第八讲 二次根式和最简二次根式-【暑假衔接】2021年新八年级数学(北师大版)(解析版)
第八讲 二次根式和最简二次根式
【学习目标】
认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质；利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.
【基础知识】
1.（0a ≥） 的式子叫做根式；
a 根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；
2.二次根式的性质： ① 0a ≥0 （双重非负性）②
2
= a （0a ≥） 3.最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式；
【考点剖析】
考点一：二次根式定义
例1有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．x≥
1
2
B ．x≤-
12
C ．x≥-
12
D ．x≤
12
【答案】C 【解析】
依题意120x +≥，解得x≥-1
2
，故选C. 考点二：二次根式的非负性
例2．若y 2，则x y ＝_____． 【答案】9 【解析】
解：y 2有意义， 必须x ﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x ＝3，
代入得：y ＝0+0+2＝2， ∴x y ＝32＝9． 故答案为：9．
考点三：二次根式的性质及应用
例3．（1）先化简，再求值：a 1007a =．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）________的解法是错误的； （2）化简：2(5)π-=________；
（3）先化简，再求值：2269a a a +-+，其中2019a =-． 【答案】(1)小亮；(2) 5π-;(3)-2016 【解析】
（1）∵1007a =， ∴1-a=-1006＜0，
∴212a a a +-+=2(1)|1|121a a a a a a a +-=+-=+-=- =2×1007-1 =2013.
∴小亮的解法是错误的；
（2）2(5)|5|(5)πππ-=-=--=5π- （3）∵2019a =-， ∴320220a -=-<， 则原式22(3)a a =+-
2|3|a a =+- 2(3)a a =--
3a =+ 2016=-．
考点四：实数的大小比较
例4．（1）把|3|,0,2,3--表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接．
【答案】数轴表示见解析，2033-<-
解：在数轴上表示为：
用“<”连接为：2033-<<<-．
（2）在数轴上标出下列各数，然后用“<”连接起来：
2,2,0,|3|,( 4.5)----
【答案】数轴见解析，()2023 4.5-<<<-<--
【详解】 解：如图：
用“＜”连接为：()2023 4.5-<<-<--．
考点五：
例5．（1）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A 24B 36C a b
D 24x +
【答案】D 【详解】
A 2426=
B 366=不是最简二次根式，不符合题意；
C a ab b b
=不是最简二次根式，不符合题意； D 24x + 故选：D ．
（212的结果是（ ） A ．43B ．32C ．23D ．26【答案】C 【详解】
221243232323⨯=⨯==
（3_____．
【详解】
===
．
（4_____．
【答案】4【详解】
24x =
⨯==
故答案为：4
【真题演练】
1．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ） A ．3﹣π B ．a C ．a 2+1 D ．2x+4 【答案】C
【解析】解：A 、3﹣π＜0，则3﹣a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； B 、a 的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； C 、a 2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；
D 、2x+4的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； 故选：C ．
2．下列根式中，是二次根式的是（ ）.
A ．π
B ．
13
C D
【答案】D 【解析】
A. π不符合题意，故此选项不正确；
B. 1
3
不符合题意，故此选项不正确；
C.
D.
符合题意，故此选项正确；
故选D.
3．下列各式:(b ≥2) , , , 其中是二次根式的个数有
（ ） A ．2个 B ．3个
C ．4个.
D ．5个
【答案】B 【解析】
(b ≥2)，
0，当小于0时无意义，不是二次根式；
故选：B ．
4x 的取值范围是（ ） A ．1x ≤ B ．1x <
C ．1x ≥
D ．1x >
【答案】C 【解析】
10x -≥
解得：1x ≥ 故选C
5x 的取值范围是( ) A ．2x > B ．2x <
C ．2x ≥
D ．2x ≤
【答案】C 【解析】
解：根据题意，得20x -，解得，2x . 故选C.
6．下列式子中，a 不可以取1和2的是（ ）
A B C
D 【答案】D 【解析】
A ．由5a ≥0，所以a ≥0，故选项A 可取1和2；
B ．由a +3≥0，所以a ≥﹣3，故选项B 可取1和2；
C ．由a 2≥0，所以a 2+1≥1，故选项C 可取1和2；
D ．由2
a
-
≥0且a ≠0，所以a ＜0，故选项D 不可取1和2； 故选：D ．
7．说明命题是假命题的一个正确的反例是( ) A ．a=3 B ．a=-3
C ．a=0.3
D ．a=0
【答案】B 【解析】
=a ， ∴a≥0，
故此命题是假命题的反例就是a 是一个负数， 故答案为：B.
8．若代数式
3
x +有意义，则实数x 的取值范围是______. 【答案】1x - 【解析】
解：∵代数式
3
x +有意义， ∴10x +≥，30x +≠， 解得：1x ≥-，3x ≠-， ∴实数x 的取值范围是：1x ≥-； 故答案为：1x ≥-.
9
．已知x ，y 是实数，且满足1
8
______． 【答案】12
【解析】
解：∵由二次根式的定义得20
2x 0
x -≥⎧⎨
-≥⎩，解得：x=2，
∴1y 008
=++，即：1
8y =，
12
====.
