导数八大题型汇总
导数八大题型汇总
以下是导数的八大题型汇总：
1. 基本函数的导数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数。
2. 和、差、积的导数：给定两个或多个函数，求其和、差、积的导数。
3. 商的导数：给定两个函数，求其商的导数。
4. 复合函数的导数：给定一个函数和另一个函数的复合，求复合函数的导数。
5. 反函数的导数：给定一个函数和其反函数，求反函数的导数。
6. 参数方程的导数：给定一个参数方程，求其对应的函数的导数。
7. 隐函数的导数：给定一个隐函数关系式，求导数。
8. 极限的导数：给定一个函数的极限，求其导数。
这些题型涵盖了导数的常见应用场景，掌握这些题型可以更好地理解和运用导数的概念和计算方法。
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导
数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2 + x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2 1e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1
导数知识点各种题型归纳方法总结
导数的基础知识 一．导数的定义： 0000000()()()'()'|lim ()() ()'()'lim x x x x f x x f x y f x x x f x y x f x x f x y f x f x y x =?→?→+?-====?+?-===?1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数: 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：00()()y f x x f x ?=+?-；②求平均变化率：00()() f x x f x y x x +?-?= ??； ③取极限得导数：00'()lim x y f x x ?→?=? （下面内容必记） 二、导数的运算： （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1 ()'n n x nx -=；1 1()'()'n n n x nx x ---==- ；1()'m m n n m x x n -== ③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'x x e e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x =； ⑧1 (log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ?=?+?(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2 ()'()()()'() []'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ?-?=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =?③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知 ()22sin f x x x π=+-，则()'0f = 2、若()sin x f x e x =，则 ()'f x = 3.)(x f =ax 3+3x 2 +2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ） 3 19. 3 16. 3 13.3 10.D C B A 三．导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '， 即有()00V f t '=。 ＝s /(t) 表示即时速度。a=v / (t) 表示加速度。 四．导数的几何意义： 函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()() 00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线()y f x =在点()() 00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=- （2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。 例题在曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析：（1）3)1x (36x 62x 3|'y k 2000x x 0++=++===当x 0=-1时，k 有最小值3， 此时P 的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 五．函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，
高考数学导数题型归纳
导数题型归纳（一） 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 230m m ⇒>-< ∵当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
高中数学导数大题题型总结
关于数学中导数题型总结 导数是高中数学的一种重要题型，虽然每年的高考考的不是很多，但它是必考题型，也是分值占比最大的题型。导数部分相对简单，大多数学生在接触它的时候是不太适应的，特别是导数求导速度和导数运算题都非常棘手。很多学生在做这类题目的时候只能靠运气或者是其他因素来解决问题，很多学生往往没想清楚为什么要做这个题，认为是简单的导数计算题又不重要。我想对这部分同学做一个详细的总结汇报，希望对你们有所帮助。 一、求导速度 求导速度也就是求的各个节点的距离等于节点的坐标，而每个节点所对应的计算量也就是这个知识点要完成多少道题目，所以这个知识点就是一个考点：最小行程问题。对于求导速度比较快的问题可以利用等式关系求解解题，特别喜欢求导过程中不需要等待或者没有注意到节点的坐标和距离不需要等待，这样不仅能节省时间也能提高解的准确率。对于求导速度慢的问题，可利用参数化问题的方法进行求导，这样就可以大大缩短你计算出结论的时间。另外还有一些特殊复杂的求导运算也是需要注意的，比如导数的实数解和虚数解的计算方法，一定要清楚。实数解一般利用的都是原函数的解析式来计算，而虚数解一般是利用定理方程或者导数方程的求
导来进行求导，所以对于一些没有解出来的题就不要着急了，可以用一些方法进行求导即可完成解题而不需要考虑到解析的思想和方法，比如一些特殊导数中可以利用一些特殊的符号进行计算。 二、导数形式 1、正态分布：求导问题一般以正态分布形式出现，这类题目一般有三种常见的形式：极坐标、双曲对称性、椭圆对称性。根据上述定义，这三种形式是正态分布和坐标对称性求导方法中的两种简单方法，在求导问题中，常以椭圆对称性求导方法为主，这类求导方法一般可以用到积分求导法则、周期律求导法则等。2.直线方程：导数中直线方程的求导过程是求解直线方程的关键，可以直接通过求导公式来求导，比如下面的求导公式：3、等式与不等式：当满足给定的等式中有一条不等式的时候，可以利用等式求导的性质进行求导，比如下面的等式与不等式都可以直接求导来求解：其实很多同学对这类题不是很熟悉和了解，下面我们简单分析一下各种形式分别有哪些优缺点。 三、函数综合 求函数综合的方法很多，求导速度的快慢也是我们在解题中经常碰到的问题，一般来说，我们只要知道函数解析式可以求出函数的一阶导数就可以了。函数综合在高考中占分比例较大，占分比例的70%左右。函数综合首先需要注意的就是导数的定义和判断函数
完整版)导数的综合大题及其分类
完整版)导数的综合大题及其分类. 导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值 这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。 1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为 分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。 2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础， 根据函数的单调性确定函数的极值点。 3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标
准进行的。在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。 例题： 已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。 x 1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间； 2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。 审题程序] 1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论； 2.整合讨论结果，确定单调区间； 3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围； 4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。 规范解答] 1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1) 2.
