第17讲勾股定理之最短路径实际应用预习班讲义
勾股定理之最短路程、实际应用（讲义）一、知识点睛
蚂蚁爬最短路问题处理思路
（1）展开；
（2）找点；
（3）连线，利用勾股定理进行计算．
二、精讲精练
1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于12cm，底
面半径等于3cm．在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？（π取整数3）
2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A
上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径为4cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3）．
3.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B
点，那么它所爬行的最短路线的长是______．
4.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，BC=5cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行
的最短距离是多少？
5.如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了
营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止．问：小明至少需要准备一根多长的彩带？
6.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和
B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________．
7.如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高
3.2米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？
8.一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．这辆卡车能通过横
截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？3.6
米
9.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，“引葭(jiā)赴岸”：
今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
10.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆
孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15
C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
第10题图第11题图
11.如图，将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水
杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）
A．h≤17 B．h≥8
C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
12.小明家住在18层的高楼上，一天，他与妈妈去买竹竿，如果电梯的长、宽、
高分别是1.6米、1.2米、2.1米，那么能放入电梯内的竹竿的最大长度是多少米？
1.2米1.6米
2.1米
13.一架梯子长2.5米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7
米．如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了0.4米吗？为什么？
三、回顾与思考
________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________
【参考答案】
1．15cm 2．13cm 3．10 4．25cm
5．2.9m 6．25dm 7．卡车能通过隧道
8．卡车能通过隧道9．深度：12尺；长度：13尺
10．A 11．D 12．2.9米
13．不是；理由略．
勾股定理之最短路程、实际应用（随堂测试）
1.有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm．在AA1上有一个蜘蛛Q，
QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，
P取整数3）
1
A
第1题图第2题图
2.如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱
形水杯中．设筷子露在杯子外面的长为h
cm，则h的取值范围是_________．3.已知一辆装满货物的卡车高为3.0米，宽为1.6米，该卡车能否通过如图所
示的工厂厂门（上方为半圆），请说明理由．
【参考答案】
1．13cm 2．11≤h≤12 3．不能通过，理由略
勾股定理之最短路程、实际应用（作业）
14.在一次课外实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳
子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）
A．13m B．12m C．4m D．10m
15.如图，一根长为2.5米的梯子AB斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底
端B离开墙根为0.7米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8米至D处，则梯子的顶端将沿墙向下移动（）
A．0.8米B．0.7米C．0.4米D．0.3米
D
C
B
A
第2题图第3题图
16.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为50cm，30cm，10cm，A
和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，爬行的最短路线长为（）
A．13cm B．40cm C．130cm D．169cm
17.小明家新装修房子，其中有一段楼梯需要铺上地毯，楼梯高6米，斜面长为
10米，到底该买多长的地毯才能恰好把楼梯铺满呢（原则：铺满楼梯但不能浪费），小明爸妈也摸不着头脑．则小明给爸妈的正确答案
是．
18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花
圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______步路（假设2步路为1米），却踩伤了花草．
第5题图第6题图
19.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开
始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为
_________cm．
20.如图，为了庆祝“五一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已
知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度至少为___________．
第7题图第8题图
21.如图所示的一只玻璃杯，高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4cm，
最短2cm，那么这只玻璃杯的内径是____cm．
22.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着
两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的距离为__________．
23.如图，圆柱的底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，高
BC=9cm，点P是母线BC上一点，且PC
2
3
BC．一只蚂蚁
从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点P的最短距离是
多少？
24.如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线
AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？
【参考答案】
1．B 2．C 3．C 4．14米
5．8 6．13 7．5m 8．6
9．20肘尺10．10cm 11．是；理由略
A
B C
人教版八年级数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义
最短路径问题 解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题 例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程 1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 _________dm． 2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.
