与方法目标: 通过对的概念的学习，提高学生对概念学习的理解能力和自主学习能力、归纳表达能力。 ㈢情感和态度目标： ①让学生经历合作、探究、归纳、比较等数学活动，感受数学学习的乐趣; ②向学生渗透数形结合思想，让学生知道数学来源于实践。 四、教学重、难点： 1．教学重点：了解最简二次根式的概念、会把二次根式化简为最简二次根式。 2．教学难点：准确运用化二次根式为最简二次根式的方法。五、教法学法教学方法 在PPT课件的展示下，结合“自主学习、小组合作、当堂训练、及时巩固”的柏合模式利用学案为载体，让学生会学，乐学。因此，我把教与学融为一体，采用“学案导学自主学习”“生生交流合作学习”“师生互动接受学习”“挖掘教材探究学习”的方式进行。 六、教学过程 (一)、导入课题: 教师先提到最简分数（分式）和二次根式的乘除运算的结果需要化简的要求而引入课题,在新授的前面以微课的形式先播放一段视频而进入本节的主讲内容。（视频播放后师生共同总结视频的内容的同时课件展示最简二次根式的定义。） 二次根式知识点 知识回顾：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“√”，“√”的根指数为2，即“√2”，我们一般省略根指数2，写作“√”。如√5 2可以写作√5。 （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（3）式子√a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，√a≥0。其中a≥0是√a 有意义的前提条件。 （4）在具体问题中，如果已知二次根式√a，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5）形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，b与√a是相乘的关系。要注意当 b是分数时不能写成带分数，例如8 3√2可写成8√2 3 ，但不能写成22 3 √2。 二、二次根式的性质： =｜a｜=a （a≥0）或 =｜a｜= - a（a＜0） ★(√a)2 （a≥0）与√a2的区别与联系： 典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ ；（3）√x−3+√3+x （1）√x+5-√3−2x；（2）√2x−1 √1−x 题型二：利用二次根式的非负性化简求值 已知a+√b−2=4a-4，求√ab的值。 题型三：二次根式非负性的简单应用 已知实数x，y满足｜x-4｜+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） 题型四：利用√a2=｜a｜并结合数轴化简求值 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。 二次根式 1、算术平方根的定义：一般地，假如一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根。 2、解不等式（组）：尤其留意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向变更。 如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共局部。如 3、分母≠0 4、肯定值：｜a｜（a≥0）；｜a｜= - a （a＜0） 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必需含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。 （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。（4）在详细问题中，假如已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5）形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b及是相乘的关系。要留意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。 练习：一、推断下列各式，哪些是二次根式？（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）3；（7）（x＜- ） 二、当x取什么实数时，下列各式有意义？ （1）；（2） 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（）2 (2) （4）2 (3) （4）- （6）+ （1≤x≤3） ★（）2（a≥0）及的区分及联络： 三、代数式 用根本运算符号（根本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。例：3，x，，（x≥0），，（t≠0，x3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如23＞35是关系式。 练习：下列式子：①0；②π2③24；④＞1；⑤23b；⑥(x≤2)，其中是代数式的有（）列代数式的常用方法： （1）干脆法：根据问题的语言叙述干脆写出代数式。 （2）公式法：根据公式列出代数式。 （3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。 练习：列代数式 （1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（） 典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3） 题型二：利用二次根式的非负性化简求值 二次根式 1、定义：一般形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式。其中，a 叫做被开方数。 2、√ā的简单性质和几何意义 （1）双重非负性：a≥0 且a ≥0 （2）（a ）2=a （a≥0），任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式。 3、二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有)0(,3,2≥x x ；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有31, 9,4，2)(y x + 最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽的因式；（3）被开方数不含分母。 4、二次根式的乘法和除法 （1）积的算数平方根的性质 b a ab ⋅=（a≥0，b ≥0） （2）乘法法则b a ⋅=ab （a≥0，b≥0） （3）除法法则 b a b a =（a≥0，b>0） （4）根式有理化 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。 对根式进行有理化处理，其实就是进行根式分母有理化。 5、二次根式的加法和减法 （1）同类二次根式概念 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 （2）二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 如：25355=+ 6、二次根式的混合运算 （1）确定运算顺序 （2）灵活运用运算定律 （3）正确使用乘法公式 （4）大多数分母有理化要及时 （5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 7.分母有理化 二次根式最简定义 二次根式是数学中的一个重要概念，它是指一个形如√a的数。在二次根式中，a代表一个非负实数。二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或者表示一些物理问题中的量。 二次根式最简的定义是指将一个二次根式化简为最简形式。化简的过程实际上是对根号下的数进行约分，使得根号下的数不能再被约分。化简后的二次根式通常具有如下特点：1.根号下的数不含有平方数因子；2.根号下的数是一个质数；3.根号下的数为最简形式。为了更好地理解二次根式的最简定义，我们可以通过几个例子来说明： 例1：将√12化简为最简形式。 