高三数学回归分析知识点
高三数学回归分析知识点
回归分析是数学中一种重要的数据分析方法，主要用于研究变量之间的关系以及预测未来的趋势。它在高三数学中也是一个重要的知识点。本文将介绍高三数学回归分析的基本概念、方法和应用。
一、回归分析的基本概念
回归分析是通过对一组相关变量的观测数据进行统计分析，建立一个数学模型，从而揭示变量之间的关系和规律。在回归分析中，通常将一个或多个自变量与一个因变量进行关联，通过构建回归方程来描述这种关系。回归分析可以帮助我们理解和预测变量之间的相互作用。
二、回归分析的方法
1. 简单线性回归分析
简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，它研究两个变量之间的关系。在简单线性回归中，假设自变量和因变量之间存在一个线性关系。通过最小化残差平方和来确定最佳拟合直线，从而建立回归方程。
2. 多元线性回归分析
多元线性回归分析是简单线性回归的扩展，它研究多个自变量与一个因变量之间的关系。在多元线性回归中，需要选择合适的自变量，并进行变量筛选和模型检验，以建立具有良好拟合度和预测能力的回归方程。
3. 非线性回归分析
非线性回归分析是在回归分析的基础上，考虑变量之间的非线性关系。它通常通过将自变量进行变换或引入非线性项来拟合数据。非线性回归可以更好地适应非线性数据的变化，提高模型的拟合度。
三、回归分析的应用
1. 预测分析
回归分析在预测分析中有着广泛的应用。通过建立回归模型，我们可以根据已有的数据来预测未来的趋势和结果。这在金融、经济学、市场营销等领域都有重要的应用价值。
2. 产品开发和优化
回归分析可以用于产品开发和优化过程中。通过分析自变量与
因变量之间的关系，可以确定对于产品性能的重要影响因素，从
而改进产品的设计和质量。
3. 策略制定
在管理和决策层面，回归分析可以帮助制定策略和决策。通过
分析不同变量之间的关系，可以找到最佳决策方案，并预测其效果。
四、总结
高三数学回归分析是一门重要的知识点，它可以帮助我们理解
和分析变量之间的关系，并应用于实际问题的解决。在实际应用中，我们需要选择合适的回归方法和模型，进行数据分析和预测。通过不断学习和实践，我们可以提高回归分析的能力，为实际问
题的解决提供有效的方法和工具。
通过以上对高三数学回归分析知识点的介绍，相信大家对回归
分析的基本概念、方法和应用有了更深入的了解。在高三数学学
习过程中，我们应该注重理论与实践的结合，加强对回归分析的
应用能力，为将来的学习和工作做好充分准备。
人教版高中数学必修三 第四章 线性回归方程 Word版含解析
重点列表： 重点详解： 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关 (1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________． (2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________. ※ (3)相关系数 r ＝ ∑∑∑===----n j j n i i n i i i y y x x y y x x 1 2 1 2 1 )()() )((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个 变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝ ∑=--n i i i x y 1 2)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回
归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，. (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程 为a x b y ???+=，则 ?? ????? ?? -=--=---=∑∑∑∑====.??, )())((?1 2 21 121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 【答案】 1．相关关系 非确定性 2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法 重点1：相关关系的判断 【要点解读】 在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系． (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系 【例题】下列变量之间的关系不是．． 相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量
高三数学回归分析知识点
高三数学回归分析知识点 回归分析是数学中一种重要的数据分析方法，主要用于研究变量之间的关系以及预测未来的趋势。它在高三数学中也是一个重要的知识点。本文将介绍高三数学回归分析的基本概念、方法和应用。 一、回归分析的基本概念 回归分析是通过对一组相关变量的观测数据进行统计分析，建立一个数学模型，从而揭示变量之间的关系和规律。在回归分析中，通常将一个或多个自变量与一个因变量进行关联，通过构建回归方程来描述这种关系。回归分析可以帮助我们理解和预测变量之间的相互作用。 二、回归分析的方法 1. 简单线性回归分析 简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，它研究两个变量之间的关系。在简单线性回归中，假设自变量和因变量之间存在一个线性关系。通过最小化残差平方和来确定最佳拟合直线，从而建立回归方程。