3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元 (1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？ (2)求出总费用是多少？ 课后作业 1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（） A．B．C．D． 3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m
4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。以点A为圆 心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________ 5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。 （1）求∠BAC的度数。 （2）若AC=2，求AD的长。 6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________ 7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。 （1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？ （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长。
八年级数学人教版 第17章 勾股定理17.1 勾股定理17.1.2 勾股定理的实际应用【说课稿】
勾股定理在求距离中应用 说课流程 一、教材分析二、目标分析三、教法学法分析 四、教学过程分析五、评价分析 一.教材分析 1.教材的地位和作用：勾股定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点。本节课是在人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册“勾股定理”一章新授课全部结束的基础上设计的一节探究课。对“勾股定理”一章来说，从《数学课程标准》的要求到教材内容的设置，起点都比较低—主要表现在两方面：一方面表现在知识点少，即仅有勾股定理及勾股定理逆定理两个知识点；另一方面能力要求单一，即运用勾股定理解决简单的实际问题。因此为了提高学生质疑、发现、解决问题的能力，根据学生的实际情况，利用教材资源和学生的智慧设计本节课的内容。在本节课中，通过丰富的情境，使学生更深刻地体会勾股定理在现实生活中的应用。为后面的学习打下良好的基础。 2.教学重点: 运用勾股定理解决数学和实际问题 3.教学难点: 把实际问题转为数学问题，利用勾股定理解决 二. 教学目标： 知识目标： 能进一步运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题 能力目标： 1.通过对实际问题的分析与解决，通过学生动手操作，培养学生的探究能力、质疑能力，提高用数学知识来解决实际问题的能力. 2.帮助学生感受到数学与现实生活的联系， 情感目标： 1.体验数学学习的乐趣，形成积极参与数学活动的意识，再一次感受勾股定理的应用价值，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2.培养学生交流与合作的协作精神 三.教法学法分析: 1、学情分析 本节课的教学对象是八年级学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境
《勾股定理的应用---最短路径问题》教案及学案
1 A B §14。2 勾股定理的应用---最短路径问题 安海中学 谢伟良 教学目标： 知识与技能目标：能运用勾股定理解决简单的实际问题． 过程与分析目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件． 情感与态度目标:培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情 教学重点：利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求得最短路程． 教学难点：寻找最短路径． 教学关键：把立体图形转化为合适的平面图形寻得最短路径再构造直角三角形应用勾股定理求最短路程。 教学准备: 教师准备:幻灯片、直尺。 学生准备：复习勾股定理,自制圆柱体、立方体和长方体. 教学过程: 一、复习引入，创设情境 1。复习提问:线段性质定理、勾股定理的内容及数学式子表示。 设定情景引入新课。 2。情景设定1（投影出示）： 在一款长30cm 宽40cm 的砧板上，蚂蚁要从点A 处到点B 处觅食，试问这只蚂蚁要 怎么选择路线才能使路线最短?最短距离是多少？ ∵ 在Rt △ABC 中, ∠C=90º ∴ )(504030222 2cm BC AC AB =+=+= ∴ 走线段AB 的路线最短，且最短距离为50cm.
2 A C B A B A B 二、创设情境，解决问题 情景设定2： 情景设定3： 如图所示,圆柱体的底面直径为6cm ，高为12cm ，一只蚂蚁从A 点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B ，试求出爬行的最短路程（π取3). 2 2BC AC + ∴爬行的最短路程约为 解:如图，∵在Rt △ABC 中, ∠ACB=90° BC ＝½πd ≈½×3×6=9cm ， ∴AB ＝ 2 2 912+=) (15cm =如果把圆柱换成棱长为10cm 的正方体盒子,蚂蚁沿着表面从A 点爬行到B 点需要的最短路程 又是多少呢？想一想都有哪些爬行路径?需要经过哪些面?
勾股定理及逆应用-最短路径问题-黎雪萍-学生新版
精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：NJ07 年 级：初二 课 时 数：3课时 学员姓名：王昕怡 辅导科目：数学 学科教师：胡飞飞 授课 类型 T 勾股定理和逆定理 C 勾股定理求最短路径 T 勾股定理应用 授课日期时段 2015-2-11 教案内容 一、同步知识梳理 1、勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的3个正整数a 、b 、c 称为勾股数． （1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件： ①满足a 2＋b 2＝c 2②都是正整数．两者缺一不可． （2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a 2＋b 2＝c 2 (但不一定是勾股数)， 例如：3、4、5是一组勾股数，但是以0.3 cm 、0.4 cm 、0.5 cm 为边长的三个数就不是勾股数。 二、同步题型分析 1、等腰三角形的周长是20 cm ，底边上的高是6 cm ，求它的面积. 2、（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，DE 垂直平分AB ，求BE 的长. （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AE 平分∠CAE ，ED ⊥AB,求BE 的长. （3）如图，折叠长方形纸片ABCD ，是点D 落在边BC 上的点F 处，折痕为AE ，AB=CD=6， AD=BC=10，试求EC 的长度. 一、专题精讲 知识总结：长方体： （1）长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ；（2）求如图所示的两个对顶点的最短距离d 。 E D A C B D E A C B B B
A B A 1B 1D C D 1C 1214 （2）长方体盒子表面小虫爬行的最短路线d 是22c b a ++）（、22b c a ++）（、22a c b ++）（ 中最小者的值。 圆柱体： （1）圆柱体的高是h 、半径是r ；（2）要求圆柱体的对顶点的最短距离。 圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d ； 两条路线比较：其一、AC+BC 即高+直径； 其二、圆柱表面展开后线段AB=22r h +的长. 题型二、长方体 例题1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为. 例题2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是。 例题1、如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 1的端点A 到达A 1，若圆柱底面半径为π 6，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
