勾股定理中考题
勾股定理·中考题
看到这么一个标题，可能有些同学感到很纳闷：会标与勾股定理和中考题之间有什么关系呢？别着急，看完下文你就明白了.
2002年8月20 ~28日，我国在首都北京成功举办了第
24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际
数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会
议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数
学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这
次大会的会标如右图所示。它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.
赵爽在这本书中，画了一个弦图（如图）。
两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面
积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成
一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，
其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）.
赵爽注释道：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之
即弦. ”开方除之是当时开方运算的术语. 上面这句话实际上就是勾股定理即：a2+b2=c2.
他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四. 以勾股之差自相乘中黄实. 加差实亦成弦实. ”
即2ab+（b-a）2=c2
化简便得出：a2+b2=c2
这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个.
借助第24届国际数学家大会的东风，宣传民族文化，激发自豪感，这些也
正是中考命题专家们看重的地方.
例1（2003年安徽省中考题）如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形.
求证：△ABF≌△DAE
分析：在小学我们就知道，正方形的四条边相等，四个角都是直角.
∴∠BAF= 900-∠DAE=∠ADE.
在Rt△ABF与△DAE中，
∠BAF=∠ADE，AB=AD
∴△ABF≌△DAE(AAS).
例2（2003年山东省中考题）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图注》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如下图所示）. 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a+b)2的值为（）
A.13；
B.19；
C.25；
D.169.
分析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 ①.
由题意，得(b-a)2=1 ②.
由②，得a2+b2-2ab =1 ③.
把①代入③，得13-2ab=1
∴2ab=12.
∴(a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.
因此，选C.
例3（2003年山东省烟台市中考题）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5. 求中间小正方形的面积.
（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.
（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据） 分析：（1）设直角三角形的较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，则小正方形的边长为a-b. 由题意得a+b=5①
由勾股定理，得a 2+b 2=13②.
①2 – ②，得 2ab=12.
∴(a-b)2 = a 2+b 2-2ab=13 –12 =1③.
即 所求的中间小正方形的面积为1.
（2）所拼成的正方形的面积为6.5×2= 13(cm 2)，所以，可按照图甲制作. 由③，得a-b=1.
由①、③组成方程组解得 a=3, b=2.
结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm 的长边上截
取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13-12×3×2×4=13-12=1(cm 2)，恰好
等于中间的小正方形面积. 于是，得到以下分割拼合方法：
图甲
图乙 3cm
3cm 0.5cm 13cm 1cm 1cm 0.5cm 3cm 2cm
13cm
2cm
勾股定理中考试题汇编(含答案)
勾股定理中考试题汇编（2013） 1、（2013?资阳）如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 2、（2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C 的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（ ） ． 3、（2013?鄂州）如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 4、（2013?绥化）已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2 ）， 1题 2题 3题 4题 6题 6、（2013安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只 鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A ．8米 B ．10米 C ．12米 D ．14米 7、（2013年佛山市）如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m 8、（2013台湾、14）如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10， AE=16，则BE 的长度为何？（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 A C B 第7题图
勾股定理经典例题(含答案)
类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一） 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）
2019年中考数学试题分类汇编25：直角三角形、勾股定理
一、选择题 1. （2019浙江湖州， 9 ，3）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直 线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A ．22 B ．5 C ．35 2 D ．10 【答案】D ． 【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O ，作直线OP ，得线段AB ，则沿折痕AB 裁剪，即可将该图形面积两等分．过点A 作AC ⊥BD 于点C ，则∠ACB ＝90°．由中心对称的性质可知，BD ＝EF ＝AG ，从而BC ＝1．又 AC ＝3，故在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝22 31 ＝10．故选D ． 【知识点】中心对称的性质；勾股定理；操作类问题 2. (2019浙江宁波,12题,4分)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图 1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 第12题图 【答案】C 【思路分析】由勾股定理可知,两个小正方形面积和等于大正方形面积,表示出阴影部分面积,即可得到结论. 【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S 阴影＝c2－a2－b2+b(a+b －c),由勾股定理可知,c2 ＝a2－b2,∴S 阴影＝c2－a2－b2+S 重叠＝S 重叠,即S 阴影＝S 重叠,故选C. F E B A O P 第9题答图 第9题图 P
中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析
中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ) A ．121 B ．110 C ．100 D ．90 3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )
A ．2 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( ) A ．2n ﹣2 B ．2n ﹣1 C ．2n D ．2n+1 5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2 a b +值为（ ） A ．25 B ．9 C ．13 D ．169 7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．2 C ．8 D ．10 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
勾股定理经典例题(含答案)
勾股定理经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？ 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32
=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
勾股定理中考难题有答案详细讲解
勾股定理中考难题 A ． 48 B ． 60 C ． 76 D ． 80 2、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C 的坐 A ． B ． C ． D ． 2 3、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ） A ． 6 B ． 8 C ． 10 D ． 12 4、已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 1题 2题 3题 4题 6题 A ． 5 B ． C ． D ． 5或 6、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的 树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A ．8米 B ．10米 C ．12米 D ．14米 7、如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m 8、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 9、如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器壁． 离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．． 的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）. 10、（2013?滨州）在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC 的长为 ． A C B 第7题图