2. 多元线性回归分析 多元线性回归分析是简单线性回归的扩展，它研究多个自变量与一个因变量之间的关系。在多元线性回归中，需要选择合适的自变量，并进行变量筛选和模型检验，以建立具有良好拟合度和预测能力的回归方程。 3. 非线性回归分析 非线性回归分析是在回归分析的基础上，考虑变量之间的非线性关系。它通常通过将自变量进行变换或引入非线性项来拟合数据。非线性回归可以更好地适应非线性数据的变化，提高模型的拟合度。 三、回归分析的应用 1. 预测分析 回归分析在预测分析中有着广泛的应用。通过建立回归模型，我们可以根据已有的数据来预测未来的趋势和结果。这在金融、经济学、市场营销等领域都有重要的应用价值。 2. 产品开发和优化
回归分析可以用于产品开发和优化过程中。通过分析自变量与 因变量之间的关系，可以确定对于产品性能的重要影响因素，从 而改进产品的设计和质量。 3. 策略制定 在管理和决策层面，回归分析可以帮助制定策略和决策。通过 分析不同变量之间的关系，可以找到最佳决策方案，并预测其效果。 四、总结 高三数学回归分析是一门重要的知识点，它可以帮助我们理解 和分析变量之间的关系，并应用于实际问题的解决。在实际应用中，我们需要选择合适的回归方法和模型，进行数据分析和预测。通过不断学习和实践，我们可以提高回归分析的能力，为实际问 题的解决提供有效的方法和工具。 通过以上对高三数学回归分析知识点的介绍，相信大家对回归 分析的基本概念、方法和应用有了更深入的了解。在高三数学学 习过程中，我们应该注重理论与实践的结合，加强对回归分析的 应用能力，为将来的学习和工作做好充分准备。
高考数学一轮复习专题05 回归直线方程(解析版)
概率与统计 专题五：回归直线方程 一、知识储备 1．两个变量线性相关 (1)散点图：将样本中n 个数据点(,)i i x y (i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关 ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程： ①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据11(,)x y ,22(,)x y ,33(,)x y (,)n n x y ． ②设所求回归方程为y bx a =+，其中,a b 是待定参数． ③由最小二乘法得 1 12 2 2 1 1 ()() ,()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b a y bx x x x nx ====---= = =---∑∑∑∑ 其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距． 二、例题讲解 1．（2022·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三模拟预测（文））十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》这部法律自2021年1月1日起施行，某市相关部门进行法律宣传，某宣传小分队记录了前5周每周普及宣传的人数与时间的数据，得到下表： （1）若可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程； （2）利用（1）的回归方程，预测该宣传小分队第7周普及宣传（民法典）的人数．
高三线性回归方程知识点
高三线性回归方程知识点 线性回归是数学中的一种方法，用于建立一个自变量与因变量 之间的关系。在高三数学中，线性回归方程是一个重要的知识点。本文将介绍高三线性回归方程的基本概念、推导过程以及应用范围。 一、基本概念 1. 线性回归方程 线性回归方程，也叫作线性回归模型，表示自变量x和因变量 y之间的关系。它可以用如下的一般形式表示： y = β0 + β1x + ε 其中，y表示因变量，x表示自变量，β0和β1表示模型中的参数，ε表示误差项。 2. 参数估计 线性回归方程中的参数β0和β1需要通过观测数据进行估计。 常用的方法是最小二乘法，即通过最小化实际观测值和预测值之 间的差异，来得到最优的参数估计值。
二、推导过程 1. 求解参数 通过最小二乘法，可以得到线性回归方程中的参数估计值。具 体推导过程包括以下几个步骤： （1）确定目标函数：将观测值和预测值之间的差异平方和作 为目标函数。 （2）对目标函数求偏导：对目标函数分别对β0和β1求偏导，并令偏导数为0。 （3）计算参数估计值：根据求得的偏导数为0的方程组，解 出β0和β1的值。 2. 模型拟合度评估 在得到参数估计值之后，需要评估线性回归模型的拟合度。常 用的指标包括相关系数R和残差平方和SSE等。相关系数R可以 表示自变量和因变量之间的线性相关程度，取值范围在-1到1之间，越接近1表示拟合度越好。 三、应用范围
线性回归方程在实际问题中有广泛的应用，例如经济学、统计学、社会科学等领域。它可以用来分析自变量和因变量之间的关系，并预测未来的结果。 1. 经济学应用 在线性回归模型中，可以将自变量设置为经济指标，例如GDP、通货膨胀率等，将因变量设置为某一经济现象的数值。通过构建 线性回归方程，可以分析不同经济指标对经济现象的影响，为经 济决策提供参考依据。 2. 统计学应用 线性回归方程是统计学中的一项重要工具。通过对观测数据的 拟合，可以得到参数估计值，并进一步分析自变量和因变量之间 的关系。统计学家可以利用线性回归分析建立统计模型，为实验 数据的解释提供更为准确的结论。 3. 社会科学应用 线性回归方程还被广泛用于社会科学领域，例如教育研究、人 口学研究等。通过线性回归模型，可以分析社会因素对个体行为 的影响，为社会问题的解决提供理论依据。