勾股定理讲义
勾股定理讲义 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=
方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）
勾股定理在最短路径问题中的应用
勾股定理在最短路径问题中的应用 标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用 导言： 最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。 一、勾股定理概述 1.1 勾股定理定义 勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。 二、最短路径问题介绍 2.1 最短路径问题的定义 最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。
三、勾股定理在最短路径问题中的应用 3.1 最短路径问题的建模 在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边 的长度作为两个节点之间的距离。 3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法 基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长 度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。 3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用 通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题 中的应用。假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点 A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。 4. 总结与回顾 通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。勾 股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最 短路径问题的求解提供了便利。通过建立一个适当的数学模型，我们 可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。 个人观点与理解：
专题 勾股定理中的最短路径问题
专题1.4 勾股定理中的最短路径问题 目标导航 1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。 2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. 知识精讲 知识点01 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题 【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（ 取3）
A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】A 【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图， 根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 2222 241830 AB AC BC =+=+=cm． ∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处， ∴最短路径长为60cm.故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键． 【即学即练】 1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24 π cm，高BC＝10cm，在BC的 中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm． 【答案】13
勾股定理在最短路径问题中的应用
『勾股定理在最短路径问题中的应用』 一、引言 在数学和实际生活中，勾股定理是一个被广泛应用的基本定理，它不仅仅是一个几何定理，还在诸多领域中有着重要的应用，其中就包括最短路径问题。本文将探讨勾股定理在最短路径问题中的应用，从而帮助我们更深入地理解这一数学原理在实际生活中的作用。 二、最短路径问题概述 最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的最短路径，通常以距离或权重来衡量路径的长度。这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如在网络传输中寻找最短路径可以提高传输效率，在交通规划中寻找最短路径可以节省时间和成本等等。寻找最短路径是一个被广泛关注的问题。 三、勾股定理在最短路径问题中的应用 1. 从原理上来看，勾股定理可以帮助我们计算两点之间的直线距离，这在寻找最短路径时是至关重要的。通过勾股定理，我们可以准确地计算出两点之间的距离，从而找到最短路径。 2. 勾股定理还可以帮助我们理解和推导其他寻找最短路径的算法，比如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。这些算法都是建立在对距离的准确计算基础上的，而勾股定理为我们提供了这样的基础知识。 3. 在实际的地图导航中，勾股定理也被广泛应用。通过勾股定理，地
图导航可以准确计算出最短路径，并为我们提供最优的导航方案，从 而节省时间和成本。 四、结论和回顾 通过本文的探讨，我们更加深入地了解了勾股定理在最短路径问题中 的重要应用。勾股定理不仅仅是一个单纯的数学定理，它还在实际生 活中发挥着重要作用，特别是在寻找最短路径这样的实际问题中。我 们应该重视和深入理解勾股定理这一基础数学原理，从而更好地应用 它解决现实生活中的问题。 五、个人观点 在我看来，数学定理和实际问题之间的联系总是让人感到惊讶和敬畏。勾股定理作为一个古老的数学定理，竟然在现代的最短路径问题中发 挥着如此重要的作用，这让我对数学的普适性有了更深刻的理解。我 相信，随着数学和现实生活的更加深入的结合，我们将能够更好地解 决各种实际问题，提高生活质量和效率。 在本文中，我重点从原理、应用和实际意义三个方面来探讨勾股定理 在最短路径问题中的应用，通过多次提及勾股定理，以及总结性的结语，旨在帮助读者更好地理解和接受这一数学原理在实际生活中的价值。 我鼓励读者对于数学定理和实际问题之间的联系保持好奇心和探索精
勾股定理的应用----最短路径 (2)
勾股定理的应用----几何体的最短路径 洪湖市第七中学向长华 【教学目标】 （一）知识与技能： 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单几何体的最短路径实际问题。 （二）过程与方法： 1．让学生经历将几何体展开成平面图形即实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理解决此问题，发展学生的应用意识。 2．学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 3．在解决实际问题的过程中，使学生体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神。 （三）情感态度与价值观 1．在利用勾股定理探索实际问题的过程中使学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2．在解决实际问题的过程中让学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。【教学重点】 探索、发现给定事物中隐含的勾股定理，将实际问题转化为直角三角形模型,并用它解决生活实际问题。 【教学难点】 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理解决实际问题。 