勾股定理经典例题(含答案)29050
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长 是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长， 进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD
中考真题勾股定理
中考数学试题分类解析汇编 勾股定理 一．选择题（共10小题） 1．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH 的长为（） A．B．2C．D．10﹣5 2．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（） A．B．C．D． 3．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 5．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）
A．B．C．D． 6．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（） A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里 7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（） A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是 BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=8，AD=4，则图中长为4的线段有（） A．4条B．3条C．2条D．1条 9．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（） A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5 10．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，4
人教版2020中考数学试题分类汇编 知识点30 直角三角形、勾股定理
知识点30 直角三角形、勾股定理 一、选择题 1. （2018山东滨州，1，3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】A 【解析】∵三角形为直角三角形，∴三边满足勾股定理，∴弦为：223+4＝5． 【知识点】勾股定理 2. （2018四川泸州，8题，3分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图3所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ,若ab =8，大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（ ） A. 9 B.6 C. 4 D.3 第8题图 【答案】D 【解析】因为ab=8，所以三角形的面积为 2 1 ab=4，则小正方形的面积为25-4×4=9，边长为3 【知识点】勾股定理，三角形面积，平方根 3. （2018年山东省枣庄市，12，3分）如图，在ABC Rt ?中，090=∠ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F .若5,3==AB AC ，则CE 的长为（ ）
A ． 23 B ．34 C ．35 D ．5 8 【答案】A 【思路分析】在ABC Rt ?中， AB CD ⊥， AF 平分CAB ∠，可知CE=CF ，过F 作FH 垂直于AB ，FH=CF ，在Rt △FBH 中设CF=x ，利用勾股定理列方程求出CF 的长，从而得到CE 的长. 【解题过程】解：在ABC Rt ?中， AB CD ⊥，∴∠ACD=∠B ，∵AF 平分CAB ∠，∴∠CAF=∠BAF ，∴∠CEF= ∠CFE ，CE=CF ，如图，过点F 作FG ⊥AB ，∵AF 平分CAB ∠，∴CF=FG ，AG=AC=3，BG=2，设CF=FG=x ， ∵ 5,3==AB AC ，∴BC=4，则BF=4-x ，在Rt △FBG 中，2222(4)x x +=-，解得23= x ，即CE=CF=2 3 ，故选A. E C A B F 【知识点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形 4. （2018湖南长沙，11题，3分）我国南宋著名数学家秦久韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 【答案】A 【解析】将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52 +62 =6.52 ，所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米，所以S= 1 2 ×6×2.5=7.5(平方千米)，故选A
(完整版)勾股定理典型练习题
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 222()2S a b a ab b =+=++ 所以222 a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ， 则c = ，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形； ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ， c 为三边的三角形是锐角三角形； ③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ， c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
(完整版)2018中考数学勾股定理
2018中考数学勾股定理 一．选择题（共7小题） 1．（2018?滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为=5． 故选：A． 2．（2018?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（） A．B．C．D． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴=， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴=， ∵FC=FG， ∴=， 解得：FC=， 即CE的长为． 故选：A． 3．（2018?泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（） A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，
完整版勾股定理中的经典中考题
1?如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm，在容器 内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A. 13cm B . 2,61cm D . 2,34 cm 2. 如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3 个面爬到点B，如果它 运动的路径是最短的，则AC的长为_____________ 3. 我国古代有这 样一道数学问题：“枯木一根直立地上’高二丈 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？， 题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆 柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五 周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤5YNMH% 4. 如图，在等腰Rt A 0AA1中，/ OAA1=90 ° OA=1,以0A1为直角边作等腰Rt A OA1A2, 以0A2为直角边作等腰
5. 如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道?为了加快施工进度，想在小山的另 一侧同时施工?为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB 的垂线L,过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量/ ABD=135 ° BD=800米，求直线L 上距离D点多远的C处开挖？（血勺.414，精确到1米） 6. 勾股定理神秘而美妙， 它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用面积法
1所示摆放，其中 / DAB=90 °求证: 2 2 2 a +b =c 证明：连结 DB ，过点D 作BC 边上的高 DF ，贝U DF=EC=b - a . 1, 2 12 1 S 四边形 ADCB =S A ACD +S A ABC =7；b +^ab . 又T S 四边形 JL2 1 』2 1 / 、 ??僧 F ab 詞 c p a (b - a ) 2 ??? a 2+b 2=c 2 请参照上述证法，利用图 2完成下面的证明. 将两个全等的直角三角形按图 2所示摆放，其中/ DAB=90 求证：a 2+b 2=c 2 来证明，下面是小聪利用图 1证明勾股定理的过程: 将两个全等的直角三角形按图
勾股定理经典中考题
勾股定理 练习题 温故而知新： 1.勾股定理 直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2. 2.勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示. 3.直角三角形的性质 两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系），30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用. 例1 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行（） A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
例2 如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（） A.3 cm B.6 cm C.32 cm D.62 cm 例3 如图所示，公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°.求出这块草地的面积. 举一反三： 1.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（） A.5 B.7 C.5 D.5或7. 2.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（） A.3 B.23 C.33 D.43 6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3. （1）求DE的长； （2）求△ADB的面积.