数学中各种回归分析方法总结
其主要思路是将对异常值十分敏感的经典最小二乘回归中的目标函数进行修改。经典最小二乘回归以使误差平方和达到最小为其目标函数。因为方差为一不稳健统计量，故最小二乘回归是一种不稳健的方法。为减少异常点的作用，对不同的点施加不同的权重，残差小的点权重大，残差大的店权重小。 2、变系数回归 地理位置加权 3、偏最小二乘回归 长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。能够消除自变量选取时可能存在的多重共线性问题。普通最小二乘回归方法在自变量间存在严重的多重共线性时会失效。自变量的样本数与自变量个数相比过少时仍可进行预测。 4、支持向量回归 能较好地解决小样本、非线性、高维数和局部极小点等实际问题。 传统的化学计量学算法处理回归建模问题在拟合训练样本时,要求“残差平方和”最小,这样将有限样本数据中的误差也拟合进了数学模型,易产生“过拟合”问题,针对传统方法这一不足之处,SVR采用“ε不敏感函数”来解决“过拟合”问题,即f(x)用拟合目标值yk时,取:f(x) =∑SVs(αi-α*i)K(xi,x) 上式中αi和α*i为支持向量对应的拉格朗日待定系数,K(xi,x)是采用的核函数[18],x为未知样本的特征矢量,xi为支持向量(拟合函数周围的ε“管壁”上的特征矢量),SVs 为支持向量的数目.目标值yk拟合在yk-∑SVs(αi-α*i)K(xi,xk)≤ε时,即认为进一步拟合是无意义的。 5、核回归 核函数回归的最初始想法是用非参数方法来估计离散观测情况下的概率密度函数(pdf)。为了避免高维空间中的内积运算由Mercer条件，存在映射函数a和核函数K(?,?)，使得：
应用回归分析知识点总结
U4 违背基本假设的情况 一、异方差产生的原因 在建立实际问题的回归分析模型时，经常会出现某一因素或一些因素随着解释变量观测值的变化而对被解释变量产生不同的影响，导致随机误差项产生不同的方差。即：)var()var(j i εε≠，当j i ≠时。样本数据为截面数据时容易出现异方差性。 二、异方差性带来的问题 1、参数估计值虽然是无偏的，但不是最小方差线性无偏估计。 2、参数的显著性检验失效。 3、回归方程的应用效果极不理想。 三、异方差性的检验 1、残差图分析法 残差图分析法是一种只管、方便的分析方法。它以残差i e 为纵坐标，以其他 适宜的变量为横坐标画散点图。常用的横坐标有三种选择：（1）以拟合值y ?为横坐标；（2）以i x (p i ,,2,1 =)为横坐标；（3）以观测时间或序号为横坐标。 (a)线性关系成立;(b)x 加入二次方项;(c)存在异方差，需要改变x 形式 (d)残差与时间t 有关。可能遗漏变量或者存在序列相关，需要引入变量。 2、等级相关系数法 等级相关系数又称斯皮尔曼(Spearman)检验，是一种应用较广泛的方法。这种检验方法既可用于大样本，也可以用于小样本。进行等级相关系数检验通常有三个步骤： 第一步，做y 关于x 的普通最小二乘回归，求出i ε的估计值，即i e 的值 第二步，取i e 的绝对值，即|i e |，把i x 和|i e |按递增或递减的次序排列后分成等级，按下式计算出等级相关系数：∑=-- =n i i s d n n r 122)1(61，其中，n 为样本容量， i d 为对应于i x 和|i e |的等级的差数。 第三步，做等级相关系数的显著性检验。在n>8的情况下，用下式对样本等级相
高三回归方程知识点总结
高三回归方程知识点总结 在高中数学学科中，回归方程是一个重要的概念和工具。它广泛应用于统计学、经济学等领域，用于研究变量之间的关系和预测未来趋势。在高三阶段，学生们需要掌握回归方程的定义、求解方法和应用技巧。本文将对高三回归方程的知识点进行总结，帮助学生们全面理解和运用回归方程。 一、回归方程的定义 回归方程是描述自变量和因变量之间关系的数学公式。通过回归方程，我们可以根据已知自变量的取值预测因变量的取值。回归方程一般为线性方程，可以表示为： Y = a + bX 其中，Y表示因变量，X表示自变量，a和b分别表示回归方程的截距和斜率。截距表示当自变量为0时，因变量的取值；斜率表示因变量随自变量的变化率。 二、回归方程的求解方法
1. 最小二乘法 最小二乘法是求解回归方程的常用方法。它通过求解使得观测 值与回归方程预测值之间的误差平方和最小的截距和斜率，得到 最佳拟合的回归方程。最小二乘法的基本原理是最小化残差平方和，即使得残差的平方和最小。 2. 直线拟合法 直线拟合法是一种简化的回归分析方法，适用于自变量和因变 量之间满足线性关系的情况。它通过选择一条直线，使得观测值 与该直线的距离之和最小。具体求解方法包括最小二乘法和几何 法等。 3. 曲线拟合法 曲线拟合法适用于自变量和因变量之间满足非线性关系的情况。它通过选择一条曲线，使得观测值与该曲线的距离之和最小。常 见的曲线拟合法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