导数各类题型方法总结(绝对经典)
第一章 导数及其应用 一， 导数的概念 1。。已知x f x f x x f x ∆-∆+=→∆) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A 。 41- B 。 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ) A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想"，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步:画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种：分离变量求最值——--—用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（〉0，=0，<0） 第二种:变更主元（即关于某字母的一次函数)—-——-（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上,()0 g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值。
(完整版)导数常见题型与解题方法总结
导数题型总结 1、分离变量—————用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0) 2、变更主元-—-——已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法--——-结合图像分析 5、二次函数区间最值求法—--—-(1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表; 第三步:由图表可知； 第三种:变更主元（即关于某字母的一次函数）———-—（已知谁的范围就把谁作为主元)。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =- - （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； (2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数"，求b a -的最大值. 解：由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间［0,3］上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩ 解法二:分离变量法：
导数经典题型归类(共12类)
导数经典题型归类（共12类） 导数题型目录 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5. 知零点个数求参数范围 含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f （x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0 (2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)； (2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）； (4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。 2. 求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程： ①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距
离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习 1. （2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是 2. （2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 3. （2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e-x 上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则▕PQ▏的最小值为 B.（1-ln2） +ln2 D.(1+ln2) 7. 若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，则a等于8. 抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. B. C. D. 1 9. 已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10. 已知函数f（x）=2x3-3x.（1）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值； （2） 若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围. 11. 已知函数f（x）=4x-x4，x∈R. (1) 求f（x）的单调区间 (2) 设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：
导数的基本题型归纳
导数基础题型 题型一 导数与切线 利用两个等量关系解题： ①切点处的导数=切线斜率,即()k x f o ='； ②切点()o o y x ,代入曲线方程或者代入切线方程. 切点坐标或切点横坐标是关键 例1：曲线y ＝错误!在点－1,－1处的切线方程为 A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 例2：已知函数的图象在点1,f 1处的切线方程是x －2y ＋1＝0,则f 1＋2f ′1的值是 B ．1 D ．2 例3 求曲线132+=x y 过点1,1的切线方程 练习题： 1.已知函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切,则a ＝ D ．1 2.曲线y ＝x 3＋11在点P 1,12处的切线与y 轴交点的纵坐标是 A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15 3.设曲线y ＝错误!在点3,2处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直,则a 等于 A ．2 B ．－2 C ．－错误! 4.设曲线y ＝ax 2在点1,a 处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a ＝________. 5.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点1,0处的切线,l 2为该曲线的另一条切线, 且l 1⊥l 2. 求直线l 2的方程； 题型二 用导数求函数的单调区间 ①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④划分区间注意：定义域参与区
间的划分；⑤判断导数在各个区间的正负. 例1：求函数c x x x y +-+=33 123的单调区间. 例2 求函数x a x a x x f )1(ln 21)(2+-+=的单调区间其中a ＞0 例3：已知函数ax x y +=2在),1[+∞上为增函数,求a 的取值范围. 练习题： 1.求函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间. 2.已知331)(23-++=x ax x x f 在]3,1[上单调递减,求a 的取值范围. 题型三 求函数极值和最值 ①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④列表注意：定义域参与区间的划分； ⑤确定极值点.；5,求出极值,区间端点的函数值,比较后得出最值 例：求函数x x y ln 2-=的极值. 例：求函数y ＝x ＋2cos x 在区间错误!上的最大值. 例：已知函数fx ＝2x 3－6x 2＋mm 为常数在－2,2上有最大值3,那么此函数在－2,2上的最小值为 A ．－37 B ．－29 C ．－5 D ．－11 例：若函数b bx x x f 36)(3+-=在)1,0(内有极小值,则实数b 的取值范围是 A ．)1,0( B ．)1,(-∞ C ．),0(∞+ D ．)2 1,0( 练习题： 1.设函数x x x f ln 2)(+=则 =21为fx 的极大值点 =21为fx 的极小值点 =2为fx 的极大值点 =2为fx 的极小值点 2. 已知函数x b x a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值,则a 与b 满足 .
