2014年中考真题——勾股定理综合训练

一．选择题（共10小题）

1．（2014?淮安）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）

．C D．

4．（2014?乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（）

．C D．

6．（2014?德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（）

．+1 C+2 D．+3

7．（2014?牡丹江一模）在△ABC中，若AB=AC=15，BC=24，若P是△ABC所在的平面内的点，且PB=PC=20，

8．（2014?满洲里市模拟）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b，那么（a+b）2的值为（）

9．（2014?香坊区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC 的面积为（）

10．（2014?博野县模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）

二．填空题（共10小题）

11．（2014?凉山州）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为_________．

12．（2014?无锡）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于_________．

13．（2014?白银）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是_________cm．

14．（2014?南通）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，则AB=_________cm．

15．（2011?苏州二模）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为_________．

16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是_________．

17．如图，以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，其面积分别是S1，S2，S3，若S1=4π，S2=9π，则S3=_________．

18．如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，以AB为直径画半圆，若阴影部分的面积S1﹣S2=，则BC=

_________．

19．（2012?青海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留π）．

20．如图，以AB为直径画一个大半圆，BC=2AC，分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于_________．

三．解答题（共9小题）

21．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？

22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S1和S2．

（1）求证：S1+S2=S△ABC；

（2）若Rt△ABC的周长是2+，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和．

23．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明

S1=S2+S3．（不必说理）

（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）

（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并说明理由．

24．如图，等腰直角△ABC的斜边AB上有两点M、N，且满足MN2=BN2+AM2，将△ABC绕着C点顺时针旋转90°后，点M、N的对应点分别为T、S．

（1）请画出旋转后的图形，并证明△MCN≌△MCS；

（2）求∠MCN的度数．

25．如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上取两点M、N（不与A、B重合）使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，NB=n，试判断以x、m、n为边长的三角形的形状，并给予说明．

26．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC的形状．

27．（2007?牡丹江）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）

28．（2013?贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．

（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为_________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC 为_________三角形．

（2）猜想，当a2+b2_________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2_________c2时，△ABC为钝角三角形．

（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．

29．（2014?温州）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．

∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．

又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）

∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴a2+b2=c2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2

证明：连结_________

∵S五边形ACBED=_________

又∵S五边形ACBED=_________

∴_________

∴a2+b2=c2．

2014年中考真题——勾股定理综合训练

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2014?淮安）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）

．C D．

、三角形的面积为

、三角形的面积为××=3

、三角形的面积为××，

、三角形的面积为×

4．（2014?乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（）

．C D．

AC==

2=AC×2=×BD=

BC=3AB=

6．（2014?德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（）

．+1 C+2 D．+3

，

．∴

，∴

AC+BC+AB=3+3+

7．（2014?牡丹江一模）在△ABC中，若AB=AC=15，BC=24，若P是△ABC所在的平面内的点，且PB=PC=20，

9．（2014?香坊区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC 的面积为（）

BC AB（

二．填空题（共10小题）

11．（2014?凉山州）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．

的边是斜边时：第三边的长为：=

的边都是直角边时：第三边的长为：=5

．故答案为：或

12．（2014?无锡）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8．

AC=5

CD==8 13．（2014?白银）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是8cm．

BC=6cm

AD==

14．（2014?南通）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，则AB=8cm．

15．（2011?苏州二模）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为16．

∴△

边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是18．

17．如图，以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，其面积分别是S1，S2，S3，若S1=4π，S2=9π，则S3=13π．

a×，∴

c×=104×=13

18．如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，以AB为直径画半圆，若阴影部分的面积S1﹣S2=，则BC=

π．

，∴AB=π．故答案为：19．（2012?青海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部

分的面积为π﹣4（结果保留π）．

π×π

20．如图，以AB为直径画一个大半圆，BC=2AC，分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影

部分的面积与大半圆面积的比等于．

（﹣﹣

（，故答案为：

三．解答题（共9小题）

，∴△

22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S1和S2．

（1）求证：S1+S2=S△ABC；

（2）若Rt△ABC的周长是2+，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和．

πAC+（πAB

的面积即可，也即求出

=（BCπAB

AB+AC+BC=2+，

．

=BC=．∴图中阴影部分面积的和为．

23．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（不必说理）

（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）

（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并说明理由．

，∴=BC

24．如图，等腰直角△ABC的斜边AB上有两点M、N，且满足MN2=BN2+AM2，将△ABC绕着C点顺时针旋转90°后，点M、N的对应点分别为T、S．

（1）请画出旋转后的图形，并证明△MCN≌△MCS；

（2）求∠MCN的度数．

25．如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上取两点M、N（不与A、B重合）使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，NB=n，试判断以x、m、n为边长的三角形的形状，并给予说明．

中，∵，∴△

26．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC的形状．

27．（2007?牡丹江）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）

，∴．

，∴

10AC BD=150

，

40+10

=BD=）600+150

600

（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形．

（2）猜想，当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．

（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．

，∴当2

c=2时，这个三角形是直角三角形；

，∴当2

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．

∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．

又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴a2+b2=c2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．

求证：a2+b2=c2

证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，

∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，

又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），

∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），

∴a2+b2=c2．

ab+b

ab+a

ab++ab=c a