三、回归方程的应用技巧 1. 判断线性关系 在使用回归方程前，需要判断自变量和因变量之间是否存在线 性关系。可以通过绘制散点图观察数据点的分布情况，若呈现一 定的直线趋势，则可以考虑使用回归方程进行拟合。 2. 检验回归方程的拟合优度 为了评估回归方程的拟合程度，需要使用拟合优度来进行检验。拟合优度的取值范围为0到1，值越接近1表示拟合效果越好。拟合优度可以通过计算残差平方和与总平方和的比值得到。 3. 预测未来趋势 回归方程可以用于预测未来趋势。通过已知自变量的取值，代 入回归方程即可得到预测的因变量取值。这对于统计分析、经济 预测等应用具有重要意义。
高考线性回归知识点
高考线性回归知识点 线性回归是高考数学中的一个重要知识点，它是一种统计学上常用 的方法，用于分析两个变量之间的线性关系。在高考中，线性回归经 常被应用于解决实际问题和预测未知数据。本文将介绍线性回归的基 本概念、公式以及应用示例，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。 一、线性回归的基本概念 线性回归是建立一个自变量X和一个因变量Y之间的线性关系模型，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的误差，来拟合和预测 因变量Y的值。线性回归的模型可以表示为： Y = β0 + β1*X + ε 其中，Y是因变量，X是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是误差项，代表模型无法准确拟合数据的部分。 二、线性回归的公式 1. 简单线性回归 如果模型中只有一个自变量X，称为简单线性回归。简单线性回归 的公式为： Y = α + βX + ε 其中，α表示截距，β表示斜率，ε为误差项。我们利用给定的数据集，通过最小二乘法来估计α和β的值，从而得到一条最佳拟合直线。 2. 多元线性回归
如果模型中有多个自变量X1、X2、X3...，称为多元线性回归。多 元线性回归的公式为： Y = α + β1*X1 + β2*X2 + β3*X3 + ... + ε 同样，我们利用最小二乘法来估计α和每个β的值，从而得到一个 最佳拟合的平面或超平面。 三、线性回归的应用示例 线性回归在实际问题中有广泛的应用。下面通过一个简单的例子来 说明线性回归的具体应用过程。 例：某城市的房价与面积的关系 假设我们要研究某个城市的房价与房屋面积之间的关系。我们收集 了一些房屋的信息，包括房屋的面积和对应的价格。我们可以使用线 性回归来建立一个房价和面积之间的模型，从而预测未知房屋的价格。 1. 数据收集 首先，我们收集了一些房屋的面积和价格数据，得到一个数据集。 2. 模型建立 根据数据集，我们可以建立一个线性回归模型： 价格= α + β*面积+ ε 通过最小二乘法，估计出α和β的值。 3. 模型评估
高中数学：回归分析
高中数学：回归分析 角度1 线性回归方程及应用 (2019·江西五市部分学校联考)某品牌2 019款汽车即 将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S 店分别进行了两天试销售，得到如下数据： (1)分别以五家4S 店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)? 附：b ^＝∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y ) ∑i ＝1 n (x i －x )2 ，a ^＝y －b ^ x . 解：(1)五家4S 店的平均单价和平均销量分别为(18.3,83)，(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80)，(18.6,78)， ∴x ＝18.3＋18.5＋18.7＋18.4＋18.6 5＝18.5， y ＝83＋80＋74＋80＋785 ＝79，
∴b ^＝－0.2×4＋0×1＋0.2×(－5)＋(－0.1)×1＋0.1×(－1)0.04＋0＋0.04＋0.01＋0.01 ＝－2 0.1＝－20. ∴a ^＝y －b ^ x ＝79－(－20)×18.5＝79＋370＝449， ∴y ^＝－20x ＋449. (2)设该款汽车的单价应为x 万元， 则利润f (x )＝(x －12)(－20x ＋449)＝－20x 2＋689x －5 388，f ′(x )＝－40x ＋689， 令－40x ＋689＝0，解得x ≈17.2， 故当x ≈17.2时，f (x )取得最大值． ∴要使该款汽车获得最大利润，该款汽车的单价约为17.2万元． 角度2 非线性回归分析 某地区不同身高的未成年女性的体重平均值如下表： 试建立y 与x 之间的回归方程． 解：根据上表中的数据画出散点图，如图，
回归分析的基本知识点及习题
回归分析的基本知识点及习题 本周难点： （1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析. （2）掌握回归分析的实际价值与基本思想. （3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明. （4）残差变量的解释； （5）偏差平方和分解的思想； １．回归直线： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。 求回归直线方程的一般步骤： ①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→ ③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明. 2.