我们可以将12分解为2和6的积，即12=2*6。然后，我们继续将6分解为2和3的积，即6=2*3。因此，我们可以得到√12=√(2*2*3)。 接下来，我们可以将根号下的数进行约分，即将二次根式中所有平方数因子提出来。在这个例子中，2是一个平方数因子，因此我们可以将它提出来。√12=√(2*2*3)=2√3。 我们得到了化简后的最简形式，即√12=2√3。 例2：将√20化简为最简形式。 我们可以将20分解为2和10的积，即20=2*10。然后，我们继续将10分解为2和5的积，即10=2*5。因此，我们可以得到√20=√(2*2*5)。 接下来，我们进行约分，将二次根式中所有平方数因子提出来。在这个例子中，2是一个平方数因子，因此我们可以将它提出来。√20=√(2*2*5)=2√5。 我们得到了化简后的最简形式，即√20=2√5。 通过以上两个例子，我们可以看出，化简二次根式的过程就是将根号下的数进行约分，使其成为最简形式。化简后的二次根式更加简洁，更符合数学中的规范形式。 需要注意的是，有些二次根式无法化简为最简形式，例如√2。在这种情况下，我们不能再对根号下的数进行约分，因此√2就是它的最简形式。这是因为2是一个质数，没有其他的因子可以约分。 在实际应用中，二次根式最简定义的概念经常出现在几何学和物理学等领域。例如，在解决三角形的边长或面积问题时，常常需要使用到二次根式的最简形式。此外，在物理学中，例如计算物体的速度、加速度或者能量等问题时，也经常涉及到二次根式的最简形式。二次根式的最简定义是将一个二次根式化简为最简形式，即将根号下的数进行约分，使其成为一个不含有平方数因子的质数。化简后 二次根式最简定义 二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。二次根式也可以表示为a的平方根，它是数学中一个重要的概念。 我们来了解一下什么是根式。根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。√a读作“根号a”，表示a的非负平方根。根式在数学中经常出现，它可以简化复杂的运算，并且在解决实际问题中也具有重要的作用。 而二次根式就是根式的一种特殊形式。它的底数a是一个非负实数，指数是2，表示对a进行平方根运算。二次根式可以简化为√a，其中a是一个非负实数。 二次根式有一些特殊的性质和运算规律。首先，二次根式的结果总是非负的，即结果大于等于0。这是因为二次根式是对非负实数进行平方根运算，所以结果必然是非负的。 二次根式具有乘法和除法的运算规律。对于两个非负实数a和b，有以下运算规律： 1. 乘法规律：√(a*b) = √a * √b。这意味着两个二次根式的乘积等于它们的底数的乘积的二次根式。 2. 除法规律：√(a/b) = √a / √b。这意味着一个二次根式除以另一个二次根式等于它们的底数的商的二次根式。 除了乘法和除法规律，二次根式还可以进行加法和减法运算。对于两个非负实数a和b，有以下运算规律： 1. 加法规律：√a + √b 不能再进行简化。 2. 减法规律：√a - √b 也不能再进行简化。 需要注意的是，二次根式的运算结果不一定是二次根式。例如，√2 + √3 就不能再进行简化，但它不是一个二次根式。 在实际问题中，二次根式经常出现。例如，在几何学中，勾股定理就涉及到二次根式。勾股定理表达了直角三角形的边长之间的关系，其中就包括二次根式。又如，在物理学中，速度、加速度等概念的计算中，也经常会使用到二次根式。 二次根式是数学中一个重要的概念，它可以简化复杂的运算，并在解决实际问题中发挥重要作用。我们需要熟练掌握二次根式的性质和运算规律，才能更好地应用于实际问题的求解中。 二次根式 1.二次根式的定义 形如a （0≥a ）叫做二次根式，“”叫做二次根号. 注重从以下几个方面的理解定义： (1)式子a (0≥a )中，a 叫被开方数，它是一个非负数，即0≥a ．例如3， 2 1都 是二次根式，当被开方数为负数时，如6-，π-就不是二次根式． (2) a 可以是非负实数也可以是含有字母的式子，但这个式子也必须满足非负．例如 22)(,1b a b -+都是二次根式，而x （0 二次根式的概念和性质（基础）知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简. 3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ； 2.； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2(0a a a =≥）. 2a 2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -. 要点三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 要点四、同类二次根式 1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做 同类二次根式 要点诠释： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1.当x 为实数时，下列各式()2223,1, ,,,x x x x x --，，，属二次根式的有____ 个. 【答案】 3 【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于等于零. 【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3 -；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【高清课堂：高清ID 号：381279 关联的位置名称：二次根式及其乘除法（上）经典例题1】 2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）1y x =- （2）y=2+x －x 23-； 【答案与解析】 （1） 1x -≥0，所以x ≥1. （2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32 ； 最简二次根式 二次根式 ------ 最简二次根式． 各位专家,评委:大家好.我是房山二中的宋新颖,很高兴能有机会参加这次活动,并 能得到您的指导. 我说课的题目是第十二章二次根式第六节的第二小节最简二次根式. 下面,我就丛教学目标,教学的重点和难点,教学方法,教学手段,教学过程等方面进 行说明. 一、教学目标 1．使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根 式． 2．使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法． 3．使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用． 二、教学重点和难点 1．重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式． 2．难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法． 三、教学方法 通过实际运算的例子，引出最简二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳 化简二次根式的方法． 四、教学手段：利用投影仪 五、教学过程 (一)引入新课 提出问题：如果一个正方形的面积是0.5m 2 ，那么它的边长是多少？能不能求 出它的近似值？ 学生很容易答出,怎样求它的近似值呢? =2 , 我们可以先试着把, 1.414≈,这样 . 又比如,正方形的面积是12cm 2,,也就是,由于我 1.732≈,所以 . 这样会给解决 实际问题带来方便． (二)新课 由以上例子可以看出，遇到一个二次根式将它化简，为解决问题创造了方便条 件. 2,这两个二次根式化简前后有什么不同，这里要引导学生从两个方面考虑，一方面是被开方数的因数化简后是否 是整数了，另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数． 启发学生回答：满足什么样的条件是最简二次根式． 总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义,即：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1．