故答案为：1 2 .
10
1
2
x
-
1
2
x
⎫
>⎪
⎭
哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
【答案】见解析
【解析】
2，所以不是二次根式；
-1
2
x不含二次根号，不是二次根式；
，不能确定被开方数是非负数，当0
a<10
x+<无意义，
不一定是二次根式；
40
-<
1
2
x
⎫
>⎪
⎭
，因为120
x
-<
a取何实数，2
2a
--
综上所述：
1
2
x
-
1
2
x
⎫
>⎪
⎭
不是二次根式.
11．当a＝2，b＝1.5时，求下列代数式的值．
（1）a2+2ab+b2
（2ab+1．
【答案】（1）12.25；（2）7；
【解析】
解：（1）当a＝2，b＝1.5时，原式＝22+2×2×1.5+1.52＝12.25；
（2）当a＝2，b＝1.5 1.5+1＝7．
12．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），,则A、B两点之间的距
离可表示为AB；在平面直角坐标系中，
（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为______.
（2）若点E（-2，3）、F（4，-5），求E、F两点之间的距离.
【答案】（1）5；（2）10.
（1）因为O点为原点，所以点O为（0,0，），由题意可得CO，故答案为5.
（2）根据题意可得EF=10，故答案为10.
13．若实数a，b，c满足
（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）b=2，c=3；（26.
【解析】
解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0，
解得：c=3，
∴=0，
则b=2；
（2）当a是腰长，c3，不能构成三角形，舍去；当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，
，
．
【过关检测】
1．说明命题是假命题的一个正确的反例是( )
A．a=3 B．a=-3 C．a=0.3 D．a=0
【答案】B
【解析】
=a，
∴a≥0，
故此命题是假命题的反例就是a是一个负数，
故答案为：B.
2a，b应满足的条件是( )
A．a，b均为非负数B．a，b同号
C．a≥0，b＞0 D．a
b
≥0
【答案】D
解：根据二次根式的意义，被开方数a
b
≥0；又根据分式有意义的条件，b≠0．故选D．
3．2
的值是（）
A B．3 C．±3 D．9 【答案】B
【解析】
解：原式=2
=3
4．下列说法中，正确的是（）A．无理数就是开方开不尽的数
B0，则a≥0
C．如果a＝b，那么ac＝bc
D．若b
a
＝1，则a与b互为相反数
【答案】C
【解析】
解：A.无理数是无限不循环小数，包括开方不尽的数，故A错误；
B. a+5＞0，∴a＞﹣5，故B错误；
C. 如果a＝b，根据等式的性质可得ac＝bc，故C项正确；
D. b
a
＝1，则a＝b且a≠0，故选D错误；
故选：C．
5．若代数式
1
x-
在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）
A．x＞0 B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1【答案】D
【解析】
根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x-1≠0，x≥0，解得x≥0且x≠1.故选D.
6a的取值为（）
A．0 B．
1
2
-C．﹣1 D．1
【答案】B
≥，
=时为最小值. 即：210
a+=，
∴
1
2 a=-.
故选B.
7．在平面直角坐标系中，点M（a，b）的坐标满足（a﹣3）20，则点M在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】
解：∵（a﹣3）20，
∴a＝3，b＝2，
∴点M（3，2），
故点M在第一象限．
故选：A．
8．已知x、y为实数，4，则y x的值等于（）
A．8 B．4 C．6 D．16
【答案】D
【解析】
∵x﹣2≥0，即x≥2，①
x﹣2≥0，即x≤2，②
由①②知，x＝2；
∴y＝4，
∴y x＝42＝16．
故选：D．
940
a-=）
A B．C D．±
【答案】A
【解析】
40
a-=
∴b-3=0,a-4=0
∴a
b
=
4223
33
3
==
故选A.
10．已知20n是整数，则正整数n的最小值为___
【答案】5
【解析】
∵20=25
n n，且20n是整数，
∴25n是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为：5．
11．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：22
164?
a x a x
+=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.
【答案】()23
a+a+3
【解析】
解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2所示题目（字母代表正数）翻译为()23
a+.
∵a＞0，∴()23+3.
a a
+=
故答案为：()23
a+；a+3.