回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 建立回归模型的基本步骤是： ①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量； ②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）. ③由经验确定回归方程的类型. ④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）； ⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等. 4.残差变量的主要来源： （1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述与之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。 这种由于模型近似所引起的误差包含在中。 （2）忽略了某些因素的影响。影响变量的因素不只变量一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在中。 （3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤 可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在中。 上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。 二、例题选讲 1为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下： （1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？ （2）若二者线性相关，求回归直线方程. 解（1）作出散点图： 观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系.
高三数学 1.6线性回归(第一课时)大纲人教版选修
高三数学 1.6线性回归(第一课时)大纲人教版选修 课时安排 2课时 从容说课 本节主要是研究线性回归的概念及线性回归的回归直线.通过大家都熟悉的例子引入线性回归的概念.如在实际生活中,变量之间的关系,除了如同圆面积S=πR2这类确定性关系外,还有一类“相关”关系.例如,人的下身长与总身高这两个变量之间虽然不可能建立一个精确的解析式,但这两个变量有着密切的关系,一般说来,下身长的人长得也高.又如,中学毕业班学生毕业考试的成绩与高考成绩之间虽然不可能建立精确的解析式,但它们的关系也非常密切,一般说来,毕业考试成绩好的学生高考成绩也好.为了深入考察这一情形,可以再举一些例子加以说明,用坐标系将对应(x i,y i)的这些数组标出,从直观上看,如果所有的点都在某条直线上,那么用这条直线去代表这一组点,反映它们的变化趋势,自然是再好不过了.这时,对于这一组点,这样的一条直线具有最好的代表性.另一个极端是如果所有的点都不在某条直线上,且这条直线远远偏离这些点,我们自然会认为,用这条直线去代表这一组点,代表性极差.然后取一条直线让这些点到这条直线的距离的总和较小,但这样做比较困难,可以通过假定直线=bx+a去模拟,这条直线称为回归直线.然后再返回到实际问题,通过实际问题的求解,概括出求回归直线方程的具体步骤,这一点可由学生来完成,培养学生的概括能力是十分重要的.本节可以安排两课时. 第十一课时 课题 § 1.6.1线性回归(一) 教学目标 一、教学知识点 1.理解变量之间的相关关系的概念、线性回归的概念及相关性检验等概念. 2.了解线性回归的基本思想和方法. 3.理解并掌握一元线性回归分析、回归直线方程. 二、能力训练要求 1.会用配方法来求回归直线方程. 2.能灵活运用线性回归方程解决有关实际问题. 三、德育渗透目标 1.培养学生辩证唯物主义观点(动与静、数与形、分与合等辩证观),培养学生数形结合、函数与方程的数学思想. 2.培养学生分析问题、解决问题的能力,收集信息和处理信息的能力. 3.培养学生具有“学生活的知识、学生存的技能、学生命的意义”的新学生观. 教学重点 线性回归的基本思想和方法是本节课的重点内容,我们研究的是回归分析中最简单,也是最基本的一种类型——一元线性回归分析,它不仅有着广泛的直接应用,而且是进一步学习回归分析的基础.例如,多元线性回归分析的原理与一元线性回归分析的原理是一样的,一些非线性回归问题可以转化成线性回归问题来进行解决. 教学难点 回归直线方程是本节课的教学的难点.我们是用配方法来求回归直线方程的.配方法在解决一些涉及二次多项式的问题时有着重要的作用,用配方法进行这种推导虽然看上去较为复杂,但解决问题的思路却是较为清楚的.
2019_2020年高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用学案新人教A版选修2_3
