二次函数中的等腰三角形问题

教学过程

一、复习预习

1.二次函数的基础知识

2.等腰三角形的性质

3.相似三角形的性质

二、知识讲解

考点1 二次函数的基础知识

1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．

2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）

2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）

（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，

其顶点坐标为（－2b a ，2

44ac b a

）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），?

由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 考点2 等腰三角形的性质

1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方

9.等腰三角形的腰与它的高的关系

直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。 考点3 相似三角形的性质

1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

6.若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项

7.c/d=a/b 等同于ad=bc.

8.不必是在同一平面内的三角形里

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.

（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

（3）相似三角形周长的比等于相似比

三、例题精析

【例题1】

如图，抛物线y＝-x2+x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的

对称轴与x轴相交于点Ｍ。Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）。分别过点Ａ、Ｂ作直线ＣＰ的垂线，垂足分别为Ｄ、Ｅ，连接ＭＤ、ＭＥ。（1）求点Ａ、Ｂ的坐标（直接写出结果），并证明△ＭＤＥ是等腰三角形；

（2）△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标，若不能，说明理由；

（3）若将“Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）”改为“Ｐ是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。

【答案】

（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4，令y=0，

即﹣x2+x﹣4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）．如答图1所示，

分别延长AD与EM，交于点F；

∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE；

在△AMF与△BME中，∠MAF=∠MBE，MA=MB,∠AMF=∠BME；∴△AMF≌△BME（ASA），

∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点，

∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形

（2）能；

抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，

∴对称轴是直线x=3，M（3，0）；

令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）

△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形；

①若DE⊥EM，

由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，

而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，

由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，

不符合题意，故此种情况不存在；

②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；

③若EM⊥DM，如答图2所示

设直线PC与对称轴交于点N，

∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA

在△ADM与△NEM中，∠EMN=∠DMA，EM=DM,∠ADM=∠NEM=135°；

∴△ADM≌△NEM（ASA），∴MN=MA

抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，故对称轴是直线x=3，∴M（3，0），MN=MA=2，

∴N（3，2）

设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，2），C（0，﹣4）在抛物线上，∴，解得k=2，b=﹣4，∴y=2x﹣4

将y=2x﹣4代入抛物线解析式得2x﹣4=﹣x2+x﹣4

解得x=0或x=，

当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x﹣4=3

∴P（，3）

综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）（3）能；

如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N；

与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M；

∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB

在△DMN与△EMB中，∠DMN=∠EMB，MD=MB,∠MDN=∠MEB=45°；∴△DMN≌△EMB（ASA），

∴MN=MB；

∴N（3，﹣2）

设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，﹣2），C（0，﹣4）在抛物线上，

∴，解得k=，b=﹣4，∴y=x﹣4

将y=x﹣4代入抛物线解析式得x﹣4=﹣x2+x﹣4，

解得x=0或x=，

当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x﹣4=

∴P（，）

综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）

【解析】

（1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；

如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF 的中点，从而得到MD=ME，问题得证；

（2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M；如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标；

（3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同；

【例题2】

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；

（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P运动的时间为t秒．

①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为或秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）

②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．

（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，

由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．

∵MN∥y轴，AB∥CD，

∴四边形ODMN是矩形．

∴DM=ON=2，

∴CD=2×2=4．

∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），

∴AB=2，

∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）?OD=9，

∴OD=3，即c=3．

∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，

解得．

∴y=x2+4x+3．

将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．

（3）①当t为2秒时，△PAD的周长最小；当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．

②存在．

∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，

∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，

∴∠PDM=∠APN，

∵∠PMD=∠ANP，

∴△APN∽△PDM，

∴=，

∴=，

∴PN2﹣3PN+2=0，

∴PN=1或PN=2．

∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．

故答案为：2；4或4﹣或4+．

【解析】

（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）先根据梯形ABCD的面积为9，可求c的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点E的坐标；

（3）①根据轴对称﹣最短路线问题的求法可得△PAD的周长最小时t的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得△PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值；

②先证明△APN∽△PDM，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标．四、课堂运用

【基础】

如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O 为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为

Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

x A、B两点，与y轴相交于点C，若已知

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；

（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【拔高】

如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

课程小结

课后作业

【基础】

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2 与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点

M 、N 在x 轴上，点N 在点M 右侧，MN =2．以MN 为直角边向上作等腰直角三角

形CMN ，∠CMN =90°．设点M 的横坐标为m ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式. （2）求点C 在这条抛物线上时m 的值.

（3）将线段CN 绕点N 逆时针旋转90°后，得到对应线段DN .

①当点D 在这条抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标.

②以DN 为直角边作等腰直角三角形DNE , 当点E 在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m 值.

【参考公式：抛物线2

y ax bx c =++（a ≠0）的顶点坐标为2

4()24,b ac b a a

--】

【巩固】

如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于

另一点C（3,0）.

⑴求抛物线的解析式;

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

【拔高】

已知抛物线:y=x2-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,

如图，设它的顶点为B

(1)求m的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.

y