12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣2a﹣2b．
【解析】
解：∵从数轴可知：a ＜0＜b ，
∴|a|
=|a|﹣|a|﹣|b|
=﹣|b|
=﹣b ．
12．已知2(21)0a b -+=4=
【答案】6
【解析】
因为2
(21)0a b -+=，根据二次根式和平方的非负性可得21030a b b -+=⎧⎨-=⎩，计算得到53a b =⎧⎨=⎩；因
4=，所以64c =，则将53a b =⎧⎨=⎩和64c =
第八讲 二次根式和最简二次根式-【暑假衔接】2021年新八年级数学(北师大版)(解析版)
第八讲 二次根式和最简二次根式 【学习目标】 认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质；利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式. 【基础知识】 1.（0a ≥） 的式子叫做根式； a 根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0； 2.二次根式的性质： ① 0a ≥0 （双重非负性）② 2 = a （0a ≥） 3.最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式； 【考点剖析】 考点一：二次根式定义 例1有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．x≥ 1 2 B ．x≤- 12 C ．x≥- 12 D ．x≤ 12 【答案】C 【解析】 依题意120x +≥，解得x≥-1 2 ，故选C. 考点二：二次根式的非负性 例2．若y 2，则x y ＝_____． 【答案】9 【解析】 解：y 2有意义， 必须x ﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x ＝3， 代入得：y ＝0+0+2＝2， ∴x y ＝32＝9． 故答案为：9． 考点三：二次根式的性质及应用 例3．（1）先化简，再求值：a 1007a =．
如图是小亮和小芳的解答过程． （1）________的解法是错误的； （2）化简：2(5)π-=________； （3）先化简，再求值：2269a a a +-+，其中2019a =-． 【答案】(1)小亮；(2) 5π-;(3)-2016 【解析】 （1）∵1007a =， ∴1-a=-1006＜0， ∴212a a a +-+=2(1)|1|121a a a a a a a +-=+-=+-=- =2×1007-1 =2013. ∴小亮的解法是错误的； （2）2(5)|5|(5)πππ-=-=--=5π- （3）∵2019a =-， ∴320220a -=-<， 则原式22(3)a a =+- 2|3|a a =+- 2(3)a a =-- 3a =+ 2016=-． 考点四：实数的大小比较 例4．（1）把|3|,0,2,3--表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接． 【答案】数轴表示见解析，2033-<-
北师大版八年级数学 二次根式的乘法和除法(教案)
【学习课题】 第7课时:二次根式的乘法和除法 【学习目标】1、探索二次根式的乘法和除法法则 2、会进行简单的二次根式的乘法和除法运算 【学习重点】二次根式的乘法和除法法则的应用 【侯课朗读（0a ≥）叫做二次根式 【学习过程】 一、学习准备： 1、下列各式中,求出x 的取值范围 二、阅读理解 2、积的算术平方根 = = . = × = ，所以= 一般地=(0,0)a b ≥≥ 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。（注意：公式中,a b 必须都是非负数。） = 例1、化简:（1（2（3（40,0)a b ≥≥ 解 （14936==?= 即时练习：计算（1 （2 （3 （44、二次根式的乘法 =(0,0)a b ≥≥，0,0)a b ≥≥． 即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。 例2、计算 （1 （2） 即时练习：计算（1 （2 （3）(- 5、商的算术平方根 == ， 23= = (0,0)a b ≥> 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，其中，公式中字母的取值范围是 0,0a b ≥>。（想一想，公式中为什么字母b 的范围不是0b ≥？）
例3、化简（1（2 （3（4 即时练习：化简（1 （2 （3 6、二次根式的除法 =(0,0)a b ≥>0,0)a b =≥>．即：二次根式相除，根 指数不变，被开方数相除．运用这个公式可以进行简单的二次根式的除法运算。 例4：化简（1 （2 （3 （要求：分母中不能有根号，根号内不能含有分母） 7、易错的运算==【达标测评】 1、计算:（1 （2（3 （4 2、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c. （1）如果6,9,a b c ==求； （2）如果4,12,a c b ==求； （3）如果15,10,c b a ==求 3、计算：（1 （2） （3 （4 4、化简（1 （2 （3 （4 5、计算（1 （2(÷ （3
2020年暑假初升高衔接课——二次根式(含详细解答)
2020年暑假初升高衔接课——二次根式 1. 的式子叫做二次根式. 2. 二次根式的性质 （1）； （2； （3）； （4）； （5）. 3. 无理式的定义：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式， 不是无理式. 4. 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式，或通过约分的方法达到分母有理化的目的. 5. 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式，常用的有理化因式有： （1）与； （2）与； （3 4. 分子有理化：把分子中的根号化去，叫做分母有理化. 方法：分子、分母同时乘分子的有理化因式. 5. 二次根式的大小比较：二次根式比较大小的方法有平方比较法、作差比较法、求商比较法、求倒数比较法等，其中，比较常用的是平方比较法. 6. 二次根式的运算：二次根式的加减类似于多项式的加减，先化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并；二次根式的乘法类似于多项式的乘法；二次根式的除法，通常写成分数的形式，再进行分母有理化. 例1：二次根式的意义
已知实数满足，求的值是多少？ 【解答】2019 【解析】∵二次根式有意义， ，即， ， 解得， 等式两边平方，整理得 例2：二次根式的性质与化简 若实数、满足，求、之间的数量关系？【解答】 【解析】， ， 同理可得， ①＋②可得，. 例3：分母有理化 已知的值.
当时，原式. 例4：比较大小 试比较与的大小. 【解析】 . 例5：双重二次根式化简 已知，则 【解析】将的左边分子有理化得， 化简得， 两式相加得， 解得， . 二次根式巩固练习
北师大版八年级数学上册《二次根式》第1课时示范课教学设计
第二章实数 7 二次根式 第1课时 一、教学目标 1.了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式. 2.通过对二次根式的性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力. 3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性. 4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识. 二、教学重难点 重点：了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式化简为最简二次根式. 难点：对二次根式的性质的探究. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等 四、教学过程设计
(1)如图①的画框为正方形，若面积为8 dm2,则边长为____dm；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)如图②长方形的土地，若宽是长的3 5 ， 面积为13 m2，则它的长为_____m． 预设答案：(1)8；s；(2)65 3 .