教学准备： 纸板做的正方体、长方体和圆柱，幻灯片。 教学过程： 一、知识回顾: 1、勾股定理的文字及符号语言 2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，依据什么？ （1）两点之间线段最短 （2）垂线段最短 3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？ 二、提出问题: 活动一：圆柱中的最值问题 蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律 例1 、如图在一个底面周长为20cm,高AA′为4cm的圆柱石 凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的 蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿圆柱的侧面从A 处爬向B处，你 们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 操作猜想： （1）从A 处爬向A′处，再从A′处爬向B处即AA′+ A′B；不符合题意舍去； （2）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉
2020人教版数学八年级下册 第十七章勾股定理：小专题(一)：利用勾股定理解决最短路径问题
小专题（一）：利用勾股定理解决最短路径问题 【例】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3） 【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形（即立体图形的平面展开图），把圆柱沿着过A点的直线AA'剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走. 【方法指导】 几何体中最短路径基本模型如下：
1.（2018·黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为_____________cm . （杯壁厚度不计） 2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24dm,3dm,3dm ，点A 和点B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是_____________. 3.如图，长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm . （1）点1A 到点2C 之间的距离是多少？ （2）若一只蚂蚁从点2A 爬到1C ，则爬行的最短路程是多少？
【例】解：需要爬行的最短路程是15cm . 变式训练 1.20 2.30dm 3.解：（1）Q 长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm ，222222124117(cm).C 5(17)A C A ∴=+=∴=+=42(cm). （2）如图1所示，22215552(cm)A C =+=.如图2所示，22219182(cm)A C =+=.如图3所示， 222164213(cm).5221382,A C =+=<<∴Q 一只蚂蚁从点2A 爬到1C ， 爬行的最短路程是52cm .
人教版初二数学下册17.1(3)勾股定理的应用--最短路径问题
勾股定理之最短路径问题 八年数学组游梅华 课题名称：《勾股定理之最短路径问题》 教材内容分析： 这节课是九年制义务教育初级中学新人教版八年级数学下册第17章第1节《勾股定理》的第3课时：《勾股定理的应用---最短路径问题》。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。 学习者特征分析： 1．通过前面的数学学习，八年级学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 2.以与勾股定理有关的实例为背景展开对勾股定理的应用，能激发学生的学习兴趣。 教学目标及确立依据： 知识与技能：能运用勾股定理解决简单的实际问题。 过程与方法：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 情感态度与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中， 体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。 教学重难点分析及确立依据： 教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理，并用它们解决生活实际问题。教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理解决实际问题。
人教版八下数学 第17章 勾股定理 微专题三 立体图形中的最短线路问题
人教版八下数学第17章勾股定理微专题三立体图形中的最短线路 问题 1.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短 路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？ 2.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为( ) A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm 3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽路不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁 离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且在离容器上部3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是( ) A．13cm B．2√61cm C．√61cm D．2√34cm 4.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个 侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )
A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm 5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五 周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺． 6.如图①，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：高线AB+底面直径BC，如图①所示，设长度为l1． 路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，设长度为l2． 请按照小明的思路补充下面解题过程： (1) 解：l1=AB+BC=2+8=10， l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2； ∵l12−l22=． (2) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继 续按前面的路线进行计算．（结果保留π） ①此时，路线1:l1=； 路线2:l2=． ②选择哪条路线较短？试说明理由．
人教版初二数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义
勾股定理中的最短路径问题（一） 解题技巧： 1、展开几何体的面 2、根据“两点之间线段最短”，可知最短路径就是两点间的连线 3、用勾股定理计算线段的长度 例1、一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸盒的A 点沿着纸盒面爬到B 点偷糖吃，则它所行的最短路线的长度是（ ） A 、cm )823( B 、10cm C 、14cm D 、16cm 1、如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是（ ） A 、9 B 、10 C 、24 D 、172