3．1 回归分析的基本思想及其初步应用 [教材研读] 预习教材P 80～88，思考以下问题 1．什么是回归分析？ 2．什么是线性回归模型？ [要点梳理] 1．回归分析 (1)回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)回归方程的相关计算 对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^ 是待定参数，由最小二乘法得 b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i －x y i － y ∑i ＝1 n x i －x 2 ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ， a ^ ＝y －b ^ x . (3)线性回归模型 线性回归模型⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ y ＝bx ＋a ＋e ， E e ＝0，D e ＝σ 2 ，其中a ，b 为模型的未知参数，通常e 为 随机变量，称为随机误差．x 称为解释变量，y 称为预报变量． 2．线性回归分析 (1)残差：对于样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的随机误差的估计值e ^i ＝y i －y ^ i 称为相应于点(x i ，y i )的残差，∑i ＝1n (y i －y ^i )2 称为残差平方和． (2)残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编
号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图． (3)R 2 ＝1－ ∑i ＝1n y i －y ^ i 2 ∑i ＝1 n y i －y 2 越接近1，表示回归的效果越好． [自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．残差平方和越小，线性回归方程的拟合效果越好．( ) 2．在画两个变量的散点图时，预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上．( ) 3．R 2 越小，线性回归方程的拟合效果越好．( ) [答案] 1.√ 2.× 3.× 题型一 求线性回归方程 思考：求线性回归方程的步骤是什么？ 提示：①列表表示x i ，y i ，x i y i ，x 2 i ； ②计算x ，y ，∑i ＝1 n x 2 i ，∑i ＝1 n x i y i ； ③代入公式计算a ^，b ^ 的值； ④写出线性回归方程． 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据 (1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^ ； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力． ⎝ ⎛⎭ ⎪⎪⎫相关公式：b ^＝∑i ＝1 n x i y i －n x ·y ∑i ＝1 n x 2 i －n x 2 ，a ^＝y －b ^ x [思路导引] 先画散点图，再求回归系数a ^，b ^ 写出方程． [解] (1)如图：
2021届高考数学新高考下基于问题探究考点5.2 回归分析在实际问题中的应用(解析版)
考点5.2 回归分析在实际问题中的应用 回归分析问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的统计问题在高考中频繁出现。通过具体的问题背景或新的定义，考察回归分析问题具体情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。本专题以单选题，多选题、填空题及解答题等形式体现回归分析的实际应用。 解决基于问题情境的回归分析问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际问题。 基础知识 1．回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报． 2．线性回归模型 (1)在线性回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中， () () 11 2 2 2 1 1 ()() ˆ; n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x n x x x ====---== --∑∑∑∑ˆˆa y bx =- 其中112n i i n x x x x x n n =+++==∑，112n i i n y y y y y n n =+++==∑ ， (x —，y —)称为样本点的中心，回归直线过样 本点的中心． (2)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量． 3．刻画回归效果的方式 回归分析在实际问题中的应用
（1） 单选题 1．（2021·安徽淮南市·高二期末（文））2020年初，新型冠状病毒(COVID -19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示： 由表格可得y 关于x 的二次回归方程为2ˆ6y x a =+，则此回归模型第2周的残差(实际值与预报值之差)为（ ） A ．5 B ．4 C ．1 D ．0 【答案】C 【分析】 设2t x =，求出t ，y 的值，由最小二乘法得出回归方程，代入2x =，即可得出答案. 【详解】 设2t x =，则()1 1491625115t = ++++=，()12173693142585 y =++++= 586118a =-⨯=-，所以2ˆ68y x =-.令2x =，得2222176281ˆe y y =-=-⨯+=. 故选：C 2．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）两个具有线性相关关系的变量的一组数据()11,x y ，()22,x y ，… (),n n x y ，下列说法错误的是（ ） A ．相关系数r 越接近1，变量,x y 相关性越强 B ．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C ．相关指数2R 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D ．若x 表示女大学生的身高，y 表示体重则20.64R ≈表示女大学生的身高解释了64%的体重变化 【答案】B 【分析】 根据变量间的相关关系中：相关指数2R 或相关系数r 的意义进行判定.