教师活动：注意：a 可以是数，也可以是式. 二次根式的两个必备特征： ①外貌特征：含有“ ”； ②内在特征：被开方数a ≥0. 【做一做】 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ ()()23 (1)18(2)9(3)0.2(4)0(5)(6)1(7)7.m m xy x y x --+异号；；；≤； ，；； 分析： 答案： 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x 2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 2.(1) 使二次根式2m - 在实数范围内有意义的m 的取值范围是__________. 解：由m -2≥0，得m ≥2. 当m ≥2时，2m - 在实数范围内有意义. 答案：m ≥2. 总结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可. (2) 使式子12-a 在实数范围内有意义的a 的取值范围是_______. 解：由 a -1≥0，得a ≥1. 又∵1a - 为分母，10a -≠ ∴ ∵ a -1≠0 ，即 a ≠1
北师大版八年级数学《二次根式的计算》说课稿
《二次根式的计算》说课稿 一、说教材 （一）教材的地位与作用： 二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则,由乘除运算自然引出加减运算，进而利用它们进行二次根式的运算，获得二次根式四则运算的有关技能。经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础． （二）教学目标： 【知识与技能】 1.使学生能够利用积和商的算术平方根性质的反用进行二次根式的加减乘除运算. 2.让学生理解实数的运算法则和运算律对于二次根式同样适用. 3.学会把结果不是最简二次根式的要化成最简二次根式，如果被开方数相同，应当将这些项合并. 【过程与方法】 1.通过实数的运算、整式的加减与二次根式的运算的比较体会类比的思想. 2.通过二次根式的运算培养学生的运算能力. 【情感态度】 通过对二次根式运算的学习，使学生认识到事物之间是相互联系的.激发学生学习热情，让学生充分参与到数学学习过程中来，使他们体验到成功的乐趣. （三）教学重难点： 【教学重点】 二次根式加减乘除的运算. 【教学难点】 探讨二次根式运算的方法，快速准确地运用公式和运算律进行二次根式的运算
二、说教法与学法： 1、教法：现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习 的组织者、引导者和合作者，教学的一切活动都必须以学生的主动性、积极性为出发点。本节课运用启发、引导探究法，在教师引导下学生进行自主探究的教学活动以及小组合作交流，学生互评，类比学习法实现教学目标。在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。 2、学法： 我们常说：“授人以鱼不如授人以渔”。因而，我在教学过程中特别 重视学法的指导，让学生从“学会”向“会学”转变，让学生在学中领悟，会中用法，成为学习的真正主人。这节课我在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采用以下方法：分析归纳法、自主探究法、总结反思法等。 下面我具体来谈谈这堂课的教学过程。 三、说教学过程 新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节： 一、温故知新 二次根式性质是什么？你还记得吗？ 积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子，即 现在把等号的左边与右边交换，就可得到二次根式的乘法法则和除法法则： 【教学说明】通过回忆旧知识得出新知识，学生并不陌生，有一定的基础， 掌握起来也很容易，增强了学生学习数学的自信心和勇气. 二、探究新知
八年级数学下册《二次根式》知识点归纳和题型归类素材 新人教版(2021-2022学年)
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二。知识要点梳理ﻫ知识点一、二次根式的主要性质:ﻫ１。 ；2.; ３.;ﻫ4。积的算术平方根的性 质:； ５. 商的算术平方根的性质：。ﻫ 6.若 ,则. 知识点二、二次根式的运算 １.二次根式的乘除运算ﻫ（１)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号． (2) 注意每一步运算的算理； (３）乘法公式的推 广: （４）注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式. 2.二次根式的加减运算需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 ３．二次根式的混合运算 (1) ﻬ明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。 (3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数,不能写成带分数或小数． 4。简化二次根式的被开方数，主要有两个途径: 错误!因式的内移:因式内移时，若，则将负号留在根号外. 即:． 错误!因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论.即： 三。典型题训练 一。利用二次根式的双重非负性 (a≥0)， a
1。下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、 ; B 、； C 、 ； D 、 2。ｘ取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1） (2） （3) （4) （5） （6) . (7）若 ，则x 的取值范围是 （８)若,则x 的取值范围是 。 3。若有意义,则m 能取的最小整数值是 ； 是一个正整数,则正整数ｍ的最小值是__＿＿__＿_． 4。当x 为何整数时,有最小整数值,这个最小整数值 5，则=＿____＿＿_＿___＿； ,则 ６.设ｍ、n 满足,则= 。 7 ，求的 值． 8。 若三角形的三边a 、ｂ、c 满足=0,则第三边ｃ的取值范围是 9。已知的三边满足,则为( ） 10.若 ，且时,则( ） Ａ、 B 、ﻩC 、 Ｄ、 二.利用二次根式的性质( =|a |) 1。已知＝－x ,则（ ） Ａ.ｘ≤0 B.x ≤-3 C 。x ≥－3 Ｄ.-３≤x ≤０ 2.．已知a 〈ｂ，化简二次根式 的正确结果是（ ） 3-x 12+x 1-x 121+-x 45++x x 121 3-+ -x x 1)1(-=-x x x x 13 1 3++= ++x x x x 13-m 1110+-x a =2 2004a -=+y x 32992 2-+-+-= m m m n mn m m 3442 -++-b a a A B C △ a b c ，，2 2|22a =A B C △0|84|=--+-m y x x 0>y 10< 2.7.1 二次根式及其性质 各位评委大家好 今天我说课的题目是北师大版八年级上册第二章第七节二次根式，下面我将从说教材，说教法学法、说教学过程。说作业布置等几个方面谈谈我对这节课的设计 一、说教材 二次根式这一节主要讲了二次根式的含义和性质。