广东省佛山市石门高级中学2022-2023学年高一上学期第一次统测数学试题(含答案)

石门高级中学2022～2023学年度第一学期

高一年级数学科第一次统测试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋂=（ ）． A ．{}1,2

B ．{}2,3

C ．{}1,4

D ．{}1,2,3,4

2．命题“2x ∀>，230x ->”的否定是（ ）． A ．2x ∃>，230x -> B ．2x ∀>，230x -≤ C ．2x ∃>，230x -≤

D ．2x ∀≤，230x ->

3．已知x ∈R ，则“1x <”是“1x <”的（ ）． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

4．下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数（ ）．

A ．2

y =

B ．y =

C ．y =

D ．2

x y x

=

5．已知2x >，则4

2

x x +-的最小值为（ ）． A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

6．已知4t a b =+，24s a b =++，则t 和s 的大小关系是（ ）． A ．t s ≤

B ．t s ≥

C ．t s <

D ．t s >

7．如图，二次函数2

y ax bx =+的图像开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =-+的图像大致是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

8．若不等式23

208

kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ）

． A ．[]3,0- B ．()(),30,-∞-⋃+∞ C ．(]3,0-

D ．(][),30,-∞-⋃+∞

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知集合{}

2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ）． A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

10．已知函数()22,1,12

x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，则关于函数()f x 的结论正确的是（ ）．

A ．()f x 的定义域为R

B ．()f x 的值域为(),4-∞

C ．()13f =

D ．若()1f x =，则x 的值为1±

11．设,,a b c ∈R ，且0b a <<，则下列结论一定正确的是（ ）． A ．

11

b a

> B ．22ac bc > C ．22a b > D ．ab a b >+

12．下列命题正确的是（ ）． A ．,a b ∃∈R ，()2

210a b -++≤

B ．若,0a b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是9

C ．1a b ≥>-，则

11a b

a b

≥

++ D ．0ab ≠是22

0a b +≠的充要条件

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数()1

2

x f x =

-的定义域为______．

14______．

15．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没

有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的人数为______人．

16．设矩形()ABCD AB AD >的周长为12cm ，把ABC △沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，则ADP △的面积取最大值时，AB 的长为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）

已知二次函数()2

23f x x x =-++．

（1）画出函数()f x 图像，并比较()0f ，()1f ，()3f 的大小（不需要写画图过程）； （2）求不等式()0xf x <的解集． 18．（本小题满分12分）

已知集合{}

2

3100A x x x =--≤，()(){}

220,0B x x m x m m =-+--≤>．

（1）若3m =，求A B ⋃；

（2）若实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的______，求实数m 的取值范围．

从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分12分）

已知0x >，0y >，且21x y +=．

（1）求xy 的最大值，以及取最大值时x 、y 的值； （2）求证：

21

9x y

+≥． 20．（本小题满分12分）

某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，()n n +∈N 年内的总维修保养费用为()

2420n n +万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入，假设到第n 年年底，该项目的纯利润为y 万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）．

（1）写出纯利润y 的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；

（2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目．

你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由． 21．（本小题满分12分）

已知函数()()()2

212f x mx m x m =+++∈R ．

（1）求m 的值，使函数()f x 的值城为[)0,+∞；

（2）当0m >时，求不等式()0f x ≤的解集． 22．（本小题满分12分）

设集合A 由全体二元有序实数组组成，在A 上定义一个运算，记为

，对于A 中的任意两个元素(),a b α=，

(),c d β=，规定：(),ad bc bd ac α

β=+-．

（1）计算：()

()2,31,4-；

（2）请用数学符号语言表述运算

满足交换律，并给出证明；

（3）若“A 中的元素(),I x y =”是“a A ∀∈，都有I I a αα==成立”的充要条件，试求出元素I ．

石门高级中学2022-2023学年度第一学期 高一年级数学科第一次统测试题参考答案

选择题

三、填空题

13．{}212x x x -≤<>或（或{}

12x x x ≥-≠且）

14．5 15．3

16．四、解答题

17．解：（1）二次函数()2

23f x x x =-++，即()()2

14f x x =--+的图象如图所示：

由图象，可知()()()103f f f >>．

说明：图像应体现关键点()1,0-，()0,3，()1,4，()3,0． （2）∵不等式()0xf x <，

∴当0x >时，()0f x <，由图像可知，3x >； 当0x <时，()0f x >，由图像可，10x -<<； ∴不等式()0xf x <的解集为()()1,03,-⋃+∞． 18．解：（1）{}