被开方数的因数是整数，因式是整式． 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 例1 指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么． 分析： (1) 3 == 3 = 所以(1),(4)是最简二次根式. 说明：这里可以向学生说明，前面两小节化简二次根式，就是要求化成最简二次根式．前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式． 例2 把下列各式化成最简二次根式： (a>b>0) 解：（1== （2255 == b a b （32 == （4a b ==+ 说明：首先引导学生观察例2题中二次根式的特点,明确把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？再启发学生总结这类题化简的方法. 总结: 当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。例3 把下列各式化简成最简二次根式： （1）（2）x （4）如图 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 注意理解： 1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。 2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或等于0. 3、如果是给定的式子，就是有意义的。、 4、形如b(a的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。 5、式子(a表示的是非负数。 6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。 二次根式定义： 【例1】下列各式，其中是二次根式的是 _________（填序号）． 变式练习： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A D 2中是二次根式的个数有______个 3、下列的式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 4、式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧中是二次根式的代号为（） A．①②④⑥B．②④⑧C．②③⑦⑧D．①②⑦⑧ 【例2】若是正整数，最小的整数n是（） A．6 B．3 C．48 D．2 变式练习： 1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（） A．0 B．1 C．2 D．5 2、二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是． 注意掌握： 1、二次根式具有双重非负性。 (a ， 2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0. 3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0. 【例3】式子有意义的x 的取值范围是 变式练习： 1、使代数式4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 变式练习： 12()x y =+，则x －y 的值为（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 4、若实数a 、b 、c 满足+|a+b|= + ，则2a-3b+c 2的值为． 5、已知y= ，求2x+y 的算术平方根． 二次根式整数部分小数部分： 已知a b 是的小数部分，求1 2 a b + +的值。 1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。 2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2+ 的值. 二次根式性质： 1.非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a a a =≥()()20 二次根式的定义及性质 1、二次根式的定义 形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式 （1）式子中含有二次根号“”； （2）a 可以表示数也可以表示代数式 （3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性 二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02 ≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。 2、二次根式的主要性质 （1）())0(2≥=a a a （2）⎪⎩ ⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 3 、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项二次根式：利用a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a a 4、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式叫最简二次根式 最简二次根式的条件 ①号内不含有开的尽方的因数或因式，②根号内不含有分母，③分母不含有根号。 5、 同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 6、 乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab 7、除法公式：)0,0______(>≥=b a b a ；反之：)0,0______(>≥= b a b a 8、合并同类二次根式：__________ ________;=-=+a n a m a n a m 形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式 例1、下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）31（2）3-（3）12+-x （4）38（5）2)3 1(-（6）)1(1>-x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式练习】 1、下列各式中，一定是二次根式的有______________________________ ① a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x 2、222++a a 是不是二次根式？___________（填“是”或“否”） 二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性 例2、（2012.德阳）使代数式 12-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.2 10≠≥x x 且 D.一切实数 例3、 函数1213-+ -=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________ 【变式练习】 1、 使1 2--x x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______________ 2、（2012.杭州）已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________ 3、若 2)(11y x x x +=---，则______=-y x ())0(2≥=a a a二次根式的基本定义
初二第四讲 二次根式的定义及性质
人教版初二数学下册最简二次根式
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