教材从实际问题引出二次根式的概念，然后对二次根式的性质进行探究。在八年级的时候学生已学习过了平方根和算术平方根等概念并能用根号表示平方根和算术平方根，知道开方与乘方互为逆运算，这些知识为本节课的学习打下了基础，同时学好本节知识对于后面学习二次根式的运算求解一元二次方程做准备，因此本节知识具有呈上起下的作用。 二、说学情 我将要所面对的学生是普通班，学生虽然已经对根式有了一定了解，但是很多学生对于其性质和简单的计算都还存在问题，但是九年级的学生思维能力有了很大发展，抽象概括能力得到很大提高，对于简单的实际问题还是能够很好的解决，因此本节课我从简单的实际问题入手，降低难度，以激发学生的学习兴趣。 结合以上对教材和学情的分析，以及新课标对本节课要求必须掌握等情况，我指定了如下 教学目标: 知识与技能目标:理解二次根式的概念和非负性。能够利用非负性求未知量的范围。 方法与过程目标:经历探究、总结、归纳、抽象的过程获得二次根式的概念。通过教师讲解，学生练习评价的过程掌握二次根式的非负性。 情感态度价值观:培养学生的数学建模能力，培养学生的抽象概括能力和学习兴趣。 一、说教学重难点 重点:理解二次根式的概念及非负性 难点:二次根式的非负性的应用 二、说教法学法。 为了提高本堂课的效率，根据本节课内容和学生特点。我采用了如下教法: 1、发现教学法:通过实际问题总结归纳发现共性，得出二次根式概念。 2、讲解法:通过教师讲解相关知识，学生练习，达到知识应用的目的 3、启发教学法:教师课堂上巧设问题启发学生思考加深对概念的理解。 在学法指导上，为了体现学生的主体性，我鼓励学生自主探究学习，同时在教师的引导下进行学习，然学生大胆尝试对知识的应用，通过亲自实践活动的过程，获得相关知识技能。 三、说教学准备 小黑板或者多媒体课件。这样通过小黑板或者多媒体提前将几道实际问题准备好，可以 2.7 二次根式 第1课时二次根式及其化简 重点难点提示 本单元重点是二次根式的重要性质：，它是二次根式化简和运算的重要依据。 1．二次根式的重要性质： 要注意以下问题： 〔1〕因为被开方数a2≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。而是表示算术根，所以 〔非负数〕，即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。去掉绝对值符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。假设无法决定，要对其进行讨论。 〔2〕应用公式化简时，为保证结果的非负性，也防止出现运算上的错误，应首先写成 的形式，然后再去绝对值符号。 2．的区别 〔1〕a的取值范围不同：中的a必须是非负数。 中的a可以是任何实数。 〔2〕运算顺序不同，表示对非负数a先开方，再平方。而表示对实数a先平方，再开方。 知识点精析 例1．判断以下各式是否正确 (1)(2) (3) (4) (5) 解：根据二次根式知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的。 例2．化简 (1) (2) (-1 北师大版八年级数学上册--第二单元《二次根式》典型例题 （含答案） 二次根式典型例题 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）1.下列各式中一定是二次根式的是（） A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）1 21+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 . （7）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 . 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________. 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 . 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________. 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x . 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = . 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围 是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（） A 、10< 二次根式的定义及有意义的条件 一．二次根式的定义（共10小题） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（） A．﹣B．C．D．2．已知二次根式，则x的最小值是（） A．0B．﹣1C．D．3．已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（）A．2B．±2C．4D．±4 4．已知是整数，则正整数n的最小值是（） A．2B．4C．6D．8 5．如果是二次根式，那么x应满足的条件是（） A．x＝B．x＜C．x≤D．x≥6．下列各式中是二次根式的是（） A．B．C．﹣D．2 7．如果是二次根式，那么x的取值范围（） A．x≥0B．x＞0C．x＞﹣1D．x≥﹣1 8．下列式子是二次根式的是（） A．﹣0.3B．πC．0D．9．若是二次根式，则x的值不可能是（） A．﹣2B．﹣1C．0D．1 10．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D．二．二次根式有意义的条件（共16小题） 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是（） A．B．C．D．12．二次根式中x的值不能是（） A．0B．1C．2D．3 13．要使在实数范围内有意义，则a应满足的条件是（）A．a≠8B．a＜8C．a＞8D．a≥8 14．二次根式+中，x的取值范围是（） A．x≥3B．x≥1C．1≤x≤3D．不能确定15．无论x取什么实数，下列式子中一定有意义的是（） A．B．C．D． 16．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥﹣3B．x＞﹣3C．x≥3D．x＞3 17．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．18．若代数式无意义，则实数x的取值范围是． 19．要使式子有意义，则x的取值范围是． 20．若|2020﹣a|+＝a，则a﹣20202＝． 21．若的取值范围是x≥1，则a＝． 22．已知y＝++2020，求x2+y﹣3的值． 23．已知y＝+3，求（x+y）4的值． 24．求下列二次根式中字母的取值范围： （1）． （2）． 25．（1）已知b＝4+2+5，求3a+5b的立方根； （2）已知（x﹣3）2+＝0，求4x+y的平方根． 26．y＝++8，求3x+2y的值． 1.式子b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)，b a b a = (a ≥0, b ＞0)的运用；能利用化简对实数进行简单的四那么运算.(重点) 2.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法那么进行有关实数的四那么运算.〔难点〕 3.通过对法那么的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性. 教法及学法指导： 本节采用“导学－探究—反响〞教学模式，引导学生对设计的问题进行主动思考、小组讨论、主动探究，最后自己得到二次根式化简的方法，并能进行简单的四那么混合运算. “两个公式的逆运用〞是本节课的重点知识，“灵活地运用公式进行实数运算〞是本节课的难点知识．对以上两个知识，要通过大量练习，才能让学生熟练掌握. 课前准备： 制作课件，学生课前进行预习工作. 教学过程: 一、 导学 1.让学生回忆算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 〔利用课间展示图片〕 学生思考后踊跃答复，上述两个问题学生很容易完成. 在这个环节为了方便表示，设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .因此，学生得到：.2,822==b a 由算数平方根的定义很容易得到：.2,8==b a 2.老师继续提出问题：这两个正方形的边长之间有什么关系？〔停留片刻，展示分割大正方形的图片〕 借助图片，学生得出：,2b a =即：.228= 3.你能借助什么运算法那么解释它吗？点明本节课研究任务——化简，导入新课. 二、 探究 1.利用课件出示上节课研究的两个运算法那么：b a b a ⋅=⋅〔a ≥0，b ≥0〕， b a b a =〔a ≥0，b ＞0〕．并明确指出逆用仍然是成立的，面积8 面积2 7二次根式 第1课时二次根式的概念和性质 教学目标 【知识与技能】 1. 了解二次根式及最简二次根式的概念 2. 会化简二次根式. 3. 理解并掌握二次根式的性质. 【过程与方法】 经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程，发展学生的归纳概括能力和语言表达能力• 【情感、态度与价值观】 积极参与数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体会到数学学习的乐趣 教学重难点 【重点】 理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念，化简二次根式• 【难点】 化简二次根式• 教学过程 一、知识回顾，引入新课 师:同学们还记得平方根的概念吗？ 生:记得.一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根• 师:什么叫做算术平方根呢？ 生:正数的正的平方根以及零的平方根，统称算术平方根• 师:很好!非负数a的算术平方根用(a >0)表示• 一般地，例如(a>0)的式子，我们叫做二次根式•这就是今天这节课我们要学习的内容• 二、讲授新课 师:请同学们观察下列代数式，你能发现它们有什么共同特征吗？ ，，，，(其中b=24，c=25). 生:它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数• 师:很好！一般地，例如(a > 0)的式子，叫做二次根式，a叫做被开方数•那么二次根式具有什么性质呢？下面我们一起来探究一下•请同学们完成以下填空： = ______ ，x = ______ ; = ____ ,x = ______ ; —~r~ — ________ ? __________ ・ 学生独立完成填空，然后集体订正•并根据上面的猜想，估计下列式子是否相等，再借助计算器验证• 师:请同学们比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？ 学生分组讨论交流，然后由小组代表发言，教师予以补充完善• 师:通过刚才的探究，我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质•即： (1)积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数)，即=• (a> 0，b> 0); (2)商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.(被除式必须是非负数，除式必须是正数)，即=(a>0，b>0). 师:知道了二次根式的这些性质，下面我们来看几个例题，加深理解• 三、例题讲解 【例1】化简： (1) ；(2)；(3) • 【答案】(1) = X =9 X 8=72; (2) =X =5; ⑶==• 例1的化简结果5,中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数• 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式•化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式• 【例2】化简： (1) ；(2)；(3) • 【答案】(1)==X =5; ⑵===; ⑶==• 判断最简二次根式的方法：通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后，不含能开得尽 方的因数或因式，即为最简二次根式• 【例3】先化简，再求出下面算式的近似值(精确到0. 01). (1) ;(2);(3) • (合理应用二次根式的性质，可以帮助我们简化实数的运算•) 【答案】("===• =12~ 20.78; ⑵===~ 1. 01; (3) ===X =10-2X =0. 01 X~ 0. 02. 四、巩固练习 《二次根式》练习题 1．二次根式的定义 一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数． 【例1－1】 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ 2，33，1x ，x 2 ＋1，0，42，－2，1x ＋y ，x ＋y . 解：二次根式有：2，x 2 ＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x ，42，1x ＋y ， x ＋y . 析规律 二次根式的条件 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0. 【例1－2】 当x 是多少时，3x －1在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x －1≥0时，3x －1才有意义． 解：由3x －1≥0，得x ≥1 3 . 因此当x ≥1 3 时，3x －1在实数范围内有意义． 点技巧 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0. 2．积的算术平方根 用“＞，＜或＝”填空． 4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36. 根据上面的计算我们可得出： ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0) 即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积． 【例2】 化简： (1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54. 