[]2

31002,5A x x x =--≤=-，

3m =时，()(){}[]1501,5B x x x ≤=+-=-．

所以[]2,5A B ⋃=-．

（2）∵()(){}

[]220,02,)2B x x m x m m m m ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣=---+>=-+⎦ 逸①“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集．

所以[)00

2244,253m m m m m m m >>⎧⎧⎪⎪

-≤-⇒≥⇒∈+∞⎨⎨⎪⎪+≥≥⎩⎩

．

经检验“＝”满足．所以实数m 的取值范围是[)4,+∞． 选②因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件， 所以B 是A 的真子集．

所以(]002240,3253m m m m m m m >>⎧⎧⎪⎪

-≥-⇒≤⇒∈⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩

．

经检验“＝”满足．所以实数m 的取值范围是(]0,3． 19．解：（1

）由基本不等式，得12x y =+≥

则1≤，得1

8

xy ≤． 当且仅当1

22

x y ==时，等号成立， 故xy 的最大值为

18，取最大值时14x =，12

y =． （2）

()212122222415y x

y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

224y x x y +≥=， 当且仅当1

3

x y ==

时，等号成立，

故

219x y +≥，当且仅当1

3

x y ==时，等号成立． 20．解：（1）由题意可知()

()22100420144480144y n n n n n n +=-+-=-+-∈N ， 令0y >，得24801440n n -+->，解得218n <<， 所以从第3年起开始盈利．

（2）若选择方案①，设年平均利润为1y 万元，则

136********y y n n n ⎛

⎫=

=-+≤-⨯= ⎪⎝

⎭， 当且仅当36

n n

=

，即6n =时等号成立， 所以当6n =时，1y 取得最大值32，

此时该项目共获利32672264⨯+=（万元）．

若选择方案②，纯利润()2

2480144410256y n n n =-+-=--+

∴当10n =时，y 取得最大值256，此时该项目共获利2568264+= （万元）． 以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需10年， 所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展． 21．解：（1）()f x 的值域为[)0,+∞，则()f x 不能是一次函数，0m ≠， 所以函数为二次函数，其图象为开口向上的抛物线且其顶点刚好在x 轴上， 所以0m >且()2

2180m m ∆=+-=，解得1

2

m =

． （2）由()()()()2

212120f x mx m x mx x =+++=++=，

解得11

0x m =-

<，22x =-， ①当102m <<时，抛物线开口向上，11

2x m

=-<-，

解不等式()0f x ≤，可得1

2x m

-≤≤-； ②当1

2

m =

时，解不等式()0f x ≤可得2x =-；

③当1

2

m >

时，抛物线开口向上，112x m =->-，

解不等式()0f x ≤，可得12x m

-≤≤-． 综上，当1

02m <<

，原不等式的解集为12x x m ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭

； 当1

2

m =时，原不等式的解集为{}2-； 当1

2m >

时，原不等式的解集为12x x m ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩

⎭． 22．解：（1）()()()()()()2,31,42431,34215,14-=⨯+⨯-⨯-⨯-=．

（2）交换律：a

ββ

α=，证明如下：

依题意，设(),a b α=，(),c d β=，则(),ad bc bd ac αβ=+-，

又()

()()(),,,,c d a b cb da ab ca ad bc bd ac βα==+-=+-，

∴α

ββ

α=．

（3）若A 中的元素(),I x y =，A α∀∈，都有I I

ααα==立，

则由（2）知只需I

αα=成立，

设(),a b α=，即()()(),,,x y a b a b =，则()(),,bx ay by ax a b +-=，

当()0,0α=时，显然有I

αα=成立，即元素I 为A 中任意元素，

当()0,0α≠时，则bx ay a ax by b +=⎧⎨-+=⎩

，解得01x y =⎧⎨=⎩，

因此当A α∀∈，都有I I

α

αα==成立时，得()0,1I =，

反之，当()0,1I =时，A α∀∈，设()11,a b α=，

()()()()111111110,1,01,10,I

a b b a b a a b αα==⋅+⋅⋅-⋅==，

所以“A 中的元素()0,1I =”是“A α∀∈，都有I I

ααα==成立”的充要条件，

元素()0,1I =．