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF
勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 形。”
“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算 出来了吗？ 思路分析： 1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确 的解答
中考数学数学勾股定理试题含答案
一、选择题 1．如图，等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点F 是AB 边的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且∠DFE ＝90°，连接DE 、DF 、EF ，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍；③CD +CE ＝2FA ；④AD 2+BE 2＝DE 2．其中错误结论的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ） A ．29cm B ．5cm C ．37cm D ．4.5cm 3．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2 (1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，在矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝3S △PCD ，则动点P 到点A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为（ ） A ．5 B ．35 C ．332+ D ．213 5．如图，在等腰三角形ABC 中，AC=BC=5，AB=8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF= （ ） A ．5 B ．8 C ．13 D ．4．8
6．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作 半圆（以 为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．6 7．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( ) A ．3 B ．5 C ．4.2 D ．4 8．已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 9．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（ ） A ．h≤15cm B ．h≥8cm C ．8cm≤h≤17cm D ．7cm≤h≤16cm 10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=?， 10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ） A ．3尺 B ．4.2尺 C ．5尺 D ．4尺 二、填空题 11．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是
2013年全国中考数学试题分类汇编 勾股定理
2013年全国中考数学试题分类汇编勾股定理（2013?湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的长； （2）求△ADB的面积． ==10 AB× （2013?株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若∠EOD=30°，求CE的长．
中， × AD× ，
=×= =2×= = （2013?巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为5． 解：∵， ==5 （2013?达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对 角线的所有□ADCE中，DE最小的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 解析：由勾股定理，得AC＝5，因为平行边形的对角线互相平分， 所以，DE一定经过AC中点O，当DE⊥BC时，DE最小，此
时OD＝3 2 ，所以最小值DE＝3 （2013?达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。设AE=x，则x的取值范围是. 答案：2≤x≤6 解析：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中， x2＋y2＝（6－y）2，即x= 8 (0) 3 y ≤≤，当y＝0时，x取最大值为6；当y＝ 8 3 时,x取最小值2，故有2≤x≤6 2013?雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）． 则
勾股定理经典例题题库完整
勾股定理练习一 1、观看上图，每一小方格为单位1，填表： 2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度： 3、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2，则 X的长为厘米？ 4、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积是多少？ 5、如图，从电线杆离地面６米处向地面拉一条长１０米的缆绳， 这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为米。 6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏 离欲到达点B 200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流 的宽度为多少.？
一、选择题。 1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（） A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 2、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A．25 B．14 C．7 D．7或25 3、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（） A．9 cm2 B．13 cm2 C．18 cm2 D．24 cm2 4、如图，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（） A．6 B．8 C．10 D．12 5、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， 如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 二、填空题。 1、如图，在等腰直角△ABC中， AD是斜边BC上的高，AB=8，
则AD 2= 。 2、如图，在一个高为3米， 长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度为 米。 三、 计算题。 “中华人民国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？ 1、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。 ①若a=3，b=4，则c=________； ②若a=40，b=9，则c=________； ③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________。 2、已知等边三角形ABC 的边长是6cm 。求：(1)高AD 的长； (2)△ABC 的面积ABC S 。 3、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10。
勾股定理经典复习题及答案
勾股定理经典复习题 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 5．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ． 6．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a 、b 、 c 之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边a 、b 、c 满足222b c a =+，那么这个三角形是 三角形，其中b 边是 边，b 边所对的角是 ． 7．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形．
3m 4m 20m 8． 若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角 形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ． 9．如图，已知ABC ?中，?=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直 角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ． 10． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ． 二、综合发展: 11．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长． 12.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少 13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. 14．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起
勾股定理2016年中考题
第1章 勾股定理中考题 1、（2016?）如图，在△ABC 中，∠ C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B 、D 两点间的距离为（ ） 第1题图 第2题图 第3题图 A ． B ．2 C ．3 D ．2 2、（2016?眉山）把边长为3的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC 与D′C′交于点O ，则四边形ABOD′的周长是 3、（2016?达州）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的直角三角形的个数为 第4题图 第5题图 第6题图 4、如图，直线l ：y =－34 x ，点A 1坐标为（－3，0）. 过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点 B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 2016的坐标为 . 5、（2016?达州）如图，P 是等边三角形ABC 一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积为 ． 6、（2016?）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为 ． 7、（2016?）如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边 中点连接EF 为边的正方形EFGH 的周长为（ ） A 2、22 C 21 D 、221 8、（2016?）如图，在△ ABC 中，AB=AC=5，BC=8，D 是线段BC 上的动点（不含端点 B 、 C ）．若线段A D 长为正整数，则点D 的个数共有（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 A B D C G H F E