分析：利用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)直接化简即可． 解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)54＝9×6＝32 ×6＝3 6. 点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式． 3．商的算术平方根 填空： (1)916 ＝__________，916＝__________； 二次根式考查要点 一、 二次根式的性质 1、 双重非负性 2、 a a =2 3、 ()()0.2≥=a a a 二、 二次根式的运算 1、 乘法： ab b a = *；反之ab 也可拆成b a *()0;0≥≥b a 2、 除法：b a b a =；反之b a 也可拆成b a ()0;0> b a ≥ 3、 加减法：合并同类二次根式（类同于合并同类项） 三、 二次根式的化简 1、 最简二次根式的条件：①被开方数不含开得尽方的因式（即被开方数的因式指数要小于二） ②被开方数不为分数（小数） ③分母中不能有根号 2、 化简技巧 Ⅰ被开方数为整式：①单项式：将指数大于或等开2的因式开方到根号外 ②多项式：分解后，将指数大于或等开2的因式开方到根号外 Ⅱ分母有根号：①单项式：见根号，乘根号 ②二项式：见和乘差；见差乘和 四、 同类二次根式 1、 定义（条件）：被开方数相同的二次根式（注：一般化简后才能准确判断） 2、 合并同类二次根式 五、 其它 1、平方与平方根的转化 2、根号外因式移到根号内 3、无理数的估算 4、无理数大小的比较 5、立方根相关知识 实数典型问题精析（培优） 1、 已知22(4)20,()y x y x y z xz -++++-=求的平方根。 2、若,,3532320042004,4x y m x y m x y m x y x y m +--++-= +-+---适合于关系式试求的算术平方根。 3、 一个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是_______。 变式练习：若2a+3和4a+9是x 的平方根，则x=_______ _。 4、已知m ，n 是有理数，且(52)(325)70m n ++-+=，则m= ，n= 。 5、2(9)-的算术平方根是 。 6、已知22114,)1 x y x x y x +-+-+=+3则(2= 。 7、设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是 两两不相等的实数，则22 22 3x xy y x xy y +--+的值是 。 8、若201120121m =-，则的值是 。 9、比较大小：32____23).1( 63____72).2(++ (3).2005200320032001 10、将a －1a 根号外的因式移入根号内的结果是 。 11、设 12211=112S ++, 22211=123S ++, 32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =S=____ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)． 12、已知5+11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则： （1）a+b 的值为 ；（2）a －b 的值为 . 13、已知514=-+ +a a ，则=-a 26 14、代数式()94122 2+++-x x 的最小值为 二次根式 【学习目标】 1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式的概念 一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点进阶： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3.. 4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 （a ≥0，b ≥0）. 5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b =÷=÷或（a ≥0，b >0）. 要点进阶： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. （2）2a 与2()a 要注意区别与联系： ①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。 ②a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 要点三、最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点进阶：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 例1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？ 举一反三： 【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ） A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2 类型二、二次根式的性质 例2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1) ； (2). 举一反三： 【变式】问题探究： 因为 ，所以， 因为，所以 请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式： （1） ； （2） ． 课题：二次根式 教学目标： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 积的算术平方根与商的算术平方根的性质． 积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化为最简二次根式． 4.通过利用二次根式的性质进行计算，理解最简二次根式的含义.在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识． 教学重点与难点： 重点：二次根式的概念、性质及二次根式的化简. 难点：（a≥0，b≥0）=（a≥0， b＞0）．并用它们进行二次根式化简. 教学过程： 一、创设情境，导入新课 活动内容：求下列各数，思考下面的两个问题: 1.我校有两个正方形的花坛，一个面积为8平方米，一个面积为2平方米，大家说这两个正方形的边长是多少？ 2. 5的算术平方根是多少？ 3.一个正数的平方是，这个数多少？ 4.直角三角形的斜边长是c，一条直角边是b，那么另一条直角边的长为多少？ 问题1：它们的值有什么共同特点? 问题2：它们的值是最简形式吗？ 处理方式：学生独立完成，然后同伴交流所提出的两个问题。引入我们今天要学习的内容. 设计意图：由生活中的数学引出新课要探究的数学问题，一是，使学生感知数学在生活中的应用，激发学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础．二是加强前后知识间的联系，使学生认识到学习的必要性，从而增强学习的积极性.同时也顺利的引入 了新课. 二、探究学习，感悟新知 活动内容1：（多媒体出示）观察下列各数并思考下面的问题： 5，11，2.7， 12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 处理方式：以小组为单位，让学生充分讨论后回答，只要学生回答的合情合理均给予肯定和鼓励，通过式子的特点介绍二次根式的概念. 一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式.a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 设计意图：学生通过观察并与小组成员的讨论这些式子的共同点，使学生能够形成二次根式的概念，初步感知二次根式的形态.同时教会学生在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识，使学生学会学习． 练一练： 1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式? 2.当x X 围内有意义？ 3.m 能取得最小整数值是（）. 参考答案：， 2. 1 3x ≥ 3. 1 处理方式：学生独立完成后进行交流讨论，使学生对二次根式有一个较深刻、全面的认识.使学生认识到：看一个式子是否为二次根式，关键看是否满足)0(≥a a 的形式.即:二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是非负数. 设计意图：通过练习，让学生加强对二次根式定义的认识. 第1题着眼于弄清二次根式的形式，巩固二次根式有意义的条件.第2题和第3题都是用不同的形式来考察学生对二次根式有意义的理解.让学生在练习中发现乐趣，掌握知识. 1 x b 北师大版八年级上册数学第 8 讲《二次根式的乘除运算》知识点梳理 【学习目标】 1. 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2. 能运用二次根式的有关性质进行分母有理化. 【要点梳理】 要点一、二次根式的乘法 1.乘法法则： 要点诠释： （ a ≥0， b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. (1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a 、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0， ≥0，….. ≥0）. (3)若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如 . 要点二、二次根式的除法 1.除法法则： = a (或 b ÷ = a ÷ b ) （ a ≥0， b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点诠释： (1) 在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a 、b 的取值范围应特别注意， a ≥0， b >0， 因为 b 在分母上，故 b 不能为 0. (2) 运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 要点三、分母有理化 1. 分母有理化 把分母中的二次根式化去叫做分母有理化. 2.有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因 a b a a a - b a - b b a b x x 式.有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用别互为有理化因式. a ⋅ = a 来确定，如： a 与 ， a + b 与 ， 与 等分 ② 两 项 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 . 如 a + 与 a - ， + b 与 - ， a + b y 与a - b 分别互为有理化因式. 要点诠释： 分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式. 【典型例题】 类型一、二次根式的乘除运算 1．(1) × ； (2) × ； (3) ； (4) ； 【答案与解析】(1) × = ； (2) × = = ； (3) = = =2； (4) = = ×2=2 . 【总结升华】直接利用 计算即可． 举一反三： 【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1) ； (2) × =4× × =4 × =4 =8 . 【答案】(1)不正确． 改正： = ＝ × =2×3=6； a a + b b a y 《二次根式》精品教案 教学目标： 知识与技能目标： 1.理解二次根式的概念和性质， 2.最简二次根式的概念 3.会根据二次根式的性质进行二次根式的化简 过程与方法目标： 1.通过加深对概念的理解，提高对二次根式的性质和运算的认识。 2.利用二次根式的化简解决简单的数学问题，通过独立思考，能选择合理的方法解决问题。 情感态度与价值观目标： 1.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会二次根式的性质及运算，培养学生利用数 学解决问题的能力。 重点： 2.掌握二次根式的概念和性质，理解它们解的含义； 3.能利用二次根式的乘除法的法则进行二次根式的运算。 难点： 1.最简二次根式的概念 2.把根号内含字母的二次根式的化简。 教学流程： 课前回顾 1、11的算术平方根是 2、面积为a (a>0)的正方形的为_70_. 3、直角三角形的两直角边分别是1和2,则斜边是—疾一 情境引入 探究1： 如"'6必,梧, ((c+b)(c— b) (其中b=24, c=25) 上述式子有什么共同特征？ 共同特征：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 1.二次根式的概念 一般地，形如j a (a > 0)式子叫做二次根式. a叫做被开方数. * 一个式子是二次根式应满足几个条件？ 第一，有二次根号“ L”， 第二，被开方数a是正数或0.(条件：a>0 ) 练习1 1、判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式. 五，股,-,, & (x>0), g , 4金,22 , Jx~y (x>0, y>0) x x y 1 二次根式有：8 x x(x>0),厌，4垃,72, T x-y(x>0, y>0) 不是二次根式的有：3/3, - , -^―, x x y 2、当x取何值时，二次根式J- 在实数范围内有意义？ 解：由x- 1> 0 ,得x> 1 3、a>0时，ja结果一■定是什么数？ 解：a〉。时，j a>o (双重非负性) 探究2 1、二次根式性质 (1)计算下列式子，猜想你能得到什么结论？ v 4 ',19 = 6 , 44 9 = 6 ；V16 2 25 = 20 , ,16~25 = 20 4 2 4 2 方=-0-79=-1 结论： <4 99= V4~~9；.16 4 16 4 725 =_5__，后=_§ .16 25= 16 25 <6。7 = 6.480,个6 7 = _6.480__; 坐=0.9255. 7 6 = 0.9255 7 (2)用计算器计算:2021秋八年级数学上册第二章实数二次根式1二次根式及其性质说课稿新版北师大版
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