2、如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B 离点C 的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A 、119 B 、13 C 、125+ D 、15 3、如图是一个长为4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处(长的四等分)有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎要爬过去吃蚊子的最短路径是（ ） A 、4.8 B 、29 C 、5 D 、223+ 4、如图，有一圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在全神贯注偷吃粮食。可爱的小猫咪从B 处沿着圆锥表面对老鼠发起突击，则小猫经过的最短路径是____m
勾股定理中的最短路径问题（二） 解题技巧： 1、先轴对称，再连线，找出最短路径 2、用坐标系中的勾股定理221221)()(y y x x d -+-= 求出最短路径 例1、如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路径是（ ） A 、15km B 、16km C 、17km D 、18km 例2、如图，在△ABC 中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是_______
人教版八年级数学下册 17.1勾股定理的应用——最短路径问题 教学设计
《17.1勾股定理的应用——最短路径问题》教学设计教学目标： 【知识与技能】 1.掌握勾股定理的简单应用，探究最短路径问题； 2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题. 【过程与方法】 经历运用勾股定理解决实际为题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯. 【情感、态度与价值观】 1.培养学生运用所学只是解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识； 2.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其它方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，形成积极参与数学活动的意识. 教学重点： 1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题； 2.探索空间与平面图形之间的关系. 教学难点： 熟练运用勾股定理解决最短路径的实际问题，增强学生的数学应用能力。 课前准备： 制作圆柱、正方体、长方体等教具 教学方法： 互动式教学、合作探究学习 教学过程： 一、抛砖引玉 一块长方形草地，在靠近路口的一角被踏出了一条“斜路”，类似的现象在我们校门前也有发生.请问同学们： （1）人们为什么要走“斜路”呢？ （2）经测量，这条“斜路”的一端距离直角顶 点3米，另一端距离直角顶点4米，你能根据之前 所学过的知识告诉我：斜“路”比正路近多少米？ 学生会想立一个牌子，提醒人们，请你帮助填空：少走___米，践踏何忍？ 如果我们每步可以跨0.5米，那么这样可以少走几步？这么几步近路，值得吗？[设计意图]：本题不仅是勾股定理的实际应用题，而且还对学生进行了社会公德教育，体现了数学教学的德育意义. 二、初露锋芒 有一只小昆虫——森迪，来到了高为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱体的A
《勾股定理的应用》--长方体表面上的最短路径问题教学设计
17.3.勾股定理的应用 ---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析 本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验． 二、教学任务分析 本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题． 在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。 三、教学设计： (一)教学目标：
知识与技能： 1、熟练运用勾股定理解决实际问题； 2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线； 过程与方法： 1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力； 2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源； 情感态度与价值观: 在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。 (二)教学重难点： 1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解 决实际问题。 2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图 形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结 论的探究的过程。 （三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。（四）教法、学法：
中考数学复习第十七章勾股定理(专题复习讲义)
第十七章勾股定理 1. 在非直角三角形中作辅助线的方法 (1)作高(垂线)法：解一般三角形的问题常常通过作高或作某一边的垂线段，转化为直角三角形，利用勾股定理计算或证明. 【例1】在厶ABC中,AB=2 :,AC=4,BC=2,以AB为边向△ ABC外作厶ABD,#^ ABD 为等腰直角三角形，求线段CD的长. 【标准解答】v AC=4,BC=2,AB=2 , •• A C+B C=A B, •••△ACB为直角三角形，/ ACB=90 . 分三种情况： 情况1:如图，过点D作DEL CB,垂足为点E. 易证△ACB^A BED易求CD=2 ; 情况2:如图，过点D作DE L CA,垂足为点E.易证△ ACB^A DEA易求CD=2 ; 情况3:如图，过点D作DE L CB,垂足为点E,过点A作AF L DE,垂足为点F.易证
△ AFD^A DEB易求CD=3・.
(2)根据图形特点作辅助线构造直角三角形法：有些几何图形，比如四边形, 本身就具备直角的已知条件，但没有直角三角形，此时要根据图形特点巧构直角 三角形 【例2】如图，/ B 二/ D=90 , Z A=60° ,AB=4,CD=2.求四边形ABCD 勺面积. 【标准解答】延长AD,BC 交于E 点,如图. vZ B=90° , Z A=60° , •••/ E=30° . ••• AE=2AB=8,CE=2CD=4, 则 BE 二.一 -=4勰 v DE 二一一 --=2 ., •四边形ABCD 勺面积=△ ABE 的面积-△ CDE 的面积=6 .. △ ABC 中 ,AB=4,BC=3, Z BAC=30 ,则厶 ABC 的面积为 2. 运用数学思想处理问题 D E
勾股定理 讲义
勾股定理 一、知识梳理 1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2与c2=a2+b2． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2. 直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中， 如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边 所对的锐角等于30°． 3．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型： ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和 有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长 向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角 边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．