新高考数学A版讲义：选则性必修 数据分析(选)第2节 一元线性回归模型及其应用
第2节 一元线性回归模型及其应用 知识点一 一元线性回归模型 称⎩ ⎪⎨⎪⎧ Y ＝bx ＋a ＋e ，E (e )＝0，D (e )＝σ2为Y 关于x 的一元线性回归模型．其中Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是Y 与bx ＋a 之间的随机误差，如果e ＝0，那么Y 与x 之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 知识点二 最小二乘法 将y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ^ ，a ^ 叫做b ，a 的最小二 乘估计，其中，a ^＝y －b ^ x . 也可以表示为，这样更便于实际计算。 思考1 经验回归方程一定过成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的某一点吗？ 答案 不一定． 思考2 点(x ，y )在经验回归直线上吗？ 答案 在． 知识点三 残差与残差分析 1．残差 对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y ^ 称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四 对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回 1 2 1 ()() ˆ() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑1 2 21 ˆn i i i n i i x y nx y b x nx ==-=-∑∑
新高考数学复习基础知识专题讲义22 回归方程和2×2联表(解析版)
新高考数学复习基础知识专题讲义 知识点22 回归方程和2×2联表 知识理解 一．线性关系 1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类： 一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程： 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 的回归方程，其中是待定参数． 的计算公式. 注意：回归方程必过样本中心(x,y)，这也是做小题的依据和检验所求回归方程是否正确。 (3)相关系数： 当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r ＜0时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间 几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 二．独立性检验 y bx a =+1122()()()n n x y x y x y ，，，，，，a b 、 a b 、1 1 22211 ()()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ====⎧ ---⎪ ⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑
(1)2×2列联表 设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下： (2)独立性检验 利用随机变量K 2 (也可表示为χ2 )的观测值22 n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d) -=++++(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为 样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 考向一 一次线性关系 【例1-1】（2021·山东高三专题练习）某工厂的每月各项开支x 与毛利润y （单位：万元）之间有如下关系，y 与x 的线性回归方程 6.5y x a =+，则a =（ ） A ．17.5 B ．17 C ．15 D ．15.5 【答案】A 【解析】由题意，根据表中的数据，可得2456855x ++++= =，3040605070 505 y ++++==， 即样本中心为(5,50)，代入y 与x 的线性回归方程为 6.5y x a =+，解得17.5a =.故选：A . 【例1-2】（2021·全国高三专题练习）西尼罗河病毒（WNV ）是一种脑炎病毒，WNV 通常是由鸟类携 考向分析