高考导数题型归纳
高考导数题型归纳today ; this day ; now ; at the present, April 6th, 2023
高考压轴题：导数题型及解题方法 自己总结供参考 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程; 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率; 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题; 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题; 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条; 例 已知函数fx=x 3﹣3x ． 1求曲线y=fx 在点x=2处的切线方程；答案：0169=--y x 2若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 提示：设曲线)(x f y =上的切点)(,00x f x ；建立)(,00x f x 的等式关系;将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题;答案：m 的范围是()2,3-- 练习 1. 已知曲线x x y 33-= 1求过点1,-3与曲线x x y 33-=相切的直线方程;答案：03=+y x 或027415=--y x 2证明：过点-2,5与曲线x x y 33-=相切的直线有三条; 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. 答案：1 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线; 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为)(,11x f x ;)(,22x f x ； 建立21,x x 的等式关系,12112)()(y y x f x x -='-,12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ,进而求出切线方程;解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系; 例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程;答案02=--e y x e 练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程;答案012=--y x 或0=y 2．设函数,ln 2)1()(x x x p x f --=2)(x x g =,直线l 与函数)(),(x g x f 的图象都相切,且与函数)(x f 的图象相切于1,0,求实数p 的值;答案1=p 或3 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间; 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准;分类的方法有：1在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定；3 在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类；4 在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等;注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏; 例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln )(2+-+= 1求函数)(x f 的单调区间;利用极值点的大小关系分类 2若[]e x ,2∈,求函数)(x f 的单调区间;利用极值点与区间的关系分类 练习 已知函数12 1)1()(2++-+-=kx x e k x e x f x x ,若()2,1-∈x ,求函数)(x f 的单调区间;利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类
导数的常考题型
导数及其应用 题型一：求解导数中的切线问题 题型二：利用导数研究函数的单调性 1、求不含任何参数的函数的单调区间 2、求含参函数的单调区间 3、根据函数的单调性求参数的取值范围 常考题型 题型三：利用导数研究函数的极值 1、求函数的极值（含参与不含参）； 2、已知函数的极值求参数 题型四：导数与零点 题型五：导数中的恒成立问题 题型六：利用导数证明不等式 题型七：有关隐零点的导数题 题型一：求解导数中的切线问题 1、已知曲线C ：y ＝ln x x . (1)求曲线C 在点(1,0)处的切线l 1的方程； (2)求过原点与曲线C 相切的直线l 2的方程． 2、若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为 ． 题型二：利用导数研究函数的单调性： 1、求不含任何参数的函数的单调区间 2、求含参函数的单调区间 3、根据函数的单调性求参数的取值范围 1、求函数3()4ln f x x x x =- -的单调区间
2、设函数()(1)ln(1)f x ax a x =-++其中1a ≥-，求()f x 的单调区间。 3、若函数21()ln 2 f x x x x tx =+++在定义域内递增，求实数t 的范围。 题型三：利用导数研究函数的极值： 1、求函数的极值（含参与不含参）； 2、已知函数的极值求参数 例1、求函数2()ln 1f x x x x =--+的极值 例2、求函数23212()=33 f x a x ax -+ ，0a >在[1,1]-上的极值
例3、已知函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，求,a b 思路点拨：求定义域→求导→令'(1)0(1)0 f f -=⎧⎨ -=⎩→求得,a b →检验 变式1：已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52 ，求m 的值． 变式2：已知函数32()132x a f x x x =-++在区间1(,3)2 上有极值点，求实数a 的取值范围。 题型四：导数与零点 1.函数()ln 2f x x =-零点的个数为
导数题型总结
导数题型总结 导数题型总结 导数及其应用题型总结题型一：切线问题 ①求曲线在点（xo，yo）处的切线方程②求过曲线外一点的切线方程 ③求已知斜率的切线方程④切线条数问题例题1：已知函数f（x）=x+x-16，求：（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程 （2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标 （3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标例题2：已知函数f（x）=ax+2bx+cx在xo处去的极小值-4.使其导数f”(x)>0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P （-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。 题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题例题3：求函数y=xcos （x+x-1）sin（x+x-1）的导数题型三：利用导数研究函数的单调区间①求函数的单调区间（定义域优先法则）②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围③证明或判断函数的单调性 例题4：设函数f(x)=x+bx+cx，已知g（x）=f(x)-f”(x)是奇函数，求y=g （x）的单调区间例题5：已知函数f(x)=x3-ax-1， （1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围 （2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。 例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。题型四：导数与函数图像问题 例1：若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是y 题型五：利用导数研究函数的极值和最值 例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极 yy3 2323oaoobxoabxbxabxaA．B．C．D．大值。求（1）函数y=f(x)在x=-2时
高考导数问题常见题型总结
高考有关导数问题解题方法总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为) ,(00y x A ，则 2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =， 所以过),(00y x A 点的切线的斜率为 / 2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ； 当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为 2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
导数常见题型及解题方法总结
导数题型总结 1、别离变量-----用别离变量时要特别注意是否需分类讨论〔>0,=0,<0〕 2、变更主元-----谁的围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----〔1〕对称轴〔重视单调区间〕与定义域的关系 〔2〕端点处和顶点是最值所在 一、根底题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进展解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元〔即关于*字母的一次函数〕-----〔谁的围就把谁作为主元〕。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，假设在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数〞，实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- 〔1〕假设()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，求m 的取值围； 〔2〕假设对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 〔1〕 ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞， 则 2 ()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：别离变量法： ∵当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立
导数题型方法总结(绝对经典)
第一章 导数及其应用 一.导数的概念 1..已知x f x f x x f x ∆-∆+=→∆) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A. 4 1- B. 2 C. 41 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2C ．－3D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=--2()3g x x mx ∴=-- （1）()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <